微专题6 概率统计的综合应用 讲义——2026届高三数学一轮复习

微专题6 概率统计的综合应用

概率与统计问题主要考查学生的阅读理解能力和数据分析能力.要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系，建立相应的数学模型.概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强.

【典例精讲】

例1.(2025·广东省佛山市模拟)(多选)有一组样本数据，，，，，添加一个数形成一组新的数据，且，则新的样本数据(    )

A. 极差不变的概率是 B. 第百分位数不变的概率是
C. 平均值变大的概率是 D. 方差变大的概率是
例2.(2025·山东省·模拟题)某市推行垃圾分类后，环保部门对居民分类准确率进行抽样调查已知该市有甲、乙两个人口数量相等的社区，甲社区开展过多次分类培训，乙社区未开展现从甲社区随机抽取人，乙社区随机抽取人，统计正确分类人数如下：甲社区：人正确分类乙社区：人正确分类假设各社区中每位居民的分类行为相互独立，用频率估计概率．

若从甲社区中任选人，求恰好人正确分类的概率；

依据小概率值的独立性检验，分析两个社区居民对垃圾分类的准确率是否有差异

环保部门从两社区抽取居民的样本中，对不能正确分类的样本，按照分层抽样抽取人，再从这人中选择人进行深度访谈设为人中来自甲社区的人数，求的分布列及数学期望．

参考公式：，其中．

 

 

【方法储备】

概率和统计综合问题主要包括：①概率与统计中列联表的综合问题；②概率与统计中线性回归方程的综合问题；③概率与统计指标的综合问题；④概率与简单随机抽样的综合问题；⑤概率与统计图的综合问题等几种类型.

【拓展提升】

练1-1((2025·浙江省温州市·模拟)某学校校医研究温差与本校当天新增感冒人数人的关系，该医生记录了天的数据，且样本中心点为由于保管不善，记录的天数据中有两个数据看不清楚，现用代替，已知，则下列结论正确的是(    )

 

A. 在确定的条件下，去掉样本点，则样本的相关系数增大
B. 在确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程，则
C. 在确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程，则当时，残差为
D. 事件“”发生的概率为

练1-2(2025·安徽省六安市月考)某校想了解高二数学成绩在学业水平考试中的情况，从中随机抽出人的数学成绩作为样本并进行统计，频率分布表如表所示．

组号	分组	频数	频率
第组
第组
第组
第组
第组
合计

据此估计这次参加数学考试的高二学生的数学平均成绩；
从这五组中抽取人进行座谈，若抽取的这人中，恰好有人成绩为分，人成绩为分，人成绩为分，人成绩为分，求这人数学成绩的方差；
从人的样本中，随机抽取测试成绩在，内的两名学生，设其测试成绩分别为，．
求事件“”的概率；
求事件“”的概率．

 

 

 

 

 

 

 

【典例精讲】

 例3.(2025·重庆市市辖区模拟)我市开展了“暖冬计划”活动，为高海拔地区学校加装供暖器按供暖器的达标规定：学校供暖器的噪声不能超过分贝、热效率不能低于某地采购了一批符合达标要求的供暖器，经抽样检测，这批供暖器的噪声单位：分贝和热效率的频率分布直方图如下图所示：
 

假设数据在组内均匀分布，且以相应的频率作为概率．

求，的值
如果供暖器的噪声与热效率是独立的，从这批供暖器中随机抽件，求恰有件噪声不超过分贝且热效率不低于的概率当，设供暖器的噪声不超过分贝的概率为，供暖器的热效率不低于的概率为，求的取值范围．