精品解析：宁夏海原县某校2025-2026学年高二上学期第三次阶段性质量检测数学试题

2025-2026学年第一学期第三次阶段性质量检测 高二数学试题 满分150分：考试时间：120分钟： 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知双曲线，则它的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列满足，则等于（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 2 3. 双曲线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为8，则椭圆的长轴长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 5. 数据的方差为（ ） A. 4 B. 8 C. 2.4 D. 9 6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的零点所在的区间可以是（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，答对部分答案得部分分，错选得0分. 9. 如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. （多选）若为第二象限角，则下列正确的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 圆与圆有且只有一个公共点，则的值可能是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知数列满足，，则________． 13. 不等式的解集为_____. 14. 已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为________________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）求适合下列条件的双曲线的标准方程： ①，，焦点在轴上； ②焦点为，，且； （2）根据下列条件写出抛物线的标准方程： ①焦点是； ②准线方程是； 16. 设函数，. （1）求函数的最小正周期和对称轴方程； （2）求函数在时的最小值，并求出取最小值时的值. 17. 树德中学为提升学生的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取200人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值.用样本估计总体，估计该校学生初赛成绩的中位数； （2）若甲、乙、丙三位同学均进入复赛，已知甲、乙、丙复赛获一等奖的概率分别为，，，甲、乙、丙获一等奖互不影响，求至少有两位同学复赛获一等奖的概率. 18. 如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． （1）证明：直线直线; （2）求直线与平面所成的角的大小． 19. 在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PH，H为垂足．当点P在圆上运动时，线段PH的中点为M．（当点P经过圆与x轴的交点时，规定定点M与P重合） （1）求动点M的轨迹C的方程； （2）已知，过原点且斜率为的直线l与曲线C交于E，F两点，求面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期第三次阶段性质量检测 高二数学试题 满分150分：考试时间：120分钟： 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知双曲线，则它的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的双曲线方程，直接求出渐近线方程即可. 【详解】双曲线，则它的渐近线方程为. 故选：A 2. 已知等差数列满足，则等于（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差中项即可求解. 【详解】由等差数列可知：， 故选：C. 3. 双曲线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用双曲线的几何性质求解即得. 【详解】由双曲线方程，得该双曲线焦点在轴上，实半轴长， 所以双曲线的顶点坐标为. 故选：B 4. 已知椭圆的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为8，则椭圆的长轴长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆心坐标即得椭圆半焦距，进而求出长轴长. 【详解】将配方得，故圆心为， 即得椭圆的右焦点为， 而该椭圆的短轴长为8，则其长半轴长， 所以该椭圆的长轴长为10. 故选：B 5. 数据的方差为（ ） A. 4 B. 8 C. 2.4 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用方差的定义直接求解即可. 【详解】数据的平均数为， 所以数据的方差为. 故选：B 6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数性质可得，再利用函数单调性即可判断． 【详解】由是定义在上的偶函数，则， 由在上是增函数，则， 即有． 故选：C． 7. 函数的零点所在的区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析函数的单调性，再利用零点存在定理分析判断选项． 【详解】在上单调递增，在内单调递增， 在定义域上单调递增， ，， 根据零点存在定理可知，存在使得，故A正确； ，函数在定义域上单调递增， ，故BCD错误． 故选：A． 8. 椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设弦的两个端点分别为、，利用点差法可求得直线的斜率. 【详解】设弦的两个端点分别为、，则， 以上两式两边分别做差得：， 整理得：， 因为为、的中点， 由中点坐标公式得：， 所以，即， 故选：C 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，答对部分答案得部分分，错选得0分. 9. 如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【详解】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD 10. （多选）若为第二象限角，则下列正确的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数的符号规律直接判断即可. 【详解】若为第二象限角，则，，． 所以，为第二象限角，则或或． 故选：BC． 11. 圆与圆有且只有一个公共点，则的值可能是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系列式计算即得参数值. 【详解】由题意知，圆的圆心为，半径为 圆的圆心为，半径为， 因为两圆只有一个公共点，所以两圆内切或外切， 当两圆外切时，， 当两圆内切时，. 故或4,即或. 故选：BD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知数列满足，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由得数列是以2为公差，首项为1的等差数列，进而求解. 【详解】由题意有：，所以数列是以2为公差，首项为1的等差数列， 所以， 故答案为：. 13. 不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求得正确答案. 【详解】不等式等价于， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 14. 已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为 向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）求适合下列条件的双曲线的标准方程： ①，，焦点在轴上； ②焦点为，，且； （2）根据下列条件写出抛物线的标准方程： ①焦点是； ②准线方程是； 【答案】（1）①,②；（2）①，②. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的几何性质，结合焦点位置即可得解； （2）根据焦点或准线判断开口方向和的值，然后可得标准方程. 【详解】（1）①因为，，所以， 又因为焦点在轴上，所以双曲线标准方程为：. ②因为焦点为，，所以双曲线焦点在轴上，且， 又，所以， 所以，所求双曲线方程为：. （2）在抛物线中，记焦点到准线的距离为， ①因为焦点是，所以抛物线开口向右，且，得， 所以，所求抛物线的标准方程为：. ②由准线方程是可知，抛物线开口向右，且，得， 所以，所求抛物线的标准方程为：. 16. 设函数，. （1）求函数的最小正周期和对称轴方程； （2）求函数在时的最小值，并求出取最小值时的值. 【答案】（1）最小正周期，对称轴为； （2）当时，. 【解析】 【分析】（1）利用周期公式求最小正周期，利用整体代换法可求得对称轴方程； （2）利用正弦函数性质和换元法即可求得函数在区间上的最小值，进而得到取最小值时的值. 【小问1详解】 的最小正周期， 由，可得， 所以的对称轴为， 【小问2详解】 由，可得， 则， 当即时，函数取得最小值为， 17. 树德中学为提升学生的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取200人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值.用样本估计总体，估计该校学生初赛成绩的中位数； （2）若甲、乙、丙三位同学均进入复赛，已知甲、乙、丙复赛获一等奖的概率分别为，，，甲、乙、丙获一等奖互不影响，求至少有两位同学复赛获一等奖的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质及中位数的求法计算即可； （2）利用独立事件的概率公式计算即可. 【小问1详解】 1）易知， 因为，则中位数位于之间， 中位数不妨设为x，则， ； 【小问2详解】 设事件甲、乙、丙获奖分别为 至少两位同学获奖有如下情况：甲乙获奖丙未获奖，甲丙获奖乙未获奖，乙丙获奖甲未获奖，甲乙丙三人均获奖， 则 . 18. 如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． （1）证明：直线直线; （2）求直线与平面所成的角的大小． 【答案】（1） 不妨设，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， ,. ,因为，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明垂直； （2）求出平面的法向量，利用线面角的公式可求答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，, 易知平面的一个法向量为, 设直线与平面所成的角为，则， 所以，即直线与平面所成的角的大小为. 19. 在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PH，H为垂足．当点P在圆上运动时，线段PH的中点为M．（当点P经过圆与x轴的交点时，规定定点M与P重合） （1）求动点M的轨迹C的方程； （2）已知，过原点且斜率为的直线l与曲线C交于E，F两点，求面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设动点利用点P在圆上，列出有关的方程即可； （2）联立直线和椭圆，求出E，F两点的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 设动点 因为线段PH的中点为M点，线段PH垂直x轴，H为垂足， 故 因为点P在圆上， 故，即， 故动点M的轨迹C的方程为： 【小问2详解】 直线l过原点且斜率为， 故直线l的方程为：， 故到直线l的距离：， 联立，得：，， 故， 故， 所以面积：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $