四川省成都石室联合中学2025-2026学年上学期九年级数学竞赛复赛试卷

成都市石室联合中学第二十三届“银杏杯”数学思维竞赛 初三决赛 (时间：2025年12月24.日18：30-20：30满分：140分) 班级■ 姓名 奖级 一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题「分，共42分） 1.若方程x2-3x+1=0的两根也是方程x-px2+g=0的根，则(p+g)26的个位数字是（） A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图，在△BC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=V6,CE平分∠ACB交AB于点E,则线段CE的长 为() A.5+1 B.2 c.2 D.√6-√5 第2题图 第3题图 3.如图，△BC是等边三角形，顶点C在y轴的负半轴上，点A1,5),点B在第一象限，经过点 2 A的反比例函数y=本(x>O)的图象恰好经过项点B,则△4BC的边长为（) x A.3V5 B.2W万 C.4W2 D.36 4.如图，矩形ABCD中，O是△ABC的内心，OE⊥AD于E,OF⊥CD于F,则矩形EOFD与矩形ABCD 的面积之比为() A.1:2 B.2:3 C.2:5 D.3:5 D 0 第4题图 第5题图 5.已知：如图，点0是直线1外一点，点0到直线1的距离是4，点A、点B是直线1上的两个动点，且 OS∠AOB=3,则线段AB的长的最小值为() A昌 9 C.3 D.4 6.在综合实践活动中，数学兴趣小组对1-n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探 究.发现：当m=2时，只有(1,2)一种取法，即k=1:当n=3时，有(1,3)和(2,3)两种取法， 即k=2；当n=4时，可得k=4；当n=5时，可得k=6:,若n=25,则k的值为() D.160 A.148 B.152 C.156 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 二、填空题（本大题共4个小题，每小题7分，共28分） x-my-l 7.若关于x的一元一次不等式组 ->-1有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程 x+1x、 24 1=四-3的解是整数解，则所有满足条件的整数m的值之和为一· y-11-y 8.如图，在正方形ACBD中，AC=2,M为边BC上任意一点，连接AM,将△ACM沿AM翻折得到 △ACM,连接BC并延长交AC于点N,若点N为AC的中点，则点C到AC的距离为一· 以 BN E 0 第8题图 第9题图 9.已知P(3,4),矩形0APB的A,B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数y=>0,k>0)与矩形的 BP,AP分别交于D,C,△COD的面积为4.5.若E,F分别为直线AB和反比例函数上的动点，M为 EF中点，则OM的最小值为 10.已知y=2x-2,a5x5b,则后ys片，则a+b所有可能值为 三、解答题（本大题共3个小题，共70分） 11.(20分)对a>b>c>0,作二次方程x2-(a+b+c)x+ab+bc+ca=0. (1)若方程有实根，求证：a,b,c不能成为一个三角形的三条边长： (2)若方程有实根，求证：a>>b+C: (3)当方程有实根6,9时，求正整数a,b,c. CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 12.(25分)己知AB为直径，CD⊥AB,点E在OA上，CE的延长线交O于F,连FA,CA (I)如图1，若CD为直径，E为OA中点，求ta∠ACF的值： (2)如图2，当CD与CF重合，弦AG交BC于M,连CD交BC边于N,交AB于K,连MK,求 证：M瓜⊥AB: (3)在(2)问条件下，如图3，弦AG平分半径OC于H, 号-号-10，泉0w的张. G 0 E 图 图2 图3 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 13.(25分)如图，己知二次函数y=a(x-4a≠0)的图象过点A(2,2),连接OA点P(x,y),2(:,2), R(x,y),是此二次函数图象上的三个动点，且0<名<x<名<2，过点P作PB∥y轴交线段OA于点B. (1)求此二次函数的表达式： (2)如图1，点C、D在线段OA上，且直线QC、RD都平行于y轴， ①当PB>2C时，求证：x+x,>2: ②当PB>RD时，求证：+x<2: 3)如图，若玉=号5，名)，延张PB交x抽于点射线.OR分别5y抽交于点QR 连接AP,分别在射线AT、x轴上取点M、N(点N在点T的右侧)，且∠AMN=∠PAO,MN=2N互.记 1=R2-ON,试探究：当x为何值时，1有最大值？并求出1的最大值 R OA -R 0 M 图1 图2 4 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP