专题05 反比例函数（期末复习课件）九年级数学上学期人教版

这是一份初中数学九年级上学期期末复习课件，聚焦反比例函数专题，构建了从期末考情分析、必备知识梳理、重难点题型突破到分层验收的完整学习支架，涵盖核心考点、知识点解析及典型例题。 资料特色突出核心素养培养，通过考情规律分析引导学生用数学眼光观察考点分布，结合典例变式训练发展逻辑推理思维，实际应用题型强化数学语言表达能力，分层验收帮助学生精准突破难点，为教师提供系统复习方案，九年级学生面临升学考试，需重点掌握函数综合应用，资料分层设计助力针对性复习。

专题05 反比例函数 九年级数学上学期 期末复习大串讲 人教版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 反比例函数相关概念 掌握反比例函数的有关基础概念，能够区分反比例与正比例函数的形式差异. 较少直接考查，若考查也是以选择题、填空题形式考查，难度低。 反比例函数的图象与性质 要熟练根据k的符号判断图象位置和增减性，能结合图象分析进行函数值的大小比较和变化趋势。 基本出现在选择题或解答题的某一问中，常考函数值比较或增减性分析，注意符号的影响。 反比例函数k 的几何意义 理解∣k∣的几何意义，能求解图象与坐标轴围成的三角形或矩形面积问题。 考查大热门，在选择题、填空题出现的概率较大，要用数形结合思想进行解答，多训练，掌握解题方法。 核心考点 复习目标 考情规律 待定系数法求反比例函数解析式 熟练运用待定系数法求函数解析式的方法步骤 基本在解答题中以其中一问的形式进行考查，难度不大，注意按步骤解答。 反比例函数与一次函数的综合应用 掌握联立方程求两个函数的交点坐标，能结合图象比较不同范围内函数值的大小。 在期末考查中常与一次函数、几何图形结合在一起，难度一般较大，特别是动态问题中的函数分析，尖子生要重点突破此类型题型。 反比例函数的实际应用 能够从实际问题中抽象出反比例函数模型，利用函数解析式解决实际问题。 选择、填空和解答题均有考查题型，题干会给出生活实际场景，需要找出等量关系，难度中等偏下。 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 反比例函数的相关概念 知识点01 1.概念：一般地，形如y=（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数．其中x是自变量，y是函数．自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． 2.三种表示形式 ①y=（k为常数，k≠0）． ②xy=k（k为常数，k≠0）． ③（k为常数，k≠0）． 反比例函数的相关概念 知识点01 3.反比例函数y=中的x，y成反比例，无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数，若k=0，则y=0恒成立，为一常数函数，失去了反比例函数的意义． 反比例函数的图象和性质 知识点02 1.反比例函数图象的画法 ①列表：自变量的取值以原点O为中心，一般地，在点O的两边分别取三列表对或三对以上互为相反数的数，并计算相应的y值，以表格的形式表示出来； ②描点：以表格中各对对应值为点的坐标，描出各点； ③连线：按照从左到右的顺序用平滑的连线曲线顺次连接各点并向两端延伸． 反比例函数的图象和性质 知识点02 2.反比例函数图象的特点 ①反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限； ②双曲线有两个分支，延伸部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交； ③双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点），又是轴对称图形（对称轴是直线y=x或直线y=-x）． 反比例函数的图象和性质 知识点02 3. 注意事项： ①自变量x的取值范围是x≠0的一切实数； ②必须用平滑的曲线连接各点，而不能用折线； ③因为x≠0，y≠0，所以图象不可能经过原点，且与x轴、y轴都没有交点； ④为了更好地反映图象的全貌，要尽可能多地取一些数值，多描一些点． 反比例函数的图象和性质 知识点02 4.反比例函数的性质： 反比例函数 k的符号 k>0 k<0 图象 性质 （1）自变量x的取值范围为x≠0； （2）图象的两个分支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小 （1）自变量x的取值范围为x≠0； （2）图象的两个分支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大 反比例函数 的几何意义 知识点03 如图，过双曲线上任意一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得长方形PMON的面积S=PM·PN =|y|·|x|=|xy|．因为，所以xy=k，所以S=|k|， 即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线， 所得矩形的面积为|k|． 用待定系数法求反比例函数的解析式 知识点04 （1）设——根据题意，设反比例函数的解析式为； （2）代——把它的一对对应值（x，y）代入中，得到关于k的方程； （3）解——解方程，求出常数k； （4）写——把k的值代入反比例函数的解析式中即可写出解析式． 反比例函数的实际应用 知识点05 用反比例函数解决实际问题的步骤： （1）审——审清题意，找出题目中的常量、变量，并审理清常量与变量之间的关系． （2）设——根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示． （3）列——由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数． （4）写——写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围． （5）解——用函数解析式去解决实际问题． （6）检——检验答案，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论． （7）答——写出实际问题的答案，保证解题的完整性． 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 反比例函数相关概念 题型一 解｜题｜技｜巧 识别一个函数是不是反比例函数，可对照反比例函数的基本形式或变形形式（是常数，），（是常数，）进行筛选． 【典例1】下列函数中，是的反比例函数的是( ) A． B． C． D． 解：A、是一次函数，不是反比例函数， 故A选项不符合题意； B、是反比例函数， 故B选项符合题意； C、不是反比例函数， 故C选线不符合题意； D、的次数是2次的，不是反比例函数， 故D选项不符合题意， 故选：B B 【典例2】已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是 ． 2 解：∵函数是关于的反比例函数， ∴，且， ∴， 故答案为：2． 【变式1】下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 解∶A．是反比例函数，故该选项不符合题意； B．是正比例函数，故该选项符合题意； C．是反比例函数，故该选项不符合题意； D．是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选∶B． B 【变式2】函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：C． C 反比例函数的图象与性质 题型二 解｜题｜技｜巧 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线；②一、三象限的角平分线；对称中心是：坐标原点． 易｜错｜点｜拨 1．反比例函数的增减性，必须强调在“每一象限内”． 2．反比例关系不一定是反比例函数，比如y与x2成反比例，但y不是x的反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系 【典例1】关于反比例函数，下列说法中错误的是( ) A． 时，y随的增大而减小 B．当时， C．它的图象位于第二、四象限 D．当时，y有最小值为-3 解：A、因为，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；故本选项正确，不符合题意； B、因为，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；当时，，故本选项正确，不符合题意； C、因为，反比例函数位于第一、三象限，故本选项错误，符合题意； D、因为，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；当时， ，则有最小值为-3，故本选项正确，不符合题意； 故选：C． C 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） 解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意， 故选：D． D 【典例3】如图，双曲线与直线相交于A、B两点，B点坐标为 (-2,-3)，则A点坐标为（ ) A． (-2,-3) B． (2,3) C． (-2,3) D． (2,-3) B 解：因为点A与B关于原点对称，且点B坐标为(-2,-3)， 所以A点的坐标为(2,3)． 故选：B． 【典例4】若点，，均在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 解：∵反比例函数中，， ∴函数图像的两个分支分别位于二、四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴、B两点在第四象限，C点在第二象限， ∴． 故选：D． D 【变式1】函数的图像大致是（   ） 解：∵函数解析式为， ∴该函数为反比例函数，图像为双曲线， ∵， ∴图像在一、三象限， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． B 【变式2】已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．若，则 C．图象在第二、四象限内 D．y随x的增大而减小 解：∵，， ∴图象在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大， 当时，，∴图象必经过点， 当时，，∴当时，； 综上，只有选项D的结论不正确； 故选D． D 反比例函数k 的几何意义 题型三 解｜题｜技｜巧 由于k有正、负之分，在利用反比例系数k的几何意义，求面积时，加上绝对值符号． 【典例1】如图，反比例函数在第一象限，△OAB的面积是1.5，则反比例函数中，是( ) A．1.5 B． -1.5 C．3 D． -3 C 解：因为△AOB的面积为1.5， 所以， 则． 又因为反比例函数的图象在第一象限， 所以． 故选：C． 【典例2】如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在轴上，点D在轴上．已知平行四边形ABCD的面积为6，则的值为( ) A．6 B． -6 C．3 D． -3 B 解：作于E，如图， 因为四边形ABCD为平行四边形，所以轴， 所以四边形ADOE为矩形， 所以， 而， 所以， 而， 所以． 故选：B． 【变式1】如图，点P是反比例函数图象上一点，过点P作轴于点A，点B是点A关于轴的对称点，连接PB，若△PAB的面积为18，则的值为( ) A．18 B．36 C． -18 D． -36 解：连接OP， 因为点B是点A关于轴的对称点， 所以OA=OB， 所以， 因为△PAB的面积为18，所以， 所以． 又因为反比例函数的图象在第二象限，所以． 故选：C． C 【变式2】如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则 ． 12 解：设反比例函数解析式为， ∵，∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 待定系数法求反比例函数解析式 题型四 解｜题｜技｜巧 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 33 【典例1】已知反比例函数的图象经过点 (1,-3)，那么该反比例函数的表达式为( ) A． B． C． D． 解：设反比例函数解析式为， 因为反比例函数的图象经过点(1,-3)， 所以， 所以反比例函数解析式为． 故选：A． A 解：设反比例函数的解析式为， 把代入函数，得． 所以，反比例函数的解析式为：． 故选：A． 【变式1】若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式为( ) A． B． C． D． A 【变式2】如图，已知在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点B、C在x轴负半轴上，反比例函数的图象经过点D（﹣1，3），交AB于点E． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△CBE的面积． 解：（1）∵反比例函数的图象经过 点D（﹣1，3）， ∴k＝﹣1×3＝﹣3，反比例函数解析式为：y； （2）∵D（﹣1，3），∴BC＝DC＝3，∴点B的坐标（﹣4，0）， 当x＝﹣4时，y， ∴BE．S△CBE． 反比例函数与一次函数的综合应用 题型五 解｜题｜技｜巧 反比例函数与一次函数的交点问题,求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 【典例1】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致（ ） 解：因为， 所以一次函数经过一、二、四象限，反比例函数的图象经过二、四象限， 故D选项的图象符合要求． 故选：D． D 38 【典例2】如图，已知反比例函数 （）与一次函数相交于A、B两点（点A在第一象限），轴于点C．若的面积为1，且． (1)求出反比例函数与一次函数的解析式； (2)请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数 的值大于一次函数的值？ （1）解：在中，设． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴（负值舍去）． ∴A点的坐标为． 把A点的坐标代入中，得． ∴反比例函数的表达式为． 把A点的坐标代入中，得， ∴． ∴一次函数的表达式． （2）由题意得：， 解得：， 点的坐标为． 由图可知：当和时，． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（ ) 解：因为， ①若，则经过一、三、四象限，反比例函数位于二、四象限， ②若，则经过一、二、四象限，反比例函数位于一、三象限， 只有选项A符合题意， 故选：A． A 【变式2】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴和y轴分别交于点和点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集为_______； (3)连接OA，已知P为反比例函数图象上一点， 且，求点P的坐标． （1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴； ∵一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴交于点， ∴， ∴，∴，； （2）解：由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 联立，解得 或， ∴一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，不等式的解集为或； （3）解：在中，当时，，∴， ∵，， ∴； ∵，∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或． 解｜题｜技｜巧 1.反比例函数解决实际问题的方法： ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 2.实际问题中常见的反比例关系： （1）路程型：当路程一定时，时间与平均速度成反比例． （2）面积型 ①矩形：当矩形面积一定时，长与宽成反比例． 反比例函数的实际应用 题型六 解｜题｜技｜巧 ②三角形：当三角形面积一定时，三角形的一边与该边上的高成反比例． （3）物理应用型 ①做功型：当功一定时，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例． ②压强型：当压力一定时，压强与受力面积成反比例． ③电流型：在电路中，当电压一定时，电流与电阻成反比例． 反比例函数的实际应用 题型六 【典例1】某品牌蓄电池的电压为48V，使用蓄电池时，其电流与电阻之间存在一定函数关系，则电流I（单位：A关于电阻R（单位：Ω函数图象大致是（ ） 解：根据题意得， 所以电流I（单位：A关于电阻R（单位：Ω函数是反比例函数， 故选：A． A 【典例2】在一定温度下的饱和溶液中，溶质、溶剂质量和溶解度之间存在下列关系：，已知20℃时，氯化钠的溶解度是36克，在此温度下，设克水可溶解氯化钠克，则关于的函数关系式是（ ） A． B． C． D． A 解：由题意可得： ， 故． 故选：A． 47 【典例3】某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（图）．开 始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风 速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风 速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时， 最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时） 与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ （1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为 （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时．   【变式1】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数．已知与之间的函数图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．当，时， C．当时， D．当时， 解：设与之间的函数解析式为， 将点代入得：，∴，则选项A错误； 当时，，则选项B错误；当时，， 当时，，∵在函数中，， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴当时，，则选项C错误； 当时，，则选项D正确；故选：D． D 【变式2】如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： 猜测与之间的函数关系，并求出函数关系式为　　． 解：由图象猜测与之间的函数关系为反比例函数，所以设y=， 把，代入得： ，所以y=， 将其余各点代入验证均适合，所以与的函数关系式为：y=．故答案为：y=． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1．下列函数关系式中属于反比例函数的是（ ） A．y＝3x B． C． D． 解：A、y＝3x不符合反比例函数的形式，不是反比例函数，不符合题意； B、是反比例函数，符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、不是反比例函数，不符合题意， 故选：B． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） B 2．已知反比例函数，下列说法中错误的是（　　） A．图象必经过（1，﹣5） B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限 D．图象关于原点中心对称 B 解：A、把x＝1代入解析式得y＝﹣5，所以点（1，﹣5）在函数图象上，故本选项正确，不符合题意； B、∵k＝﹣5＜0， ∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意； C、∵k＝﹣5＜0， ∴函数图象在二、四象限内，故本选项正确，不符合题意； D、反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意． 故选：B． 3．函数y＝2x与函数y在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） 解：∵y＝2x中的2＞0， ∴直线y＝2x位于第一、三象限． ∵y中的﹣1＜0， ∴双曲线y位于第二、四象限， 综上所述，只有B选项符合题意． 故选：B． B 4．已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣3是反比例函数，则m＝　 　 ． 解：依题意得：|m|﹣3＝﹣1且m﹣2≠0， 解得m＝﹣2． 故答案为：﹣2． -2 5．在功W（J）一定的条件下，功率P（W）是做功时间t（s）的反比例函数，P（W）与t（s）之间的函数关系如图所示．当t＝35时，P的值为 　　 W． 解：设函数解析式为P， 由图象可知，反比例函数图象过点（60，20）， ∴20， ∴W＝1200， ∴函数解析式为P， 当t＝35时，P， 故答案为：． 6．已知反比例函数，其中k是常数． （1）若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，求k的取值范围； （2）当k取什么值时，在每个象限内y随x的增大而减小？ 解：（1）由题意得，2k+3＜0， 解得：； （2）∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小， ∴2k+3＞0，∴． 7．新学期开学前，小美同学买了一个可以调节亮度的护眼灯，她通过阅读说明书并实践操作发现：护眼灯调节亮度原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，护眼灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求I关于R的函数表达式． （2）当R＝1500Ω时，求I的值． 解：（1）设I关于R的函数解析式为：I， 由题意可得：0.3， ∴k＝240， ∴I关于R的函数解析式为：I； （2）当R＝1500Ω时，I0.16，∴I的值为0.16 1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝﹣bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 解：由题意，a＜0，b＜0，c＞0， ∴反比例函数的图象在二，四象限，一次函数y＝﹣bx+c的图象经过一，二，三象限． 故选：C． 2．已知反比例函数y（k＞0），当2≤x≤3时，函数y的最大值为a，则当﹣2≤x≤﹣1时，函数y有（　　） A．最大值﹣2a B．最小值﹣2a C．最小值﹣a D．最大值 解：∵y（k＞0）， ∴反比例函数在一，三象限，在每一个象限内，y随着x的值的增大而减小， ∵当2≤x≤3时，函数y的最大值是a， ∴当x＝2时，y＝a， ∴k＝2×a＝2a， 当﹣2≤x≤﹣1时，反比例函数在第三象限， ∴当x＝﹣2时，函数有最大值ya，当x＝﹣1时，函数有最小值y2a．故选：B． 3．某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1（Ω）（如图1），当人站上踏板时，电阻R1随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数U0换算为人的质量m（kg）．已知U0连R1的变化而变化（如图2），R1与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（　　） A．在一定范围内，U0越小， R1越大 B．当U0＝4V时，R1的阻值 为30Ω C．当踏板上人的质量为95kg时， U0＝3V D．若电压表量程为0﹣6V （0≤U0≤6），为保护电压表， 该电子体重秤可称的最大质量 是110kg 解：∵图2中U0随R1的增大而减小， ∴在一定范围内，U0越大，R1越小． 故A正确，不符合题意； ∵图2中的图象经过点（30，4）， ∴当U0＝4V时，R1的阻值为30Ω． 故B正确，不符合题意； ∵当m＝95时，R1＝﹣2m+240＝50Ω，U0＝3V时，对应的是50Ω， ∴踏板上人的质量为95kg时，U0＝3V． 故C正确，不符合题意． ∵R1＝﹣2m+240，∴R1随m的增大而减小． ∵R1的最小值为10，∴m的最大值为115． ∴若电压表量程为0﹣6V（0≤U0≤6）为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg． 故D错误，符合题意． 故选：D． 4．若反比例函数在图象在第二、四象限，那么a的取值范围是 ． a 解：∵反比例函数在图象在第二、四象限， ∴1﹣2a＜0， 解得a． 故答案为：a． 1．心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）． （1）分别求出线段AB和曲线CD的函数解析式； （2）开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？为什么？ （3）为贯彻“品质课堂”的教育理念，以立德树人为根本任务，以“减负增效提质”为目标，立足打造“教有品、学有质、评有效”的品质课堂，某节数学课的学习主要可分为三个环节：即“整体感知，明确目标﹣探究思考，归纳新知﹣辨别应用，巩固新知”，其中重点环节“探究思考，归纳新知”这一过程要求至少需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40．请问这样的要求能否实现？如果能，请给出此环节时间安排的具体方案；如果不能，请说明理由． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 解：（1）由图象知，A（0，20），B（10，50），C（30，50）， 设线段AB所在的直线的解析式为：y：＝k1x+20（k1≠0）， 把B（10，50）代入得：10k1+20＝50， 解得：k1＝3， ∴线段AB解析式为：y＝3x+20（0≤x≤10）． 设C、D所在双曲线的解析式为：y（k2≠0）， 把C（30，50）代入得：50， 解得：k2＝1500， ∴曲线CD的解析式为：y（30≤x≤45）； （2）把x＝5代入y＝3x+20，得：y＝35， 把x＝35代入y，得：y， ∵35， ∴第35分钟时学生的注意力更集中； （3）这样的要求能实现．理由如下： 把y＝40代入y＝3x+20得：3x+20＝40，解得：x； 把y＝40代入y，得：40，解得：y2， ∴学习时的注意力指标数不低于40的时间为：， ∵30， ∴这样的要求能实现． 2．【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A与坐标原点O重合，B在x轴的正半轴上，AD＝8，AB＝6，对角线AC，BD相交于点E． 【构建联系】 （1）如图1，若将矩形ABCD向右平移2个单位长度，使得双曲线经过点E，求该双曲线的解析式； 【深入探究】 （2）如图2，若将矩形ABCD向右平移t（t＞0）个单位长度，使过点E的双曲线分别与AD，BC交于 点F，G．连接EG． ①若AF﹣AE＝2，求S△BEG的值； ②若△AEF为等腰三角形，求t的值． 解：（1）由题设条件可知OB＝8， ∴B（8，0），D（2，8），B（8，0）， ∵对角线AC，BD相交于点E， ∴点E为BD的中点， ∴E（5，4）， 把E（5，4）代入，得， 解得k＝20． 故该反比例函数的解析式为：； （2）①由勾股定理可得， ∴BE＝AE＝5， ∵AF﹣AE＝2， ∴AF＝7， 由题设条件可知OA＝t，则F（t，7），E（t+3，4）， ∵反比例函数的图象经过点E、F， ∴7t＝4（t+3），解得t＝4， ∴k＝7t＝28， ∴反比例函数解析式为， 当x＝10时，， ∴， ∴； ②当△AEF为等腰三角形时，分三种情况讨论： 1°当AF＝AE时， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴AF＝AE＝5， ∴F（m，5）， ∵将矩形ABCD向右平移t（t＞0）个单位长度， ∴E（t+3，4）， 将点F，点E的坐标分别代入双曲线得：5t＝4（t+3）， 解得t＝12； 2°当FE＝AE时，此时点F与点D重合， ∴F（t，8）， ∵将矩形ABCD向右平移t（t＞0）个单位长度， ∴E（t+3，4）， 将点F，点E的坐标分别代入双曲线得：8t＝4（t+3），解得t＝3； 3°当FA＝FE时，设F（t，n）， ∵将矩形ABCD向右平移t（t＞0）个单位长度， ∴E（t+3，4），A（t，0）， ∵FA＝FE， ∴（t﹣t）2+（n﹣0）2＝（t+3﹣t）2+（4﹣n）2， 解得：n， ∴F（t，）， 将点F，点E的坐标分别代入双曲线得：，解得， ∵t＞0， ∴与题意不符，故舍去； 综上所述，t的值为3或12． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $