专题08 数列的综合应用（题型专练）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题08数列的综合应用 目录 第一部分题型破译微观解剂，精细教学 ☑典例引领 召方法透视 召变式演练 【选填题破译】 题型01根据an与Sn关系求通项 题型02累加、累乘求通项 题型03观察法求通项 题型04递推式求周期性数列 题型05研究数列性质 题型06数列新定义 题型07倒序相加法求和 【解答题破译】 题型01数列分组求和 题型02数列裂项求和 题型03数列错位相减求和 第二部分综合巩固整合应用，模拟实战 01 题型破译 选填题破泽二： 题型01根据a与Sn关系求通项 典例引领 【例1-1】(2025北京丰台二模)己知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=0,an1+2S,=n,则a=() A.-1 B.0 C.1 D.2 【例1-2】(25-26高二上北京·月考)己知数列{an}的前n项和为S,=n2+n+5,则a=一，a= 方法透视 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由题目给出an与Sn(或者直接给出多项数列相加)关系式求通项公式，可以考虑退位相减，构造S1 然后根据SnS1=an化简。 1、消Sn得到an的关系式 2、 消an得到Sn的关系式 3、 根据题目给出的项求和公式或者求积公式，构造n十1项后做差或作商，求通项。 注意：构造S1后，n≥2，所以求出通项公式后，记得验证首项是否满足通项公式。 变式演练 【变式1-1】(25-26高二上·北京朝阳月考)数列{an}的前n项和为Sn,点(n,S)在函数f(x)=2-1的图 象上，则a=() A.4 B.8 C.16 D.32 【变式1-2】(25-26高三上北京月考)对于数列{a},令Tn=a,-a,+a,-a,+…+(-1)an,给出下列四 个结论： ①若an=n,则To25=1013; ②若T,=n,则a225=-1; ③若对任意的n∈N,都有T<M,则有a1-a,<2M; ④存在各项均为整数的数列{an},使得Tn>T+对任意的neN都成立. 其中所有正确结论的序号是 题型02累加、累乘求通项 典例引领 【例2-1】(25-26高二上·北京海淀·月考)设数列{an}满足a,=1,且a1-an=n+1,则数列 的前8 a 项的和为」 【例2-2】(2024北京西城一模)在数列{an}中，a,=2,a2=-3.数列b,}满足bn=a1-an（neN).若 {b}是公差为1的等差数列，则{b}的通项公式为bn=一，an的最小值为 方法透视 1小、aH1=an+f(a)型（f(m是关于n的函数)： an-an1=f(n-1) a2a1=f1) ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 注意： ①若f(口是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若f(a)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若f(口)是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若f(口)是关于的分式函数，累加后可裂项求和。 验证首项是否满足通项公式。 2、=fn)型(f(n)是关于n的函数)： 是=f(n-1 图a2sa时a2p:a≥2 景=f1) 注意： f()的连乘一般可以上下抵消，注意隔项相消的时候，要留意保留的项。 验证首项是否满足通项公式。 变式演练 【变式2-1】(25-26高三上北京月考)在数列{an}中，a1=3,a2=-2.数列bn}满足bn=an1-a (n∈N)若{bn}是公差为2的等差数列，则b,}的通项公式为b,=一，a,的最小值为一 【变式2-2】(24-25高二下·北京期中)在数列an}中，已知a=1,na1=(n+1an,则a6=() A.3 B.4 C.5 D.6 题型03观察法求通项 典例引领 【例3-1】(25-26高二上·北京朝阳·月考)南宋数学家杨辉在《详解九章算法商功》一书中记载的三角垛 如图所示，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第15层小球的个数为 () A.100 B.120 C.128 D.240 【例3-2】(2024北京朝阳·二模)北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积 3 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的一般求和公式如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有αb个小球，第二层有 (a+1)(b+)个小球，第三层有(a+2)(b+2)个小球...依此类推，最底层有cd个小球，共有n层，由“隙 积术”可得这些小球的总个数为 [(2b+d)a+(2d+b)c+(c-a]”若由小球堆成的某个长方台形 6 垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为() A. B.2 C.3 D.4 方法透视 己知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列 的一个通项 ①将已知项与常见数列比对； ②利用差分、比值等变换化为熟知的简单数列； ③对可能的通项形式（多项式、指数、分段、交替符号等）进行假设、待定系数、检验。 最终必须用数学归纳法或代入递推关系（如果己知是某递推关系的解）来严格证明猜想正确。 变式演徐 【变式3-1】(24-25高三上·北京房山开学考试)古希腊毕达开拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数 他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类如图，第一行图形中黑色小点个数：1,3,6,10， 称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1,4,9,16，.称为正方形数，记三角形数构成数列{an}, 正方形数构成数列{b},给出下列四个结论： 记过 6 ①数列{an}的一个通项公式是a,= n(n+1) 2 ②2025既是三角形数，又是正方形数： 4 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1,1,1 ,15 ③ b3: ④m∈N,m≥2，总存在p,q∈N.使得bn=an+a。成立. 其中所有证确结论的序号是 字行方)引，的一个通项公式是a,=《) 【变式3-2】(24-25高二上期末)数列}，3，三，7,9 A. 21-3 2n-1 B. C. 2n+1 D. 2n+3 2n-1 2n+1 2n+3 2n+5 题型04递推式求周期性数列 典例引领 【例41】(25-26高三上·北京月考)在数列{an}中，a=4,a5=-3,且任意连续三项的和均为7，则 a2o26=一；记数列an}的前n项和为Sn,则使得Sn≤100成立的最大整数n= an-1,a >1 【例42】(2425商二下北京海淀期中)已知数列a,满足a=V5,a1-仁，0<4，.<1aeN小，则 a 42025= 方法透视 同函数的周期性一致，数列也具有周期性。以下举出几个常见周期数列的特征。 1、 型(C≠0)分式递推式，可能为周期数列，可计算出几项来证实一下周期性。 an+1-Can+D 2、 am1+an=k或a叶2十aH1十an=k或aH2aH1十an=k是常数(k是常数) 3、 aH1an=k或a2a1”an=k或码=k 4、分段式数列 注意： 以上几种数列，当觉得可能为周期数列时，可计算出几项来验证一下周期性。 变式演徐 【变式41】(2425高二下北京顺义期中)在数列a,}中，4=2，a.+1-1(m≥2，nN),则 an- a2025=() 1 A.-1 B.1 C. D.- 2 【变式4-2】(24-25高二上·北京期末)在数列{an}中，a1=2,an 1=1（n≥2，n∈N),则a259 'a () ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.-1 B.1 C. D.2 题型05研究数列性质 典例引领 【例51】(2025北京模拟预测)记Sn为数列{an}的前n项和，T为数列{Sn}的前n项和， 己知a=,SH= (n∈N),其中2>0为菜个常数，给出下列四个结论 n ①存在1使得{Sn}是非常数列的等比数列；②存在1使得{a}是非常数列的等差数列； ③存在1使得{Sn}是递减数列；④存在1使得{an}是递减数列 其中所有正确结论的序号是 【例52】(25-26高二上：北京东城月考)已知数列{an}满足a1=1,a+1=弱an十c,则下列说法正确 的是( ①当c>1时，an≤1： ②当c=1时，数列{an}是常数列； ③当星<c<1时，an>1-V1-c ④当<c<1时，数列{an}单调递减： A.①② B.②③④ C.②④ D.①③④ 方法透视 根据递推式讨论数列的函数性质，与函数、不等式综合起来考察。 1、如果能求出通项先求通项，如果不能则看能不能通过递推式来找出数列的函数性质，如单调性、奇偶 性、周期性等。 2、归纳法也是常用的方法之一，如证明不等式问题。 变式演徐 【变式51】(25-26高二上北京海淀·月考)首项为正数的数列{an}满足a1=a+3,给出下列四个结 论： ①存在2和a,使得{an}是等比数列： ②若元=}且，是奇数，则a,为奇数： 4 ③若入=且a>3,则存在n使得a,≤3： ④若入e0,} 且1<a<3,则{an}是递减数列 4 6 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所有正确结论的序号是() A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【变式5-2】(2025·北京平谷一模)已知各项均不为零的数列{an},其前n项和是Sn,a,=a,且 Sn=anan+1n=1,2,….给出如下结论： ①a2=1; ②若{an}为递增数列，则a的取值范围是(0,1)； ③存在实数a,使得{an}为等比数列： ④3m∈N,使得当k>m时，总有aL<2o1 a2k-1 其中所有正确结论的序号是 题型06数列新定义 典例引领 【例6-1】(25-26高二上北京·期末)若无穷数列{an}满足：a=1,当n≥2时， |a。-a-上max{a,a2,…,a-},则称{an}是“X-数列”，则下列正确的有 ①若{an}是“X-数列”则a4=8为假命题 ②若{an}是“X-数列且是等差数列，则{an}单调递增 ③若{an}是“X-数列且单调递减，则{an}是等比数列 ④若{an}是“X-数列”且是周期数列，则集合{1≤i≤100a,=1}的元素个数最多是50 S 【例6-2】(25-26高二上北京月考)己知数列{an}是无穷数列，Sn是数列{an}的前n项和若 是递减 n 数列，则称数列a}具有“和性质”，则下列说法正确的有 ①.若an=-3n+4,则数列{an}具有“和性质 ②.若数列{a,}具有“和性质”，则3m,eN, Sasdro no ③.若数列{an}满足an+6n-4)=n2,则数列an}具有“和性质 ④.若数列{an},{b}具有“和性质”，且an>0,bn>0,则数列ab}具有“和性质” 方法透视 数列新定义是难点问题，给出新概念的名称例如“和谐数列”、“闪亮数列”、“等方差数列”、“凹数列”、“线 性递归数列”（超出课内特征根法的)、“折数列等。 1、判断某个给定数列是否属于新定义的数列类： 7 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2、求参数的值或范围，使得数列满足新定义： 3、 证明该新定义下的数列具有某些（常规）性质； 4、在新定义限制下，求数列的通项或前n项和。 变式演徐 【变式6-1】(25-26高三上北京·月考)对于数列{a},若存在M>0,使得对任意n∈N*,有 a2-a1+a:-a+…+a1-a<M,则称{an}为“有界变差数列”给出以下四个结论： ①若等差数列{an}为“有界变差数列”，则{an}的公差d等于0； ②若各项均为正数的等比数列{an}为有界变差数列”，则其公比9的取值范围是(0，)； ③若数列，是有界变差数列，{满足y子，则5是有界变差数列： ④若数列{xn}是“有界变差数列”，则存在n∈N”,使得对于任意n∈N,都xn≤x; 其中所有正确结论的序号是一 【变式6-2】(25-26高三上·北京顺义·月考)数列{an}为无穷非负整数数列，若对任意k∈N,均存在 ,2,…,in∈N，且i<i<…<im,使a,+a,+…a=k,则称数列{an}为“完备数列”给出下列四个结论： ①若正项等差数列{an}为“完备数列”，则首项一定为1； ②若正项等比数列{an}为“完备数列”，则公比一定为2； ③若{an}满足a+2=a1-an,则对任意a,a2∈N，数列an}均为“完备数列”； ④若{an}满足an+2=an1+ann∈N),a1=a2=1,则数列an}为“完备数列”； 其中正确结论的序号是」 题型07倒序相加法求和 典例引领 【例7-1】(2026高三北京专题练习)在等比数列{an}中，a,+a,=2+4V2,a2+a,=16+4V2,若不等式 l0g2a1-l0ga2+l0g24;-l0g2a4+…+(-1)log2an>19成立，则n的最小值为（) A.25 B.26 C.27 D.28 【例7-2】(25-26高二·全国假期作业)己知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a2,a025是方程 x2-3x+2=0的两个根，则10g241+l0g2a2+l0g243+…+l0g2a2o26的值为（) A.2026 3 B.1013 C.2023 D.1022 方法透视 等差数列的求和方法即倒序相加法。若数列整个顺序颠倒后，同原数列放一起，每个相同序号的两项的和 8 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 相等，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解. 变式演练 【变式7-1】(24-25高二下·北京丰台期中)高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子” 之称在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：1+100=101,2+99=101，.， 50+51=101,共有50组，所以1+2+3+…+100=50×101=5050，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差 数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列{an}的各项均为正数，且公比不等于1，aa2o24=1 ,试根据提示探究：若f)+文，剥a,+a++e 【变式7-2】(24-25高二下北京西城月考)数学家高斯在年幼时，对1+2+3++100的求和运算中，提 出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为 高斯第法现有函数f)=,4 1）. 4x2四2025+12 3 2025+f202 ++f八2025 2024 =() A.2025 B.2024 C.1013 D.1012 解答题破译 题型01数列分组求和 典例引领 【例1-1】(25-26高三上·北京顺义·开学考试)已知Sn是等差数列an}的前n项和，S,=a=9,数列{bn} 是公比大于1的等比数列，且b=b,b,-b=12 (I)求数列{an}和{b,}的通项公式： (2)设cn=an+bn,求{cn}的前n项和Tn 【例1-2】(25-26高三上·北京·月考)己知等差数列an}满足2am+1-an=n+2 (1)求数列{an}的通项公式： (2)若数列an+bn}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{bn}的前n项和. 方法透视 若数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后 相加减.常见的分组求和有： 1、根据数列性质不同来分组，如等差、等比数列分开求和。 2、根据数列的奇偶性来分组，奇数列求和与偶数列求和，此时要关注数列的项数是奇数还是偶数 3、绝对值数列求和，根据原数列正负项分开求和，把原来正项的所有项求和、负项的所有求和 4、相邻项并项后求和，数列相邻的两项或者多项可以先合并，合并化简完后，整个数列成容易求和的数列， 如等差数列或者能相消。 9 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式演徐 【变式1-1】(25-26高三上北京月考)记Sn为等差数列{a}的前n项和，已知a,=-7,S,=-9. (I)求{an}的通项公式： (2)当n为何值时，Sn取最小值并求出最小值 (3)记Tn为数列{2”+an}的前n项和，求Tn 【变式1-2】(25-26高三上·北京·月考)已知等比数列an}满足a,+a2=3,a,+a=24 (I)求{an}的通项公式： (2)设bn=an+2n,求数列{bn}的前n项和Sn 题型02数列裂项求和 典例引领 【例2-1】(25-26高三上·北京月考)己知正项数列{an}的前n项和为Sn,且4Sn=a+2an+1; (1)求a1,a2和a3的值； (2)求证数列{an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式： 3)若6，=1 -,求数列{bn}的前n项和Tn 【例2-2】(25-26高二上·北京朝阳月考)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1,且a。是42与a1s 的等比中项 (I)求数列{an}的通项公式： (2)设Sn为数列{an}的前n项和，Tn为数 的前n项和，求证：Tn<2 方法透视 对通项进行裂项变换，使得裂项后产生可以连续相互抵消的项，抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项， 也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同.下面给出一些常见的裂项模型。 模型1：等差型 (1)1 南=方 3》高=点) 4) it啊=凯aa*] 对等差型的分式，例高，先对分母进行因式分解2-12如十小把自标分解成京应·再合并比较 “2r1-2+1 看看想化成1需乘系数上。 41 模型2：根式型 (1)1工=a+1-Va n+1+vn ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 专题08 数列的综合应用 目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 根据与关系求通项 题型02 累加、累乘求通项 题型03 观察法求通项 题型04 递推式求周期性数列 题型05 研究数列性质 题型06 数列新定义 题型07 倒序相加法求和 【解答题破译】 题型01 数列分组求和 题型02 数列裂项求和 题型03 数列错位相减求和 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 根据与关系求通项 【例1-1】（2025·北京丰台·二模）已知数列的前项和为，且满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题设与的递推关系式推导出，再根据求出，逐项求出即可. 【详解】由题意，，则当时，有， 两式相减可得，即. 当时，，因为，所以， 所以. 故选：B. 【例1-2】（25-26高二上·北京·月考）已知数列的前项和为，则 ， . 【答案】 7 10 【分析】应用及计算求解. 【详解】数列的前项和为， 令，则， . 故答案为：7；10. 由题目给出与（或者直接给出多项数列相加）关系式求通项公式，可以考虑退位相减，构造 然后根据化简。 1、 消得到的关系式 2、 消得到的关系式 3、 根据题目给出的项求和公式或者求积公式，构造项后做差或作商，求通项。 注意：构造后，，所以求出通项公式后，记得验证首项是否满足通项公式。 【变式1-1】（25-26高二上·北京朝阳·月考）数列的前项和为，点在函数的图象上，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】根据题意得，由求出，代入即可求出答案. 【详解】因为点在函数的图象上，所以， 当时，， 所以. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高三上·北京·月考）对于数列，令，给出下列四个结论： ①若，则； ②若，则； ③若对任意的，都有，则有； ④存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】利用并项求和法求和判断①；利用前n项和与第n项的关系求解判断②；利用给定的递推关系得出，并表示出即可推理判断③；假定存在导出矛盾判断④. 【详解】对于①，，，①正确； 对于②，，令，则，当时，， 则，，因此，②错误； 对于③，由，得， 当时，，则当时，， 因此 ，. 当时，，所以对任意的，都有成立，正确， 对于④，假设存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立， 则必有，且都是非负整数，令正整数， 于是， 则，，与矛盾，错误； 故答案为：①③ 题型02 累加、累乘求通项 【例2-1】（25-26高二上·北京海淀·月考）设数列满足，且，则数列的前8项的和为 . 【答案】 【分析】由累加法先求出数列的通项公式，进而得到数列的通项公式，再结合裂项公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 【例2-2】（2024·北京西城·一模）在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为 ，的最小值为 . 【答案】 【分析】求出等差数列的首项，直接求出的通项公式即可，利用数列的单调性得最小项为或，利用累加法即可求解. 【详解】由题意，又等差数列的公差为1，所以； 故，所以当时，，当时，， 所以，显然的最小值是或. 又，所以 ，即的最小值是. 故答案为：， 1、型（是关于的函数）： 注意： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 验证首项是否满足通项公式。 2、 型（是关于的函数）： 注意： 的连乘一般可以上下抵消，注意隔项相消的时候，要留意保留的项。 验证首项是否满足通项公式。 【变式2-1】（25-26高三上·北京·月考）在数列中，，．数列满足（）.若是公差为2的等差数列，则的通项公式为 ，的最小值为 ． 【答案】 【分析】先根据等差数列通项公式求出的通项公式，再通过累加法求出的通项公式，进而求出的最小值． 【详解】因为，，， 则， 且是公差为2的等差数列，所以． 又因为， 当时，， 且， 则， 且符合上式，所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：；． 【变式2-2】（24-25高二下·北京·期中）在数列中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导出数列为常数列，即可得出的值. 【详解】在数列中，已知，，则， 故数列为常数列，则，因此，. 故选：D. 题型03 观察法求通项 【例3-1】（25-26高二上·北京朝阳·月考）南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛如图所示，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第15层小球的个数为（    ） A．100 B．120 C．128 D．240 【答案】B 【分析】依据规律找出每一层小球数构成的数列的递推关系，利用累加法求出通项，从而求出第15项即可. 【详解】设第层的小球个数为， 依题意，，且当时，， 当时，， 满足上式，因此， 所以，即第15层有120个小球， 故选：B 【例3-2】（2024·北京朝阳·二模）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】转化题给条件为，再由皆为正整数分类讨论即可求解. 【详解】由题意知，，于是得最底层小球的数量为，即，. 从而有， 整理得， ， ， ，， 由于皆为正整数，所以 （i）当时，， 当时，， （iii）当时，， （iv）当时， 只有符合题意，即的值为2. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查新文化背景下的数列问题，确定是解决本题的关键. 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． ① 将已知项与常见数列比对； ② 利用差分、比值等变换化为熟知的简单数列； ③ 对可能的通项形式（多项式、指数、分段、交替符号等）进行假设、待定系数、检验。 最终必须用数学归纳法或代入递推关系（如果已知是某递推关系的解）来严格证明猜想正确。 【变式3-1】（24-25高三上·北京房山·开学考试）古希腊毕达开拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类.如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，给出下列四个结论： ①数列的一个通项公式是； ②2025既是三角形数，又是正方形数； ③； ④，总存在．使得成立． 其中所有证确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据给定信息,求出数列的通项,再逐一分析各个选项即可. 【详解】对于①，依题意,数列中,, 于是得,满足上式, 故,故①正确； 对于②，数列中,, 于是得,满足上式, ,令，此方程无整数解；令，解得, 所以2025不是三角形数，是正方形数,故②错误； 对于③，当时，, 当时， 则，故③正确; 对于④, , 取 ， 则，故④正确. 故答案为：①③④. 【变式3-2】（24-25高二上·期末）数列，，，，，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据前5项的规律，分析总结，即可得答案. 【详解】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第项的分子为，对应的分母为， 所以 故选：B. 题型04 递推式求周期性数列 【例4-1】（25-26高三上·北京·月考）在数列中，，，且任意连续三项的和均为7，则 ；记数列的前项和为，则使得成立的最大整数 . 【答案】 4 44 【分析】推出是周期为3的周期数列，故；并得到，和时的，得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，故， 所以是周期为3的周期数列， 所以， 其中， 当时，，令，解得，此时的最大整数为40， 当时，，令，解得， 此时的最大整数为42， 当时，，令， 解得，此时的最大整数为44， 综上，使得成立的最大整数. 故答案为：4，44 【例4-2】（24-25高二下·北京海淀·期中）已知数列满足，则 ． 【答案】 【分析】借助题目所给条件可得该数列为周期数列，结合周期数列的性质即可得解. 【详解】，， ，故数列是以为周期的周期数列， 则. 故答案为：. 同函数的周期性一致，数列也具有周期性。以下举出几个常见周期数列的特征。 1、 型 分式递推式，可能为周期数列，可计算出几项来证实一下周期性。 2、 或 3、 4、 分段式数列 注意： 以上几种数列，当觉得可能为周期数列时，可计算出几项来验证一下周期性。 【变式4-1】（24-25高二下·北京顺义·期中）在数列中，，（，），则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】列出数列的前几项，即可得到是以3为周期的周期数列，根据周期性计算即可求解. 【详解】因为，（，）， 所以，，，， 所以是以为周期的周期数列，则. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高二上·北京·期末）在数列中，，（，），则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】列出数列的前几项，即可得到是以为周期的周期数列，根据周期性计算可得. 【详解】因为，（，）， 所以，，，， 所以是以为周期的周期数列，则. 故选：A 题型05 研究数列性质 【例5-1】（2025·北京·模拟预测）记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项和，已知 ， 其中 为某个常数，给出下列四个结论: ① 存在 使得 是非常数列的等比数列； ②存在 使得 是非常数列的等差数列； ③存在 使得 是递减数列； ④ 存在 使得 是递减数列. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】②③④ 【分析】已知，可表达，则由，可得出与的关系，从而判断①和③，由与的关系，假设存在 使得 是非常数列的等差数列，则，验证是否存在，使关系恒成立从而判断②，由递减数列的定义验证判断④. 【详解】由已知，，则， 当时，，则， 整理该式，可得，则， 当时，数列不是等比数列，时，公比为1，不存在 使得 是非常数列的等比数列，①错误； 当时，，此时，只需满足即可，数列递减，存在 使得 是递减数列，③正确； 设存在 使得 是非常数列的等差数列，则，且，则，即， 整理可得（，当时，等式成立，②正确； 因为，则，则， 若时，数列 是递减数列，④正确. 故答案为： ②③④. 【例5-2】（25-26高二上·北京东城·月考）已知数列满足，则下列说法正确的是（　　） ①当时，； ②当时，数列是常数列； ③当时，； ④当时，数列单调递减； A．①② B．②③④ C．②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】对于①，直接说明即可；对于②，直接用数学归纳法即可证明；对于③，用数学归纳法证明，对于④，根据数列单调递减的定义结合③的结论即可证明. 【详解】对于①，当时，，故①错误； 对于②，当时，有，这意味着只要就有，而，从而由数学归纳法即可证明，故②正确； 对于③，当时，下面用数学归纳法证明，当时，由知结论成立；假设当时结论成立，即， 则由可知，所以， 展开即，即， 同时，由可得， 即时，结论成立，所以对于任意正整数，都有，故③正确； 对于④，当时，， 所以是递减数列，故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④. 故选：B 根据递推式讨论数列的函数性质，与函数、不等式综合起来考察。 1、 如果能求出通项先求通项，如果不能则看能不能通过递推式来找出数列的函数性质，如单调性、奇偶性、周期性等。 2、 归纳法也是常用的方法之一，如证明不等式问题。 【变式5-1】（25-26高二上·北京海淀·月考）首项为正数的数列满足，给出下列四个结论： ①存在和，使得是等比数列； ②若且是奇数，则为奇数； ③若且，则存在使得； ④若且，则是递减数列. 所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】代入特殊值，可判断①是否正确；令 ，，可计算为奇数，最终归纳出，可判断②是否正确；时，可得 ，同理归纳出，可判断③是否正确；令，构造函数，根据且，判断函数的单调性，可判断④是否正确. 【详解】对于①：当和时，，此时是等比数列，所以①正确； 对于②：，，， 则，当为奇数时， 为奇数，当为偶数时，为奇数， 所以且是奇数时，为奇数， 同理，也为奇数，所以②正确； 对于③：时，，当时，，所以， 同理，故不存在使得，所以③错误； 对于④：，令，因为， 所以为开口向上的抛物线，方程的两个根为和 ()， 当时，可证得且， 因为，所以，由于的图象是开口向上的抛物线，当时，， 因此，即， 又因为函数在上单调递增，且是其不动点， 故由可推得，即， 通过归纳法可知，对所有，都有， 因此对所有恒成立，是递减数列，所以④正确； 故选：. 【变式5-2】（2025·北京平谷·一模）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且.给出如下结论： ①； ②若为递增数列，则的取值范围是； ③存在实数，使得为等比数列； ④，使得当时，总有. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】根据的递推关系可得，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，进而得，即可结合选项求解. 【详解】由得，相减可得， 由于各项均不为零，所以，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列， 对于①，，故正确； 对于②，由于的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，所以， 若，则需要，则，故正确， 对于③，，若为等比数列，则为常数，则， 此时，故，进而可得数列的项为显然这不是等比数列，故错误， 对于④，若，只要足够大，一定会有 ， 则，只要足够的大， 趋近于0， 而，显然能满足，故，当时，总有，故正确， 故答案为：①②④ 【点睛】方法点睛：本题考查了数列的递推公式，数列单调性及与数列有关的比较大小问题．根据数列前项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析，在处理涉及隔项数列问题，一般要考虑分为奇数和偶数来分类讨论，含参的恒成立或者存在类问题，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理． 题型06 数列新定义 【例6-1】（25-26高二上·北京·期末）若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”，则下列正确的有 ①若是“数列”则为假命题 ②若是“数列”且是等差数列，则单调递增 ③若是“数列”且单调递减，则是等比数列 ④若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是50 【答案】①④ 【分析】根据数列定义，举例计算判断①；结合等差数列，单调性，周期数列计算判断②③④. 【详解】对于①，若是“数列”，当时，， ，若 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 故命题若是“数列”则为假命题，①正确； 对于②，若是“数列”且是等差数列，设公差为， 当时，，即， 当时，，则，，即， 此时，数列不单调递增，②错误； 对于③，若是“数列”且单调递减， 当时，，因为数列单调递减，所以. 当时，，因为数列单调递减，所以. 当时，，因为数列单调递减，所以. 可知数列不是等比数列，③错误； 对于④，若是“数列”且是周期数列，假设周期为， 当时，， 当时，，所以或 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 这样数列值会越来越大（非周期），所以 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 同理按此规律计算可得数列的取值可能是， 所以的元素个数最多是，④正确． 故答案为：①④ 【例6-2】（25-26高二上·北京·月考）已知数列是无穷数列，是数列的前项和.若是递减数列，则称数列具有“和性质”，则下列说法正确的有 ①．若，则数列具有“和性质” ②．若数列具有“和性质”，则， ③．若数列满足，则数列具有“和性质” ④．若数列，具有“和性质”，且，，则数列具有“和性质” 【答案】①③④ 【分析】对于①：根据等差数列求和公式求，结合题意分析判断即可；对于②：根据题意分析可知，即可得判断；对于③：构造，分析其单调性和最值，进而分析判断；对于④：根据题意利用整理可得，结合选项②的结论分析判断. 【详解】对于选项①：若，则， 可知数列为等差数列，则， 可得，则是递减数列， 所以数列具有“和性质”，故①正确； 对于选项②：若数列具有“和性质”， 则是递减数列，可得， 等价于，可得，即， 所以对，，故②错误； 对于选项③：令， 则， 因为，即， 可得， 当且仅当或3时，， 可得， 则，且，， 即，所以对任意恒成立， 即，可得， 所以数列具有“和性质”，故③正确； 对于选项④：因为数列，具有“和性质”， 设数列的前和项和为， 令，， 则， 可得 ， 因为且，则， 又因为，， 则， 故数列具有“和性质”，故④正确. 故选：①③④ 数列新定义是难点问题，给出新概念的名称例如“和谐数列”、“闪亮数列”、“等方差数列”、“凹数列”、“线性递归数列”（超出课内特征根法的）、“折数列”等。 1、 判断某个给定数列是否属于新定义的数列类； 2、 求参数的值或范围，使得数列满足新定义； 3、 证明该新定义下的数列具有某些（常规）性质； 4、在新定义限制下，求数列的通项或前 n 项和。 【变式6-1】（25-26高三上·北京·月考）对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”.给出以下四个结论： ①若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于； ②若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是； ③若数列是“有界变差数列”，满足，则是“有界变差数列”； ④若数列是“有界变差数列”，则存在，使得对于任意，都； 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③ 【分析】根据“有界变差数列”定义，结合等差数列定义和等比数列求和公式，通过讨论等差数列的公差和等比数列公比的取值范围可确定①②正误；利用绝对值三角不等式可证得，结合求和公式可求得，知③正确；通过反例可说明④错误． 【详解】对于①，为公差为的等差数列，， ， 又为“有界变差数列”，，使得对，， 若，，不合题意； 当时，，则即可，符合题意； 的公差等于，①正确； 对于②，为各项均为正数，公比为的等比数列， ，且， ， 又为“有界变差数列”，，使得对，， 当时，，则即可，符合题意； 当时，， 若，， ，，不合题意； 若，， ，，则即可，符合题意； 的公比的取值范围是，②错误； 对于③，为“有界变差数列”，， ， ，又，，， 即有； ， ， 为“有界变差数列”， ③正确； 对于④，若，则， ， 为“有界变差数列”， ，数列为递增数列， 又，且， 不存在，使得对于任意，都，④错误． 故答案为：①③． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的新定义问题，解题关键是充分理解“有界变差数列”的定义，将问题转化为数列中的最值项、数列单调性、数列前项和的求解问题，结合绝对值不等式来进行放缩求解． 【变式6-2】（25-26高三上·北京顺义·月考）数列为无穷非负整数数列，若对任意，均存在，且，使，则称数列为“完备数列”.给出下列四个结论： ①若正项等差数列为“完备数列”，则首项一定为1； ②若正项等比数列为“完备数列”，则公比一定为2； ③若满足，则对任意，数列均为“完备数列”； ④若满足，则数列为“完备数列”； 其中正确结论的序号是 . 【答案】①④ 【分析】根据数列定义，结合得到矛盾判断①；应用特殊数列、判断②③；根据数列递推式及数列新定义判断④. 【详解】若正项等差数列为“完备数列”，则，公差，又为非负整数数列， 对任意，均存在，且，使， 若，则必有，故不成立，矛盾， 所以，①对； 若正项等比数列为“完备数列”，如，此时公比为1， 显然满足对任意，均存在，且，使，②错； 当，则，，，，，， 所以是以3为周期，即项周期性出现， 显然为奇数时，不可能成立，③错； 由，则数列为， 该数列中，相邻两项间缺失的自然数都可以由前项选出其中的项相加(同一项不重复相加)得到， 所以对任意，均存在，且，使，④对. 故答案为：①④ 题型07 倒序相加法求和 【例7-1】（2026高三·北京·专题练习）在等比数列中，，若不等式成立，则的最小值为（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】C 【分析】根据条件先求出的通项公式，设，将分奇偶数，利用并项求和法求和化简不等式即得. 【详解】设的公比为， 记， 因， 则，代入，解得 所以． 令，则． 当为偶数时，， 则，即，无正整数解； 当为大于2的奇数时，， 由，解得， 又为奇数，所以的最小值为27． 故选：C． 【例7-2】（25-26高二·全国·假期作业）已知数列是各项均为正数的等比数列，若是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．1013 C．2023 D．1022 【答案】B 【分析】先根据韦达定理得到，再利用等比数列的性质得到，最后利用倒序相加法求和. 【详解】由韦达定理，可得， 由等比数列性质可得． 设， 所以 则， 得， 所以. 故选：B 等差数列的求和方法即倒序相加法。若数列整个顺序颠倒后，同原数列放一起，每个相同序号的两项的和相等，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 【变式7-1】（24-25高二下·北京丰台·期中）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则 . 【答案】1012 【分析】首先根据函数解析式得到，再根据等比数列的性质，即可求解. 【详解】由，则，则， ， 因为，由等比数列的性质可知，，，，……， 所以上式. 故答案为： 【变式7-2】（24-25高二下·北京西城·月考）数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（    ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 【答案】D 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得， 令， 则， 两式相加得， 解得. 故选：D. 题型01 数列分组求和 【例1-1】（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和. 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）根据给定条件，列式求出等差数列公差、等比数列公比即可. （2）利用分组求和法，结合等差等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）在等差数列中，，解得，而， 因此数列的公差，； 设等比数列的公比为，由，得，解得， 又，则，解得，而，因此，， 所以数列和的通项公式分别为，. （2）由（1）得， 所以. 【例1-2】（25-26高三上·北京·月考）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为， 由 ，令，可得，解得，从而可得结果； （2）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，可得，结合（1）可得，利用等差数列与等比数列的求和公式，根据分组求和法可得数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为， 则，即，解得 ， 所以. 则 数列的通项公式为： （2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，则， 又因为，所以. 设数列的前项和为， 则 所以数列的前项和为 若数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．常见的分组求和有： 1、 根据数列性质不同来分组，如等差、等比数列分开求和。 2、 根据数列的奇偶性来分组，奇数列求和与偶数列求和，此时要关注数列的项数是奇数还是偶数 3、 绝对值数列求和，根据原数列正负项分开求和，把原来正项的所有项求和、负项的所有求和 4、 相邻项并项后求和，数列相邻的两项或者多项可以先合并，合并化简完后，整个数列成容易求和的数列，如等差数列或者能相消。 【变式1-1】（25-26高三上·北京·月考）记为等差数列的前n项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)当n为何值时，取最小值并求出最小值． (3)记为数列的前n项和，求． 【答案】(1) (2)时，取最小值为 (3) 【分析】（1）根据等差数列性质可得，进而可得公差和通项公式； （2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号分析最值； （3）对数列的前n项和使用分组求和. 【详解】（1）因为为等差数列的前n项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为． （2）因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为． （3） . 【变式1-2】（25-26高三上·北京·月考）已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式进行求解即可. （2）根据等比数列和等差数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】（1）因为等比数列满足， 则，两式相除可得，解得. 所以的通项公式为. （2）. 所以 题型02 数列裂项求和 【例2-1】（25-26高三上·北京·月考）已知正项数列的前项和为，且； (1)求和的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）依次将代入递推式即可求解； （2）由结合整箱数列递推式计算分析即可求解； （3）由（2）结合裂项公式计算即可求解. 【详解】（1）由题可得，即， 所以即， 又数列为正项数列，所以， 所以， 所以由得； （2）因为，所以由（1）当时，， 当时， ， 整理化简得，又， 所以即， 所以数列是以为公差，1为首项的等差数列， 所以. （3）由（2）得， 所以. 【例2-2】（25-26高二上·北京朝阳·月考）已知数列是公差不为零的等差数列，，且是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，为数列的前项和，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比中项的性质，求得数列的公差，从而求得通项公式； （2）求出等差数列的前项和，再利用裂项相消法求和，即可得答案. 【详解】（1）设数列的公差为，由题可知， ，化简得：， 因为数列的公差不为零，所以， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）可知， 所以， 所以， 因为，所以. 对通项进行裂项变换，使得裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．下面给出一些常见的裂项模型。 模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） 对等差型的分式，例，先对分母进行因式分解，把目标分解成，再合并比较看看想化成需乘系数。 模型2：根式型 （1） （2） （3） 利用分母有有理化的方法。 模型3：指数型 （1） （2） 方法类似等差型。 【变式2-1】（24-25高二下·北京·期中）在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知求出，，即可得出证明； （2）根据等比数列通项公式得出，即可得出答案； （3）根据已知得出，进而裂项求和，即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，，， 所以，数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可知，数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以有， 所以，. （3）由（2）可知， 所以， 所以，， 所以有数列的前n项和. 【变式2-2】（24-25高二下·北京顺义·期中）设是各项为正数的数列的前项和，且满足________． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列前项和. 从①；②；③， 三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答． 【答案】(1)选择条件见解析， (2). 【分析】（1）选①，利用前项和与第项的关系求出通项公式；选②③，判定等比数列，再求出通项公式. （2）由（1）求出，进而求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）选择①，，当时，， 整理得，而，即， 因此数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为. 选择②，依题意，，由，得数列是等比数列，设其公比为， 由，得，解得， 所以数列的通项公式为. 选择③，由，得数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，则，， 所以. 题型03 数列错位相减求和 【例3-1】（24-25高二下·北京顺义·期末）已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设出公比，根据条件得到方程组，求出公比，得到通项公式； （2）利用等差数列通项公式得到，然后分组求和得到结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由，且等比数列为递增数列，所以， ，解得（负值舍去）， 所以，即； （2）由数列是首项为1，公差为3的等差数列，所以， 所以， . 【例3-2】（24-25高二下·北京·期中）已知函数的极值点构成数列(). (1)求； (2)求证：数列是等差数列； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）求出导数并求出极值点即得数列通项，进而求出. （2）利用等差数列定义判断即可. （3）由（2）的结论，利用错位相减法求出前项和. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，， 因此是函数的极小值点，且是唯一极值点，则， 所以. （2）由（1）知，数列的通项公式为，则， 而， 所以数列是等差数列. （3）由（2）知，，则， ， 则， 两式相减，得， 所以. 等比数列的求和方法即错位相减法。若有差数列,等比数列，对数列求和也可以用到错位相减法 1、 找出等比数列的公比，对求和中的每项都乘以公比 2、 然后用，注意将两式“错项对齐”，按照相同幂次方来对齐，方便合并。 【变式3-1】（24-25高二下·北京·月考）已知数列的前项和为，数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由分析计算即可求解； （2）由累加法即可求解； （3）由错位相减法计算求解即可. 【详解】（1）因为数列的前项和为， 所以当，； 当，； 显然满足， 所以. （2）因为数列满足，，， 所以， 数列的通项公式. （3）由（1）（2）得， 所以数列的前项和， 所以， 所以. 所以. 【变式3-2】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知数列的前项和为，且，设. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用与的关系求得通项公式再结合等比数列的定义证明即可； （2）利用第一问先求通项公式，再由错位相减法计算即可. 【详解】（1）由数列的前项和为，且， 当时，可得，解得； 当时，可得， 整理得， 即， 数列是首项，公比为2的等比数列. （2）由（1）知， 从而， 则， 两式相减，可得 ， . 1．（24-25高二下·北京·期中）设数列的前项和为．若，，则（    ） A．18 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】根据作差得到，再一一求出前几项即可. 【详解】因为，当时， 所以，即， 所以， 又，所以， 由，则，由，则，由，则， 由，则. 故选：B 2．（2025·北京大兴·三模）已知数列为无穷等比数列，为其前项和，“存在，对于任意的，”是“存在，对于任意的”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，利用反例法，可得判定充分性不成立；结合，取，得到均有，所以必要性成立，即可得到答案. 【详解】若，则对于任意的，均有， 此时，对于任意的，不存在，使得，所以充分性不成立； 若对于任意的，存在，使得， 则，取， 则对于任意的，均有，所以必要性成立， 所以“存在，对于”是“存在，对于”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（25-26高三上·北京·期中）已知数列中各项均为正数，且，给出下列四个结论： ①对任意的，都有； ②数列可能为常数列； ③若，则当时，； ④若，则数列为递减数列． 其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据一元二次方程有解的情况，利用判别式可得首项的取值范围，可得答案；②将数列每一项设成未知量，根据等式建立方程，可得答案；③④由题意作函数与函数的图象，利用数形结合的思想，对应数列中项在图象上的位置，可得答案. 【详解】①，将等式看作关于的一元二次方程，即， 该方程有解，则，所以当时，方程有解， 即当时，一定存在数列满足，故①错误； ②，令，由题意可得，解得（舍去）或， 常数列满足，故②正确； 由题意作函数与函数的图象如下： 由，则点在函数的图象上， 易知在函数的图象上， ③，当时，由在函数的图象上，则， 由在函数的图象上，则， 当时，，由在函数的图象上，则， 由在函数的图象上，则， 综上所述，若，当时，，故③正确； ④，当时，由在函数的图象上， 且在函数的图象上，则， 当时，由在函数的图象上， 且在函数的图象上，则，故④正确. 故选：C. 4．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知数列满足，，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推关系列举一些项，进而根据规律猜想得，即可求解. 【详解】由可得， 由，得，， ，， 由此猜想：， 当时，，此时，， 满足，故， 因此. 故选：C. 5．（25-26高三上·北京海淀·月考）对于给定的数列，如果存在实数，，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，数列满足，，则下列选项错误的是（    ） A．等差数列是“线性数列” B．等比数列是“线性数列” C．若是等差数列，则是“线性数列” D．若是等比数列，则是“线性数列” 【答案】C 【分析】等差等比数列的通项公式代入选项A，B中，逐一验证选项对错，选项 C,D用特殊法和累加法证明. 【详解】选项A，等差数列是“线性数列”， 设等差数列的公差为d，则。 对比线性数列定义，取，，满足，故A正确. 选项B，等比数列是“线性数列”， 设等比数列的公比为r，则， 对比线性数列定义，取，，满足，故B正确. 选项C，若是等差数列，则是“线性数列” 设，，，则，，，. 假设是线性数列，由、得，解得，， 则应满足，但实际，矛盾， 故不是线性数列， 故C错误. 选项D，若是等比数列，则是“线性数列” 设的公比为，，则. 若，则(常数)，，取，，满足线性数列定义； 若，则， 由，得： 累加得： . 又，因此： 假设，代入得： . 两边同乘消分母： 含的项：左边为，右边为，因此系数相等： . 代入得，展开并整理求： ，使成立，故是线性数列，故D正确. 故选：C 6．（24-25高二下·北京·月考）在数列中，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知的递推式和首项依次求出，可得数列是以4为周期的周期数列，从而可求出. 【详解】因为，， 所以， ， ， ， 所以数列是以4为周期的周期数列， 所以. 故选：C 7．（2025·北京大兴·三模）已知数列的前项和为，且（），给出下列四个结论： ①长度为，，1的三条线段可以围成一个内角为的三角形； ②，； ③，； ④． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】利用余弦定理可判断①，举反例可判断②，对式子变形，换元求解数列前项和及通项公式，结合三角函数恒等变换可判断③④. 【详解】对于①，长度为，，1的三条线段组成三角形， 设边长为的边对应的角为，因为，所以， 故， 又，所以，即边长为对应的角为，故①正确； 对于②，由，，则， 当时，，故②错误； 对于③④，因为， 所以，令，则， 令，为锐角， 则 ，所以，所以，又， 所以，即，所以， 所以， 所以，所以，故④正确； 所以，当时，， 又也适合，所以， 又， 即，所以，故③正确. 故答案为：①③④. 8．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知无穷等比数列的各项都是正数，，． (1)求数列的通项公式； (2)设无穷数列{的前n项和为，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使数列唯一确定，求数列的前n项和． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，． 注：如果选择的条件不符合要求，此题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等比数列通项公式结合题意可得答案； （2）若选①，可得是等差数列，然后由分组求和法可得答案；若选②，由与关系可得通项公式，据此可得答案；若选③，数列无法唯一确定，不满足题意； 【详解】（1）设各项都是正数的无穷等比数列的公比为q， 由题意知，解得，（舍）． 所以的通项公式为． （2）选条件① 因为，， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列． 所以． ． 选条件② 由题意知，当时，． 因为，所以． ． 选③，，则是等差数列，但无法确定公差，不满足题意. 9．（24-25高二下·北京石景山·期中）已知数列，________.在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选________”） (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)选①②，答案均为 (2) 【分析】（1）若选①，由前n项和与关系可得数列的通项公式；若选②，由前项之积与关系可得数列的通项公式； （2）与（1）结合，利用错位相减法可得答案. 【详解】（1）若选①，； 当时，， 则是以为首项，公比为2的等比数列，则； 若选②，，当时，， 又满足，则时，； （2）由（1）可得. 则， . 则. 10．（24-25高二下·北京西城·月考）已知等差数列的公差为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和； (3)若等比数列满足，设数列的前项和为.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据递推式，利用赋值法写出方程组，解方程组即可； （2）根据裂项相消可直接求和； （3）根据等比数列求和公式可求，再利用恒成立可求参数范围. 【详解】（1）已知等差数列的公差为，， ， 所以，经检验符合题意； （2）因为， 所以. （3）数列为等比数列，， 所以首项为1，公比为的等比数列， 则， 又对任意，不等式恒成立， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $