精品解析：　陕西省西安市未央区西安市西航一中2025-2026学年上学期第二次质量检测九年级数学试卷

西安市西航一中2025-2026学年第一学期第二次质量检测 九年级 数学试题 2025年12月 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在菱形中，，，则（ ）． A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 4. 如图，在中，为边的中点，连接，交对角线于点，已知，则的值为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 5. 若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的函数是二次函数，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 或2 D. 7. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，，过点作轴，垂足为点，连接，若，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 8. 下表列出了二次函数（a，b，c为常数）的自变量x与y的几组对应值：则下列说法正确的是（ ） x … 0 1 3 … y … 8 … A. 二次函数开口向下 B. 若点，都在抛物线上，则 C. 当时，y的值随x值的增大而增大 D. 二次函数有最小值，最小值是 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共15分． 9. 已知点，都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则，大小关系为______ 10. 将抛物线向上平移个单位长度后，所得新抛物线的最小值为1，则的值为_____． 11. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形的边的中点，且点、分别在轴、轴的正半轴上，则矩形的面积为_____． 12. 某五金企业生产一种精密工件，以下是质检员对生产出的工件的检测情况．则该工厂每生产一个工件，合格的概率约为 _________．（结果精确到0.01） 抽查的工件数n/个 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的工件m/个 95 194 289 479 769 950 2880 合格工件的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960 13. 如图，在中，于点D，E是的中点，，则的值为___________． 三、解答题：本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算 （1）； （2）． 15. 已知反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大． （1）求k的取值范围； （2）若点在该函数的图象上，求k的值． 16. 如图，抛物线经过点． （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，的取值范围是___________． 17. 如图，在中，D是上的一点．请用无刻度直尺和圆规在边上作出点E，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．以原点为位似中心，在第一象限内画出，使与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标． 19. 某商店购进一批单价为元的商品，如果按每件元出，那么每天可销售件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高元，其销售量相应减少件．将销售价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 20. 钢丝退火是指将钢丝加热到一定温度，保温一段时间后缓慢冷却的过程，主要目的是软化钢丝材料，以便切削加工．如图是某钢丝退火过程中钢丝的温度与退火时间之间的函数关系图，整个过程分为加热，保温，冷却三个部分． （1）已知冷却过程中y与x成反比例函数关系，求出此过程中y与x的函数关系式； （2）当冷却开始时，工人便可对钢丝材料进行加工，已知钢丝温度在及以上时，加工效果最好，请问工人师傅要想效果最好，应该在多长时间内完成加工操作？ 21. 如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，若，求的长． 22. 某中学一年一度的校园新年音乐会即将开始，九年级三班的小颖与小亮都想去观看，但学校给每个班只发一张门票，于是两人想通过摸卡片的方式来决定谁去观看．规则如下：现有两组卡片，第一组卡片上写有，，，第二组卡片上写有，，，，这两组卡片上除字母外其余均相同．将卡片正面朝下洗匀，随机抽取一张，记下字母后放回，称为摸卡片一次． （1）若小颖从第二组随机抽取一张卡片，则抽取到的概率为_____________； （2）小亮从第一组中摸卡片一次，小颖从第二组中摸卡片一次，若两人摸出的卡片上所写字母相同，则小颖去观看，如果两人摸出的卡片上所写字母不相同，则小亮去观看．请用列表或画树状图的方法，判断这个规则对两个人公平吗？ 23. 如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 24. 时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，交轴于点，交轴于点． （1）求一次函数与反比例函数的函数关系式． （2）连结，求的面积． （3）根据图象直接写出时，的取值范围． 26. 如图．在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，在x轴上，是矩形的对角线．将绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，与相交于点F，过点F的反比例函数，交于点G． （1）填空： ________， ______． （2）连接，求证：． （3）平面直角坐标系中是否存在一点M，使得O，F，G，M四点连接构成平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市西航一中2025-2026学年第一学期第二次质量检测 九年级 数学试题 2025年12月 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从上面看，一个正方形里面有一个圆且是实线． 故选C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 2. 在菱形中，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 3. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 4. 如图，在中，为边的中点，连接，交对角线于点，已知，则的值为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据平行四边形的性质得，，再证明，结合线段的中点得出，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 则 ∵为边的中点， ∴， ∴， 则， 故选：B 5. 若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中的特点是解答此题的关键．先根据点在反比例函数 的图象上求出k的值，再根据的特点对各选项进行逐一判断． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， A、， 此点不在反比例函数图象上； B、， 此点不在反比例函数图象上； C、， 此点不在反比例函数图象上； D、， 此点在反比例函数图象上． 故选：D． 6. 若关于的函数是二次函数，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 或2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， 且， 解得：， 故选：B． 7. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，，过点作轴，垂足为点，连接，若，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数图象与性质是解题的关键，设点，可得到，，再根据，从而可求得的值，即得到的值． 【详解】解：设点，由题可得： ∴， ∵点，在正比例函数的图象上， ∴点，关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8. 下表列出了二次函数（a，b，c为常数）的自变量x与y的几组对应值：则下列说法正确的是（ ） x … 0 1 3 … y … 8 … A. 二次函数开口向下 B. 若点，都在抛物线上，则 C. 当时，y的值随x值的增大而增大 D. 二次函数有最小值，最小值是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据表格数据，利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质判断各选项． 【详解】解：∵点、、在抛物线上， ∴代入得：， 由得， 由得， 解得，，， ∴. A项：∵， ∴二次函数开口向上，故A错误； B项：当时，， 当时，， ∴，故B正确； C项：对称轴， ∵， ∴当时y随x的增大而增大，但时包括时y减小，故C错误； D项：最小值在时，，故D错误， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共15分． 9. 已知点，都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则，大小关系为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．由题意可知，，那么图象在一，三象限，在每个象限内，随的增大而减小，从而得到答案． 【详解】解： 图象在一，三象限，在每个象限内，随的增大而减小 故答案为：． 10. 将抛物线向上平移个单位长度后，所得新抛物线的最小值为1，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移以及二次函数的性质，设经过平移后新抛物线的解析式为，配方为顶点式，得出最小值为，结合题意，即可求解． 【详解】解：设经过平移后新抛物线的解析式为， ∵ 抛物线开口向上，最小值为 ∵新抛物线的最小值为1， ∴ 解得： 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形的边的中点，且点、分别在轴、轴的正半轴上，则矩形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是解答本题的关键． 根据反比例函数值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 点在反比例函数的图象上， ， 点是的中点， ， 故答案为：． 12. 某五金企业生产一种精密工件，以下是质检员对生产出的工件的检测情况．则该工厂每生产一个工件，合格的概率约为 _________．（结果精确到0.01） 抽查的工件数n/个 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的工件m/个 95 194 289 479 769 950 2880 合格工件的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960 【答案】0.96 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可． 【详解】解：观察上表，可以发现，合格工件的频率稳定在0.960附近，合格的概率约为0.96． 故答案为：0.96． 13. 如图，在中，于点D，E是的中点，，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂直定义可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理进行计算可求出的长，从而求出的长，最后在中，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，再利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：连接， ， ， 在中，， 设，则， ， ， ， 解得：， ， ， ， 在中，， 是的中点， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值及二次根式的化简等知识点． （1）先把特殊角的三角函数值代入，化简绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）先计算乘方，化简二次根式和特殊角的三角函数值，再合并同类项二次根式，即可得到结果． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 15. 已知反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大． （1）求k的取值范围； （2）若点在该函数的图象上，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象与性质． （1）根据题意可判断反比例函数在第二、四象限，此时，进而求得k的取值范围； （2）将点代入反比例函数解析式即可求得k的值． 【小问1详解】 解：由题意知，反比例函数在二、四象限， ∴， 解得， 即k的取值范围是． 【小问2详解】 解：∵点在该函数图象上， ∴代入反比例函数得：， 解得， 即k的值为． 16. 如图，抛物线经过点． （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，的取值范围是___________． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围是解题的关键． （1）把代入，可求，则，进而可求顶点坐标； （2）由，可知抛物线开口向下，有最大值，当时，，当时，，进而可求y的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∵当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 17. 如图，在中，D是上的一点．请用无刻度直尺和圆规在边上作出点E，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，点即为所求： 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，相似三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．在的右侧作，交于点，点即为所求． 【详解】在的右侧作，交于点， 理由：∵， ∴． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．以原点为位似中心，在第一象限内画出，使与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标． 【答案】 如图所示，即为所求： 由图可得，，． 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质以及作位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，延长至原来的2倍，找到点，顺次连接得到，根据坐标系即可得出点、的坐标． 【详解】略 19. 某商店购进一批单价为元的商品，如果按每件元出，那么每天可销售件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高元，其销售量相应减少件．将销售价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】将销售定价定为14元时每天所获销售利润最大，且最大利润是360元． 【解析】 【分析】设销售单价定为元（），每天所获利润为元，根据总利润=单利润×总数量，即可得到函数关系式，再配方即可求得结果． 【详解】解：设销售单价定为元（），每天所获利润为元． 则 ， 所以将销售定价定为14元时每天所获销售利润最大，且最大利润是360元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，找到量与量之间的等量关系，正确列出函数关系式，同时熟练掌握二次函数的最大值的求法． 20. 钢丝退火是指将钢丝加热到一定温度，保温一段时间后缓慢冷却的过程，主要目的是软化钢丝材料，以便切削加工．如图是某钢丝退火过程中钢丝的温度与退火时间之间的函数关系图，整个过程分为加热，保温，冷却三个部分． （1）已知冷却过程中y与x成反比例函数关系，求出此过程中y与x的函数关系式； （2）当冷却开始时，工人便可对钢丝材料进行加工，已知钢丝温度在及以上时，加工效果最好，请问工人师傅要想效果最好，应该在多长时间内完成加工操作？ 【答案】（1） （2）3分钟 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）设此过程中y与x的函数关系式为y，将点代入，解方程即可得到结论； （2）将代入，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：设此过程中y与x的函数关系式为y， 将点代入， 解得， ∴此过程中y与x函数关系式为； 【小问2详解】 解：将代入， 解得， ∴， 答：工人师傅要想效果最好，应该在3分钟的时间内完成操作． 21. 如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正切的定义，掌握相关知识是解题的关键．根据题意得出，进而得出的正切值，再结合的长即可求出的长，进一步得出的长度，进而得出的长，最后在中，求出的长即可解决问题． 【详解】解：由题知， ，， ， ， ． 又， ， ． 垂直平分， ，． ∵在中，， ， ， ， ． 22. 某中学一年一度的校园新年音乐会即将开始，九年级三班的小颖与小亮都想去观看，但学校给每个班只发一张门票，于是两人想通过摸卡片的方式来决定谁去观看．规则如下：现有两组卡片，第一组卡片上写有，，，第二组卡片上写有，，，，这两组卡片上除字母外其余均相同．将卡片正面朝下洗匀，随机抽取一张，记下字母后放回，称为摸卡片一次． （1）若小颖从第二组随机抽取一张卡片，则抽取到的概率为_____________； （2）小亮从第一组中摸卡片一次，小颖从第二组中摸卡片一次，若两人摸出的卡片上所写字母相同，则小颖去观看，如果两人摸出的卡片上所写字母不相同，则小亮去观看．请用列表或画树状图的方法，判断这个规则对两个人公平吗？ 【答案】（1） （2）不公平 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式求概率，树状图或列表法求解概率，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）列表得到所有的等可能性的情况数，以及字母相同和字母不同的情况数，分别求出两人的概率，再比较即可求解． 【小问1详解】 解：小颖从第二组随机抽取一张卡片，有，，，，种等可能的情况，其中抽取到的情况有种， 抽取到的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：这个规则对两个人不公平，理由如下： 列表如下： 小颖 小亮 共有种等可能的情况，其中字母相同的情况有种，字母不相同的情况有种， （小颖去看），（小亮去看）， ， 这个规则对两个人不公平． 23. 如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积公式得，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 即的长为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识．掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 24. 时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 【答案】420米 【解析】 【分析】过D点分别作DEBC，DFAB，垂足分别是点E，点F．由三角函数可求，．可证四边形 BEDF 是矩形，可求AF＝140,在Rt△ADF中，利用三角函数可求DF＝AF·tan65°≈299.60.,可求BC＝BE＋CE≈420（米）． 【详解】解∶过D点分别作DEBC，DFAB，垂足分别是点E，点F． 由题意得，＝37°． 在R△CDE中 ∵， ，． ， ． ∴四边形 BEDF 是矩形， ∴BE＝DF，BF＝DE＝160， ∴AF＝AB－BF＝300－160＝140. 在Rt△ADF中，， ∴DF＝AF·tan65°≈140×2.14＝299.60. ∴BC＝BE＋CE＝299.60＋120≈420（米）． 所以，革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为 420米． 【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形判定与性质，掌握锐角三角函数的定义与矩形判定和性质是解题关键． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，交轴于点，交轴于点． （1）求一次函数与反比例函数的函数关系式． （2）连结，求的面积． （3）根据图象直接写出时，的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把的坐标代入反比例函数的解析式求出，把的坐标代入反比例函数解析式求出，把、的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解即可； （2）求出一次函数与轴的交点坐标，的值，根据三角形的面积公式求出即可； （3）结合图象和、的坐标即可求出答案． 【小问1详解】 解：把代入代入，得：， ， 把代入得：， ， 把、的坐标代入得： ， 解得：，， ， 反比例函数的表达式是，一次函数的表达式是； 【小问2详解】 把代入得：， ，， ， 即的面积是； 【小问3详解】 根据图象和、的坐标得出， 当或时，的值大于反比例函数的值． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 26. 如图．在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，在x轴上，是矩形的对角线．将绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，与相交于点F，过点F的反比例函数，交于点G． （1）填空： ________， ______． （2）连接，求证：． （3）平面直角坐标系中是否存在一点M，使得O，F，G，M四点连接构成平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）∽，8 （2） 证明：∵点G在上， ∴点G的横坐标为8， 对于，当时， ∴点G的坐标为， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴； （3）存在，点M的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质以及旋转性质来证明，可得，可求点F坐标； （2）分别求出，，，的长，由相似三角形的判定定理可得结论； （3）根据平行四边形的性质列方程组即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形，点B的坐标为 ∴，， ∵是旋转得到的， 即：， ∴， ∴， 则 即 ∴ 则点F的坐标为， ∵的图象经过点F， ∴， 所以， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在， 设， 由（1）（2）知：点F的坐标为，点G的坐标为， ∵点O，F，G，M四点连接构成平行四边形， ∴对角线互相平分， 当以，为对角线时， 则， 解得， 当以，为对角线时， 则， 解得， 当以，为对角线时， 则， 解得， ∴点M的坐标为或或． 【点睛】本题是反比例函数综合运用，掌握三角形相似、等腰三角形的性质、平行四边形的性质等知识是解题的关键．综合性较强，难度较大，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $