广西平果市铝城中学2025-2026学年高二上学期12月份月考数学试题

2025级高二数学12月份月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试范围：选择性必须第一册和第二册的第四章 ） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知两个向量，且，则（    ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，若，则等于（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 3．双曲线与抛物线的准线交于，两点，若，则双曲线的实轴长为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 5．已知为抛物线上的一点，点到抛物线焦点的距离为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 6．已知双曲线的渐近线与圆相切，则a=（    ） A． B． C． D． 7．在空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　 ） A． B． C． D． 8．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列结论不正确的是（    ） A．若直线和的斜率相等，则 B．已知直线，（､､､､､为常数），若直线，则 C．点到直线的距离为 D．直线外一点与上一动点的距离的最小值就是点到直线的距离 10．已知数列的首项为，前n项和为，下列说法正确的有（    ） A．若数列为等差数列，公差，则数列单调递增 B．若数列为等比数列，公比，则数列单调递增 C．若，则数列为公比为2的等比数列 D．若，则数列为等差数列 11．若动点满足（且）其中点是不重合的两个定点），则点的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆.已知点，，动点满足，点的轨迹为圆，则（    ） A．圆的方程为 B．若圆与线段交于点，则 C．圆上有且仅有两个点到直线的距离为 D．设动点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知方程表示椭圆，则的取值范围为 13．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是 . 14．1202年，斐波那契在《算盘全书》中从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．记为该数列的前n项和，则下列结论正确的有 ①；②为偶数；③；④ 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知圆的方程为． (1)求实数的取值范围； (2)若圆与直线交于，两点，且，求的值． 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足．    (1)求证：平面﹔ (2)求二面角的余弦值． 17．（15分）已知数列中，，数列满足. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)令；求． 18．（17分）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点. (1)求椭圆的方程； (2)不过原点的直线与椭圆交于两点，求面积. 19．（17分）如图，在四面体中，平面平面，． (1)求证：； (2)，，，求二面角的大小 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2025级高二数学12月份月考卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C A B D A AC AD 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】由于， 所以.故选：C 2．B 【详解】在等差数列中，若,则， 故选：B 3．C 【详解】由题意，抛物线的准线， ∴将代入双曲线方程得：，则， ∴，故双曲线的实轴长.故选：C 4．C 【详解】直线的斜率为，设倾斜角为， 则，且，所以.故选：C. 5．A 【详解】因为到抛物线焦点的距离为2， 所以由抛物线定义知，，解得.故选：A. 6．B 【详解】由题意得双曲线的渐近线方程为，根据对称性，不妨取，即， 因为渐近线与圆相切， 所以圆心（0,2）到直线的距离，解得， 所以或（舍）.故选：B 7．D 【详解】令，则， 所以， 所以.故选：D 8．A 【详解】由，标准形式为，圆心为，半径， 由，标准形式为，圆心为，半径， 其中，即已知的两个圆是内含关系， 由题意，若动圆圆心为，半径为，则， 所以， 即是以为焦点，长轴长为12的椭圆，则， 所以动圆的圆心轨迹为.故选：A 9．AC 【详解】直线和的斜率相等但截距不等的情况下，截距相等的情况下两直线重合，A错. 两直线垂直则斜率之积为-1，的斜率为，的斜率为，，即，B对. 点到直线的距离为，C错. 设点到直线的垂点为B，则为直角三角形，根据直角三角形的性质，，所以直线外一点与上一动点的距离的最小值就是点到直线的距离，D对. 故选：AC. 10．AD 【详解】对于A，依题意，等差数列中，，即，数列单调递增，A正确； 对于B，依题意，，，当时，，数列单调递增， 当时，，数列单调递减，B错误； 对于C，由，得，当时，， 显然不满足上式，即，因此数列不是等比数列，C错误； 对于D，数列的首项为，前n项和为，即， 当时，，两式相减得：， 于是，则有， 整理得：，而，因此，所以数列为等差数列，D正确.故选：AD 11．ABD 【详解】设，由得， 整理得，即，故A正确； 在上，所以，故B正确 过圆心且与直线平行的直线方程为， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交， 因为，所以在直线与直线之间的圆弧上有两个点到直线直线的距离为，在直线的另一侧的圆上还有两个点到直线的距离为，共有4个点，故C错误； 设动点，所以， 则，即求圆上的点到点的距离的平方减去25的最大值，转化为圆心到点的距离加上圆的半径后，再平方再减去25即可，所以，故D正确.故选：ABD. 12． 【详解】由题意得且，解得. 故答案为： 13．/0.8 【详解】，与互相垂直， 则，即，解得.故答案为： 14．①③④ 【详解】记该数列为，，，当时，， 对于①，，，，，，，，，，①正确； 对于②，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和， 此数列中数字以奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组， 而，则为奇数，②错误； 对于③，当时，，则 ，③正确； 对于④，，④正确. 故答案为：①③④ 15． 【详解】（1）方程可化为， 此方程表示圆，，即， 故实数的取值范围是； （2） 由（1）可得圆心，半径， 如图，过点作于点，则， 圆心到直线的距离为， 由图可得：，即， 解得：． 即的值为2. 16． 【详解】（1）    如图，连接交于，连接， 由是的中点可得，又为正方形， 所以，所以，所以，即， 又，即，所以/， 又平面，平面，所以平面； （2）    因平面平面，且平面平面，为等边三角形，点是线段的中点， 可得，又平面，故得平面. 如图，取的中点为，连接，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，， 所以，，则， 设平面的法向量为，由， 则，故可取； 又平面的一个法向量为， 所以， 由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 17． 【详解】（1）证明：， 又数列是为首项，1为公差的等差数列. （2）记的前项和为，则 由，得，即时，时，， ①时，. ②时， 所以. 18 【详解】（1）因为抛物线的焦点为，双曲线的焦点为， 所以椭圆的顶点为，焦点为，即，，所以， 所以椭圆的方程为. （2）联立方程组消去，得. 解得或，不妨设，， 则.    19 【详解】（1）平面平面，平面平面， 又，平面，平面， 又平面，． （2）取的中点为，由，， 平面平面，平面平面，平面， 平面． 取的中点为，连接，则，，． 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系． 因为，，， 则， ， 所以、、、， 则， ， 由（1）得平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 取，则．于是， 显然，二面角为锐角，二面角的大小为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $