重庆市南开中学校2026届高三第五次质量检测数学试题

重庆市高 2026 届高三第五次质量检测 数学试题 命审单位:重庆南开中学 注意事项: 1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求. 1. 已知集合 ，则实数 的取值范 围为 A. B. C. D. 2. 已知公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 ,且 ,则 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通 常采用“瓦纳随机问答法”进行调查. 为调查中学生心理压力的情况，提出如下问 题，问题 1 :你现在心理压力很大吗？ 问题 2: 你学籍号尾号是偶数吗? 然后要求被 调查的中学生抛掷硬币回答, 如果出现正面朝上, 就回答第一个问题; 否则回答第二 个问题. 整个调查过程全程保密, 由于回答哪一个问题只有测试者自己知道, 所以应 答者一般乐意如实回答问题. 现在对学籍号为 0001 -1000 的 1000 名中学生进行调 查, 其中有 260 名学生回答 “是”，则估计心理压力很大的中学生百分比大约为 A. B. C. D. 4. 已知向量 满足: ,则 A. B. C. D. 5. 函数 是定义在 上的偶函数,则 在 的最大值为 A. B. 1 C. D. 6. 已知四个正整数 满足 ,且 的平均数和中位数都为 5,则 可能的取值情况总数是 A. 7 B. 9 C. 10 D. 12 7. 若函数 既存在极大值点,又存在极小值点,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，过 的直线交 椭圆 于点 (点 在 轴的上方)，过 作直线 的垂线，垂足为 ， 为等腰直角三角形，且 ， 则椭圆 的离心率为 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分. 9. 已知函数 ,则下列说法正确的是 A. 是函数 的一个周期 B. 是函数 的一条对称轴 C. 函数 在 有三个零点 D. 函数 为偶函数 10. 如图，抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交抛物 线 于 两点,交 轴于 点,其中点 在直线 上, 面积为 5,则下列 结论正确的是 A. B. C. D. 11. 已知数列 的前 项和为 ,且 ,且存在 , 使 成等差数列,则下列说法正确的是 A. 数列 为等差数列 B. 不是整数 C. 的值可以是 2025 D. 的最小值为 -2499 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12. 小南同学想在新年来临之际用自己的零花钱给自己的爷爷、爸爸妈妈和三个表 哥每人分别买一件礼物，小南看中三样礼物:甲礼物(10 元/件)、乙礼物(20 元/件)、 丙礼物(30 元/件)，在同学的建议下，小南最终决定采用如下方案选购礼物:①不同 辈分的礼物不同；②相同辈分的礼物相同， 则小南要备齐所需礼物所花销费用的 最小值为_____. 13. 已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 _____. 14. 如图，正方体 棱长为 2， 为 的中点， 为空间中点,且 满足 ,则多面体 体积的最大值为_____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 已知曲线 在 处的切线方程为 . (1)求实数 的值； (2)求函数 在区间 上的值域. 16. (15 分) 如图，平行四边形 中， 中点为 ，现以 为折痕把 折起,使点 到达点 的位置. (1)若 中点为 ，证明: 平面 ； (2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值. 17. (15 分) 已知在 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，且 ， ， 为 外接圆劣弧 上一动点. (1)求 A； (2)在四边形 中，若 为 的内角平分线，记 的面积分 别为 ， ，若 ， 求 的取值范围. 18. (17 分) 已知袋中有 个白球, 个红球, 个黑球,其中 ,这些球除颜色外 没有其他差异. 现每次从袋中不放回的随机取一个球, 直到所有小球全部取完. (1)若 ， ， ，求在最后一次取出黑球的条件下，白球最先被 全部取出的概率； (2)记白球最先被全部取出的概率为 . (i) 求 (结果用 表示); (ii) 已知 ,证明: . (参考数据: ) 19. (17 分) 在平面直角坐标系 中,已知动点 到点 的距离与到直线 的 距离之比为 2, 记动点 的轨迹为 . (1)求轨迹 的标准方程； (2)已知圆 ,圆 的切线 交曲线 于 、 两点. ( i ) 当 时,若 ,且切点在第二象限,求切线 的斜率; (ii) 当 时,已知 是关于 轴对称的两点,是否存在 ,使得 的外接 圆过定点; 若过定点,求出定点坐标; 若不存在 ,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $重庆市高2026届高三第五次质量检测 数学试题参考答案与评分细则 题号 1 2 4 5 8 9 10 11 选项 B C B D C ACD AC BC 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.B【解析】A=[a,+∞)，B=(-3,1),B二A,故a≤-3. 2.C【解析】由题意，a1+d+a1+2d=a1+4d,得a1=d,S6=21d,a3=3d. 3.A【解析】记A=“回答是”，B=“回答第一个问题”，心理压力大的学生占比为P,则P(A)=P(B)P(AIB)+ 111 P(B)P(MIB)=2×2+2P=0.26,所以p=0.02. (a+b)·(2a-5b)=0 4.B【解析】 1a=2,161=1 得a.万=1，w<a,i>=2,<a,6>= 31 5D【解析】由于Ke)是偶函数，所以a=2,容易判定)=·2>0递增，故)在 区间[-log3,log3]上最大值为：f(log23)=2·log23. 6.C【解析】中位数是5，则a2+a3=10,平均数是5，则a1+a2+a3+a4=20,故a1+a4=a2+a3=10, 由于2≤a1≤a2≤a3≤a4≤8，当(a1,a4)=(2,8),则(a2,a3)=(2,8),(3,7),(4,6),(5,5); 当(a1,a4)=(3,7),则(a2,43）=(3,7),(4,6),(5,5);当(a1,a4)=(4,6),则(a2,a3）=(4,6),(5,5): 当(a1,a4)=(5,5),则(a2,a3)=(5,5);综上，一共有10种 7.A【解析】由题意，f'(x)=m(lnx-xm-1)=0有2个正根， 则m>1,于是令t=x-1, 原方程转化为=m-1,4>0有2个正根，对函数 8()-In() g)-求导，g()=,所以当0<x<e时， m- g(x)单调递增，当x>e时，g(x)单调递减，易得函数 g(x)图象，如图， 可得：1<m<1+。此时，方程有两个不等实根，经检验得满足条件，所以1<m<1+ 8B【解标】设w,1=,则11=1-7语，1M1=子，，1=， 则2a=M,1+1Mf1-号，解得：=g 6 在△r巾，则∠M,=牙或，1M1=名a,M:1- 4 6, 数学试题参考答案第1页（共6页） 当LMF,=年时，由余弦定理得：1M,P=1MF,P+1RR,P-2Mf,1·1FE,os牙，解得： 当∠M,R-3平时，由1M1<1M1,矛盾，所以e-子或'号 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.ACD【解析x)=2simx+引，一个周期为2m,A正确：）=2sim7石=-1≠±2，B错： 令1=x+写y=2n,e[得，19]刚好3个零点，故C正确；由于f(周=2，放)关于 =石对称，从而f:+是偶函数，D正确 [x=y+4 10.AC【解析】设A(y1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2<0,设直线AB:x=y+4,联立方程 得： y2=2px y-2pty-8p=0, 所以=-8则-，8即放S-4--5,2-2 8 解得：P=3,X=6,y=-4,x=3,BF=+号≠5，故A对，B错； 选项c:网·所=(？小（名-4-至<0，C对： 选项D:由于四点A,B,C,D共线，故IBD1·IBAI=IACI·ICD1台|xB-xpI Ixg-x4I= Ix4-xclIxc-xDI,显然后一个等式不成立，故D错 11.BC【解析】因为COS nT=（-1)”,故a+1+cos(n+1)π=2(an+COS T),an=2”-(-1)”,A错； 选项B:S206=2207-2=4×85-2=4×(9-1)675-2=4×(9K-1)-2=36K-6,k∈Z, 则。-366-6=4K-子，故B对： 9 9 选项C:取p=2025,g=2026即可； 选项D:由于a2+a,=2a,故2+1-2×(-1)P=2+3-(-1),因为9≥p+1, 所以29+3-(-1)9≥2”+1+2，从而有：-2×(-1)P≥2， 故p+1=9,p为奇数，此时g2-102p=(p-50)2-2499≥1-2499=-2498，p=49或51. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.100 【解析】枚举法即可.此题本质是排序不等式 13.√2 【解析】(x-i)2=1,z=i±1，lz=√2 数学试题参考答案第2页（共6页） 14.2+22 3 【解析】建立如图坐标系，则P(1+cos,1+sina,2), D 面A,BD的法向量不妨取元=24C=(11,1),点P到面 ABm的距离为d=AP.n_2+sin&+≤2+2 Inl 3 3 -4n=35n·d≤4+22 1 3； 当且仅当a=平时取“=” 。4知=写5w2=子，所以多面体人w心=Am+。-A物≤2+2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 解：(1)f'(x)=e-1(ax2+2ax+b),…1分 所-93 …4分 解得：a=1,b=0.…5分 (2)因为f(x)=e-1·x2,所以f'(x)=e-1(2+2x) 6分 f'(x)>0→x>0或x<-2;f'(x)<0曰-2<x<0…8分 所以f(x)在-1<x<0单调递减，在0<x<2单调递增 9分 所以fmin（x)=f(0)=0… 10分 而-1)=2，f2)=4e,所以f(x)=f2)=4e 12分 即f(x)在区间[-1,2]上的值域为[0,4e]. 13分 16.(15分) 解：(1)如图，取AD中点P,连接PM,PN,由图可知： PN∥DC,AB∥DC,所以PN∥AB,… 2分 又PN=DC=MB,所以四边形MPNB为平行四边形… 4分 MP∥BN,又BN丈平面ADM,MPC平面ADM,所以BN∥平面A,DM 6分 (2)由条件可得：MD=A,D=2,∠A,AD=写，所以△A,AD为等边 三角形，A1A=√2， 又：AM=AM=1,所以AM⊥AM P 又：AM=D,所以DM1AM,所以A,MB,D两两垂直…7分 如图，以点M为坐标原点，MD,MB,MA1分别为x,y,z轴建空间 直角坐标系 8分 数学试题参考答案第3页（共6页） 则M(0,0,0),A1(0,0,1),D(1,0,0),C(1,2,0),B(0,1,0),…9分 所以A1C=(1,2,-1),A1D=(1,0,-1),A1B=(0,1,-1)…10分 n·AD=0 设平面A,BD的法向量为元=(x0),所以 得6=0 n…4B=0得%-南=0令6=1，则=1,1，)…12分 AC.n 设AC与平面ADB所成的角为0，则sin0= 2 …14分 1AC1·n 3 平面A,DB所成的角的正 15分 17.(15分) 解：(1)由题意得：4sinC+4cosC-b-c=0,即asin C+acos C-b-c=0 …1分 由正弦定理得：sinA·sinC+sinA·cosC-sinB-sinC=0 所以sinA·sinC+sinA·cosC-sin(A+C)-sinC=0 所以sinA·sinC+sinA·cosC-sinA·cosC-cos Asin C-sinC=0 因为0<C<T,所以sinC>0,化简得：sinA-cosA=1… 4分 即.2sA-引)=1，所以m1-到-号 由A为三角形内角，所以A-子-牙或子 …6分 所以4=受 …7分 (2)由题意得：∠CBD=∠CAD,∠DCA=∠DBA,即DA=DC…8分 所以S1=)AB·AG=8sinB·c0sB …9分 令BC的中点为O,由条件可知：BC为△ABC的直径，O为△ABC外接圆圆心 在△0CD中，由余弦定理得：CD=0D2+0C2-20D·0 Ceos B=8-8cosB…10分 所以S,=2·DA·DGsin(m-B)=4(1-cosB)sinB 12分 所以由S1>2S2可得：8sinB·cosB>8(1-cosB)sinB ……… 13分 化简得：60sB>分，由0<B<7… 14分 所以：0<B<号 15分 18.(17分) 解：记白球最先被全部取出的事件为A,最后取出红球的事件为B,最后取出黑球的事件为C, 2.2 532 (1)P(A1C)= 3分 5 (2)()显然事件B与事件C互斥，则A=BA+CA, 4分 m2 1m3 P(BA)=P(B)P(AIB)= 6分 m1+m2+m3m1+m3 数学试题参考答案第4页（共6页） P(CA)=P(C)P(AIC)=- m3 m2 ……………………………………………。 8分 m1+m2+m3m1+m2 所以P(A)=P(BA)+P(CA)=? 1m3 m2 m+m2+m3 mi+m3 mi+m2+m3 m+m2 m2m3(2m1+m2+m3) 整理得：P(A)=(m,+m+m)(m+m)(m+m,） …9分 1 11,1 (i))得：P022以P(A号4++2)2++2 …10分 所以宫Po,10,10e)-含新分-A41+3 裂项求和得：2P(10,10,10k)=”+1 12分 2n+2 下证”+2>爱如a+0即证号+2号>爱如a※ 方法一：令f代x)=nx-多-1+3 8 2+2+行t>0 求子指：=-+2=0+8 8x(x+2)2 由-4x3-9x2+20x+28=(x-2)(-4x2-17x-14)… 14分 因为x>0,所以当0<x<2,f'(x)>0,x>2,f'(x)<0 即人(0=2)2-1-+号<专x07-居-名- <0 16分 所以宫P(10,10,10)>nn+成立… 17分 方法二：先证明结论：lnx≤x对任意x>0恒成立 令h(x)=nx-g,则'(x)=-L=e= xe-ex 所以0<x<e时，h'(x)>0,h(x)单调递增；x>e时，h'(x)<0,h(x)单调递减 所以()=A从。)=0，所以结论成立，即h 14分 当n=1时，※左边日+号号-0右边为0，成立 当=2时，※左边1+行-号易右边为如2，显然左边>右边，成立 当n=3时，*左边号+号-号-沿-11，右边为景如3，龈然左边>右边皮立15分 下证好++2号>0对任意4成立 当4时，片+十2号=（分2》 1m-3+1>4-73 n+258e1 +n+2>228亏>0.1成立 所以：公P(10,10,10k)>8nn+0成立… 17分 数学试题参考答案第5页（共6页） 19.(17分) 解：(1)设P(x,y）,由条件可得：x-2)+Y =2 2分 1 x一2 所以√(x-2)+了=2x-2,平方整理得：x2- 1 …4分 (2)(i)当r=1时，圆0为：x2+y2=1,设切线为：y=kx+t,k>0,B(x1y1),C(x2,y2). .r=1= 门十2，化简的1=1+，………5分 [y=kx +t 联立 =1得：3-)x-2-t-3=0,心△=4k?+4(3-k)(2+3）=4 2kt .1+x2=2-2,1·x2=322°、 …6分 1BC1=3=+1x1-=V1+R45 13-21? …7分 化简得：3-34+川=0品k三或k三 9分 （i)当切线斜率存在时，设切线为：y=c+i,r= ，化简的=(1+2)* √1+k2 △=422+4(3-2)(2+3)=36+12(2-2)，k2≠3， 2kt .x1+X2= 、32,1·x2=32 c中点川3c中重线为y= t x-3- 1BC1=V1+E1x1-21=√1+kP.2V9+3(-) 11分 13-k21 因为B、D关于y轴对称：则△BCD的外接圆圆心在y轴，设圆心为(0，m),半径为To, 则外接圆方程为：x2+(y-m)2=石 若将切点上下对称，则由对称性，若外接圆过定点，则定点在x轴上， :c中垂线交y轴于0311-+严 12分 13-k21 :6=1HM+BC-1+)(9+4-32) 4 (3-2)2 13分 4t 圆方程为+3=+9+3那 (3-k2)2 2,令y=0, 则有2-1+)[9+43]-16-4-3-3-3》代人*式化简得7=4-3)+1 (3-k2)2 (3-2)2 12-31 若要与斜率无关，则4-3=0，即户=子，此时定点为原点0(0,0）…15分 若斜率不存在，此时切线与双曲线无交点，故舍去…16分 新所以定点为原点O(0,0)… 17分 数学试题参考答案第6页（共6页）重庆市高2026届高三第五次质量检测 数学试题 命审单位：重庆南开中学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.已知集合A=ay=-a,B=使+号<0,4nB=B,则实数a的取值范图为 A.a≤1 B.a≤-3 C.-3≤a≤0 D.a≥1 2.已知公差不为0的等差数列1a的前n项和为S,nEN,且，+4，三4，则= a3 A.5 B.6 C.7 D.8 3.调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机 问答法”进行调查.为调查中学生心理压力的情况，提出如下问题，问题1：你现在心理压力很大吗？ 问题2：你学籍号尾号是偶数吗？然后要求被调查的中学生抛掷硬币回答，如果出现正面朝上，就回 答第一个问题；否则回答第二个问题.整个调查过程全程保密，由于回答哪一个问题只有测试者自己 知道，所以应答者一般乐意如实回答问题.现在对学籍号为0001-1000的1000名中学生进行调查， 其中有260名学生回答“是”，则估计心理压力很大的中学生百分比大约为 A品 R&0 c品 D26 100 4.已知向量a,b满足：|a1=2,11=1,(a+)1(2a-5),则<a,6>= A君 B号 c D.2a 3 5.函数f(x)=x- ,a%,是定义在R上的偶函数，则f代x)在xe[-log(a+1),log(a+1)]的最大值为 2x+1 3 A.log3 B.1 c号3 D.log.3 6.已知四个正整数a1,a2,a3,a4满足a1≤a2≤a3≤a4,2≤a:≤8，i=1,2,3,4,且a1,a2,a3,a4的平均数 和中位数都为5，则a1,a2,a,a4可能的取值情况总数是 A.7 B.9 C.10 D.12 t 第1页·预祝考试顺利 7.若函数f(x)=mx·lnx-mc-xm+1既存在极大值点，又存在极小值点，则实数m的取值范围是 A1,1+) c1,1+2) D(1,1+) 8,已知椭圆C4专+2=1(@>b>0)的左，右焦点分别为E,E,过F,的直线交椭圆C于点M(点M在 x轴的上方)，过M作直线=-C的垂线，垂足为N,△MN,为等腰直角三角形，且IMNI=7,1MR, 10 则椭圆C的离心率为 A竖或号 c9% 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分 9.已知函数f(x)=sinx-√3cos(T+x),x∈R,则下列说法正确的是 A.2π是函数f(x)的一个周期 Bx=酒是函数)的一条对称轴 C.函数f(x)在x∈[0,3π]有三个零点 D.函数x+)为偶函数 10.如图，抛物线2：y2=2px(0<p<4)的焦点为F,过C(4,0)的直线1交抛物线2于 A,B两点，交y轴于D点，其中点A在直线y=x上，△BFC面积为5，则下列结论 正确的是 A.p=3 B.IBFI =5 C.FA·FB<0 D.IDBI·IBAI=IACI·ICDI 11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=2am+3 COS ITT,a1=3,n∈N*,且存在p,9∈N*,p<g, 使a2,a,a,成等差数列，则下列说法正确的是 A.数列{an+COS nIT}为等差数列 B等不是整数 C.p的值可以是2025 D.g-102p的最小值为-2499 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.小南同学想在新年来临之际用自己的零花钱给自己的爷爷、爸爸妈妈和三个表哥每人分别买一件 礼物，小南看中三样礼物：甲礼物(10元/件)、乙礼物(20元/件)、丙礼物(30元/件)，在同学的 建议下，小南最终决定采用如下方案选购礼物：①不同辈分的礼物不同；②相同辈分的礼物相同， 则小南要备齐所需礼物所花销费用的最小值为 13.已知关于x的方程x2-2xi-2=0的根为复数z,其中i为虚数单位，则1z1= 14.如图，正方体ABCD-ABC,D1棱长为2，M为AA1的中点，P为空间中一 点，且满足P=AM+1+csAB+1+i血D,&eR,则多面体 A B 2 2 A,MBDP体积的最大值为 D B iu 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知曲线f(x)=e*-1(ax2+b)在(1，f1))处的切线方程为y=3x-2. (1)求实数a,b的值； (2)求函数f(x)在区间[-1,2]上的值域 16.(15分) 如图，平行四边形ABCD中，AB=2,AD=2,LBAD=牙，AB中点为M,现以DM为折痕把△ADM 折起，使点A到达点A1的位置 (1)若AC中点为N,证明：BN∥平面ADM; (2)若LA1AD=牙，求A,C与平面A,DB所成角的正弦值， 17.(15分) 已知在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且42simC+平)-b-c=0,a=4,D为△ABC 外接圆劣弧AC上一动点. (1)求A; (2)在四边形ABCD中，若BD为∠ABC的内角平分线，记△ABC,△ACD的面积分别为S1,S2,若S1>2S2, 求∠ABC的取值范围， ·预祝考试顺利 18.(17分) 已知袋中有m1个白球，m2个红球，m个黑球，其中m1,m2,m∈N*,这些球除颜色外没有其他差异。 现每次从袋中不放回的随机取一个球，直到所有小球全部取完 (1)若m1=1,m2=2,m3=2,求在最后一次取出黑球的条件下，白球最先被全部取出的概率； (2)记白球最先被全部取出的概率为P(m1,m2,m3), (1)求P(m1,m2,m3)(结果用m1,m2,m3表示)； (i)已知keN”,证明：宫P(10,10,10)>爱nn+0 (参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099) 19.(17分) 在平面直角坐标系x0y中，已知动点P到点F(2,0)的距离与到直线l:2x-1=0的距离之比为2， 记动点P的轨迹为T (1)求轨迹T的标准方程； (2)已知圆0：x2+y2=2(r>0),圆0的切线1交曲线T于B、C两点. (1)当r=1时，若1BC1=3,且切点在第二象限，求切线1的斜率； (i)当0<r<1时，已知B、D是关于y轴对称的两点，是否存在r,使得△BCD的外接圆过定点； 若过定点，求出定点坐标；若不存在T,请说明理由.