精品解析：江苏省苏州市平江中学校2025-2026学年 上学期八年级数学12月考试卷

数学课堂练习 一、选择题（本大题共8小题.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上，共16分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 2. 若与是同类二次根式，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题的关键． 根据同类二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、，与是同类二次根式，故本选项符合题意； C、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B 3. 点在平面直角坐标系中的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，据此即可求解 【详解】解：∵点P的横坐标，纵坐标， ∴点在第二象限 故选：B． 4. 下列关于x的函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的解析式形式是解题的关键． 根据一次函数的定义，形如（、为常数，且）的函数为一次函数，逐一验证各选项是否符合该形式． 【详解】A、中，的指数为2，不符合一次函数定义，故不符合题意； B、中，不是整式函数，不符合一次函数定义，故不符合题意； C、中，的指数为2，不符合一次函数定义，故不符合题意； D、是一次函数，故符合题意； 故选：D． 5. 已知一次函数（为常数，且），随着的增大而增大，且，则该一次函数在直角坐标系内的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象的性质，熟练掌握当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，一次函数与轴交于正半轴，当时，一次函数与轴交于负半轴，是解题的关键．根据一次函数的图象的性质进行判断即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数（k，b为常数，且），随着的增大而增大， ∴此一次函数的图象经过一，三，四象限， 故选：C． 6. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知AP=AC，即可得出答案． 【详解】解：∵BC⊥AB， ∴∠ABC=90°， ∴AC=， ∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P， ∴AP=AC=， ∴点P表示的数是， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，以及数轴与实数，关键是求出AC的长． 7. 如图，在底面周长约为米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（   ） A. 14米 B. 28米 C. 13米 D. 26米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用—最短距离问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘即可得到结果． 【详解】解：根据题意，把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图所示，雕龙把大长方形均分为个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为米，柱身高约米， ∴米，米， ∴米， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为（米）， 故选：D． 8. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与几何综合，由直线求出点坐标，得出，过点D作于点E，证明，得，设点，则，得出，代入，求出的值即可． 【详解】解：对于，当时，， ∴， ∴， 过点D作于点E，如图， 则 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， 又 ∴， ∴， 设点，则， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴, 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题.请把答案直接填写在答题卡相应位置上，共16分） 9. 面积为的正方形的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是熟练掌握正方形的面积公式． 根据正方形的面积公式和算术平方根的定义求解． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为． 故答案为． 10. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 11. 已知直线经过点和点，则与的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较一次函数值大小，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 通过将点和点的横坐标代入直线解析式，分别求出和的值，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：直线经过点和点， 当时，； 当时，； ， ， 故答案为：． 12. 已知一次函数，当时，，则_____ 【答案】3 【解析】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出值． 【详解】解：∵当时，， ∴， 解得：， ∴的值为3； 故答案为：3． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标满足函数表达式”是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】（-3，-1） 【解析】 【分析】由题意直接根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反进行分析即可得出答案. 【详解】解：在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是（-3，-1）. 故答案为：（-3，-1）. 【点睛】本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，注意掌握平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 14. 一次函数的图象上到轴的距离为1的点的坐标为________． 【答案】和 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质、点到坐标轴距离等知识，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 由到轴的距离为的点，知其横坐标的绝对值为，即，代入函数解析式求纵坐标即可得到答案． 【详解】解：一次函数的图象上的点到轴的距离为1， 这些点的横坐标的绝对值为，即， 当时，； 当时，； 满足题意的点的坐标为和， 故答案为：和． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，以为边作矩形．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C移动，当移动时间为4秒时，的值为__． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求出的坐标是解题的关键． 根据题意，得出，勾股定理求得，即可求解， 【详解】解：连接、，    ∵点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形， ， ， 依题意，， ，则， ， ， ， 故答案为：30． 16. 勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在中，，，．分别以AB，AC，BC为边向外作正方形ABMN，正方形ACKL，正方形BCDE，并按如图所示作长方形HFPQ，延长BC交PQ于G．则长方形CDPG的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】证明Rt△AIC≌Rt△CGK，得到AI=CG，利用勾股定理结合面积法求得CG=，进一步计算即可求解． 【详解】解：过点A作AI⊥BC于点I， ∵正方形ACKL，∴∠ACK=90°，AC=CK， ∴∠ACI+∠KCG=90°，∠ACI+∠CAI=90°， ∴Rt△AIC≌Rt△CGK， ∴AI=CG， ∵，，． ∴BC=5， ∵， ∴AI=，则CG=， ∵正方形BCDE， ∴CD=BC=5， ∴长方形CDPG的面积为5． 故答案为：12． ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共68分） 17. 计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）10 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分别计算绝对值，有理数乘方，算术平方根，再计算加减； （2）先化简二次根式，再计算加减； （3）先计算括号内二次根式的加法，再计算乘除； （4）先计算二次根式的乘法，再进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的坐标分别为，，把线段先向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到线段（其中点A与点D、点B与点C是对应点） （1）画出平移后的线段，写出点C的坐标为______． （2）连接，四边形的面积为______． （3）点E在线段上，，点F是线段上一动点，线段的最小值为______． 【答案】（1）线段即为所求， （2）32 （3） 【解析】 【分析】（1）利用网格的特征，根据平移的性质画出线段即可，根据平移规律即可得点C坐标； （2）连接、、，利用网格的特征，根据即可得答案； （3）由平移的性质可得，推出，根据时，最短，可得为中边的高，根据三角形面积公式即可得出的长． 【小问1详解】 解：由坐标系知，点的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：连接、、， ∴； 故答案为：32； 【小问3详解】 解：如图，连接，作， ∵把线段先向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到线段， ∴由平移的性质得， ∴， ∵当时，最短， ∴为中边的高， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查平移的性质、平行线间的距离处处相等及三角形面积的计算，经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)．熟练掌握平移的性质，坐标与图形是解题关键． 19. 求代数式的值，其中．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题． 小芳：解：原式， 小亮：解：原式． （1）______的解法是错误的； （2）求代数式的值，其中． 【答案】（1）小亮 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的性质、完全平方公式，掌握是解题的关键． （1）根据题意得到，根据二次根式的性质计算即可； （2）根据二次根式的性质把原式化简，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴小亮的解法是错误的， 故答案为：小亮； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 当时，原式． 20. 已知一次函数的图像经过点和． （1）求这个一次函数的表达式； （2）求这个一次函数的图像与轴的交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）设这个一次函数的表达式为：，然后把点和代入中，进行计算即可解答； （2）根据轴上的点纵坐标为，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：设这个一次函数的表达式为：， 把点和代入中可得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， ∴这个一次函数与轴的交点坐标为． 21. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 【答案】（1） 解：是，理由如下： 在中，，，， ，，， ， ， 是从村庄到河边的最近路； （2）原来的路线的长为千米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理的内容是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ， 在中，， ， 解得：， 即的长为千米． 22. 综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，． 【观察感知】 （1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号） 【探索发现】 （2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）． ①求线段的长；（结果保留根号） ②判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），； （2）①； ②，理由如下： ∵在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，再求出，然后根据三角形的外角性质即可得；最后根据解直角三角形可得的长，根据线段的和差即可得； （2）①过点作，垂足为，先解直角三角形可得的长，再利用勾股定理可得的长，然后根据线段的和差即可得； ②根据等腰三角形的性质可得，则可得，由此即可得． 【详解】解：（1）∵中，， ∴， ∵中，， ∴， ∴； 在中，， 在中，， ∴． （2）①如图，过点作，垂足为， 中，， ． 中，． ∴， ． ②略 23. 如图1，汽车以速度匀速行驶，若一路绿灯通过路口、、、且，则称为绿灯速度．已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计． 设汽车在第0秒出发，行驶后路程为．图2表示在某种红绿灯设置下汽车行驶的情况． （1）路段的长度为________，路口绿灯亮起________后路口绿灯亮起； （2）求出射线所对应的的值，判断此时是否为绿灯速度，并说明理由； （3）写出这种红绿灯设置下绿灯速度的取值范围，并在图2中画出对应的示意图． 【答案】（1）600；10 （2）解：不是绿灯速度，理由如下： 对应的时间为，与各经过，故对应的时间为， 所以得：． 虽然，但是由图像可知汽车在路口D遇到红灯，所以不是绿灯速度； （3）， 如图阴影部分即为所求： 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息，解题的关键是读懂题意与图象，获取相关信息． （1）通过获取图2反映的有关信息进行分析即可； （2）根据图2反映的信息易得点对应的坐标，即可求得V，并判定是否为绿灯速度； （3）由（2）知不是绿灯速度的原因是D路口遇到了红灯，因此分别求出汽车行驶经过和时刻对应的速度即可 【小问1详解】 解：路口C对应处，路口B对应处，因此路段的长度为：； 对应的表示红绿灯D亮起的时刻，为，A红绿灯时就已经亮起了，所以路口A绿灯亮起后路口D绿灯亮起， 故答案为：600；10； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知不是绿灯速度的原因是D路口遇到了红灯，所以当汽车刚好在通过D路口时，，此时；当汽车刚好在通过D路口时，，此时； 所以绿灯速度的取值范围：． 24. 如图，直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点. （1）求直线的解析式； （2）作直线，当的面积被直线分成的两部分时，求直线的解析式； （3）过点作直线与轴相交于点，使与全等，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． （1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积为，当时，，可得，解得，即得，再求值直线的解析式；当时，同理可得，待定系数法求出直线的解析式即可； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：在中，令得， ， ∴， ， ， ， 把代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：，， 的面积为， 当时，如图：     此时， ， 即， 解得：， 在中，令，则 解得， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴此时直线的解析式为：； 当时，如图：     此时， ， 即， ， 在中，令， 解得， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴此时直线的解析式为：； 综上所述，当的面积被直线分成的两部分时，直线的解析式为或； 【小问3详解】 在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图：     ，， ，， 设，则，，， 而， ， 整理得， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时，， ∴， ∴点B为的中点， ∴，， ∴； ②若时，如图：     ，， ， 在中，令，则 解得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学课堂练习 一、选择题（本大题共8小题.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上，共16分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 若与是同类二次根式，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 3. 点在平面直角坐标系中的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列关于x的函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数（为常数，且），随着的增大而增大，且，则该一次函数在直角坐标系内的大致图像是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在底面周长约为米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（   ） A. 14米 B. 28米 C. 13米 D. 26米 8. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题.请把答案直接填写在答题卡相应位置上，共16分） 9. 面积为的正方形的边长为________． 10. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 11. 已知直线经过点和点，则与的大小关系是________． 12. 已知一次函数，当时，，则_____ 13. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是________． 14. 一次函数的图象上到轴的距离为1的点的坐标为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，以为边作矩形．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C移动，当移动时间为4秒时，的值为__． 16. 勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在中，，，．分别以AB，AC，BC为边向外作正方形ABMN，正方形ACKL，正方形BCDE，并按如图所示作长方形HFPQ，延长BC交PQ于G．则长方形CDPG的面积为______． 三、解答题（本大题共8小题.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共68分） 17. 计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的坐标分别为，，把线段先向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到线段（其中点A与点D、点B与点C是对应点） （1）画出平移后的线段，写出点C的坐标为______． （2）连接，四边形的面积为______． （3）点E在线段上，，点F是线段上一动点，线段的最小值为______． 19. 求代数式的值，其中．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题． 小芳：解：原式， 小亮：解：原式． （1）______的解法是错误的； （2）求代数式的值，其中． 20. 已知一次函数的图像经过点和． （1）求这个一次函数的表达式； （2）求这个一次函数的图像与轴的交点坐标． 21. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 22. 综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，． 【观察感知】 （1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号） 【探索发现】 （2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）． ①求线段的长；（结果保留根号） ②判断与的位置关系，并说明理由． 23. 如图1，汽车以速度匀速行驶，若一路绿灯通过路口、、、且，则称为绿灯速度．已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计． 设汽车在第0秒出发，行驶后路程为．图2表示在某种红绿灯设置下汽车行驶的情况． （1）路段的长度为________，路口绿灯亮起________后路口绿灯亮起； （2）求出射线所对应的的值，判断此时是否为绿灯速度，并说明理由； （3）写出这种红绿灯设置下绿灯速度的取值范围，并在图2中画出对应的示意图． 24. 如图，直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点. （1）求直线的解析式； （2）作直线，当的面积被直线分成的两部分时，求直线的解析式； （3）过点作直线与轴相交于点，使与全等，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $