精品解析：安徽省合肥市庐江县2025-2026学年九年级上学期 阶段性练习三数学试题（12月）

安徽省合肥市庐江县2025-2026学年九年级年级上学期12月月考 九年级数学 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 剪纸是我国优秀的民间传统文化艺术之一，传承了中华民族深邃的传统思想和古老文化，具有独特的美术价值和人文价值．下面的剪纸图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形的判定标准是解题关键． 中心对称图形指在平面内，将一个图形绕某一点旋转后，能与原图形完全重合的图形，据此对选项依次判断． 【详解】解：选项：将其绕任意一点旋转，旋转后的图形与原图案无法重合，故不是中心对称图形； 选项：是轴对称图形，同时绕自身中心旋转后，新图案与原图案完全重合，故是中心对称图形； 选项：将其绕任意一点旋转，旋转后的图形与原图案无法重合，故不是中心对称图形； 选项：将其绕任意一点旋转，旋转后的图形与原图案无法重合，故不是中心对称图形； 故选：． 2. 若的直径为，的长为，则点与的位置关系是 （ ） A. 在上 B. 在内 C. 在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系：当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上，根据点与圆的位置关系，比较点到圆心的距离与圆的半径的大小 【详解】解：∵的直径为， ∴半径 ∵， ∴， ∴点在上， 故选：． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中十环 B. 抛掷一枚硬币，反面朝上 C. 向空中抛出的排球会落地 D. 太阳西升东落 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件． 根据事件的分类逐一判断即可． 【详解】A.射击运动员射击一次，命中十环，是随机事件； B.抛掷一枚硬币，反面朝上，是随机事件； C.向空中抛出的排球会落地，是必然事件； D.太阳西升东落，是不可能事件； 故选：C． 4. 如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 【详解】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交， 故选：A． 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式，求出a的值即可． 【详解】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 6. 如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，为半径的弧，弦的长为，则的长是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查弧长的计算，根据弧长公式（为所在圆的半径，为的度数的数值）即可求得答案． 【详解】∵， ∴为等边三角形． ∴ ． ∴． 故选：D 7. 如图，在电路图上有A，B，C，3个开关和2个小灯泡，，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况， ∴小灯泡发光的概率为：． 故选：C． 8. 如图，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，若经过点与相交于，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，旋转的性质，三角形外角定理，掌握相关定理与性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为菱形，， ， 菱形绕点逆时针旋转得到菱形， ， ． 故选：B． 9. 如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理的推论及勾股定理是解题的关键． 由，得到在以为直径的上，连接交圆于，当与重合时，线段的长最小，由勾股定理求出，即可得到，于是得到线段的最小值为8． 【详解】解：如图， ， ， ， 在以为直径的上， 连接交圆于，当与重合时，线段的长最小， ， ， ， ， ， 线段的最小值为8． 故选答案为：A． 10. 如图所示，二次函数 （，， 为常数，）的图象与 轴交于点 ，． 则以下结论错误的是 （ ） A. B. C. 若点 和 均在抛物线上，则 D. 若点 在二次函数的图象上，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质（对称轴、最值、函数值比较），熟练掌握二次函数的图象特征与代数表达式的关系是解题的关键．先根据二次函数与x轴的交点坐标，结合对称轴、函数最值、函数值比较等知识，逐一分析每个选项的正误． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，． ∴ ，， ∴将两式相加，得，即，故B项正确，不符合题意； ∵ ，关于对称轴对称， ∴ 对称轴为， ∵ ，且抛物线开口向下（）， ∴ 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，对应函数值，故C项正确，不符合题意． ∵ 对称轴， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，即， ∴ ， ∵ 抛物线开口向下，， ∴ ，故A项错误，符合题意． ∵ 对称轴为，抛物线开口向下， ∴ 当时，函数取得最大值， ∵ 点在图象上，即， ∴ ，即，故D项正确，不符合题意． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 一元二次方程的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解： ∴， 即， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 12. 如图，正八边形内接于，则的度数为_____． 【答案】##135度 【解析】 【分析】本题考查正多边形内角和公式，正多边形的内角性质，熟练掌握正多边形内角和公式是解题关键． 先确定正八边形的边数为，然后代入正多边形内角和公式算出内角和，再结合正八边形内角相等的性质，求出作为其内角的的度数． 【详解】解：对于边数为（且为整数）的正多边形，其内角和为， 正八边形的边数为， 则其内角和为， 正八边形的所有内角大小相等且为其内角， ． 故答案为：． 13. 口袋中有15个球，其中白球有x个，绿球有2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜；则当x= ________时，游戏对甲、乙双方都公平． 【答案】3 【解析】 【分析】游戏是否公平, 关键要看游戏双方获胜的机会是否相等, 即判断双方取胜的概率是否相等, 或转化为在总情况明确的情况下, 判断双方取胜所包含的情况数目是否相等. 【详解】解:由题意甲从袋中任意摸出一个球, 若为绿球则获胜; 甲摸出的球放回袋中, 乙从袋中摸出一个球, 若为黑球则获胜可知, 绿球与黑球的个数应相等, 也为2x个, 列方程可得 x+2x+2x=15, 解得x=3, 故答案为3. 【点睛】本题考查的是概率的计算. 判断游戏公平性就要计算每个事件的概率, 概率相等就公平, 否则就不公平. 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比. 14. 已知二次函数 ． （1） 若点 向下平移1个单位长度，向左平移 个单位长度后，恰好落在该二次函数的图象上，则 的值为 _____ ； （2） 已知该函数图象经过，两个不同的点． 当，，且时，的取值范围是 _____ ． 【答案】 ①. 2或6 ②. 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、点的平移坐标变化以及函数值的大小比较． （1）先确定点平移后的坐标，再代入二次函数解析式求解方程； （2）直接计算两点对应的函数值，并通过不等式求解参数范围． 【详解】解：∵点 向下平移1个单位长度，向左平移 个单位长度， ∴平移后的点的坐标为， 把点代入得： ， 解得：或6． 故答案为：2或6 （2）已知二次函数， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 即，解得， ∴的取值范围是． 故答案为： 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中是一元二次方程的解． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、因式分解、一元二次方程的解的应用，掌握因式分解法是解题关键． 通过因式分解将分式变形，再将除法转化为乘法进行约分，简化原式，由一元二次方程的解得到的值，舍去无效解后代入化简后的式子计算． 【详解】解：化简：原式 ， 解方程：，即， 解得，， 当时，，原式分母不能为，舍去， 当时，原式． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕原点O顺时针旋转，得到，画出并写出点B的对应点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） 如图，即为所求，． 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称作图，旋转变换作图，轴对称作图． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径． 【答案】该门洞的半径为． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用，运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为， 根据题意，得，， 根据勾股定理，得， 解得， 答：该门洞的半径为． 18. 在一个不透明的口袋里装有个相同的红球，为了估计口袋中红球的数量，七（1）班的学生在数学实验课上分组做摸球试验：将14个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是汇总各小组数据后所制作的班级统计总表： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的频数 65 111 345 568 700 摸到白球的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 0.70 （1）按表格数据格式，表中的_______，______； （2）请估计：当次数很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1） （3）估计在这个不透明的口袋中，红球数量的值． 【答案】（1），； （2）； （3）红球数量的值为6． 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，理解利用频率来估计概率的意义是解题的关键． （1）根据频率=频数÷样本总数，即可求解； （2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在左右； （3）先利用频率估计概率可得摸到白球的概率，根据白球的个数求出球的总个数，再利用球的总个数减去白球的个数，即可得出红球的个数． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近． 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意得，摸到白球的概率为， 因此球的总个数为：（个）， 红球个数为：（个）． 即红球数量的值为6． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第2个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第3个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第4个方程：，方程的两个根分别是 ，； … （1）请按照此规律写出两个根分别是 ， 的一元二次方程 ______； （2）如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程 是否是“邻根方程”． 【答案】（1） （2）方程是“邻根方程” 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系及一元二次方程的解法是解题的关键． （1）先根据根与系数的关系，得出方程的一次项系数（两根和的相反数）和常数项（两根之积），再结合已知根写出方程． （2）先解出方程的两个根，再计算两根的差值，判断是否符合 “邻根方程” 的定义． 【小问1详解】 解：∵，， ∴两根和为，两根积为， ∴ 一元二次方程为； 【小问2详解】 解：解，得，， ， 方程是“邻根方程”． 20. 某初中举行硬笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图． 请结合图中相关信息解答下列问题： （1）本次共调查了_______名同学；请将条形统计图补全； （2）扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是_______度； （3）获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自九年级，其他同学来自八年级．现准备从获得一等奖的同学中任选2人参加市级硬笔书法大赛．请通过列表或画树状图的方法求所选出的2人中既有七年级同学又有九年级同学的概率． 【答案】（1） 40, 补图如下： （2）108； （3） 【解析】 【小问1详解】 解：根据题意，得被调查的总人数为 （人）， 一等奖的人数为：(人)， 故答案为：40． 【小问2详解】 解：扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是， 故答案为：108． 【小问3详解】 解：一等奖中七年级人数为（人），九年级人数为（人），则八年级的有1人， 画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中所选出的2人中既有七年级同学又有九年级同学的有4种结果， 所以所选出的2人中既有七年级同学又有九年级同学的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本容量，圆心角的计算，列表或画树状图法求概率，熟练掌握统计图的意义，概率计算，正确计算样本容量，计算概率是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 如图，是的直径，是上一点，于点，延长至点，使得． （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的周长．（结果保留π） 【答案】（1） 证明：如图，连接． ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 又∵是的半径， 与相切． （2）阴影部分的周长为． 【解析】 【分析】（1）通过连接，利用等腰三角形性质、直径所对圆周角为直角、垂直的角关系，推导得出，从而证明是切线； （2）结合角度条件，判断为等边三角形，求出弧长，进而计算阴影部分周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ． ， 是等边三角形， ． ∵， ∴阴影部分的周长为． 【点睛】本题主要考查了圆的切线判定、圆周角定理、弧长公式及等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法和弧长公式的应用是解题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在中，，点在边上，点在延长线上，且，连接，将绕点逆时针旋转，连接，直线与直线交于点． （1）如图2，求证：； （2）在图2中，连接，求证：； （3）如图3，若，，当点与点重合时，求的面积； 【答案】（1） 证明：， ． 即． 在和中 ． ． （2） 证明：如图，在上截取，连接． 由（1）得，， ． 在和中 ， ． ． 即． 是等腰直角三角形． 根据勾股定理得，， ． ， ． ． （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出． （2）在上截取，连接，证明，得出，，证出是等腰直角三角形，则可得出结论； （3）由等腰直角三角形的性质及勾股定理求出的长，如图，过作于，由三角形面积可得出答案；设，则，得出，则由勾股定理求出的长，由三角形面积可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）得，， ． ， ． ． ． ． 根据勾股定理得，． 同理，， ． 设，则． 由（1）得， ， 在Rt中，， ， 解得（舍去）， ． 如图2，过作于． ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，抛物线（；，；）的顶点为，与轴交于，两点，我们发现在轴下方的抛物线的形状很像一口锅，于是我们作如下新的定义：以为弦，在上方作弧，把，两点之间的抛物线部分与弧所围成的封闭图形称为“锅线”，如图，记为“锅线”，顶点称为“锅底”，点到线段的距离称为“锅深”，弧称为“锅盖”，弧的中点到线段的距离称为“锅盖高”，若为等腰直角三角形，则此“锅线”称为“标准锅线”．若图中的“锅线”为“标准锅线”，“锅盖高”为，“锅深”为． （1）求抛物线的解析式； （2）求弧所在圆的圆心坐标； （3）如图2，在“标准锅线”上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）弧所在圆的圆心坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“锅盖高” “锅深”确定点、坐标，结合等腰直角三角形性质得、坐标，代入抛物线解析式求解； （2）设圆心为，利用勾股定理建立方程求圆心坐标； （3）构造全等三角形确定点坐标，求出直线解析式，联立抛物线方程求解点坐标． 【小问1详解】 解：∵ “锅盖高”为1，“锅深”为3， ∴ ，， ∴ ，， ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ，， 将、代入， ∵ ，且， ∴ ，解得， ∴ 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设圆心为，连接，， 在中，，设，则， ∵ ， ∴ ， 展开得：， 化简得：，解得， ∵ 在轴负半轴， ∴ ，即弧所在圆的圆心坐标为； 【小问3详解】 解：存在，作辅助线：连接，过作于，过作轴垂线，过作轴垂线，过作轴垂线，交点为、． ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形，， 又∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， 设直线的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴ 直线的解析式为， 联立直线与抛物线的方程得 ， 消去得：， 整理得： 解得：（舍去）或， 将代入，得， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的求解、圆的圆心坐标确定、全等三角形的判定与性质及一次函数与二次函数的交点问题，熟练掌握坐标与图形的性质、利用方程思想求解函数交点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省合肥市庐江县2025-2026学年九年级年级上学期12月月考 九年级数学 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 剪纸是我国优秀的民间传统文化艺术之一，传承了中华民族深邃的传统思想和古老文化，具有独特的美术价值和人文价值．下面的剪纸图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若的直径为，的长为，则点与的位置关系是 （ ） A. 在上 B. 在内 C. 在外 D. 无法确定 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中十环 B. 抛掷一枚硬币，反面朝上 C. 向空中抛出的排球会落地 D. 太阳西升东落 4. 如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 6. 如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，为半径的弧，弦的长为，则的长是 （ ） A. B. C. D. 7. 如图，在电路图上有A，B，C，3个开关和2个小灯泡，，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ） A. B. C. D. 1 8. 如图，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，若经过点与相交于，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 6 10. 如图所示，二次函数 （，， 为常数，）的图象与 轴交于点 ，． 则以下结论错误的是 （ ） A. B. C. 若点 和 均在抛物线上，则 D. 若点 在二次函数的图象上，则 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 一元二次方程的解是___________． 12. 如图，正八边形内接于，则的度数为_____． 13. 口袋中有15个球，其中白球有x个，绿球有2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜；则当x= ________时，游戏对甲、乙双方都公平． 14. 已知二次函数 ． （1） 若点 向下平移1个单位长度，向左平移 个单位长度后，恰好落在该二次函数的图象上，则 的值为 _____ ； （2） 已知该函数图象经过，两个不同的点． 当，，且时，的取值范围是 _____ ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中是一元二次方程的解． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕原点O顺时针旋转，得到，画出并写出点B的对应点的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径． 18. 在一个不透明的口袋里装有个相同的红球，为了估计口袋中红球的数量，七（1）班的学生在数学实验课上分组做摸球试验：将14个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是汇总各小组数据后所制作的班级统计总表： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的频数 65 111 345 568 700 摸到白球的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 0.70 （1）按表格数据格式，表中的_______，______； （2）请估计：当次数很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1） （3）估计在这个不透明的口袋中，红球数量的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第2个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第3个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第4个方程：，方程的两个根分别是 ，； … （1）请按照此规律写出两个根分别是 ， 的一元二次方程 ______； （2）如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程 是否是“邻根方程”． 20. 某初中举行硬笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图． 请结合图中相关信息解答下列问题： （1）本次共调查了_______名同学；请将条形统计图补全； （2）扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是_______度； （3）获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自九年级，其他同学来自八年级．现准备从获得一等奖的同学中任选2人参加市级硬笔书法大赛．请通过列表或画树状图的方法求所选出的2人中既有七年级同学又有九年级同学的概率． 六、（本题满分12分） 21. 如图，是的直径，是上一点，于点，延长至点，使得． （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的周长．（结果保留π） 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在中，，点在边上，点在延长线上，且，连接，将绕点逆时针旋转，连接，直线与直线交于点． （1）如图2，求证：； （2）在图2中，连接，求证：； （3）如图3，若，，当点与点重合时，求的面积； 八、（本题满分14分） 23. 如图1，抛物线（；，；）的顶点为，与轴交于，两点，我们发现在轴下方的抛物线的形状很像一口锅，于是我们作如下新的定义：以为弦，在上方作弧，把，两点之间的抛物线部分与弧所围成的封闭图形称为“锅线”，如图，记为“锅线”，顶点称为“锅底”，点到线段的距离称为“锅深”，弧称为“锅盖”，弧的中点到线段的距离称为“锅盖高”，若为等腰直角三角形，则此“锅线”称为“标准锅线”．若图中的“锅线”为“标准锅线”，“锅盖高”为，“锅深”为． （1）求抛物线的解析式； （2）求弧所在圆的圆心坐标； （3）如图2，在“标准锅线”上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $