第1章 5 数学归纳法〈选学〉（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

第一章　数列 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 §3　等比数列 §4 数学归纳法〈选学〉 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十二） Part 03 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 前 预 习 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 正整数n 命题 n0开始的正整数n都成立 命题 递推下去 任意正整数n都成立 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 堂 互 动 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课时作业（十二） 点击进入word 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 谢谢观看 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1.了解数学归纳法的原理． 2．掌握数学归纳法的步骤． 3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 1.通过数学归纳法的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过利用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　数学归纳法 [问题]　在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？这种现象对你有何启发？ 答：需要具备的条件：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数学问题． ►知识填空 1．数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与 有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)证明：当n取 (n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立． (2)假设当n＝k(n∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时， 也成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从 ． 2．数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立的原因 下面以n0＝1时的情况加以说明．根据数学归纳法证明命题的步骤(1)，证明了当n＝1时 成立；根据数学归纳法证明命题的步骤(2)可知，当n＝1＋1＝2时命题成立．由于n＝2时命题成立，再根据数学归纳法证明命题的步骤(2)可知，当n＝2＋1＝3时命题也成立，这样 ，就可以知道当n＝4，5，…时命题也成立．即命题对 ． 第一个值n0 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用数学归纳法证明问题时，n的第一个可取值都是1.(　　) (2)与自然数n有关的问题只能用数学归纳法来进行证明.(　　) (3)在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用归纳假设．(　　) (4)用数学归纳法证明等式时，由n＝k到n＝k＋1，等式的项数不一定增加了一项. (　　) 提示：：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若f(n)＝1＋ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,3)＋…＋ eq \f(1,2n＋1)，则当n＝1时，f(n)等于(　　) A．1　　　　　　　 　B． eq \f(1,3) C．1＋ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,3) D．以上都不对 解析：选C　f(1)＝1＋ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,3). 3．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an+1＝ eq \f(1－an+2,1－a)(a≠1，n∈N＋)”，在验证n＝1时，等式左边是(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 解析：选C　当n＝1时，左边＝1＋a＋a2.故选C. 4．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________． 解析：当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1. 答案：1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2 题型一　用数学归纳法证明等式 [例 1]　用数学归纳法证明：1－ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,3)－ eq \f(1,4)＋…＋ eq \f(1,2n－1)－ eq \f(1,2n)＝ eq \f(1,n＋1)＋ eq \f(1,n＋2)＋…＋ eq \f(1,2n)(n∈N＋). 证明：(1)当n＝1时，左边＝1－ eq \f(1,2)＝ eq \f(1,2)＝ eq \f(1,1＋1)＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1－ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,3)－ eq \f(1,4)＋…＋ eq \f(1,2k－1)－ eq \f(1,2k)＝ eq \f(1,k＋1)＋ eq \f(1,k＋2)＋…＋ eq \f(1,2k)，则当n＝k＋1时， 1－ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,3)－ eq \f(1,4)＋…＋ eq \f(1,2k－1)－ eq \f(1,2k)＋ eq \f(1,2k＋1)－ eq \f(1,2k＋2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k＋1)＋\f(1,k＋2)＋…＋\f(1,2k)))＋ eq \f(1,2k＋1)－ eq \f(1,2k＋2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k＋2)＋\f(1,k＋3)＋…＋\f(1,2k)＋\f(1,2k＋1)))＋ eq \f(1,k＋1)－ eq \f(1,2k＋2) ＝ eq \f(1,k＋2)＋ eq \f(1,k＋3)＋…＋ eq \f(1,2k)＋ eq \f(1,2k＋1)＋ eq \f(1,2k＋2)， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)知等式对任意正整数n都成立． [反思感悟] 用数学归纳法证明不等式的注意点 (1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明． (2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，便于应用归纳假设，变换出要证明的结论． 　　用数学归纳法证明：1＋ eq \f(1,\r(2))＋ eq \f(1,\r(3))＋…＋ eq \f(1,\r(n))<2 eq \r(n)(n∈N＋). 证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2.左边<右边，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立， 即1＋ eq \f(1,\r(2))＋ eq \f(1,\r(3))＋…＋ eq \f(1,\r(k))＜2 eq \r(k). 则当n＝k＋1时， 1＋ eq \f(1,\r(2))＋ eq \f(1,\r(3))＋…＋ eq \f(1,\r(k))＋ eq \f(1,\r(k＋1))＜2 eq \r(k)＋ eq \f(1,\r(k＋1)) ＝ eq \f(2\r(k)·\r(k＋1)＋1,\r(k＋1))< eq \f((\r(k))2＋(\r(k＋1))2＋1,\r(k＋1))＝ eq \f(2(k＋1),\r(k＋1))＝2 eq \r(k＋1). 所以当n＝k＋1时，不等式成立． 由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N＋都成立． 题型三　归纳—猜想—证明 [例 3]　已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝ eq \f(Sn,n(2n－1))，且a1＝ eq \f(1,3). (1)求a2，a3； (2)猜想数列{an}的通项公式，并证明． 解：(1)a2＝ eq \f(S2,2(2×2－1))＝ eq \f(a1＋a2,6)， a1＝ eq \f(1,3)，则a2＝ eq \f(1,15)，同理求得a3＝ eq \f(1,35). (2)由a1＝ eq \f(1,1×3)，a2＝ eq \f(1,3×5)，a3＝ eq \f(1,5×7)，…， 猜想an＝ eq \f(1,(2n－1)(2n＋1)). 证明：①当n＝1时，a1＝ eq \f(1,3)，等式成立； ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想成立， 即ak＝ eq \f(1,(2k－1)(2k＋1))， 那么当n＝k＋1时，由题设an＝ eq \f(Sn,n(2n－1))， 得ak＝ eq \f(Sk,k(2k－1))，ak＋1＝ eq \f(Sk＋1,(k＋1)(2k＋1))， 所以Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1) eq \f(1,(2k－1)(2k＋1))＝ eq \f(k,2k＋1). Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－ eq \f(k,2k＋1)， 因此，k(2k＋3)ak＋1＝ eq \f(k,2k＋1)， 所以ak＋1＝ eq \f(1,(2k＋1)(2k＋3)) ＝ eq \f(1,[2(k＋1)－1][2(k＋1)＋1]). 所以当n＝k＋1时，命题成立． 由①②可知，命题对任何n∈N＋都成立． [反思感悟] “归纳—猜想—证明”的解题步骤 已知数列{an}前n项和为Sn，a1＝－ eq \f(2,3)，且Sn＋ eq \f(1,Sn)＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4的值，猜想Sn的解析式，并用数学归纳法证明． 解：S1＝a1＝－ eq \f(2,3)， S2＋ eq \f(1,S2)＋2＝S2－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))⇒S2＝－ eq \f(3,4)， S3＋ eq \f(1,S3)＋2＝S3－S2⇒S3＝－ eq \f(4,5)， S4＋ eq \f(1,S4)＋2＝S4－S3⇒S4＝－ eq \f(5,6). 猜想：Sn＝－ eq \f(n＋1,n＋2)(n∈N＋). 下面用数学归纳法证明． (1)当n＝1时，左边＝S1＝a1＝－ eq \f(2,3)， 右边＝－ eq \f(1＋1,1＋2)＝－ eq \f(2,3). ∵左边＝右边，∴原等式成立． (2)当n＝k(k≥1，k∈N＋)时， 假设Sk＝－ eq \f(k＋1,k＋2)成立， 由Sk＋1＋ eq \f(1,Sk＋1)＋2＝Sk＋1－Sk得 eq \f(1,Sk＋1)＝－Sk－2＝ eq \f(k＋1,k＋2)－2＝ eq \f(k＋1－2k－4,k＋2)＝ eq \f(－k－3,k＋2)＝－ eq \f(k＋3,k＋2)， ∴Sk＋1＝－ eq \f(k＋2,k＋3)＝－ eq \f((k＋1)＋1,(k＋1)＋2)， ∴当n＝k＋1时，原等式也成立． 综合(1)(2)得，对一切n∈N＋，Sn＝－ eq \f(n＋1,n＋2)成立． [课堂小结] 1．数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明． 2．应用数学归纳法时应注意 (1)验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可； (2)在证明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法． $$