重庆市南开中学校2026届高三第五次质量检测数学试题

重庆市高 2026 届高三第五次质量检测 数学试题 命审单位:重庆南开中学 注意事项: 1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求. 1. 已知集合 ，则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 2. 已知公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 ,且 ,则 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查. 为调查中学生心理压力的情况，提出如下问题，问题 1 :你现在心理压力很大吗？ 问题 2: 你学籍号尾号是偶数吗? 然后要求被调查的中学生抛掷硬币回答, 如果出现正面朝上, 就回答第一个问题; 否则回答第二个问题. 整个调查过程全程保密, 由于回答哪一个问题只有测试者自己知道, 所以应答者一般乐意如实回答问题. 现在对学籍号为 0001 -1000 的 1000 名中学生进行调查, 其中有 260 名学生回答 “是”，则估计心理压力很大的中学生百分比大约为 A. B. C. D. 4. 已知向量 满足: ,则 A. B. C. D. 5. 函数 是定义在 上的偶函数,则 在 的最大值为 A. B. 1 C. D. 6. 已知四个正整数 满足 ,且 的平均数和中位数都为 5,则 可能的取值情况总数是 A. 7 B. 9 C. 10 D. 12 7. 若函数 既存在极大值点,又存在极小值点,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，过 的直线交椭圆 于点 (点 在 轴的上方)，过 作直线 的垂线，垂足为 ， 为等腰直角三角形，且 ， 则椭圆 的离心率为 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分. 9. 已知函数 ,则下列说法正确的是 A. 是函数 的一个周期 B. 是函数 的一条对称轴 C. 函数 在 有三个零点 D. 函数 为偶函数 10. 如图，抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交抛物线 于 两点,交 轴于 点,其中点 在直线 上, 面积为 5,则下列结论正确的是 A. B. C. D. 11. 已知数列 的前 项和为 ,且 ,且存在 , 使 成等差数列,则下列说法正确的是 A. 数列 为等差数列 B. 不是整数 C. 的值可以是 2025 D. 的最小值为 -2499 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12. 小南同学想在新年来临之际用自己的零花钱给自己的爷爷、爸爸妈妈和三个表哥每人分别买一件礼物，小南看中三样礼物:甲礼物(10 元/件)、乙礼物(20 元/件)、丙礼物(30 元/件)，在同学的建议下，小南最终决定采用如下方案选购礼物:①不同辈分的礼物不同；②相同辈分的礼物相同， 则小南要备齐所需礼物所花销费用的最小值为_____. 13. 已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 _____. 14. 如图，正方体 棱长为2， 为 的中点， 为空间中点,且满足 ,则多面体 体积的最大值为_____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 已知曲线 在 处的切线方程为 . (1)求实数 的值； (2)求函数 在区间 上的值域. 16. (15 分) 如图，平行四边形 中， 中点为 ，现以 为折痕把 折起,使点 到达点 的位置. (1)若 中点为 ，证明: 平面 ； (2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值. 17. (15 分) 已知在 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，且 ， ， 为 外接圆劣弧 上一动点. (1)求A； (2)在四边形 中，若 为 的内角平分线，记 的面积分别为 ， ，若 ， 求 的取值范围. 18. (17 分) 已知袋中有 个白球, 个红球, 个黑球,其中 ,这些球除颜色外没有其他差异. 现每次从袋中不放回的随机取一个球, 直到所有小球全部取完. (1)若 ， ， ，求在最后一次取出黑球的条件下，白球最先被全部取出的概率； (2)记白球最先被全部取出的概率为 . (i) 求 (结果用 表示); (ii) 已知 ,证明: . (参考数据: ) 19. (17 分) 在平面直角坐标系 中,已知动点 到点 的距离与到直线 的距离之比为 2, 记动点 的轨迹为 . (1)求轨迹 的标准方程； (2)已知圆 ,圆 的切线 交曲线 于 、 两点. ( i ) 当 时,若 ,且切点在第二象限,求切线 的斜率; (ii) 当 时,已知 是关于 轴对称的两点,是否存在 ,使得 的外接圆过定点; 若过定点,求出定点坐标; 若不存在 ,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $重庆市高2026届高三第五次质量检测 数学试题参考答案与评分细则 题号 1 2 3 4 8 9 10 11 选项 B C A B D C A B ACD AC BC 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分， 1.B【斛析】A=[a,+∞)，B=(-3,1),BCA,故a≤-3. 2.C【解析】题意，a1+d+a1+2d=a1+4d,得a1=d,S6=21d,a3=3d. 3.A【解析】记A=“回答是”，B=“回答第一个问题，心理压大的学牛占比为p,则P(A)=P(B)P(A1B)+ P8Pa1®=3×分+20=026，所以p-ao2 (a+6)·(2a-5b)=0 4.B【解析】 |d=2,6|=1 0得a6=1,s<a.3>=分，<a,0>=号 5D【析]由于无损函致所以a-2,常号到定-：1}x>0准地，成x)在 K同-1lg3,lg3]1最大值为：6g3)=7g,3. 6.C【解析】中位数是5，则a2+a3=10,平均数是5，则a,+a2+a3+a4=20,故a1+44=a2+&3=10, 由于2≤a1≤a2≤a3≤a4≤8，Y(a1,4)-(2,8),则(a2,a3）=(2,8),(3,7),(4,6),(5,5); 当(a1,a4)=(3,7),则(a,a）=(3,7),(4,6),(5,5);当(a1,4)=(4,6),则(2，）=(4,6)，(5,5)； 当(41，a4)=(5,5),则(42,3）=(5,5)；综上，共有10利 7.A【解析】由题意，f'(x)=m(nx-x-)=0有2个正根， 则m>1,于是令t=x-1, 原方程转化为=m-1,1>0有2个止根，对函数 8(xj=Iutx) 求导，g(),所以当0<<0时， n.- g(x)单调递增，当x>e刑，g(x)单调递减，易得函数 g(x)图象，如图， 可得：1<m<1+。此时，方程有两个不等实根，经检验得满足条件，所以1<m<1+ &片【解标】设1,1=，则=11-径，MF1=子，=， 则2a=1,+,1-解积- 6 在△r中，则∠=牙成，1w1乙，M,1-忍。 数学试题参考答案第1页（共6页） 当∠MR=年时，由余弦宠理得：M,P=Mf,P+1RFP-21ME,1·1FR,16石，解得： e 当∠F公-3时.南1M:1<11,不后i以e-号安号 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 头AcD【解析1e)=2sin+,一个周期为2，A正确：月石=2sim2g=-1≠±2，k特： 令1=x+子，y=2sim,4e[容，19]好3个零点，放C正确；由于/】=2，放x)关于 x=对称，从而fx+石)是偶函数，D止确. 10.AC【解析】设A(y11),B(x2,2),y>0,y2<0,设直线AB:x=y+4,联立方程 「x=y+4 得： v=2px y2-2py-8p=0, 防以=-，州=，放w=4-号引=5，=2 解得D=3,=6,=-4,西=3，BF=+号≠5，故A对，B错； 8 选项c网，历-号j日-4到=-<0，心对： 选项D:由于四点A,B,G,D共线，放IBD|·IBA|=|AGI·IGD1→|xB-xpI1x-xI= |x4-xc川xc-x|,显然后一个等式不成立，故D错 11.BC【解析】因为cos nm=(-1)”,故a+1+cos(n+1)π=2(a。+cos nm),an=2”-(-1)”,A错； 选项B:S26=22027-2=4×85-2=4×(9-1)61时-2=4×(9K-1)-2=36K-6,k∈Z, 则_36-6=46-子，故B对： 选项C:取p=2025,g=2026即可； 选项D:由于a2+a。=2a,故2+1-2×(-1)P=29+3-(-1),闪为9≥p+1, 所以2+3-(-1)≥2”+1+2，从而有：-2×(-1)P≥2， 故p+1=9,p为奇数，此时y2-102=(p-50)2-2499≥1-2499=-2498，p=49或51. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.100 【解析】枚举法即可.此题本质是排序不等式 13.√2 【解析】(x-i)2=1,3=i±1，lzl=√2 数学试题参考答案第2页{共6页) 142+22 3 【解析】建立如图坐标系，则P(1+cosx,1+sin,2), 面ABD的法向量不纺取=2AC=(11,1),点P到面 AD的距离为d=AF.n_2+si血&+cos al2+2 ≤ l 3 3, Vp-4np= ·e4好2 3； 当且仅当a=平时收“=” 号5，m2-号所以多面体，=-n+,之+ 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 獬：(1)f'(x）=e-l(ax2+2a戏+b),…1分 所u-优96， …4分 解得：a=1,b=0.… 5分 (2)内为fx)=e-1·x2,所以f'(x）=e-1(2+2x)…6分 (x)>0→x>0或x<-2;∫(x）<0曰-2<x<0…8分 所以f(x)在-1<x<0单调递减，在0<x<2单调递增 9分 所以fm(x）=f代0)=0… 10分 而-1）=2)=4e,所以x)=2)=4e 12分 即f()在区间[-1,2]上的值域为[0,4e].… 13分 16.(15分) 解：(1)如图，取AD中点P,连接PM,PW,山图可知： PN∥DC,AB∥DCG,所以PN∥AB,… 2分 义PN=DC=粉，所以四边形PNB为平行四边形 4分 MP∥BN,又BN4平面A,DM,MP二平而A,DM,所以BV∥平面A1DM 6分 (2)州条件可得：AD=A,D=2,∠AAD=霄，所以△4，AD为等边 三加形，A1A=√2， 又：1M=A,M=1,所以A,MLAM 义M=D.月以DM1.所以MB,D两联直7分 如图，以点M为坐标原点，MD,MB,MA,分别为x,y,z轴甜空间 直角巫标系 8分 数学试题参考答案第3页{共6页) 则M(0,0,0),A1(0,0,1),D(1,0,0),C(1,2,0),B(0,1,0),…9分 所以11C=(1,2,-1）,11D=(1,0,-1),11B=(0,1,-1)…10分 ·AD=0 设平面A1BD的法问向量为=(。0)），所以 得=0 …A月=0得6名=0令6=1，则i=11,…12分 41G.n 设AC与平面A1D所成的角为0，则sin6= 2 14分 |4C·|元 3 所以A,C与平面A,DB所成的尔的正弦佰为 15分 17.(15分) 解：(1)由题意得：4sinG+4cosG-b-c=0,即asin C+ac0sG-b-c=0 …1分 h正弦定理得：sin1·sinC+sinA·cosC-sinB-sinC=0 所以sinA·sinG+sinA·cosG-sin(A+GC)-sinG=0 听以sinA·sinC+sinA·cosC-sinA·cosC-cos Asin C-sinC=0 因为0<C<π，所以sinC>0,化简得：sinA-cosA=1 4分 7sm4-)=1,苏以n4-引= 由1为三角形内角，所以1~平-要或7 …6分 所以A=于 …7分 (2)H题意得：∠(BD=∠(AD,∠DCA=∠DBA,即DA=DG. 8分 所以S,=)B·C=8sB·08Bm …9分 令BG的巾点为O,由条件可知：BG为△AB(的直径，O为△AB(:外接圆圆心 在△0CD中，由余弦定理得：CD2=0D2+0C-20D·0CCws乃=8-8osB.10分 所以S,=号，D1·0sin(T-6)=4(1-0o8B)3inB 12分 听以山S,>2S2可得：8sinB·cosB>8(1-cosB)sinB 13分 化简得：sB>分，由0<B<… 14分 所以：0<B<牙 15分 18.(17分) 解：记白球最先被全部取出的事件为A,最后取山红球的事件为B,最后取山黑球的事件为C, 2.2 532 (1)P(A1G)= 二3 3分 5 (2)(i)显然事件B与事件G互斥，则A=BA+CA, ■■■■■■ 4分 P(BA)=P(B)P(AIB)=- 6分 1+m2+31+3 数学试题参考答案第4页{共6页) P(CA)=P(C)P(AIC)=- 2 ◆4s,,4。,,◆，。◆小◆a··◆◆小小t444444ta*t 8分 1+m2+m31+2 77 m3 所以P(A)=P(BA)+P(CA)= m1+2+m3m1+3m1+2+m3m1+2 2m3(2m1+m2+3） 整理得：P(4)=(m+m+m)(m+m)(m+m,） …9分 1 11.1 (i)出（①得：P(4)=2张+1）+2所以P(4)=2（+10+2)2+1k+2 …10分 所以：p0.10.0e)-2}1++2} 1 裂项求和得：宫P(10,10,10)-"+ 2n+2 12分 下t,++2>g如+6即证经+3多>《n +n+25>8 为达冷=后和-营2+0 81 kf受+示 -4x3-9x2+20x+28 8x(x+2)2 由-4x3-9x2+20x+28=(x-2)(-4x2-17x-14)… 14分 因为x>0,所以当0<x<2,f'(x）>0,x>2,f"(x)<0 <0 16分 f以：2P(10,10,10>gnnt0成7oam 17分 方法二：先证圳结论：lnx≤对任意x>0H成立 令)=h-兰则w(x)=-。= 所以0<x<e时，'(x)>0,h(x)单调递增；x>e时，h'(x)<0,h(x)单调递减 所以点n()=e)=0,所以结论战立即≤ 14分 当n=1时，※左边+片-}-右边为0，成立 当0=2时，※左边1+}-品右边为2，显然东边>右边，成立 当《=3时，意左边号与号品11，右边为h3显给左这>右边皮立 …15分 下t号2号-0发也4咬立 当4t号+2-片-》 7n-3+1>4-73 n+258e +m+2>22e3>0.1成立 所以：2P(10,10,10)>爱hn+10成立 17分 数学试题参考答案第5页{共6页) 19.(17分) 解：(1)设P(x,,由条件可得：《-2)+ 2 2分 所以：V《-2)+)=2x-2平力整弹得2- 1 …4分 (2)(1)当r=1时，圆0为：x2+y2=1,设切线为：y=kx+1,k>0,B(x1,y1),G(2,2) r=1= ,化简的=1+，…5分 1+2 [y=kx +t 联立 /-5=得：3-）x-2x--3=0,.A=4?+4(3-k)(2+3)=48.& 2kt 3-22,6·为 -2-3 .X1+x2= ■ ■■■■ Γ3-2 …6分 六1BC1=3=V1+F1x,-=1+43 …7分 13-k219 化简得：3-34限+11=0，最=-或k=V9分 3 (ⅱ)当切线斜举行在时，设切线为：y=x+t,∴.r= ，化简的t2=产之(1+2)* √/1+k .△=422+4(3-2)(2+3)=36+12(2-2)，k2≠3， 2kt 1+2= 32·1·2=333 c巾点如4，城4线为--39动， ht。3t kt 1BC1=V1+1x,-,1=√+R.2V9+3(-) 13-2 11分 因为B、D关于y轴对称：则△BCD的外接圆圆心在y轴，设圆心为(0，m),半径为ro, 则外接圆方程为：x2+(y-m)2=子 若将切点上下对称，则山对称性，若外接圆过定点，则定点在x轴上， c巾重线交相时0e,11-g 12分 13-21 6=H+8C-(1+2)(9+42-36) 4 (3-2)2 13分 国方为=过土“g*- (3-2)2 2,令y=0, 有-1+)[9+3]-16_(4-3欢-3》-3代人*式化简得2-43)因+1) (3-2)2 (3-2)2 1k2-3引 若要与斜幸无关，则4-3-0，即r-子，此时定点为原点00,0)… 15分 若斜率不存在，此时切线与双曲线尤交，点，故含去…16分 所以定点为原点O(0,0)… 17分 数学试题参考答案第6页{共6页)