浙江省宁波市鄞州中学 2023-2024学年上学期九年级数学 冬令营试题

鄞州中学冬令营 姓名 班级 学号 一、填空题（每小题5分，共50分） 1.若关于x的方程一2x十m√2017一x+4020=0存在整数解，则正整数m的所有取值的和为 2.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点P是△ABC内一点，且PA=2√3，PB=4,PC=√2， 则△ABC的面积为 3.已知函数y=x2一2ax十7，当x≤3时，函数值随x增大而减小，且对任意的1≤x1≤a十2和1≤x2 ≤a十2，x1,x2相应的函数值y1,y2总满足|y1一y2≤9，则实数a的取值范围是 4.动物学家通过大量的调查估计，某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.6，则现年20 岁的这种动物活到25岁的概率是 5.在直角坐标系中，等腰直角三角形A1B1O、A2B2B1、A3B3B2、…、ABBn-1按如图所示的方式放置， 其中点A1、A2、A3、…、Am均在一次函数y=kx十b的图象上，点B1、B2、B3、…、Bn均在x轴上.若 点B1的坐标为(1,0)，点B2的坐标为(3,0)，则点A022的坐标为 BB,B3 B,3 6.已知正整数n大于30，且使得4n一1整除2002n,则n等于 7.如图，在△ABC中，∠BAC=30°，且AB=AC,P是△ABC内一点，若AP+BP十CP的最小值为 4√2，则BC的长度为 8若实数x少清足3千十3十=1平十斗=1，则x十y一 y y CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 9.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6,AB=8,O为Rt△ABC的外心，I为Rt△ABC的内心，延 长AI交⊙O于点D.连接OI,则cos∠OID的值为 D (第9题图) (第10题图) 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，□ABCD的顶点A,B分别在x,y轴的负半轴上，C,D在反比例 函数y=是(>0)的图象上，AD与y轴交于点E,且AE=号AD,者△ABE的面积是3，则及的值 是 二、解答题（其中11,12题各10分，13,14题各15分，共50分） 业解方经+诏经-8经+器 12.已知抛物线y=ax2-2ax一3a(a≠0)与x轴交于A,B两点，且点A在点B的左侧. (1)求A,B两点的坐标； (2)结合函数图象写出关于x的不等式ax2一2ax一3a>0的解集 (3)已知点M(一1,1)，N(2,一3)，若该抛物线与线段MN只有一个公共点，直接写出a的取 范围。 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 14.如图1，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，点D在自径A5上，连我(D,使得∠ACD+ ∠BAC=45°， E G G D B D 0 B A D O 图1 图2 图3 (1)求证：BC=BD; (2)如图2，在AC延长线上取一点E,使得AE=AB,连接BE,过点D作DF⊥BE于点F,交 于点G,试求出∠CDG的度数； (3)如图3，在(2)的条件下，连接OC,交DG于点I,若BE=5FG,CE=4W5,试求出OI的长， CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 13.如图，在△ABC中，已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,将△DEF与△ABC重合在一 起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点 A,EF与AC交于M点. (1)求证：△ABE∽△ECM; (2)当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？ (3)探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，讳 说明理由。 D CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 鄞州中学冬令营 一、填空题（每小题5分，共50分） 1.15 解析：由题意得m=2x一4020 令y= √2017-x √/2017-x,则x=2017-y2. m= 2(2017-y2)-4020_14 2y y y ,m是正整数，y≥0， .y=1,m=12或y=2,m=3, .正整数m的所有取值的和为15. 2.7+2√3解析：把△ACP绕点C顺时针旋转90° 得到△BCD,连接PD,如图所示， 由旋转性质可知：BD=PA=2√3，CD=CP= √2，∴.△PCD是等腰直角三角形， ∴.PD=√2PC=2,∠CPD=∠CDP=45°. .PD2+BD2=22+(2√3)2=16，PB2=42=16, ∴.PD2+BD2=PB2, .∠PDB=90°，∠CDB=135°. 由余弦定理得CB2=CD2十BD2一2CD·BD· c0s135°，∴.BC2=14+43, :Sow-AC.BC-BC*-7+2/5. CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP ∴.BC=√BF2+CF=2√6-2√2 3.3≤a≤4解析：函数的对称轴为x=a,,x≤3， 函数值随x增大而减小，∴.a≥3.，1≤x1≤a十2， 1≤x2≤a十2，.当x=a时，ymm=-a2+7. ,1到a的距离为a一1，a十2到a的距离为2， x 8.432解析：由实数xy满足39十平十33十6=1， a≥3，.a-1≥2，.当x=1,ymx=8-2a. ly1-y2≤9，.8-2a-(7-a2)≤9， 平十斗=1， ∴.a2-2a-8≤0，-2≤a≤4.a≥3，.3≤a≤4. 4.0.75解析：设某种动物开始时的数目为a个， 易知：3,5可视为关于的方程千十2=1 活到20岁的概率为0.8，则活到20岁时的数目为 的两根，即是方程+(48十63-x一y)t十(46 0.8a个， 一43y一63x)=0的两个根， 活到25岁的概率为0.6，则活到25岁时的数目为 由韦达定理：33+53=一(43+63一x一y), ∴.x+y=432. 0.6a个， 20岁的这种动物活到25岁的概率=0,60= 93v0 10 解析：如图，过点I作IM⊥BC于M,连 0.8a 接OD,设AD与BC交于点S,过点S作SR⊥OI 0.75. 5.(22021-1,2221)解析：由题意得，A1(0,1),A2 于点R.∠BAC=90°，AC=6,AB=8, (1,2),y=x十1.点B1的坐标为B1(1,0)、B2 6X8=24. BC=10,SAABC-2 (3,0)、B3(7,0)…Bn(2m-1,0),∴.A202(22021-1, 22021) 由内心得S=g=6+8+10)r=24,r=2. 2 2 2002m 解析：设4n 易得IM=2,CM=CN=6-2=4, 6.36 =,则及= ∴.OM=1,.OI=√5 200m-500+2m+500=500+2(n+250） :I为Rt△ABC的内心，DA平分∠BAC, 4n-1 4n-1, .BD=CD,.OD⊥BC,.OD∥IM, 由题目易得4n一1是奇数，且能整除n十250， 设9-p,则幼+10”1+0， 器形-号8M-号0s-身 4n-1 ,1001=7×11×13且n大于30，代人检验可得 在Rt△ISM中，IS-√M+SM-10,2 71 只有4n-1=143,p=2符合，此时n=36. ·sin∠ROS=M_RS 7.26-2√2解析：将△APB绕点A顺时针旋转 OI OS' 60得到△ADE,连结EP,CD.·AB=AD=AC, DE=BP,AE=AP,∠BAD=60°，∠PAE=60°， RS=M·Os 2x号25 OT √5 7， △PAE是等边三角形，∴.AP=PE, ..AP+BP+CP=DE+PE+PC, 在RtAISR中，IR-VTS-RS=6 7 当D、E、P、C四点共线时，AP+BP十CP的值最 故co8∠0D=朵=65×7=3v西 小，为CD的长 S=7 10√2 -10 .CD=4W2.∠BAC=30°，∠BAD=60°， ·∠CAD=90°，∴AD=AB=AC=4, 作CF⊥AB交AB于点F,:∠BAC=30°， 六CR=2AC=2,AF=25,BF=4-23, CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 10.是解析，作DMLx轴于M,CNLy轴于N, 当N(2,一3)在抛物线上或抛物线外时满足题 意，将x=2代人，得y=-3a,.-3≤-3a, 交于Q点， '.a≤1. 由平行四边形易得△ABO≌△CDQ, 当a<0时，抛物线开口向下，当点N在抛物线 ..OB=DQ,OA=CQ. 内部时，满足题意，如图2， 设D(m会)，0E/DM, y 微铝-器- :0A=2m,0E=22:0Q=2m, 3m cm点0B=D0 飞k一2k m 3m3m 图2 8SAAB=2BE·OA=3 a<0,.-3a>0,.-3<-3a恒成立， a≤1且a≠0. 偿+ ·2m=3,k=9 13.解：(1)一线三等角易得△ABEc∽△ECM. (2)设BE=x, 'AABE△ECM,:CM-CE BEAB' .CM_6-x 5, 二、解答题（其中11、12题各10分，13、14题各15 M=2+=-+号， 分，共50分） 1解，原方程化为+22z)++5产2z)= ∴AM=AC-CM=号z-3)2+9, 5 +7z++g2a） 当=3时，AM最短，最短为9 (3)(i)当AE=EM时，则△ABE≌△ECM, 1 1 整理得11-2xg-2x17=2 15-2x, ..CE=AB=5,..BE=BC-EC=6-5=1; -2 -2 (ii)当AM=EM时，导角易得∠CAB=∠CEA, (11-2x)(9-2x)(17-2x)(15-2x)' (11-2x)(9-2x)=(17-2x)(15-2x), △CAEACBA,是-S, -号经检验，-号为原方程的解 ∴cB-S-曾服-6曾- 12.解：(1)令ax2-2ax-3a=0,∴.a(x-3)(x+1) (ii)当AE=AM时， =0,.x=3或-1，A(-1,0),B(3,0). '∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C, (2)当a>0时，a(x-3)(x+1)>0, ∴.∠AME>∠AEF, x>3或x<-1, .AE≠AM, 当a<0时，a(x-3)(x+1)>0,.-1<x<3. ∴综上可知，BB=1或号 (3)当a>0时，抛物线开口向上，点M(一1,1)在 14.解：(1)设∠A=2a,则∠ACD=45°-a, 点A上方，如图1， ∴.∠CDB=∠A+∠ACD=45°+a. ,AB为直径， ∴.∠DCB=∠ACB-∠ACD=45°+a, ∴∠DCB=∠CDB,,BC=BD (2)由(1)得∠A=2a,∠CDB=45°+a, ,AE=AB,∠E=∠ABE=90°-a. 图1 .DF⊥BE,.∠FDB=90°-∠ABE=a, CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP ∴.∠CDG=∠CDB-∠FDB=45°. (3)延长DF至点K,连接BK,使BG=BK, ∴.△BFG≌△BFK. ∴∠DBF=∠K=90°-a,∠GBF=∠KBF= a,∴∠E=∠K, .△BDK≌△CBE. 设FG=FK=x,BE=DK=5x, ..DF=DK-FK=4. 由射影定理易得BF2=FD·FK=4x2, '.BF=2x. BK=CE=4√5， 在Rt△BFK中，x2+(2x)2=(4√5)2， ∴x=4,.FK=4,BF=8,DF=16, ∴.DB=√DF2十BF2=8√5，∴.BC=DB=8√5. 设AC=y,则AB=AE=4V5十y, 在Rt△ABC中，y2+(8√5)2=(45+y)2, ∴.y=6W5,.AB=10√5 0A=0B=0C=2AB=55, ∴.OD=BD-OB=3√5. 过O作ON⊥DI于N,过C作CM⊥DI于M, .BG=CG=4√5，∴.△CGM≌△BGF, .∴.CM=BF=8. 在Rt△DON中，设ON=b, 8S-aoDN-8器- DN=2b,∴62+(2b)2=(35)2,b=3, .DN=6,ON=3. .∠CMI=∠ONI=90°，∠CIM=∠OIN, .△OIN∽△CIM, -x-, 2-品01=00- 11 N G分 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP