第07讲 直线与圆的位置关系（知识梳理+5大题型精讲+过关测）（寒假预习讲义）高二数学沪教版

第07讲 直线与圆的位置关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：直线与圆的位置关系及判断 位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 判定方法：（1）几何判定法： 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离： ①d>r⇔圆与直线相离； ②d＝r⇔圆与直线相切； ③d<r⇔圆与直线相交． （2）代数判定法： 由消元，得到一元二次方程的判别式，则 ①⇔直线与圆相交； ②⇔直线与圆相切； ③⇔直线与圆相离. 知识点2：弦长 设直线的方程为，圆的方程为，弦长的求法有几何法和代数法： （1）几何法:如图,直线与圆交于两点,设弦心距为,圆的半径为,弦长为,则有, 即 . （2）代数法:如图,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是, 则 (直线的斜率存在). 知识点3 ：直线与圆相切的相关知识点 1.性质：（1）直线与圆有且只有一个公共点 (2)直线所在的方程与圆所在的方程组成的方程组有且只有一组解. （3）从圆外一点引圆的切线，切线长相等. (4)过切点过圆心的直线与切线垂直. 2.求切线方程的常用方法： （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则可直接得切线方程为或． （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法： ①几何法．设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． ②代数法．设切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出． 注意过圆外一点的切线必有两条。 知识点4 ：利用直线与圆的位置关系求范围 （1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想． （2）若是定圆上的一动点，则和这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法． ①几何法．的最值：设，圆心到直线的距离为，由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值． 的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值． ②代数法．的最值：设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值． 的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值． 知识点5 ：圆与圆位置关系及判断 （1）几何法 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示 两圆相离 0 两圆内含 两圆相交 2 两圆内切 1 两圆外切 其中和分别是圆和圆的半径, . （2）代数法 联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 2 1 0 两圆的公共点个数 2 1 0 两圆的位置关系 相交. 外切或内切 相离或内含 知识点6 ：两圆的公共弦 （1）若两圆相交，则有一条公共弦，将两圆的方程相减求两圆公共弦所在的直线方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数． （2）求两圆公共弦长有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解． 【题型1 圆的切线方程】 例1（25-26高二上·上海浦东新·月考）经过点且与圆相切的直线方程为 ． 例2（24-25高二下·上海·月考）圆的过点的切线的一般式方程为 . 变式1（24-25高二下·上海·月考）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）求经过点且与圆相切的直线的方程． 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）（1）如图，已知点为圆上一点，求过点的圆的切线的方程．    （2）过点且与圆相切的直线的方程． 【题型2 弦长问题】 例3（23-24高二下·上海宝山·月考）直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D．6 例4（24-25高二上·上海·月考）在圆内，过点的直线被该圆所截得弦的长度的最小值为 . 变式1（24-25高二上·上海·课堂例题）过点的直线l与圆C：相交于A、B两点，则的最小值是 ． 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）已知圆与轴相切，求这个圆截轴所得的弦长． 变式3（23-24高二上·上海宝山·月考）在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点A，B，与圆交于点C，D. (1)若直线的斜率为3，求的面积； (2)若，求的长； 【题型3 过交点方程】 例5（24-25高二下·上海·月考）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例6（24-25高二上·上海·月考）已知直线与圆相交于、两点，则的值为 . 变式1（23-24高二上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若，则点A的横坐标为 . 变式2已知圆恒过定点A，B，则直线的方程为 ． 变式3（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知直线和的交点为P，求以点P为圆心，且与直线相交所得弦长为12的圆的标准方程． 【题型4 位置关系问题及求解参数】 例7如果实数满足等式，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 例8（24-25高二下·上海宝山·月考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 变式1（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是 ． 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）已知实数、满足，求的取值范围． 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线和曲线有两个交点，求实数的取值范围． 【题型5 利用位置关系求最值】 例9（23-24高二上·上海宝山·月考）设为圆上的两动点，且，为直线上一动点，则的最小值为 . 例10圆上的点到直线的距离的最小值是 ． 变式1（25-26高二上·上海徐汇·月考）直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为 . 变式2已知直线与圆，求圆上各点到直线的距离的最大值． 变式3已知圆C的圆心坐标为，且圆C与直线相切，过点的动直线m与圆C相交于M、N两点，点P为MN的中点． (1)求圆C的标准方程； (2)求的最大值． 一、填空题 1．（23-24高二上·上海·月考）若直线是圆的一条对称轴，则 ． 2．（24-25高二上·上海松江·期中）若圆：关于直线对称，则实数 . 3．（23-24高二上·上海·期末）过点作圆的切线，则切线方程为 . 4．（24-25高二上·上海·月考）过点作圆的切线，则切线的一般式方程为 ． 5．（24-25高二下·上海·月考）过点作圆的切线，则直线的方程为 . 6．（23-24高二下·上海黄浦·月考）已知直线l：，圆C：，则直线l被圆C所截得的线段的长为 ． 7．（24-25高二上·上海·期中）若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为 ． 8．（23-24高二上·上海·月考）已知，若圆上恰有四个点到直线的距离为1，则的取值范围是 . 9．（24-25高二上·上海闵行·月考）已知圆上恰好存在2个到直线的距离为1的点，则的取值范围是 . 10．（24-25高二下·上海·月考）在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与无关，则实数的取值范围是 . 11．（25-26高二上·上海松江·期中）关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围 . 12．（25-26高二上·上海·期中）过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为 . 二、单选题 13．（23-24高二上·上海·期末）已知圆，当圆心C到直线的距离最大时，实数的值是（    ） A． B． C．－3 D．3 14．（21-22高二下·上海普陀·期中）已知实数、满足方程，那么的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二下·上海·月考）点在圆上运动，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（22-23高二下·上海宝山·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（25-26高二上·上海·期中）已知经过点的圆的圆心在直线上，且圆与轴相切，求圆的标准方程. 18．（20-21高二上·上海徐汇·期末）已知直线过点，且与圆相切，求直线的方程． 19．（23-24高二上·上海·课后作业）已知方程和．当实数为何值时，两方程表示的曲线分别有两个交点？只有一个交点？没有交点？ 20．（25-26高二上·上海·月考）已知直线和圆． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)判断直线l与圆C的位置关系． 21．（25-26高二上·上海·开学考试）设圆（常数）与轴正半轴的公共点为，直线过点． (1)写出圆的圆心的坐标以及半径； (2)设，当直线与圆交于、两点时，求弦的中点的轨迹； (3)设直线的斜率为，若恒与圆相交（仍记交点为、），求正实数的取值范围；在上述情况下，若为锐角，求实数的取值范围． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 直线与圆的位置关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：直线与圆的位置关系及判断 位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 判定方法： （1）几何判定法： 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离： ①d>r⇔圆与直线相离； ②d＝r⇔圆与直线相切； ③d<r⇔圆与直线相交． （2）代数判定法： 由消元，得到一元二次方程的判别式，则 ①⇔直线与圆相交； ②⇔直线与圆相切； ③⇔直线与圆相离. 知识点2：弦长 设直线的方程为，圆的方程为，弦长的求法有几何法和代数法： （1）几何法:如图,直线与圆交于两点,设弦心距为,圆的半径为,弦长为,则有, 即 . （2）代数法:如图,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是, 则 (直线的斜率存在). 知识点3 ：直线与圆相切的相关知识点 1.性质：（1）直线与圆有且只有一个公共点 (2)直线所在的方程与圆所在的方程组成的方程组有且只有一组解. （3）从圆外一点引圆的切线，切线长相等. (4)过切点过圆心的直线与切线垂直. 2.求切线方程的常用方法： （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则可直接得切线方程为或． （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法： ①几何法．设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． ②代数法．设切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出． 注意过圆外一点的切线必有两条。 知识点4 ：利用直线与圆的位置关系求范围 （1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想． （2）若是定圆上的一动点，则和这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法． ①几何法．的最值：设，圆心到直线的距离为，由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值． 的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值． ②代数法．的最值：设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值． 的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值． 知识点5 ：圆与圆位置关系及判断 （1）几何法 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示 两圆相离 0 两圆内含 两圆相交 2 两圆内切 1 两圆外切 其中和分别是圆和圆的半径, . （2）代数法 联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 2 1 0 两圆的公共点个数 2 1 0 两圆的位置关系 相交. 外切或内切 相离或内含 知识点6 ：两圆的公共弦 （1）若两圆相交，则有一条公共弦，将两圆的方程相减求两圆公共弦所在的直线方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数． （2）求两圆公共弦长有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解． 【题型1 圆的切线方程】 例1（25-26高二上·上海浦东新·月考）经过点且与圆相切的直线方程为 ． 【答案】或 【分析】分斜率存在和不存在两种情况讨论，切线斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径计算可求得直线斜率，即可求得切线方程. 【详解】由题意知，圆心坐标为，半径为， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 即，依题意有，解得， 此时直线方程为，即， 所以所求切线的方程为或. 故答案为：或. 例2（24-25高二下·上海·月考）圆的过点的切线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】由点在圆上，所以过点的切线和(圆心) 垂直，求出斜率，用点斜式求出方程. 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径， 点在圆上,则， 则切线的斜率， 则切线的方程为,变形可得; 故答案为: 变式1（24-25高二下·上海·月考）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 【答案】 【分析】将点坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直线方程. 【详解】，即，， ∵，即点在圆上， 设切线为，则，， ∴， ∴切线，即. 故答案为：. 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）求经过点且与圆相切的直线的方程． 【答案】 【分析】分直线的斜率不存在和存在，根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】解：当直线的斜率不存在时，直线方程为：，与圆相交； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即 ， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ， 即 ，解得 ， 所以直线方程为 ，即 . 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）（1）如图，已知点为圆上一点，求过点的圆的切线的方程．    （2）过点且与圆相切的直线的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）利用直线的点法式即可得解； （2）分类讨论切线斜率存在与否，结合点线距离公式即可得解. 【详解】（1）因为点是与圆的切点，可知， 且过点的半径与垂直，即是的一个法向量， 于是可得切线的点法式方程为． 整理得， 所以过点的圆的切线的方程为． （2）由知，点在已知圆外． 若所求直线斜率存在，可设所求直线的方程为，即． 由题意，得圆心到该直线的距离，即，解得； 此时所求直线的方程为，即； 若所求直线斜率不存在，则其方程为，即， 此时圆心到所求直线的距离为，即等于半径的长，满足题意； 综上：所求直线的方程为或． 【题型2 弦长问题】 例3（23-24高二下·上海宝山·月考）直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】先求出圆心和半径，利用弦长与半径的关系可得答案. 【详解】圆化为标准方程为：,圆心为，； 圆心到直线的距离为，所以弦长为. 故选：B. 例4（24-25高二上·上海·月考）在圆内，过点的直线被该圆所截得弦的长度的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意可得当时，弦的长度取得最小值，所以先求出的长，再利用勾股定理可求出的最小值 【详解】圆，则圆心，半径为， 由圆的性质可知当时，弦的长度取得最小值， 因为， 所以弦的长度的最小值为 故答案为： 变式1（24-25高二上·上海·课堂例题）过点的直线l与圆C：相交于A、B两点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用垂径定理很快就可以找到最小弦长的直线，再利用勾股定理进行求解即可. 【详解】因为圆C：，圆心，半径 所以当过点的直线l垂直于时，弦长取最小值， 即. 故答案为：. 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）已知圆与轴相切，求这个圆截轴所得的弦长． 【答案】 【分析】根据题意，先求得圆的标准方程，然后令，求得，即可得到弦长. 【详解】将圆方程化为标准式可得，， 因为圆与轴相切，则，即圆的方程为， 令，解得，则圆截轴所得的弦长为. 变式3（23-24高二上·上海宝山·月考）在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点A，B，与圆交于点C，D. (1)若直线的斜率为3，求的面积； (2)若，求的长； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先求解直线的方程，再计算与M点到直线的距离，进而可得的面积； （2）设直线，再根据垂径定理可得，进而根据垂径定理求解即可. 【详解】（1）若直线的斜率为3，则直线的方程为. 所以O点到直线的距离为， M点到直线的距离为， 所以，所以. （2）由题可知，直线的斜率显然存在且不为0，设为，则直线. 所以点O到直线的距离，所以， 又，所以，解得. 因为直线与直线互相垂直，所以直线. 所以点M到直线的距离， 所以.    【题型3 过交点方程】 例5（24-25高二下·上海·月考）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得：为恒过定点的直线，曲线表示圆心为，半径为1的上半圆，由此利用数形结合思想能求出的取值范围． 【详解】根据题意得：为恒过定点的直线， 由曲线，可得， 所以曲线表示圆心为，半径为1的上半圆，如图所示，    当直线与圆相切时，有， 解得：（舍去）或， 把代入，得， 的取值范围是,． 故选：D. 例6（24-25高二上·上海·月考）已知直线与圆相交于、两点，则的值为 . 【答案】4 【分析】联立直线与圆的方程求A、B的坐标，再由向量数量积的坐标表示即可求. 【详解】由题意，联立，有，解得，， 若，则，则. 故答案为：4. 变式1（23-24高二上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若，则点A的横坐标为 . 【答案】5 【分析】先设点坐标，然后表示出圆的方程，将直线与圆的方程联立，求出点坐标，然后根据向量垂直求出参数，求出点坐标. 【详解】设，因为，所以， 则圆的方程为，即， 联立，解得， 由，得，解得或， 又，所以，即 ，所以点的横坐标为5. 故答案为：5 变式2已知圆恒过定点A，B，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】由圆的方程化简，确定的坐标，由此确定直线的方程. 【详解】方程，可化为， 所以点为直线与圆的交点， 所以若点的坐标为，则点的坐标为， 所以直线的方程为， 故答案为：. 变式3（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知直线和的交点为P，求以点P为圆心，且与直线相交所得弦长为12的圆的标准方程． 【答案】 【分析】联立两直线方程，可以求出交点坐标，根据点到直线距离公式和圆的弦长公式，以及圆的标准方程即可求解. 【详解】联立，解得， 所以P坐标为， 圆心到直线的距离为， 半径为. 圆的标准方程为：. 故圆的标准方程为：. 【题型4 位置关系问题及求解参数】 例7如果实数满足等式，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】表示圆上动点与原点连线的斜率，画出满足等式的图形，由数形结合，可求出的最大值． 【详解】满足等式的图形如图所示： 表示圆上动点与原点连线的斜率， 由图可得动点与重合时，此时与圆相切取最大值， 连接，在中，， 易得 此时 故选：D． 例8（24-25高二下·上海宝山·月考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线和圆的位置关系，结合图象来求得正确答案. 【详解】直线，即，过定点， 曲线（）， 可化为（）， 即以为圆心，半径为的圆的上半部分， 画出直线和半圆的图象如下图所示， 设，则的最小值为. 当直线与半圆相切于点时，圆心到直线的距离： ，解得或（舍去）， 所以. 故答案为： 变式1（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用几何法求解直线与圆相交时，k的取值范围. 【详解】的圆心为 则当直线与圆相交时， 圆心到直线的距离小于半径，则 解得： 故答案为： 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）已知实数、满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】表示圆上的点与原点所在直线的斜率，求出过原点与圆相切的切线的斜率，即可得解. 【详解】表示圆上的点与原点所在直线的斜率，设为， 故此圆的切线方程为， 再根据圆心到切线的距离等于半径， 可得，解得， 所以的取值范围为． 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线和曲线有两个交点，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】易得曲线表示圆在轴及轴上方的部分，结合图象求出临界值，进而可得出答案. 【详解】曲线表示圆在轴及轴上方的部分， 当直线与半圆相切时，， 此时，解得（舍去）， 当直线过点时，， 由图可知，. 【题型5 利用位置关系求最值】 例9（23-24高二上·上海宝山·月考）设为圆上的两动点，且，为直线上一动点，则的最小值为 . 【答案】5 【分析】取中点，求出点轨迹方程，，转化求点到直线上点的距离的最小值，由此计算可得. 【详解】设是中点，因为，所以， 即在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以，所以， 又，所以，所以. 故答案为：5 例10圆上的点到直线的距离的最小值是 ． 【答案】3 【分析】由圆心到直线的距离减去半径求解即可. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2， 圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的距离的最小值是． 故答案为： 变式1（25-26高二上·上海徐汇·月考）直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为 . 【答案】9 【分析】求出圆心坐标和半径，由弦长得弦为直径，直线过圆心，圆心坐标代入直线方程得关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由题意圆的标准方程是，圆的圆心为，半径为， 弦长为，则弦为直径，已知直线过圆心， 所以，即， ，当且仅当即时等号成立． 故答案为：9． 变式2已知直线与圆，求圆上各点到直线的距离的最大值． 【答案】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再根据圆上各点到直线的距离的最大值为即可得解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以圆上各点到直线的距离的最大值为. 变式3已知圆C的圆心坐标为，且圆C与直线相切，过点的动直线m与圆C相交于M、N两点，点P为MN的中点． (1)求圆C的标准方程； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用点到直线距离公式求出圆的半径； （2）求出点的运动轨迹，再确定的最大值． 【详解】（1）由题意知点到直线的距离为，也是圆的半径， 圆的半径为， 则圆的标准方程为； （2）依题意作出图形如图所示， 为弦的中点，由垂径定理知：，又过定点， 点的轨迹为以为直径的圆，圆心为，的中点，半径为， ； 的最大值为． 一、填空题 1．（23-24高二上·上海·月考）若直线是圆的一条对称轴，则 ． 【答案】 【分析】将问题转化为直线过圆心，从而得解. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴，所以圆心在此直线上， 所以，解得. 故答案为：. 2．（24-25高二上·上海松江·期中）若圆：关于直线对称，则实数 . 【答案】 【分析】根据圆关于直线对称，可得直线过圆心，即可代入求值. 【详解】由题知，直线过圆的圆心， 则，解得. 故答案为： 3．（23-24高二上·上海·期末）过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】 【分析】求出切点与圆心连线的斜率后可得切线方程. 【详解】由题意可知：圆的圆心为， 因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线， 而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为， 故切线方程为：即. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·月考）过点作圆的切线，则切线的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】求出圆经过点的直径所在直线的斜率即可得切线斜率，进而求出切线方程. 【详解】因为，所以点在圆上，而圆心， 直线的斜率，因此圆C在点处切线斜率为， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 5．（24-25高二下·上海·月考）过点作圆的切线，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】分类讨论，切线斜率是否存在，再利用解方程. 【详解】当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，得， 切线方程为； 当直线斜率不存在时，直线方程为，则圆心到切线的距离，故直线不是切线. 故直线的方程为. 故答案为：. 6．（23-24高二下·上海黄浦·月考）已知直线l：，圆C：，则直线l被圆C所截得的线段的长为 ． 【答案】 【分析】根据已知求出圆心、半径以及圆心到直线的距离，进而根据弦长公式，即可得出答案. 【详解】由已知可得，圆C：的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以，直线与圆相交. 根据垂径定理可得，直线l被圆C所截得的线段的长为. 故答案为：. 7．（24-25高二上·上海·期中）若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得圆心坐标和半径，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆，可化为，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长. 故答案为：. 8．（23-24高二上·上海·月考）已知，若圆上恰有四个点到直线的距离为1，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】由圆的方程，可得圆心为，半径为3， 若圆上恰有四个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离小于， 直线的一般式方程为， 则，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 9．（24-25高二上·上海闵行·月考）已知圆上恰好存在2个到直线的距离为1的点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由圆的方程可得圆心与半径，整理直线方程为一般式，求得圆心到直线的距离，结合题意，可得答案. 【详解】由圆，则圆心，半径为， 由直线，则一般式为， 圆心到直线的距离， 由题意可知，解得. 故答案为：. 10．（24-25高二下·上海·月考）在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与无关，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先将转化为点到两直线距离之和的5倍，根据取值与无关得出距离和与位置无关，再由圆心到直线距离判断圆与直线相离，最后根据直线与圆相切求出的值并确定的取值范围. 【详解】由已知可得所在的圆的方程为， 设， 故可看作点到直线与直线 距离之和的5倍， 因为的取值与无关， 所以这个距离之和与点在圆上的位置无关， 圆心到直线的距离为， 所以圆与直线相离，如图所示，可知直线平移时， 点与直线的距离之和均为直线之间的距离，此时可得圆在两直线之间， 当直线与圆相切时， ，解得（舍去），或，所以. 故答案为： 11．（25-26高二上·上海松江·期中）关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】把问题转化为曲线与有两个交点，画出图象，由数形结合思想即可求解. 【详解】关于的方程有两个不同的实数根， 即曲线与直线有两个交点， 设直线恒过的定点为，则， 作出图象，如图所示，设半圆与轴的交点为，则， 半圆的一条切线为，切点为，   ， 半圆可化为，直线即为， 圆心到直线的距离， 当直线与半圆相切时，则，解得或（舍去），即 要想满足题意，则直线应介于与之间（包括，不包括）， 所以的取值范围为. 故答案为： 12．（25-26高二上·上海·期中）过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为 . 【答案】 【分析】画出图象，结合直线与半圆的位置关系求得正确答案. 【详解】对于曲线，两边平方并化简得， 所以曲线表示以原点为圆心，半径为的圆在轴下方的半圆， 画出图象如下图所示， 依题意可知，直线的斜率存在，设斜率为， 则直线的方程为，即， 令原点到直线的距离，整理得， 解得或. 过和两点的直线的斜率为， 过和两点的直线的斜率为， 结合图象可知，要使直线与曲线有且仅有两个不同的交点， 直线的斜率的取值范围是. 故答案为： 二、单选题 13．（23-24高二上·上海·期末）已知圆，当圆心C到直线的距离最大时，实数的值是（    ） A． B． C．－3 D．3 【答案】B 【分析】圆心，半径，直线恒过定点，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，由斜率公式求得的斜率，再由垂直关系可得答案． 【详解】因为圆的方程为：，化为标准方程得：， 所以圆心为，半径， 直线恒过定点， 当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大， 由斜率公式得直线的斜率为：， 由垂直关系的斜率公式得：，解得， 故选：B． 14．（21-22高二下·上海普陀·期中）已知实数、满足方程，那么的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将看作原点和圆上的点的连线的斜率，利用相切时圆心到直线的距离等于半径，求得k，即可确定答案. 【详解】由圆，得圆心，半径为1， 令，即，则可看作原点和圆上的点的连线的斜率， 当直线和圆相切时，k取得最大或最小值； 故由，解得，所以的取值范围为， 即的最大值为， 故选：C． 15．（24-25高二下·上海·月考）点在圆上运动，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，将目标转化为直线与圆存在交点的问题，利用即可. 【详解】设，则， 因点在圆上运动，且在直线上， 则直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离，得或， 故的取值范围是. 故选：D 16．（22-23高二下·上海宝山·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得：为恒过定点的直线，曲线表示圆心为，半径为的上半圆，由此利用数形结合思想能求出的取值范围． 【详解】根据题意得为恒过定点的直线， 由曲线，可得， 所以曲线表示圆心为，半径为的上半圆，如图所示，    当直线与圆相切时，有，解得（舍去）或， 把代入得，解得， 因为直线与曲线恰有两个公共点， 由图可得，即的取值范围是． 故选：B． 三、解答题 17．（25-26高二上·上海·期中）已知经过点的圆的圆心在直线上，且圆与轴相切，求圆的标准方程. 【答案】或 【分析】设圆的圆心坐标为，利用条件得到圆的方程为，将代入求出或2，从而得到答案. 【详解】设圆的圆心坐标为， 圆与轴相切，故圆的方程为， 将代入可得，解得或2， 当时，圆的标准方程为， 当时，圆的标准方程为， 故圆的标准方程为或. 18．（20-21高二上·上海徐汇·期末）已知直线过点，且与圆相切，求直线的方程． 【答案】或 【分析】讨论直线的斜率是否存在，设出直线方程，根据直线与圆相切即可求出直线的斜率，从而求出直线的方程. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以，解得， 所以直线方程为. 综上知，直线的方程为或. 19．（23-24高二上·上海·课后作业）已知方程和．当实数为何值时，两方程表示的曲线分别有两个交点？只有一个交点？没有交点？ 【答案】答案见解析 【分析】利用圆心到直线距离与圆半径的大小关系确定交点情况，并求出对应参数范围即可. 【详解】由圆心为，半径，则圆心到直线距离， 当，时，整理得，即，有两个交点； 当，时，整理得，即，有一个交点； 当，时，整理得，即或，无交点；    20．（25-26高二上·上海·月考）已知直线和圆． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)判断直线l与圆C的位置关系． 【答案】(1)或 (2)相交或相切 【分析】（1）考虑直线斜率存在和不存在的情况，根据圆心到直线的距离为半径进行求解即可. （2）根据圆心到直线的距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】（1）圆的方程变成标准方程为. 当过点且与圆C相切的直线斜率不存在时，直线方程为. 此时圆心到直线的距离为，等于半径，所以该直线与圆相切，符合题意； 当过点且与圆C相切的直线斜率存在时，直线方程为，即. 则有圆心到直线的距离为，即. 解得，所以此时直线方程为. 综上，符合题意的直线方程为或. （2）直线，变形得，该直线过定点. 圆心到该直线的距离为，所以直线与圆相交或相切. 21．（25-26高二上·上海·开学考试）设圆（常数）与轴正半轴的公共点为，直线过点． (1)写出圆的圆心的坐标以及半径； (2)设，当直线与圆交于、两点时，求弦的中点的轨迹； (3)设直线的斜率为，若恒与圆相交（仍记交点为、），求正实数的取值范围；在上述情况下，若为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)圆心，半径； (2)以中点为圆心，为半径的圆在圆内的一段圆弧； (3)，. 【分析】（1）化圆的方程为标准形式，求出圆心坐标及半径； （2）利用圆的性质及定义确定的轨迹. （3）利用点在圆内求出的范围，将直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示列式求出的范围. 【详解】（1）圆的圆心，半径. （2）当时，圆的圆心，半径， 连接，取中点，连接，，又为弦的中点， 当与不重合时，，为直角三角形，则， 当与重合时，，因此， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又点在圆内， 所以弦的中点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆在圆内的一段圆弧.    （3）圆的圆心，半径，点， 直线恒过定点，由直线恒与圆相交于、两点， 得点在圆内，则，又，解得， 所以正实数的取值范围是； 直线，由消去得，， 设，则， ，由为锐角，得， 即，整理得， 则，又，整理得，解得， 显然不共线，所以实数的取值范围是.    8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $