5 数学归纳法（教学课件）数学北师大版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“数学归纳法”，通过数列实例（如等差数列求和公式证明）及问题驱动（如“如何证明对所有正整数n成立”）导入，衔接已学数列知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以实例分析（如证明等差数列求和公式）抽象原理培养“数学眼光”，通过“奠基-递推”步骤训练“数学思维”，题型训练（等式、不等式证明）强化“数学语言”表达。助力学生掌握证明方法，教师可借清晰结构与实例提升教学效率。

1.5 数学归纳法 第一章 数列 北师大版选择性必修第二册·高二 本章导读 1.2等差数列 等差数列的概念与通项公式 等差数列的前n项和公式 1.4数列的应用 数列在日常经济生活中的应用 数列的其他应用 1.3等比数列 等比数列的概念与通项公式 等比数列的前n项和公式 1.5数学归纳法 1.1数列的概念及其函数特性 数列的概念 数列的函数特性 学 习 目 标 1 2 3 理解数学归纳法的定义和核心原理，明确其适用范围.  掌握数学归纳法证明命题的两个关键步骤，能区分“奠基”与“递推”的作用. 会运用数学归纳法证明简单的与正整数有关的等式、不等式等问题（重点、难点）. 读教材 阅读课本P39-P41，5分钟后完成下列问题： 1.什么是数学归纳法？它适用于解决哪类问题？ 2.数学归纳法的证明步骤包含哪两部分？每一步的作用是什么？ 3.运用数学归纳法时，需要注意哪些易错点？ 我们一起来探究“数学归纳法”吧！ 新课引入 在数学学习中，我们会遇到这样的问题： 这些命题都与正整数相关，的取值是无限的，无法逐一验证。早在16世纪，数学家就开始探索这类问题的证明方法，最终形成了数学归纳法。它不仅在数学证明中发挥着重要作用，在计算机算法设计、科学推理等领域也有着广泛应用.今天，我们就来系统学习数学归纳法. ①已知数列满足，，猜想其通项公式为，如何证明对所有正整数都成立？ ②证明对任意正整数恒成立. 学习过程 01 02 目录 1 数学归纳法 2 题型训练 实例分析 在数列的学习过程中，我们得到过一些公式： 等差数列的通项公式 等差数列的求和公式 等比数列的通项公式 等比数列的求和公式 对于这类与正整数有关的命题，怎样证明它们对每一个正整数都成立呢? 抽象概况 数学归纳法是用来证明某些与正整数有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)证明当取第一个值(是一个确定的正整数，如或2等）时，命题成立； (2)假设当时命题成立，证明当时，命题也成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从开始的正整数都成立． 数学归纳法 抽象概况 数学归纳法为什么能保证命题对所有的正整数都成立? 下面以时的情况加以说明，根据(1)，证明了当时命题成立；根据(2)可知，当时命题成立．由于时命题成立，再根据(2)可知，当时命题也成立，这样递推下去，就可以知道当时命题也成立．即命题对任意正整数都成立． 例题剖析 【例1】用数学归纳法证明：首项为，公差为的等差数列的前项和公式为 证明：(1)当时，左边，右边，等式成立； (2)假设当 时，等式成立，即 成立. 那么当时， 所以，时等式也成立. 由(1)和(2)可知，等式对任意正整数都成立. 例题剖析 【例2】已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 解：由，得： 归纳上述结果，可得猜想 例题剖析 下面用数学归纳法证明这个猜想： (1)当时，左边，右边，等式成立； (2)假设当 时，等式成立，即成立. 那么，当时， 这就是说，当时等式也成立. 根据(1)和(2)，可知猜想对于任意正整数都成立. 抽象概况 我们可以通过例2体会归纳和数学归纳法的区别.在数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数有关的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 例题剖析 【例3】用数学归纳法证明： 证明：(1)当时，左边，右边，命题成立； (2)假设当 时，命题成立，即 . 那么，当时，因为，所以. 根据假设知，，所以 ≥1＋kα 从而. 这表明，当时命题也成立. 根据(1)和(2)，该命题对于任意正整数都成立. 学习过程 01 02 目录 1 数学归纳法 2 题型训练 题型训练 题型一 数学归纳法 【练习1】用数学归纳法证明“当为正奇数时能被整除”时，第二步归纳假设应写成( ) A.假设当时成立，再推出当时成立 B.假设当时成立，再推出当时成立 C.假设当时成立，再推出当时成立 D.假设当时成立，再推出当时成立 解：第二步应该假设当时成立，再推出当时成立. 题型训练 题型一 数学归纳法 【练习2】用数学归纳法证明： 解:(1)当时，左边，右边，等式成立； (2)假设当时等式成立，即，则当+1时， 所以，当+1时，等式成立； 由(1)(2)可知，对，. 题型训练 题型一 数学归纳法 【练习3】在各项为正的数列中，数列的前项和满足. (1)求. (2)由(1)猜想数列的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想． 解:(1)得. 因为，所以， 由得，所以. 又由得 题型训练 题型一 数学归纳法 解:(2)猜想. 证明：①当时，猜想成立． ②假设当时猜想成立即， 则当时，， 即， 所以 ． 题型训练 题型一 数学归纳法 【练习4】求证：)． 解:(1)当时，左边右边，∴不等式成立． (2)假设当时，不等式成立．即成立． 那么当时， ， ∴当时，不等式成立． 由(1)(2)可知，不等式对一切时成立． 课堂小结   1.数学归纳法是用来证明某些与正整数有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是：(1)证明当取第一个值(是一个确定的正整数，如或2等）时，命题成立；(2)假设当时命题成立，证明当时，命题也成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切从开始的正整数都成立． 2.在数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数有关的命题；(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 感谢聆听! $