专题08 导数的综合应用（16大考点）（寒假复习讲义）高二数学苏教版

专题08 导数的综合应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：导数的概念和几何意义 1、概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 2、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3、物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 知识点2 ：导数的运算 1、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 3、复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 知识点3 ：函数的单调性与导数的关系 1、函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2、已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 知识点4 ：利用导数判断函数单调性的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论； （3）求出导数的零点； （4）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性； （5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段. 知识点5 ：函数的极值 （1）函数的极小值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． （2）函数的极大值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． （3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． （4）求极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 知识点6 ：函数的最大（小）值 （1）函数在区间上有最值的条件： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. （2）求函数在区间上的最大（小）值的步骤： ①求在内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 考点1：平均变化率和瞬时变化率 【例1】（25-26高二上·宁夏石嘴山·月考）已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A．-3m/s B．3m/s C．-4m/s D．1m/s 【变式1-1】（25-26高二上·江苏·期末）为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 【变式1-2】（25-26高二上·福建厦门·月考）一个做直线运动的物体，其位移与时间的关系是（位移单位：，时间单位：），则此物体在时的瞬时速度为（   ）. A．2 B．-2 C．1 D．-1 【变式1-3】（24-25高二下·福建泉州·月考）一物体做直线运动，其运动方程为，则该物体的初速度为（   ） A． B． C．0 D．1 考点2：导数定义的应用 【例2】（24-25高二上·陕西西安·期末）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·江苏·期末）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 【变式2-3】（25-26高二上·江苏泰州·月考）设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 考点3：切线问题与公切线问题 【例3】（2025·安徽·二模）已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·江苏·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高三上·福建漳州·开学考试）已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则a的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高三上·辽宁营口·期中）若直线与曲线相切于点，其中，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-4】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 考点4：利用导数解决实际问题 【例4】（2025高二上·全国·专题练习）如图所示，ABCD是边长为40cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设. (1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 【变式4-1】（25-26高二上·上海·期中）甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为． (1)把全部运输成本元表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【变式4-2】（24-25高三上·北京·月考）现有一张长为40cm，宽为30cm的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失．如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为xcm，高为ycm，体积为． (1)求出y关于x的函数解析式； (2)求该铁皮盒体积的最大值． 【变式4-3】（24-25高二下·安徽·月考）某商场在“五一”劳动节期间，要对某商品进行调价，已知该商品的每日销售量y（单位：）与销售价格x（单位：百元/）满足，其中，该商品的成本为1百元/． (1)将该商场每日销售该商品所获利润表示为销售价格x的函数； (2)当每日销售该商品所获利润最大和最小时，销售价格分别是多少？（参考数据：） 考点5：利用导数研究函数的单调性 【例5】（25-26高二上·福建厦门·月考）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间. 【变式5-1】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知函数. (1)若在点处的切线与直线平行，求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【变式5-2】（25-26高二上·江苏南通·月考）已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 【变式5-3】（25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数，其中． (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 考点6：已知单调性求参数 【例6】（2025·吉林松原·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【变式6-1】（24-25高二下·北京·期末）若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二下·北京西城·期末）若函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二下·江苏·期末）已知在上对任意满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点7：比较大小 【例7】（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二下·福建福州·期中）定义的实数根叫函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，则大小为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）若，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 考点8：解导数不等式 【例8】（23-24高二下·福建厦门·期中）已知函数 的定义域为 是的导函数， 且 ，， 则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025高二·全国·专题练习）函数是定义在区间上可导函数，其导函数为且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025高二上·全国·专题练习）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025高二·全国·专题练习）已知定义在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 考点9：极值问题 【例9】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 【变式9-1】（2025高二上·黑龙江大庆·专题练习）函数的极小值是 . 【变式9-2】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 【变式9-3】（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数有极大值，则实数c 的值为 考点10：最值问题 【例10】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 【变式10-1】（2025高二·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【变式10-2】（2025高二·全国·专题练习）（1）函数的最小值为 ； （2）函数的最小值为 ． 【变式10-3】（2025·河北·模拟预测）已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为 . 考点11：证明不等式 【例11】（2025·江苏·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 【变式11-1】（24-25高二下·贵州黔西·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. 【变式11-2】（24-25高二下·广东中山·月考）已知函数，. (1)求的极值； (2)证明：当时，.（参考数据：） 【变式11-3】（2025高二·全国·专题练习）已知函数．若，证明：当时，． 考点12：利用导数研究不等式恒(能)成立问题 【例12】（25-26高三上·北京·月考）已知函数. (1)若时，求曲线在处切线的斜率； (2)求的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【变式12-1】（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 【变式12-2】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，且曲线在点处的切线斜率为1． (1)求的表达式； (2)若恒成立，求a的值． 【变式12-3】（24-25高二下·福建漳州·期末）设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 考点13：零点问题 【例13】（2025高二·全国·专题练习）已知，，，判断的零点个数． 【变式13-1】（2025高二·全国·专题练习）当时，讨论函数的零点个数． 【变式13-2】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，当时，有两个零点，求a的取值范围． 【变式13-3】（2025高二·全国·专题练习）已知函数且． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，且存在三个零点．求实数a的取值范围； 考点14：双变量问题问题 【例14】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若函数有两个零点，，求证：. 【变式14-1】（25-26高三上·江西赣州·期中）已知函数 (1)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围. (2)若函数有三个不同的零点，，. （I）求实数的取值范围； （II）若，求证：. 【变式14-2】（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数. (1)求的最大值； (2)已知关于的方程恰有两个实数根、，若，求的取值范围； 【变式14-3】（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知. (1)若曲线在处的切线与垂直，求实数的值； (2)若函数存在两个不同的极值点，求的取值范围. 考点15：极值点偏移问题 【例15】（2025高二·全国·专题练习）已知函数有两个不同的零点.求证：. 【变式15-1】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，其中.当时，设的两个零点为，，求证：. 【变式15-2】（2025高二·全国·专题练习）已知函数有两个零点、．证明：． 【变式15-3】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，其中a为常数．若函数有两个不相等的零点，证明：．（） 考点16：新定义问题 【例16】（2025高二·全国·专题练习）两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，已知函数． (1)求函数在处的阶帕德近似； (2)在（1）的条件下：求证：； (3)已知在处的阶帕德近似为，依据帕德近似公式；若在处的阶帕德近似为，设，试比较p，q，r的大小． 【变式16-1】（2025·四川绵阳·模拟预测）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）．设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．已知三次函数 (1)过点作曲线的切线，求切线方程： (2)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数，其中．求的拐点． 【变式16-2】（24-25高二下·浙江杭州·期末）设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是． (1)若是上的下凸函数，求实数a的取值范围； (2)在锐角三角形中，求最大值； (3)已知正实数满足，求的最小值． 【变式16-3】（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数． (1)写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且． 1．（25-26高二上·江苏盐城·期中）一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二下·全国·专题练习）已知函数在单调递增，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·云南昭通·期中）若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·河南南阳·月考）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·吉林四平·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知，，，试比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·福建泉州·月考）若函数的极大值是6，则 . 11．（25-26高二上·上海·期中）若函数在上存在极小值，则实数的取值范围为 ． 12．（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数的最小值为1，则 ． 13．（24-25高二下·上海·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. (1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； (2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 14．（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 15．（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 16．（2025高二·全国·专题练习）求证： 17．（2025高二·全国·专题练习）已知函数．求证：当时，． 18．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数，． (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，讨论函数的单调区间； (3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围． 19．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数， (1)若恒成立，求实数t的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 20．（2025高二·全国·专题练习）已知函数有两个零点，. (1)求a的取值范围； (2)证明：. 21．（24-25高二下·广东广州·期末）牛顿法（Newton’s method）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：，，…，，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，已知． (1)若给定，求的二阶近似值； (2)函数． ①试写出函数的最小值与的关系式； ②证明：． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 导数的综合应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：导数的概念和几何意义 1、概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 2、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3、物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 知识点2 ：导数的运算 1、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 3、复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 知识点3 ：函数的单调性与导数的关系 1、函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2、已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 知识点4 ：利用导数判断函数单调性的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论； （3）求出导数的零点； （4）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性； （5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段. 知识点5 ：函数的极值 （1）函数的极小值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． （2）函数的极大值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． （3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． （4）求极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 知识点6 ：函数的最大（小）值 （1）函数在区间上有最值的条件： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. （2）求函数在区间上的最大（小）值的步骤： ①求在内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 考点1：平均变化率和瞬时变化率 【例1】（25-26高二上·宁夏石嘴山·月考）已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A．-3m/s B．3m/s C．-4m/s D．1m/s 【答案】A 【解析】因为，则，故. 当时，该质点的瞬时速度为. 故选：A. 【变式1-1】（25-26高二上·江苏·期末）为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 【答案】D 【解析】选项A，设， 设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为， 结合图像可知：， 所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误； 选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知， 直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度， 而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快， 从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误； 选项C，设为接近的时刻且， 从时刻到时刻，污水排放量平均变化率， 由导数的定义与几何意义可知， 在接近时，污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替. 设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为， 结合图象可知， 所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误； 选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等， 即甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同， 所以该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·福建厦门·月考）一个做直线运动的物体，其位移与时间的关系是（位移单位：，时间单位：），则此物体在时的瞬时速度为（   ）. A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】D 【解析】因为，所以（瞬时速度是位移函数的导数）. 当时，. 故选：D. 【变式1-3】（24-25高二下·福建泉州·月考）一物体做直线运动，其运动方程为，则该物体的初速度为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【解析】由题可得，所以,所以该物体的初速度为 故选：D 考点2：导数定义的应用 【例2】（24-25高二上·陕西西安·期末）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数在处可导， 所以 . 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二上·江苏·期末）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 【变式2-2】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解析】已知函数可导， ， 所以. 故选：A 【变式2-3】（25-26高二上·江苏泰州·月考）设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由题意可知， . 故选：D. 考点3：切线问题与公切线问题 【例3】（2025·安徽·二模）已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为奇函数，当时，， 当时，可得， 则，可得，， 所以曲线在处的切线方程是，即. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高二上·江苏·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 设切点为，则， 切线方程为，又切线过点， ，整理得， 切线方程为，则. 故选：C. 【变式3-2】（23-24高三上·福建漳州·开学考试）已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则a的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线与，分别切于点， 由，得，由，得， 由导数的几何意义可得， 所以，则， 所以，则， 所以， 设，则 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 所以，即a的最大值为， 故选：A 【变式3-3】（25-26高三上·辽宁营口·期中）若直线与曲线相切于点，其中，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】设，则， 则，则， 整理得， 解得或. 当时，，又，所以， 则. 故选：A. 【变式3-4】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 考点4：利用导数解决实际问题 【例4】（2025高二上·全国·专题练习）如图所示，ABCD是边长为40cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设. (1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 【解析】（1）设包装盒的底面边长为，高为， 则由题意可得，，，其中， 所以， 因此，当时，取得最大值； （2）根据题意，由（1）有， 所以， 由得，（舍）或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以当时，函数取得极大值，也是最大值； 此时包装盒的高与底面边长的比值. 【变式4-1】（25-26高二上·上海·期中）甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为． (1)把全部运输成本元表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【解析】（1）由题意得，每小时运输成本为，全程行驶时间为小时， 所以，. （2）， 当时，， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以当时，最小. 综上：应该以千米/小时行驶. 【变式4-2】（24-25高三上·北京·月考）现有一张长为40cm，宽为30cm的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失．如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为xcm，高为ycm，体积为． (1)求出y关于x的函数解析式； (2)求该铁皮盒体积的最大值． 【解析】（1）因为材料利用率为，由题意可得，即； 因为长方形铁皮长为40，宽为30，故， 综上，，； （2）铁皮盒体积， ，令，得 的变化情况如下： 20 + 0 - 则在上为增函数，在上为减函数， 则当时，取最大值，最大值为． 【变式4-3】（24-25高二下·安徽·月考）某商场在“五一”劳动节期间，要对某商品进行调价，已知该商品的每日销售量y（单位：）与销售价格x（单位：百元/）满足，其中，该商品的成本为1百元/． (1)将该商场每日销售该商品所获利润表示为销售价格x的函数； (2)当每日销售该商品所获利润最大和最小时，销售价格分别是多少？（参考数据：） 【解析】（1）由题意：，（）. （2）因为，（）. 设，（）. 则，因为，所以. 所以函数在上单调递增. 又，， 又 当时，，所以，所以在上单调递减； 当时，，所以，所以在上单调递增. 又， ， . 所以当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价（百元）时，利润最小. 考点5：利用导数研究函数的单调性 【例5】（25-26高二上·福建厦门·月考）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间. 【解析】（1）因为，，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以，； （2）由（1）得， 令，解得或2，易知恒成立， 所以令，解得，在上单调递减； 令，解得或，在，上单调递增； 则的单调递减区间为，单调递增区间为和. 【变式5-1】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知函数. (1)若在点处的切线与直线平行，求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【解析】（1） 由题意，，即， 所以，所以处的切点为 所以在点处的切线方程为， （2）函数的定义域为， 当时，恒成立， 所以单调递增区间为，无单调减区间； 当时，令，解得，令，解得， 所以单调递增区间为，单调减区间为. 【变式5-2】（25-26高二上·江苏南通·月考）已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 【解析】（1）因为，则， 又曲线在处的切线与直线垂直，则，解得. （2）易知，又， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，得到（舍）或， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【变式5-3】（25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数，其中． (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 【解析】（1）当时，， 则， 当时，解得或（舍）， 则，可得切点， 代入切线方程得， 解得． （2）已知， 得； 当时，定义域为， ， 二次函数图象开口向上，且 令，在必有解， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 时，定义域为，则恒成立，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 考点6：已知单调性求参数 【例6】（2025·吉林松原·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由函数，可得， 因为函数的减区间为，即不等式的解集为， 所以，且，解得， 所以且，解得. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高二下·北京·期末）若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得在上有解， 即在上有解， 因为， 所以当时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【变式6-2】（24-25高二下·北京西城·期末）若函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，， 则在时恒成立， 则与共零点， 故，解得，即， 当时，， 则在时恒成立，则， 由在区间上单调递增， 则，解得， 综上可得. 故选：B. 【变式6-3】（24-25高二下·江苏·期末）已知在上对任意满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，在R上单调递减， 当时，，即， 当时，，， 可知在恒成立，可得，解得， 且当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：D． 考点7：比较大小 【例7】（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：B. 【变式7-1】（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 设， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，， 又因为， 所以. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高二下·福建福州·期中）定义的实数根叫函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，则大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 令可得，所以， 所以是函数的“躺平点”，故， 因为，所以， 令可得，所以， 所以是函数的“躺平点”，故， 因为，所以， 令可得， 设函数， 因为函数为增函数，在上单调递减， 所以函数在上为单调递增， 又，， 所以函数在上有且只有一个零点， 设其零点为，则， 所以方程的解集为， 所以是函数的“躺平点”， 即，， ，且， 所以， 故选：C. 【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）若，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，则，，， 由，令得，令得， 则在上单调递增，在上单调递减． 因为，所以，所以； 因为，所以，所以； 令，且，则， 令，， 则， 所以在上单调递增， 又，所以，所以， 因为，且，所以，所以. 故选：B 考点8：解导数不等式 【例8】（23-24高二下·福建厦门·期中）已知函数 的定义域为 是的导函数， 且 ，， 则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，即在上为减函数， ， ， 不等式可化为不等式，即， 由在上为减函数得， 不等式的解集为. 故选: A 【变式8-1】（2025高二·全国·专题练习）函数是定义在区间上可导函数，其导函数为且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，设，， 则； 由已知当时，，则有， 即在上单调递增， 又，变形可得， 即， 又函数在上单调递增， 则有， 解得：， 故选：B． 【变式8-2】（2025高二上·全国·专题练习）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令, 则， 所以为奇函数，故. 因为当时，， 所以当时，， 故在上单调递增. 因为为奇函数，所以在上也单调递增. 又， 所以当时， 当时， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【变式8-3】（2025高二·全国·专题练习）已知定义在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 令，则，所以为偶函数， 所以， 又当时，， 所以当时，则在为减函数， 故在上为增函数， 又不等式 可化为，即， 由为偶函数，不等式等价于， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D． 考点9：极值问题 【例9】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意知有两个相异实根，即， 也即与的图象有两个交点. ，所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 且，当时，， 所以在处取得极大值也即是最大值为. 画出的图象如下图所示， 由图可知，要使与的图象有两个交点，则需. 故答案为： 【变式9-1】（2025高二上·黑龙江大庆·专题练习）函数的极小值是 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， 又， 令，解得或， 当时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以当时，取得极小值，且极小值. 故答案为：-6 【变式9-2】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 【答案】3 【解析】由得， 因为函数在处取得极大值， 所以是方程的根，因此或，即或； ①若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极小值，不符合题意； ②若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极大值，符合题意； 故答案为：3. 【变式9-3】（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数有极大值，则实数c 的值为 【答案】6 【解析】， 求导得，令，解得或， 若，则在上，函数单调递增；在上， 函数单调递减；在上，函数单调递增； 在处取得极大值，在处取得极小值， ，即，解得； 若，则在上，函数单调递增；在上， 函数单调递减；在上，函数单调递增； 在处取得极小值，在处取得极大值， ，不符合题意； 若，则，函数单调递增，无极值，不合题意； 综上，实数． 故答案为：6． 考点10：最值问题 【例10】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 【答案】 【解析】由函数，可得， ①当时，恒成立，单调递减， 此时，解得，不满足； ②当时，令解得， （i）当时， 当时，单调递减，当时，单调递增， 此时，解得，满足； （ii）当时，在上 ，单调递减， 此时，解得，不满足， 综上可得：综上所述， 故答案为：. 【变式10-1】（2025高二·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】定义域为，， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故. 故答案为： 【变式10-2】（2025高二·全国·专题练习）（1）函数的最小值为 ； （2）函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】（1）函数定义域为. ， 令，则（）. 因为，所以，所以在上单调递增，. ，令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在处取得最小值，此时. 故函数的最小值为1. （2）函数定义域为. ， 令，则. ，令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在处取得最小值，此时，所以. 由（1）知，在单调递增， 所以在处取得最小值，此时. 函数的最小值为. 故答案为：（1）1；（2）. 【变式10-3】（2025·河北·模拟预测）已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【解析】，，得， 当，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 如图，当与直线平行的直线与的图象相切时，此时切点到直线的距离最小， ，得，即切点， 点到直线的距离为. 故答案为： 考点11：证明不等式 【例11】（2025·江苏·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 【解析】（1）当时，，，即切点坐标为， 又可得，即切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立，即在恒成立， 所以 设， 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以， 所以，得； 当时，，， 所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 且时，，即， 令，则，所以， 即， 所以 . 【变式11-1】（24-25高二下·贵州黔西·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. 【解析】（1）因为函数，函数的定义域为，. 当时，，因为，所以，. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数的递增区间为，递减区间为. （2）由，即，得在上恒成立； 令，. 由得，即，所以当，. 所以在上单调递增，在单调递减，所以. 所以，故a的取值范围为 （3）先证明不等式，令，. 所以在单调递减，所以，即不等式成立. 令，即，所以. 所以，，，. 上述n个式子相加得 . 故，成立. 【变式11-2】（24-25高二下·广东中山·月考）已知函数，. (1)求的极值； (2)证明：当时，.（参考数据：） 【解析】（1）函数的定义域为，又， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 所以的极大值为，无极小值； （2）设， 解法一：则， 令， 当时，单调递减，当时，单调递增， 又， 所以存在，使得，即. 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以当时，在处取得极小值，即为最小值， 故， 设，因为， 由二次函数的性质得函数在上单调递减， 故， 所以当时，，即. 解法二：要证，即证， 因为，所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，所以，即. 【变式11-3】（2025高二·全国·专题练习）已知函数．若，证明：当时，． 【解析】因为，， 则要证，只需证， 令，则， 令，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即， 所以函数在上单调递增， 所以，得证． 考点12：利用导数研究不等式恒(能)成立问题 【例12】（25-26高三上·北京·月考）已知函数. (1)若时，求曲线在处切线的斜率； (2)求的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，则， ，在处切线的斜率为. （2）由题意知：的定义域为，， ①当时，，，， 在上单调递增； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）对任意，均存在，使得，； ，当时，， 在上恒成立，即在上恒成立，； 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 【变式12-1】（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域是 . 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，且不恒成立，此时在单调递增，无单调递减区间； 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增，无单调递减区间； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； （2）至少存在一个，使得成立，即当时， 有解 ∵当时，，∴有解， 令，则. ∵， ∴在上单调递减，∴， ∴，即， ∴实数a的取值范围. 【变式12-2】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，且曲线在点处的切线斜率为1． (1)求的表达式； (2)若恒成立，求a的值． 【解析】（1）由，得， 则切线的斜率，所以． （2）令． 因为恒成立，所以，在上恒成立， 因为，又的图象在定义域上是连续不间断的，所以是的一个极大值点，则， 又，所以，得， 下证当时，对任意恒成立， 令，则， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，即， 而，所以当时． 综上，若恒成立，则． 【变式12-3】（24-25高二下·福建漳州·期末）设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 【解析】（1）由题意可得的定义域为， ， 当时，恒成立， 在上单调递减，无极值， 当时，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得极大值，也是最大值， 且最大值为，无最小值． 综上所述， 当时，无最值， 当时，的最大值为，无最小值． （2）当时，，代入，得， 因为，所以，所以，即 令，则， 整理：所以 由（1）知，当时，在上单调递减， 故函数在上单调递增， 又因为，， 所以在上存在唯一零点，且， 故在上也存在唯一零点且为， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在上，， 且，代入，得： ， 因为，所以， 因为且为整数， 所以的最大值为2． 考点13：零点问题 【例13】（2025高二·全国·专题练习）已知，，，判断的零点个数． 【解析】由， 因为，，则，可得出，即，其中， 令，其中，则对任意的恒成立， 故函数在上单调递增， 因为，，即， 由零点存在定理可知函数在区间存在唯一的零点， 故函数在上有且只有一个零点，即函数只有一个零点. 【变式13-1】（2025高二·全国·专题练习）当时，讨论函数的零点个数． 【解析】因为，当时，在上单调递增，故函数至多有一个零点． ，当时，有，故， 所以取，， 所以使有唯一零点. 即函数零点个数为1. 【变式13-2】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，当时，有两个零点，求a的取值范围． 【解析】由函数， 可得，其中，且， 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，令，解得， 当时，可得，所以存在唯一的使得， 当时，可得， 可取，则，所以函数在上存在一个零点， 所以实数的取值范围为. 【变式13-3】（2025高二·全国·专题练习）已知函数且． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，且存在三个零点．求实数a的取值范围； 【解析】（1）时，， , 故曲线在处的切线为，即， （2）因为且存在三个零点，所以有3个根， 等价于对分情况讨论： 当时，方程为；当时，方程为， 由于故均为单调递增函数， 故单调递增，， 当时，此时， 根据零点存在性定理可知，使得， 当，令，，令可得， 当单调递减，当单调递增， 当时，，当时，， 要使得存在三个零点，则需要在上有2个零点， 故， 综上：． 考点14：双变量问题问题 【例14】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若函数有两个零点，，求证：. 【解析】设， 代入得， 两式相减并整理得：， 又由两式相加得并整理得：， 则，. 设，则，单调递增， 则当时，，即， 代入即，则， 则, 则， 则， 设，则单调递增，且， 则. 【变式14-1】（25-26高三上·江西赣州·期中）已知函数 (1)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围. (2)若函数有三个不同的零点，，. （I）求实数的取值范围； （II）若，求证：. 【解析】（1）若有4个不同的零点，则有4个不同的实数解. 考虑方程的解的个数及方程的解的个数 设，则， 设，则， 若，则且，故在上单调递增， 在上单调递增， 此时方程至多一个实数根，方程至多一个实数根， 故至多两个不同的实数根，与题意不合，舍； 若，则（不恒为零）， 故在上单调递减，故方程至多一个实数根， 故方程至少三个不同的实数根， 故至少有三个不同的零点，故至少有两个不同的极值点， 但只有一个正根，矛盾，故不合题意； 若，则当时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故至多两个不同的零点， 而当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故至多两个不同的零点，而共4个不同的零点， 故有且只有两个不同的零点且有且只有两个不同的零点， 故且， 由可得， 设，则， 故在为增函数，故即， 而，时，，故恰有两个不同的零点. 又时，，时，，故恰有两个不同的零点. 综上，当时，恰有4个不同的零点. （2）（I）当时，， 因为在上单调递增，故在区间上单调递增， 且的取值范围为. 而当时，为增函数，且的取值范围为. 在区间上单调递增，且值域为，，. 设，方程，由题意可知有三个不同的实数根， 则有两个不同的实数根， 此时有且仅有1个解，因此需要有且仅有2个解， 所以，而，故实数的取值范围是. （II）证明：由（I）可知，且， 所以，其中 设，则. 因为在区间上单调递减， 而，， 所以在区间上有且仅有一根. 设这个根为，其中. 因为当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 因为，所以取不到等号，所以. 【变式14-2】（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数. (1)求的最大值； (2)已知关于的方程恰有两个实数根、，若，求的取值范围； 【解析】（1）函数的定义域为，，令，解得， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以当时，取得最大值，即. （2）由题意可得，整理得， 不妨设，所以，所以， 所以， 设，则， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，则在上单调递增，所以. 所以的取值范围为. 【变式14-3】（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知. (1)若曲线在处的切线与垂直，求实数的值； (2)若函数存在两个不同的极值点，求的取值范围. 【解析】（1）因为，所以， 又曲线在处的切线与垂直， 所以，解得. （2）因为，， 所以的两个极值点是方程的两正根， 所以，解得， 所以 ， 令，则， 所以在单调递减， 当时，，且， 所以的取值范围是. 考点15：极值点偏移问题 【例15】（2025高二·全国·专题练习）已知函数有两个不同的零点.求证：. 【解析】定义域为， ，所以在上单调递减. ，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值， 又， 所以先保证必要条件成立，即满足题意. 当时，； ， 由以上可知，当时，有两个不同的零点. 由题意，设，要证明，只需证明. 因为在上单调递减，且， 只需证. 又，即只需证， 构造函数， 因为， 所以 ，， 则， 所以在单调递减， 所以. 因为，所以，成立，即， 所以. 【变式15-1】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，其中.当时，设的两个零点为，，求证：. 【解析】由，因为，所以定义域为， 则， 令，得，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，又，故，. 要证，只需证，而， 又在上单调递减，只需证即可. 又， 令，则，所以在上单调递增， 故，即，则， 所以. 【变式15-2】（2025高二·全国·专题练习）已知函数有两个零点、．证明：． 【解析】令，得，则， 即， 令函数，则， 因为在上单调递增，所以，即 令函数，则， 令，得，，得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 由题意可知，函数有两个零点、，不妨设，则， 令函数，则， 所以在上单调递减． 因为，所以当时，；当时，． 所以，， 即，， 所以由有两个不相等的正根、，且 得，则， ，则，即， 所以， 因为，所以． 【变式15-3】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，其中a为常数．若函数有两个不相等的零点，证明：．（） 【解析】定义域为， 故， 因为，所以，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值， ， 又趋向于0或时，趋向于， 由零点存在性定理可得，只需成立， 即，故， 此时存在两个不相等的零点，不妨令， 要证，即证，而，， 由于在上单调递增，只需证， 令，， 则 ， 显然，当时，， 所以在上单调递增， 故，故，即， 又，故，得证. 考点16：新定义问题 【例16】（2025高二·全国·专题练习）两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，已知函数． (1)求函数在处的阶帕德近似； (2)在（1）的条件下：求证：； (3)已知在处的阶帕德近似为，依据帕德近似公式；若在处的阶帕德近似为，设，试比较p，q，r的大小． 【解析】（1）由已知在处的阶帕德近似为 根据条件 ，因，故，得， 因，则，对求导得，代入得， 又，则；，则， 由得，解得。 所以． （2）令， 因为，当时，显然， 故在和上均单调递减， ① 当时，，即， 此时，所以，即； ② 当时，，即， 此时，所以，即， 综上，所以不等式恒成立. （3）依题意，，由，得，此时， 因为，所以， 又因为，所以， 故在处的阶帕德近似为：， 则， 又在处的阶帕德近似为， 故，， 故得． 【变式16-1】（2025·四川绵阳·模拟预测）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）．设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．已知三次函数 (1)过点作曲线的切线，求切线方程： (2)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数，其中．求的拐点． 【解析】（1）因为，故可设切点为，， 所以， 整理得： 解得：或， 当时，切点为，切线斜率为，故切线方程为， 当时，切点为，切线斜率为，切线方程为， 故切线方程为：或． （2），当且仅当时，， 由（1）， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又由可得，，， 作函数的大致图象如下， 所以， 要使恒成立 当即时，恒成立， 即，且， 所以 当时，由恒成立， 得（*）， 因为，所以，， 令，所以， 当时，，当时，， 由题干可得函数的图象关于点对称， 所以， 所以不等式（*）为， 因为，结合图象可得， 所以恒成立， ，所以． 综上，且 （3）， 由于，故，即的定义域为， ， ， 令得，， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，由零点存在性定理知，有唯一的零点， 故，即时，满足， 当时，， 故的拐点为 【变式16-2】（24-25高二下·浙江杭州·期末）设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是． (1)若是上的下凸函数，求实数a的取值范围； (2)在锐角三角形中，求最大值； (3)已知正实数满足，求的最小值． 【解析】（1）因为是上的下凸函数， 所以在 上恒成立， 即在 上恒成立， 所以在 上恒成立， 又因为在 上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）令， 则， 所以在上是下凸函数， 又因为， 所以， 即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为； （3）因为正实数满足， 所以， 令， 则， 因为，所以 所以， 即 所以在上是下凸函数， 所以， 即， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 【变式16-3】（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数． (1)写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且． 【解析】（1）因为，， 所以在处的二阶拟合函数． 设，则，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立． （2）记，则，则， 所以在上单调递增，， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立， 由（1）可知，则， 所以当时，对恒成立， 则对恒成立． 设， 当时，， 设，则， 所以在上单调递减，则， 所以，这与题意矛盾，所以． （3）因为， 所以，则， 则， 因为，且的图象开口向上， 所以有两个零点，且． 因为当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 要证，只需证， 因为，且， 所以只需证， 构造函数， 则， 所以在上单调递增，所以，即， 因为，所以，所以． 1．（25-26高二上·江苏盐城·期中）一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则， 故， 即该质点在时的瞬时速度为， 故选：C 2．（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，故， 所以， 可得，解得. 故选：A. 3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 由，得， 所以，解得. 故选：D. 4．（2025高二下·全国·专题练习）已知函数在单调递增，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，令，得． 当时，，所以的单调增区间为， 因为在单调递增，所以， 所以. 故选：D. 5．（24-25高二下·云南昭通·期中）若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 而时，函数单调递减，所以在恒成立， 即恒成立，因为，所以， 即在恒成立， 因为在上单调递增， 则，所以. 故选：A． 6．（24-25高二下·河南南阳·月考）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则， 因为函数在上单调递减， 所以对于恒成立， 即对于恒成立， 而，则，即， 则实数a的取值范围为. 故选：D. 7．（24-25高二下·吉林四平·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数， 可得， 因为在上单调递增，有恒成立， 整理为， 令，可得， 由二次函数的单调性，则满足，可得， 即实数的取值范围为. 故选：D. 8．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知，，，试比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 则当时单调递减， 故 故进而， 设 由于函数和均为定义域内的单调递增函数， 所以为上的单调递增函数， 因此， 故， 故， 因此， 故选：B 9．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，因为， 所以，所以单调递增， 又，所以的解集为， 即的解集为， 故选：D. 10．（24-25高二下·福建泉州·月考）若函数的极大值是6，则 . 【答案】6 【解析】设，则， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 可得函数在处取得极大值6，即，解得. 故答案为：6 11．（25-26高二上·上海·期中）若函数在上存在极小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】（1）当时，函数，其导数，故在上单调递增，在处取得最小值1. （2）当时，函数，求导得. ①若，则，函数在上单调递增，此时整个函数在R上单调递增，无极小值; ②若，令，解得。由于，仅考虑. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减, 故函数在时先增后减，而时函数单调递增，故整个函数在处取得极小值. 此时，实数的取值范围为 故答案为： 12．（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数的最小值为1，则 ． 【答案】1 【解析】函数的定义域为，求导得， 当时，在内恒成立， 所以函数在内单调递增，此时无最小值； 当时，由，得，由，得， 所以函数在内单调递减，在内单调递增， 故当时，取得最小值，即，故． 故答案为：． 13．（24-25高二下·上海·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. (1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； (2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 【解析】（1）依题意，，. （2）由（1）知，，， ， 令，解得，， 当时，，当时，，在上严格单调递减， 时，的最大值为，即； 当时，，当时，，在上严格单调递增， 当时，，在上严格单调递减， 则当时，的最大值为，即， 所以. 14．（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【解析】（1）当时，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当，即时恒成立，所以在上单调递增； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上可得，当时的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当 时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 15．（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【解析】（1），， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． （2）∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 16．（2025高二·全国·专题练习）求证： 【解析】证明：由不等式可知，令，. 所以在上单调递增，故，即①. 令，则， 所以当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以，即②. 综合①②可得③. 令，则， 所以在上单调递减，故，即④. 又，所以⑤. 综合③⑤得，即. 17．（2025高二·全国·专题练习）已知函数．求证：当时，． 【解析】证明：设（），则，则， 令，则. 当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；所以在时取得最小值，为. 又，，，所以，所以存在，使得. 当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 又，所以当时，；当时，。 故当时，。 所以， 故当时，. 令（），则.令，则. 当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；所以在时取得最小值，此时，所以当时，，即. 综上，当时，. 18．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数，． (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，讨论函数的单调区间； (3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围． 【解析】（1）的定义域为， 当时，，， 令得，令得，令得， 所以的单调递增区间为，递减区间为， 所以在处取得最小值. （2）， 则， ①当时，即时，在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增； ②当，即时，在上， 所以，函数在上单调递增. 综上所述，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是； 当时，函数的单调递增区间是，不存在减区间. （3）在区间上存在一点，使得成立， 即在区间上存在一点，使得， 即函数在上的最小值小于等于零. 由（2）可知 当，即时，在上单调递减， 所以的最小值为，由可得，满足， 所以； 当，即时，在上单调递增. 所以最小值为，由可得，满足， 所以； ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 可得最小值为，因为，所以， 故，此时不成立. 综上讨论可得所求的范围是：或. 19．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数， (1)若恒成立，求实数t的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 【解析】（1），因为，若，即. 由于不是定义域区间的端点，且在定义域上连续， 故不仅是函数的最小值，同时也是极小值， 所以，解得. 检验：当时，，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； 所以的最小值为，即成立， 综上，. （2）①当时，令， ， 令，解得，，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为； 当时，无解，当时，一解，都不符合题意； 当时，，， 因为，在上单调递减，所以在上唯一解； 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，即，所以， 所以 ，又， 因为，在上单调递增； 所以在上有唯一解； 综上所述，方程有两个不同的根时，； ②由题可知：，即且， 构造函数：， 则， 所以在上单调递减，故，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 因为在上单调递增，，， 所以，得 要证， 即证， 即，即， 即证， 因为，故只须证明：， 因为成立. 所以原不等式成立. 20．（2025高二·全国·专题练习）已知函数有两个零点，. (1)求a的取值范围； (2)证明：. 【解析】（1）由，得． 若，则，只有一个零点． 若，则当时，；当时，． 所以在单调递减，在上单调递增． 当时，，故，又， 所以在上必存在一个零点； 当时，，则在上必存在一个零点； 故时，存在两个零点． 若，由得或． 若，则，故当时，， 因此在单调递增．在内至多有一个零点； 又当时，所以不存在两个零点． 若，则，故当时，； 当时，． 因此在单调递减，在和上均单调递增． 而，则，此时在内无零点， 而当时，，故上有一个零点； 又当时，，所以不存在两个零点． 综上，的取值范围为． （2）不妨设，由（1）知，， 在单调递减，所以等价于，即． 由于，而， 所以． 设，则． 所以当时，，此时在上单调递减， 而，故当时，． 从而，故． 21．（24-25高二下·广东广州·期末）牛顿法（Newton’s method）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：，，…，，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，已知． (1)若给定，求的二阶近似值； (2)函数． ①试写出函数的最小值与的关系式； ②证明：． 【解析】（1）函数，求导得， 依题意，，当时，， 同理，而，所以； （2）①因为， 所以，令， 求导得，所以在上单调递增， 函数单调递增，， 由，得，且，则，， 所以， 当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得最小值， 即. ②由①知，， 令，求导得， 令，求导得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 则当时，恒成立，即函数在上单调递增， 而，因此，所以. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $