第5章 函数的概念与性质（复习讲义）数学苏教版必修第一册

第5章函数的概念与性质 复习要点 理解函数概念与三要素，掌握定义域求解、三种表示方法及分段函数应用； 掌握函数单调性、奇偶性的判定与证明方法，熟悉五类常见幂函数的图象与性质； 经历概念抽象与性质探究过程，提升数学抽象、逻辑推理与数形结合能力。 复习重难点 重点：重点为函数概念本质、单调性与奇偶性的判定方法、幂函数核心性质。 难点：函数对应关系的内涵理解、单调性定义证明的逻辑严谨性、奇偶性与单调性的综合应用，以及分段函数的性质分析。 知识点函数的概念 (1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为. (2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射. (3)函数表示法：函数书写方式为， (4)函数三要素：定义域、值域、对应法则. (5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 要点速测 （多选题）（2026·高一·河北保定·阶段检测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 知识点分段函数的应用 1、分段函数的概念 在函数定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数. 2、分段函数的图像 在一个坐标系中根据每段的定义域和解析式依次画出每段图像,组合在一起就是完整的分段函数图像. 要点速测 （多选题）（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数，则以下正确的有（    ） A． B． C．若，则或 D．不等式的解集为或, 知识点函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数． 要点速测 （多选题）（2026·高一·河南新乡·阶段检测）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 知识点函数的最值 1、最大值：的定义域为，如果满足：（1）对，都有，（2），使得，则称为的最大值，记作； 2、最小值：的定义域为，如果满足：（1）对，都有，（2），使得，则称为的最小值，记作． 要点速测 （2026·高一·山东烟台·阶段检测）函数的值域是（　　） A． B． C． D． 知识点函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 要点速测 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 题型一：求函数的定义域 【典例1】（2026·高一·河北保定·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高一·山东烟台·阶段检测）已知函数的定义域是，则的定义域是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高一·河南新乡·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高一·陕西西安·阶段检测）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型二：同一函数的判断 【典例2】（2026·高一·四川达州·阶段检测）下列各组函数中，表示同一个函数的有（   ） ①和​     ②和 ③和             ④​和 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（2026·高一·安徽安庆·阶段检测）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高一·天津武清·阶段检测）下列选项中，是同一个函数的是（    ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【变式2-3】（2026·高一·福建泉州·阶段检测）下列四个函数中，与表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 题型三：求函数的值域 【典例3】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【变式3-1】（第五单元函数及其表示方法）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【变式3-2】求下列函数的值域： (1)； (2). 【变式3-3】求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)． (4)． 题型四：求函数的解析式 【典例4】（2026·高一·江西宜春·期末）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 【变式4-1】（2026·高一·甘肃兰州·阶段检测）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 【变式4-2】（2026·高一·天津和平·开学考试）（1）已知函数，求的解析式；     （2）已知，求的解析式． 【变式4-3】（2026·高一·甘肃武威·期中）（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式． （2）已知函数对任意的都有，求的解析式． （3）已知函数对任意实数，满足，求的解析式． 题型五：分段函数的性质与应用 【典例5】（2026·高一·四川自贡·期中）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)求的值； (3)写出函数的单调递增区间. 【变式5-1】（2026·高一·吉林长春·阶段检测）已知函数的解析式为. (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值； (3)解不等式. 【变式5-2】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知函数. (1)求，； (2)若，求m的值； (3)作出函数的图象． 【变式5-3】（2026·高一·北京丰台·阶段检测）已知函数 (1)计算的值； (2)在直角坐标系中，画出函数的图象 (3)若，求实数的值； (4)若直线与函数的图象有3个公共点，直接写出的范围． 题型六：函数单调性的判断 【典例6】（2026·高一·甘肃庆阳·期中）已知函数的图象经过，． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明． 【变式6-1】已知二次函数的最小值为1，函数是偶函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围． 【变式6-2】（3.1.2 函数的单调性——随堂测试）求函数的单调递减区间． 【变式6-3】（2026·高一·全国·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式； (2)用定义判断在区间上的单调性． 题型七：函数奇偶性判断及应用 【典例7】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 【变式7-1】（2026·高一·广东汕头·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求函数的解析式. 【变式7-2】已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)画出函数的图象； (2)求出函数的解析式. 【变式7-3】（2026·高一·四川成都·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，且. (1)求的值及； (2)求在上的解析式. 题型八：利用函数的单调性解不等式 【典例8】已知函数是定义在上的减函数，且，求的取值范围. 【变式8-1】（2026·高一·宁夏银川·期中）已知函数. (1)用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 【变式8-2】（一、函数单调，十二大类）已知函数，，求实数m的取值范围． 【变式8-3】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)证明：函数在上是增函数； (3)若实数满足不等式，求的取值范围. 题型九：函数奇偶性、单调性的综合应用 【典例9】（2026·高一·福建泉州·阶段检测）已知函数，． (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)用定义证明函数在上单调递增； (3)求不等式的解集． 【变式9-1】已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式； (3)求函数在的值域． 【变式9-2】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)判断在区间上单调性，并用定义法证明； (2)求函数在上的解析式； (3)求关于的不等式的解集. 【变式9-3】（2026·高一·广东揭阳·开学考试）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 题型十：恒成立与有解问题 【典例10】（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求实数的值； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围. (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； 【变式10-1】（2026·高一·广东珠海·阶段检测）已知函数，． (1)当时： （i）用单调性的定义证明函数在上单调递减； （ii）求函数的值域． (2)当时，若对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值． 【变式10-2】（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且． (1)求的解析式； (2)若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围． 【变式10-3】（2026·高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数且满足． (1)求的值； (2)用定义判断并证明在上的单调性； (3)命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值． 难点一 抽象函数的单调性、奇偶性 抽象函数单调性与奇偶性均以定义为核心，核心方法为赋值法。奇偶性判定：先确认定义域关于原点对称，再通过赋值推导关系：令求，令建立与的等式，进而判定奇偶性；可作为奇函数的辅助验证。单调性判定：设定义域内，将结合函数方程变形，利用已知符号条件判断差的正负，确定单调性。 难点精练 1．（2026·高一·湖南邵阳·开学考试）已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 2．（2026·高一·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 3．（2026·高一·河北·期中）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 4．（2026·高一·湖北·阶段检测）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 难点二 函数新定义问题 函数新定义问题的核心是 “依定义行事”，关键在于概念转化与知识迁移。首先精读题干，准确拆解新规则的判定条件、运算逻辑与适用范围，明确核心约束；其次将陌生定义划归为已有函数知识，转化为对应关系、单调性、奇偶性、值域或分段函数等常规问题求解；遇到含参数、分段规则的题型，需分类讨论边界情形，避免漏解；最后可代入特殊值验证结论是否契合定义。此类题侧重信息提取与迁移能力，紧扣定义、不主观延伸是解题根本。 难点精练 1．若函数的定义域为，存在常数，使得都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心． (1)已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，，求，的值； (2)探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由． (3)求的值． 2．已知函数的定义域为，对任意，定义集合：． (1)若，求； (2)若对于任意实数，恒有，求证：对于任意的，都有； (3)已知函数满足以下限定条件：对任意实数且，恒有，若，，，，，求证：． 3．已知函数的定义域、值域均为，定义集合． (1)当，，求； (2)当，，求； (3)给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有； ②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有．判断这两个结论是否正确，并说明理由． 4．已知函数的定义域均为．定义：①若不存在实数，使得，则称与关于“维交换”；②若存在个互不相同的实数，使得，则称与关于“维交换”； (1)分析函数与关于“维交换”中的值，并说明理由； (2)设函数与关于“维交换”，求的取值范围； (3)设，若与关于“3维交换”，求实数的值． 基础达标 1．（2026·高一·内蒙古包头·阶段检测）若不等式对恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·高一·四川内江·阶段检测）已知函数，且，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·高一·河北保定·阶段检测）已知函数，其中、为常数，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·甘肃庆阳·期中）已知函数 在 上具有单调性，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2026·高一·江苏·期中）函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·浙江宁波·阶段检测）下列对应关系中是到的函数的是（   ） A．，，： B．，，： C．，，： D．，，： 7．（2026·高一·湖北黄石·阶段检测）下列图形可作为函数图象的是（　　） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高一·广东深圳·阶段检测）下列集合，与对应关系中，是集合到集合的函数有（   ） A．，，：中数的平方 B．，，：中数的开方 C．，，：中数的绝对值 D．，，：中数的2倍 9．已知函数，则______. 10．（2026·高一·江苏·期中）函数的图象由图中的两条线段构成，其中，，，O为坐标原点；空心圆表示不取该点，实心圆表示取该点．则集合______． 11．（2026·高一·西藏拉萨·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减,，则不等式的解集为__________. 12．（2026·高一·甘肃庆阳·期中）求解下列问题： (1)若函数 满足 ，求函数 的解析式和值域； (2)已知函数 是一次函数，且满足 ，求函数 的解析式，并求出函数 在区间 上的最值． 13．（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）已知二次函数 的图象过点和. (1)求的解析式，并写出函数的单调递增区间（不要求证明）； (2)求不等式的解集. 14．（2026·高一·广东清远·阶段检测）已知函数f(x)的解析式为 (1)求f(f(f(7)))的值； (2)当f(x)<2时， 求实数x的取值范围； (3)请画出这个函数的图象，并写出f(x)的最大值． 15．（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）已知函数 . (1)用分段函数表示 ； (2)求 的最小值及值域. 16．（2026·高一·河南漯河·阶段检测）已知函数，且的解集为 (1)求的解析式； (2)求在上的值域； 17．（2026·高一·浙江嘉兴·阶段检测）若函数，且，． (1)求a，b的值，写出的表达式； (2)请用函数的单调性的定义证明函数在上是增函数． 18．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知，，求： (1)函数的定义域； (2)的值； (3)的解析式． 19．（2026·高一·北京朝阳·阶段检测）设是实数，函数． (1)若函数是奇函数，求的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明. 能力进阶 1．（2026·高一·河北保定·阶段检测）定义，若函数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·河北保定·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 4．定义域为的函数满足，，且，当时，，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·河南新乡·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 6．已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·全国·单元测试）函数的图像大致为（ ） A． B． C． D． 8．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·福建三明·期中）下列说法正确的是（     ） A．函数与是同一个函数 B．若函数是定义域为的奇函数且当时，则 C．若函数的值域为，则实数的取值范围是 D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 10．（多选题）（2026·高一·四川内江·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．和表示同一个函数 B．若的定义域为，则的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的定义域为，则实数的取值范围为 11．（多选题）（2026·高一·河南新乡·阶段检测）定义已知函数，，若在区间上的值域为，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 12．已知是一次函数，且，则的表达式为________________________； 13．（2026·高一·山西长治·阶段检测）已知函数 ，若对 使得 ，则a的取值范围是________________ 14．函数在上的最大值与最小值之和为，则实数______． 15．（2026·高一·福建三明·期中）已知函数为一次函数，且对均满足． (1)求函数的解析式； (2)已知，，且，求的最小值． 16．（2026·高一·四川达州·阶段检测）函数 (1)用函数单调性的定义证明其在上单调递减； (2)判断函数奇偶性，并求函数的值域. 17．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）已知函数的定义域为，满足，，且当时，． (1)求，，的值； (2)证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集． 18．（2026·高一·河北保定·阶段检测）（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （2）设函数，求函数的解析式及值域． 19．已知在上有意义，单调递增且满足，． (1)求证：； (2)求不等式的解集． 1/3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章函数的概念与性质 复习要点 理解函数概念与三要素，掌握定义域求解、三种表示方法及分段函数应用； 掌握函数单调性、奇偶性的判定与证明方法，熟悉五类常见幂函数的图象与性质； 经历概念抽象与性质探究过程，提升数学抽象、逻辑推理与数形结合能力。 复习重难点 重点：重点为函数概念本质、单调性与奇偶性的判定方法、幂函数核心性质。 难点：函数对应关系的内涵理解、单调性定义证明的逻辑严谨性、奇偶性与单调性的综合应用，以及分段函数的性质分析。 知识点函数的概念 (1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为. (2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射. (3)函数表示法：函数书写方式为， (4)函数三要素：定义域、值域、对应法则. (5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 要点速测 （多选题）（2026·高一·河北保定·阶段检测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【解析】A选项：函数的定义域为； 函数的定义域需满足，即. 两函数定义域不同，故不是同一个函数. B选项：函数的定义域为； 函数，其定义域为. 两函数的定义域和对应关系均相同，故是同一个函数. C选项：函数的定义域为； 函数，其定义域为. 两函数虽然自变量字母不同，但定义域和对应关系完全相同，根据函数定义，它们也是同一个函数. D选项：函数的定义域需满足且，即； 函数的定义域需满足，即或. 两函数定义域不同，故不是同一个函数. 知识点分段函数的应用 1、分段函数的概念 在函数定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数. 2、分段函数的图像 在一个坐标系中根据每段的定义域和解析式依次画出每段图像,组合在一起就是完整的分段函数图像. 要点速测 （多选题）（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数，则以下正确的有（    ） A． B． C．若，则或 D．不等式的解集为或, 【答案】ACD 【解析】对于A, ,A正确， 对于B,,B错误， 对于C，若，则，满足题意，若，则（负值舍去，）因此时，或，C正确， 对于D,当时，，则，当时，，则，因此不等式的解集为或,D正确. 知识点函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数． 要点速测 （多选题）（2026·高一·河南新乡·阶段检测）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A选项，函数为偶函数，且该函数在区间上单调递减，故A符合要求； 对于B选项，函数为奇函数，且该函数在区间上单调递减，故B不符合要求； 对于C选项，函数为偶函数，且该函数在区间上单调递减，故C符合要求； 对于D选项，令，该函数的定义域为， ，即函数为偶函数， 当时，，此时， 因为函数、在区间上单调递增，故函数在区间上单调递增，故D不符合要求. 知识点函数的最值 1、最大值：的定义域为，如果满足：（1）对，都有，（2），使得，则称为的最大值，记作； 2、最小值：的定义域为，如果满足：（1）对，都有，（2），使得，则称为的最小值，记作． 要点速测 （2026·高一·山东烟台·阶段检测）函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.因为，所以，故， 知识点函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 要点速测 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【解析】由函数的定义域为知选项ABCD中的函数定义域即为； 因为是奇函数，是偶函数，所以， 对于A，因为，故是奇函数，即A错误； 对于B，因为 ，故是偶函数，即B错误； 对于C，，故是奇函数，即C正确； 对于D，，故是偶函数，即D错误． 题型一：求函数的定义域 【典例1】（2026·高一·河北保定·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于函数，则有，解得且， 所以函数的定义域为. 【变式1-1】（2026·高一·山东烟台·阶段检测）已知函数的定义域是，则的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的定义域是，所以，所以的定义域为. 则，解得，所以的定义域为. 【变式1-2】（2026·高一·河南新乡·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由的定义域为， 在中，得， 则的定义域为. 【变式1-3】（2026·高一·陕西西安·阶段检测）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为的定义域为 ，即，所以， 即的定义域为． 要使有意义，需且，即． 则函数 的定义域是. 题型二：同一函数的判断 【典例2】（2026·高一·四川达州·阶段检测）下列各组函数中，表示同一个函数的有（   ） ①和​     ②和 ③和             ④​和 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】对于①，的定义域为，的定义域为， 所以不能表示同一个函数， 对于②，与，解析式不同，不能表示同一个函数， 对于③，的定义域为，的定义域为， 所以不能表示同一个函数， 对于④，的定义域为， 的定义域为，所以能表示同一个函数， 综上所述，表示同一个函数的有1个. 【变式2-1】（2026·高一·安徽安庆·阶段检测）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 对B，，解析式不同，不是同一个函数，故B错误； 对C，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故C错误； 对D，，定义域与解析式都相同，是一个函数，故D正确 【变式2-2】（2026·高一·天津武清·阶段检测）下列选项中，是同一个函数的是（    ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】C 【解析】两个函数相同需定义域与对应法则都相同，逐项检验． 对于A，的对应法则是直接输出自变量本身，值域为全体实数，而，对应法则是输出自变量的绝对值，值域为非负实数，对应法则不同，故A错误； 对于B， 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不同，故B错误； 对于C，的定义域为，与相同，故C正确； 对于D， 的定义域为 ，与 的定义域不同，故D错误． 【变式2-3】（2026·高一·福建泉州·阶段检测）下列四个函数中，与表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A项，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数； B项，，定义域为，与相同，是同一函数； C项，，对应关系不同，不是同一函数； D项，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数． 题型三：求函数的值域 【典例3】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【解析】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 【变式3-1】（第五单元函数及其表示方法）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【解析】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 【变式3-2】求下列函数的值域： (1)； (2). 【解析】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以函数的值域为. （2）由，得， 由，得， 所以， 所以函数的值域为. 【变式3-3】求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)． (4)． 【解析】（1）方法一  因为，且，所以，所以原函数的值域为． 方法二 令，则， 所以原函数的值域为． （2）因为， 所以， 所以原函数的值域为． （3）设，则且， 得． 因为，所以，即， 所以原函数的值域为． （4）方法一 令，因为， 所以关于x的方程有解，则当，即时，； 当时，， 整理得，解得或． 综上，原函数的值域为． 方法二 令，则， 当时，； 当时，， 当时，因为，当且仅当时取等号， 所以，所以， 当时，因为，当且仅当时取等号， 所以，所以． 综上，原函数的值域为． 题型四：求函数的解析式 【典例4】（2026·高一·江西宜春·期末）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 【解析】（1）因为，所以； （2）因为，令，则， 所以，故； （3）因为①（且），所以②， 联立①②可得. 【变式4-1】（2026·高一·甘肃兰州·阶段检测）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 【解析】（1）令， 由， 所以的解析式为：； （2）令， 因为，所以， ， 所以的解析式为. 【变式4-2】（2026·高一·天津和平·开学考试）（1）已知函数，求的解析式；     （2）已知，求的解析式． 【解析】（1）； （2）. 【变式4-3】（2026·高一·甘肃武威·期中）（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式． （2）已知函数对任意的都有，求的解析式． （3）已知函数对任意实数，满足，求的解析式． 【解析】（1）设， 则， 所以，解得或， 即或； （2）令，则，可得； （3）因为， 所以， 联立方程解得. 题型五：分段函数的性质与应用 【典例5】（2026·高一·四川自贡·期中）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)求的值； (3)写出函数的单调递增区间. 【解析】（1） （2）； （3）由(1)得到的图像可知，f(x)的单调递增区间为和. 【变式5-1】（2026·高一·吉林长春·阶段检测）已知函数的解析式为. (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值； (3)解不等式. 【解析】（1） 由图象可知，函数的最大值为. （2），，， 所以； （3）当时，，得，所以， 当时，，得，所以， 当时，，得，所以 综上可知，的解集为. 【变式5-2】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知函数. (1)求，； (2)若，求m的值； (3)作出函数的图象． 【解析】（1）因为函数， 所以，，， 因此，. （2）因为，分三种情况： ①若：则，解得，满足，是有效解； ②若：则，解得，满足，是有效解； ③若：令，解得，满足，是有效解. 因此或或. （3）当时：函数图象是反比例函数​在第三象限的分支； 当时：函数图象是一次函数的一段，是一段线段； 当时：函数图象是一次函数的一部分，是一条射线. 作出函数图象如下： 【变式5-3】（2026·高一·北京丰台·阶段检测）已知函数 (1)计算的值； (2)在直角坐标系中，画出函数的图象 (3)若，求实数的值； (4)若直线与函数的图象有3个公共点，直接写出的范围． 【解析】（1）因为，所以， 因此. （2）当时，是开口向上的抛物线，顶点为，过、，保留左侧（含）部分，为实心点， 当时，是斜率为的射线，过（空心点，不含端点），向右下方延伸. （3）因为， 当时，，即，解得，满足； 当时，，解得，满足； 综上，实数的值为或. （4）结合图象走势分析： 抛物线段（）值域为，射线段（）值域为， 当时，抛物线对应2个交点、射线对应1个交点，总计3个公共点， 因此直线与函数的图象有3个公共点时，的取值范围是. 题型六：函数单调性的判断 【典例6】（2026·高一·甘肃庆阳·期中）已知函数的图象经过，． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明． 【解析】（1）由题意 ，，即， 两式相减得，所以，， 即； （2）在上单调递减，证明如下： 设，则 ， 所以，即在上单调递减. 【变式6-1】已知二次函数的最小值为1，函数是偶函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称， 又因为的最小值为1，可设， 且，解得， 所以． （2）由（1）可知：在内单调递减，在内单调递增， 因为在区间上单调， 则或，解得或， 所以实数的取值范围为． 【变式6-2】（3.1.2 函数的单调性——随堂测试）求函数的单调递减区间． 【解析】由题意可知，解得或． 易知函数由，复合而成， 且在单调递减，在单调递减，在上单调递增； 利用复合函数单调性可得的单调递减区间为. 【变式6-3】（2026·高一·全国·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式； (2)用定义判断在区间上的单调性． 【解析】（1）由题意可知，所以， 又因为，所以，则，则， 又，为奇函数，满足题意， 所以； （2）取任意，且， 则. 因为，所以， 因为，所以，即， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增． 题型七：函数奇偶性判断及应用 【典例7】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 【解析】（1）∵函数的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）∵函数的定义域为，关于原点对称，且， ∵， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）的定义域是，关于原点对称． 当时，， ； 当时，， ． 综上可知，对于，都有，为偶函数． 【变式7-1】（2026·高一·广东汕头·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求函数的解析式. 【解析】（1）在上单调递增，证明如下： 设，则 ， 由，可得，，则，即， 故在上单调递增. （2）设，则，， 又函数是定义在上的奇函数，则，且， . 【变式7-2】已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)画出函数的图象； (2)求出函数的解析式. 【解析】（1）当时，，所以. 因为函数是定义域为的奇函数，所以. 又因为函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增. 又函数是定义域为的奇函数，所以在上单调递增. 根据描点并结合函数的性质可得函数图象如下： （2）设，则，故， 因为是奇函数，所以，，即. 故时，. 因此. 【变式7-3】（2026·高一·四川成都·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，且. (1)求的值及； (2)求在上的解析式. 【解析】（1）因为当时，，且， 所以，解得，所以， 则， 又是定义在上的奇函数，所以； （2）因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以， 令，则，所以， 又为奇函数，所以，则； 综上可得. 题型八：利用函数的单调性解不等式 【典例8】已知函数是定义在上的减函数，且，求的取值范围. 【解析】∵ 是定义在上的减函数，且， ∴，解得. ∴的取值范围是. 【变式8-1】（2026·高一·宁夏银川·期中）已知函数. (1)用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 【解析】（1） 证明：因为 ，且， 则， 因为，则，， 则，即，故在上单调递减； （2）由（1）在上单调递减，函数定义域为， 所以 ，解得， 所以所求实数的范围是. 【变式8-2】（一、函数单调，十二大类）已知函数，，求实数m的取值范围． 【解析】的对称轴为，开口向下， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，      由， 因此有，即， 从而有， 即， 即， 即， 即， 所以或． 【变式8-3】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)证明：函数在上是增函数； (3)若实数满足不等式，求的取值范围. 【解析】（1）因为是定义在上是奇函数， ，解得：. 此时，所以函数为奇函数. 所以. （2）证明： 设是区间上任意两个实数，且， 则 因为，所以， ， 是区间上的增函数. （3）因为是区间上的增函数且是奇函数， 由满足， 所以有， 解得：，即的范围是. 题型九：函数奇偶性、单调性的综合应用 【典例9】（2026·高一·福建泉州·阶段检测）已知函数，． (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)用定义证明函数在上单调递增； (3)求不等式的解集． 【解析】（1）奇函数，定义域关于原点对称， 且， 所以是奇函数． （2）设， 则， 因为，，分母大于零，所以， 即在上单调递增． （3）由得， 又在上单调递增，所以， 由得，由得，由得， 所以不等式的解集为． 【变式9-1】已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式； (3)求函数在的值域． 【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，又，即，所以，故. （2）由（1）知，且在上. 令，则， 又，，，所以，即在上单调递增. 因为，所以，即，则， 解得，故不等式的解集为. （3）由（2）知在上单调递增. 令，则，当时，；当时，. 函数是对勾函数，在上单调递减，故； 在上单调递减，故. 因此的值域为. 【变式9-2】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)判断在区间上单调性，并用定义法证明； (2)求函数在上的解析式； (3)求关于的不等式的解集. 【解析】（1）在上单调递增； 证明过程如下： 任取，则， 因为，所以，，即， 所以在上单调递增； （2）因为时，有， 当时，，则， 又函数是定义在上的奇函数，所以， 则，所以， 因此，故； （3）因为函数为奇函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增，且， 所以不等式可化为， 所以， 解得， 不等式的解集为. 【变式9-3】（2026·高一·广东揭阳·开学考试）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 【解析】（1）由已知 是定义在 上的奇函数，可得 . 又 ，所以 ，，.经检验，满足条件. （2） 在定义域上单调递增，证明如下： 设 ，易知 ，，，. 则 则 ，所以 在 上单调递增. （3）因为 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增， 由 可得 所以解得 ，故原不等式的解集为 . 题型十：恒成立与有解问题 【典例10】（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求实数的值； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围. (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； 【解析】（1）因为的解集为或， 所以和是方程的两个根. 由韦达定理得，解得. （2）由，得. 因式分解得. ①当，即时，不等式的解集为. 因解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是， 所以，解得. ②当，即时，不等式的解集为. 因解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是， 所以，解得. ③当，即时，不等式无解，不合题意. 综上，实数的取值范围为. （3）由，得. 由题意，该不等式在上有解， 即在上的最小值. 图象的对称轴为. ①当，即时，在上单调递增， ，解得； ②当，即时，， 化简得，解得或. 与取交集，得； ③当，即时，在上单调递减， ，解得. 综上，实数的取值范围为. 【变式10-1】（2026·高一·广东珠海·阶段检测）已知函数，． (1)当时： （i）用单调性的定义证明函数在上单调递减； （ii）求函数的值域． (2)当时，若对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值． 【解析】（1）（i）当时，． 任取，则 ． 因为，所以，，从而， 所以，即， 故在上单调递减． （ii）， 令，则，且． 所以可化为． 当时，单调递增，； 当时，单调递减，． 所以的值域为，即的值域为． （2）对任意，存在使，等价于． 因为，所以在上单调递减，所以． 当时，在上单调递增，此时； 当时，，当且仅当时等号成立， 此时； 当时，在上单调递减，此时. 当时，，，，所以不成立， 故只能是的情况，所以，得， 又，所以. 故的最大值为． 【变式10-2】（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且． (1)求的解析式； (2)若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围． 【解析】（1）由为二次函数，可设 图象的对称轴为，最小值为，且， 则有，解得，故． （2）已知，即在上有解， 又当时，有最大值12，则有， 故实数的取值范围为． 【变式10-3】（2026·高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数且满足． (1)求的值； (2)用定义判断并证明在上的单调性； (3)命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值． 【解析】（1），． 由，得，故． 此时. （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则． 因为，所以，且，即， 所以，即， 故在上单调递增． （3）由（2）知在上单调递增，故在上单调递增， 于是在上的最大值为． “存在，使得成立”等价于在上的最大值不小于，即，解得． 所以实数的最大值为2. 难点一 抽象函数的单调性、奇偶性 抽象函数单调性与奇偶性均以定义为核心，核心方法为赋值法。奇偶性判定：先确认定义域关于原点对称，再通过赋值推导关系：令求，令建立与的等式，进而判定奇偶性；可作为奇函数的辅助验证。单调性判定：设定义域内，将结合函数方程变形，利用已知符号条件判断差的正负，确定单调性。 难点精练 1．（2026·高一·湖南邵阳·开学考试）已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 【解析】（1）为偶函数，证明如下： 首先，的定义域为关于原点对称； 其次，令，则，得． 令，则，得． 令，则，， 所以是偶函数． （2）证明：，设， ， 因为，所以，则，即， 所以，即． 所以在区间上单调递减． （3）由题意得， 因为为偶函数，所以， 又在上单调递减， 则由，得， 解得或， 所以不等式的解集为或． 2．（2026·高一·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【解析】（1）在中，令，可得，解得. 令，可得，解得. （2）函数是偶函数，理由如下： 的定义域是，，， 令，可得，所以函数是偶函数. （3）任意时，，由题意得： ， 所以在上是增函数， 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且， 所以不等式的解集为. 3．（2026·高一·河北·期中）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 【解析】（1） 函数为奇函数，理由如下： 因函数的定义域为，关于原点对称， 令，则，可得． 令，则，即， 用代换，可得，所以为奇函数． （2）由（1）知，则，即， 令，且，则且， 可得， 因为当时，，所以，即， 所以函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减． （3）由（2）知，可得， 由题设，可得，又，故原不等式可化为， 由（2）函数在上单调递减，可得，解得， 故不等式的解集为． 4．（2026·高一·湖北·阶段检测）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【解析】（1） 函数为奇函数.理由如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即， 因此在上单调递减. （3）， 因为， 所以. 难点二 函数新定义问题 函数新定义问题的核心是 “依定义行事”，关键在于概念转化与知识迁移。首先精读题干，准确拆解新规则的判定条件、运算逻辑与适用范围，明确核心约束；其次将陌生定义划归为已有函数知识，转化为对应关系、单调性、奇偶性、值域或分段函数等常规问题求解；遇到含参数、分段规则的题型，需分类讨论边界情形，避免漏解；最后可代入特殊值验证结论是否契合定义。此类题侧重信息提取与迁移能力，紧扣定义、不主观延伸是解题根本。 难点精练 1．若函数的定义域为，存在常数，使得都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心． (1)已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，，求，的值； (2)探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由． (3)求的值． 【解析】（1）由函数的图象关于点中心对称，得， 则，，， 因为，所以， ，； （2）是中心对称函数，且对称中心是，证明如下： 若为中心对称函数，则在定义域内有恒成立. 则 ， 整理得：恒成立， 则，解得：， 故是中心对称函数，且对称中心是 （3）由（2）知，，， 所以， 则 2．已知函数的定义域为，对任意，定义集合：． (1)若，求； (2)若对于任意实数，恒有，求证：对于任意的，都有； (3)已知函数满足以下限定条件：对任意实数且，恒有，若，，，，，求证：． 【解析】（1）由，得，． 由集合的定义，等价于，即，解得或． 所以． （2）任取，． 当时，，故． 当时，，由已知条件，得，即，故． 因此，对于任意，均有． （3）反设． 由，可知，故． 令，，，并记，． 由，得． 设，． 由于，有；由于，有． 于是存在，使得 因为，，可以取正整数，满足 从而，且． 结合、，可得 记此不等式为①． 下面利用题设条件得到与①相反的结论． 把区间分成个小段，把分成个小段，且使全部个小段的长度依次严格递减． 这样的分法可以实现：取充分小的，令 由于，当足够小时，这些长度均为正，且； 前个长度之和为，后个长度之和为． 按上述长度依次取分点，并记． 由于，有，由题设条件得 所以前个增量均小于后个增量，进而这与①矛盾． 因此． 3．已知函数的定义域、值域均为，定义集合． (1)当，，求； (2)当，，求； (3)给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有； ②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有．判断这两个结论是否正确，并说明理由． 【解析】（1）由题意得，该函数在定义域上单调递减 故， （2）当时，，而 故 所以当时，，； 当时，,； 同理，当时， 即 令，有 故时，，当时， 综上知，时； 当时，； 当时， （3）对于①，假设在上单调递增函数， 对于任意实数， 因为，则，所以，故①正确； 对于②，设，当时，此时取， 则不满足 当时，，取，则， 因为，所以，所以，此时，不满足； 当时，， 取，则，不满足， 综上，不存在实数，使得对任意均有，故②错误． 4．已知函数的定义域均为．定义：①若不存在实数，使得，则称与关于“维交换”；②若存在个互不相同的实数，使得，则称与关于“维交换”； (1)分析函数与关于“维交换”中的值，并说明理由； (2)设函数与关于“维交换”，求的取值范围； (3)设，若与关于“3维交换”，求实数的值． 【解析】（1） 函数 与 关于 为 0 维交换,即 ,理由如下: 由题意可得,,. 令 ,即 ,展开整理得 . 其判别式 , 因此方程 无实数解,即不存在实数 使得 . 根据定义, 与 关于 为 0 维交换,故 . （2）依题意,方程 有两个互不相同的实数根. 因为,,所以方程 有两个不同的实数根. 令 ,且函数在实数域上为单调函数,方程可化为 . 该关于 的一元二次方程需有两个不相等的正实数根. 所以判别式 ,且两根之和 ,解得 . 因此实数 的取值范围是 . （3）令，依题意，函数在R上有3个零点， 若，则，此时仅有两个零点、，不合题意，舍； 又，即是函数的零点， 在有两个不同的零点. 当时， 若，则，，即函数在时无零点， 若，则在上单调递增， ，时，， 故函数在上只有1个零点，不符合题意， 因此，此时， 当时，，对称轴， 故当即时，在有一个零点， 此时时，， ，， 故在上有一个零点， 而时，，对称轴，， 故此时恒成立，故在上无零点，故符合； 当即，，时，， 故在有两个不同的零点， 而，，在上有一个零点， 故在上已有3个不同的零点，不合题意，舍； 当即时，在无零点， 若，当时，， 因为两根之积，此时在上有且只有一个解， 而时，， 此时对称轴，，而，故在上无零点， 故此时在有且只有一个零点，舍； 若，则， 此时在上有且只有一个零点，舍； 若，当时，， 因为且，此时在上为减函数，故， 此时在上无零点； 当时，，，， 故在上有且只有一个零点， 故此时在有且只有一个零点，舍； 综上，即当与关于“3维交换”时. 基础达标 1．（2026·高一·内蒙古包头·阶段检测）若不等式对恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由不等式对恒成立，即对恒成立， 当时，，即的最小值为， 所以的取值范围是． 2．（2026·高一·四川内江·阶段检测）已知函数，且，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为， 所以，所以，解得. 3．（2026·高一·河北保定·阶段检测）已知函数，其中、为常数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的定义域为，其中、为常数， 则， 所以， 所以，故. 4．（2026·高一·甘肃庆阳·期中）已知函数 在 上具有单调性，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 的对称轴为 ，要在 上单调，对称轴不能在区间内部． ，对称轴 ，开口向上， 因为函数 在 上具有单调性， 所以 ，解得，即实数 的取值范围是． 5．（2026·高一·江苏·期中）函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求的定义域， 即自变量要满足，解得且， 所以函数的定义域为. 6．（2026·高一·浙江宁波·阶段检测）下列对应关系中是到的函数的是（   ） A．，，： B．，，： C．，，： D．，，： 【答案】D 【解析】集合不是数集，所以A错误； 对于集合中的实数，在集合中没有元素与它对应，所以B错误； 对于，没有意义，所以C错误； 对于，都有与对应，所以D正确. 7．（2026·高一·湖北黄石·阶段检测）下列图形可作为函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A中，当时有两个与之对应，不是函数图象； B中，曲线在轴左侧“回头”，对某些有两个不同的与之对应，不是函数图象； C中，时对应2个，不是函数图象； D中，每个至多对应一个，可以作为函数图象． 8．（多选题）（2026·高一·广东深圳·阶段检测）下列集合，与对应关系中，是集合到集合的函数有（   ） A．，，：中数的平方 B．，，：中数的开方 C．，，：中数的绝对值 D．，，：中数的2倍 【答案】ACD 【解析】对于A，集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应， 故可构成函数关系，A正确； 对于B，对于集合中元素，在集合B中有两个元素与之对应， 因此不是函数关系，B错误； 对于C，集合中元素的绝对值都是有理数，在集合中有唯一元素与之对应， 因此是函数关系，C正确； 对于D，集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应， 故可构成函数关系，D正确． 9．已知函数，则______. 【答案】/0.5 【解析】因为，则， 则， ，则， 则， 10．（2026·高一·江苏·期中）函数的图象由图中的两条线段构成，其中，，，O为坐标原点；空心圆表示不取该点，实心圆表示取该点．则集合______． 【答案】 【解析】当时，设，则由图可知，，解得，所以. 此时，即，解得； 当时，恒成立. 综上所述，集合. 11．（2026·高一·西藏拉萨·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减,，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】由于是定义在上的偶函数，且在上单调递减,故在上单调递增, 又，故， 因此得. 12．（2026·高一·甘肃庆阳·期中）求解下列问题： (1)若函数 满足 ，求函数 的解析式和值域； (2)已知函数 是一次函数，且满足 ，求函数 的解析式，并求出函数 在区间 上的最值． 【解析】（1）令 ，则 ，所以 ，即 ， 因为 ，所以值域为 ． （2）设 ，则 ， 由 得 ，，解得 ，， 所以 ，它在 上单调递增， 最小值 ，最大值 ． 13．（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）已知二次函数 的图象过点和. (1)求的解析式，并写出函数的单调递增区间（不要求证明）； (2)求不等式的解集. 【解析】（1）因为图象过点 和，所以， 其对称轴为，开口向上，所以单调递增区间为 . （2）不等式 ，即，化简得 ，即，解得 或， 所以不等式的解集为. 14．（2026·高一·广东清远·阶段检测）已知函数f(x)的解析式为 (1)求f(f(f(7)))的值； (2)当f(x)<2时， 求实数x的取值范围； (3)请画出这个函数的图象，并写出f(x)的最大值． 【解析】（1）因为，所以， 又，， 故． （2）当时，由得， 即，与取交集，得； 当时，由得， 解得，与取交集， 得； 当时，由得，解得． 综上，实数的取值范围是． （3）当时，画直线在该区间上的部分，端点取实心点； 当时，画抛物线在该区间上的部分，经过原点，左端点不取，右端点取实心点； 当时，画直线在该区间上的部分，端点不取． 由于属于第一段图象，属于第二段图象，完整图象在这两处均取实心点，所得图象见答案． 当时，； 当时，，且时取等号； 当时，． 因此，在时取得最大值4． 15．（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）已知函数 . (1)用分段函数表示 ； (2)求 的最小值及值域. 【解析】（1）函数 ， 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2）由（1）知：当时，； 当时，； 当时，， 所以的最小值为，值域为. 16．（2026·高一·河南漯河·阶段检测）已知函数，且的解集为 (1)求的解析式； (2)求在上的值域； 【解析】（1）因为的解集为，所以为方程的两根， 所以，解得， 所以； （2）是开口向上的二次函数，对称轴为直线， 函数在对称轴处取得最小值为， 综上，在上的值域为. 17．（2026·高一·浙江嘉兴·阶段检测）若函数，且，． (1)求a，b的值，写出的表达式； (2)请用函数的单调性的定义证明函数在上是增函数． 【解析】（1）把和代入得， 解得，所以. （2）证明：设，， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在上是增函数． 18．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知，，求： (1)函数的定义域； (2)的值； (3)的解析式． 【解析】（1）由，得且，故的定义域为； （2）； （3）由得， 则. 19．（2026·高一·北京朝阳·阶段检测）设是实数，函数． (1)若函数是奇函数，求的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明. 【解析】（1）函数是奇函数，定义域为． 由，可得，解得； （2）函数在区间上单调递增. 任取且， 由 ， 即， ，即，故函数在区间上单调递增. 能力进阶 1．（2026·高一·河北保定·阶段检测）定义，若函数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，即，解得. 因此当时，；当或时，. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 又，，故此时的最大值为. 当时，在上单调递增，故. 当时，在上单调递减，故. 所以的最大值为，此时. 2．（2026·高一·河北保定·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则. 则在上单调递减，所以在上单调递增. 由得. 所以，解得. 所以不等式的解集为. 3．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，是定义在上的奇函数， 所以，且， 因为在上单调递减，所以在上单调递减， 因为，所以或， 当时，因为，，所以， 因为，且在单调递减， 所以，即，又，则． 当时， 因为，所以两部分讨论： 当时，即当时， 因为在单调递减，， 所以，即， 当时，即当时， 因为在单调递减，， 所以，即，与矛盾，舍去， 当时，即当时，，不满足，所以． 综上，解集为． 4．定义域为的函数满足，，且，当时，，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，是函数的对称轴. ，当时，， 函数在上单调递增，则函数在上单调递减. ，. 当时，；当或时，. ，或，解得或. 不等式的解集为. 5．（2026·高一·河南新乡·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则， 作出的大致图象如下图所示， 对于，当，即时，则，可得； 当，即时，则，可得， 综上，不等式的解集为. 6．已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又由可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 7．（2026·高一·全国·单元测试）函数的图像大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数的定义域为，关于原点对称， 计算， 所以是奇函数，图像关于原点对称. 观察选项，选项C和D的图像均关于轴对称，故排除C、D. 当时，分子，分母，所以，即轴右侧的图像位于轴上方，而选项B在的部分有位于轴下方的图像，故排除B； 综上，的图像大致为A. 8．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为偶函数，且在上单调递减， 所以在上单调递增，则， 则等价于 或 ， 解得：或， 不等式的解集是. 9．（多选题）（2026·高一·福建三明·期中）下列说法正确的是（     ） A．函数与是同一个函数 B．若函数是定义域为的奇函数且当时，则 C．若函数的值域为，则实数的取值范围是 D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】对A：定义域为，定义域为， 故函数与 不是同一个函数，故A错误； 对B： 函数是定义域为R的奇函数，因为， 所以，故B正确； 对C：当时，，不符合题意； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是，故C正确； 对D：函数的定义域为，则在上恒成立， 当时，，不等式恒成立，符合题意； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是，故D错误. 10．（多选题）（2026·高一·四川内江·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．和表示同一个函数 B．若的定义域为，则的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的定义域为，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【解析】对于A， 的定义域是，而的定义域是全体实数， 定义域不同，故A错误； 对于B，已知的定义域为，即，因此， 于是函数的定义域是. 对于，需满足，解得， 即的定义域为，B正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，C正确； 对于D， 定义域为，等价于被开方数对所有实数恒成立， 若，不等式化为，不恒成立，舍去； 若，则，解得， 综上，的取值范围是，D正确. 11．（多选题）（2026·高一·河南新乡·阶段检测）定义已知函数，，若在区间上的值域为，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】已知函数，，， 当时，若，即，解得或（舍去）； 因此若，则，此时；若，则，此时； 当时，若，即，解得（舍去）或； 因此若，， 所以，如图所示， 由图可知，当时，在时，即，解得，取， 在时，即，解得， 若在区间上的值域为，则左边界必须在和之间，即， 当时，右边界必须在和之间，即，此时； 当时，右边界只能取，即，此时； 综上所述，的可能取值为，故BCD正确，A错误. 12．已知是一次函数，且，则的表达式为________________________； 【答案】或 【解析】根据题意，设函数，利用待定系数法求出的值，即可得出的表达式. 设， 因为， 则， 所以，解得或， 所以或． 故答案为：或． 13．（2026·高一·山西长治·阶段检测）已知函数 ，若对 使得 ，则a的取值范围是________________ 【答案】 【解析】已知函数 ，当，即在时取最小值，在 时取最大值， 又因为，所以在上单调递增，所以， 因为对 使得 ，即的值域包含于的值域中，因此，即，解得， 综上，a的取值范围是. 14．函数在上的最大值与最小值之和为，则实数______． 【答案】/ 【解析】若，易知在区间上单调递增， 由题可知：，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递增， 由题可知，解得，不合题意， 若，即时， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，， 当，即时， 由题可知：，解得， 又，则，满足，所以满足题意， 当，即时，由题可知：，解得， 又，则，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减， 由题可知：，解得，不合题意， 综上所述，实数. 15．（2026·高一·福建三明·期中）已知函数为一次函数，且对均满足． (1)求函数的解析式； (2)已知，，且，求的最小值． 【解析】（1）设，则， 可得，解得，， 所以. （2）因为，所以，即； 法一：所以，化简得，当且仅当时取等， 所以， 故的最小值为16； 法二： ， 当且仅当且，即，时取等号， 故的最小值为16； 法三： ＝， 当且仅当且，即，时取等号， 故的最小值为16. 16．（2026·高一·四川达州·阶段检测）函数 (1)用函数单调性的定义证明其在上单调递减； (2)判断函数奇偶性，并求函数的值域. 【解析】（1）证明：任取且， 则 ， 因为且，所以，， 所以，故， 所以在上单调递减； （2）函数定义域为， 又因为， 所以函数是奇函数； 由（1）得函数在上为减函数， 同理可得在上为增函数，所以当时，， 又因为函数为奇函数，图象关于原点对称，故当时，， 因此函数值域为. 17．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）已知函数的定义域为，满足，，且当时，． (1)求，，的值； (2)证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集． 【解析】（1）令，代入等式，得，解得. 令，代入，且， 得，解得 令，代入，得， 即，解得. 因此，，，. （2）设，则，因为当时，，所以，即. 又因为，得， 所以， 因此，即. 所以函数在上单调递增. （3）令，则由不等式得， 化简整理得，即，解得. 因此，又因为，， 所以，由（2）知函数在上单调递增， 所以，解得. 因此不等式的解集为. 18．（2026·高一·河北保定·阶段检测）（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （2）设函数，求函数的解析式及值域． 【解析】（1）设， 因为，， 所以，即． 所以，解得． 所以． （2）令，则，所以，所以． 因为，所以， 所以的解析式为． 因为函数开口向下且对称轴为，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以． 所以的值域为． 19．已知在上有意义，单调递增且满足，． (1)求证：； (2)求不等式的解集． 【解析】（1）证明：因为， 令，则， 所以． （2）因为，， 所以可化为. 又函数在区间上单调递增， 所以，解得. 所以不等式的解集为． 1/3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $