专题07 导数及其应用（12大题型+思维导图+知识清单+课后提升练）（寒假复习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

专题07 导数及其应用 【苏教版】 【知识清单1 导数的概念】 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t0到这段时间内的平均速度为. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当∆t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当∆t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度，即瞬时速度. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当∆x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当∆x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率. 3．函数的平均变化率 对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+∆x).这时，x 的变化量为∆x，y的变化量为∆y=f(x0+∆x)- f (x0).我们把比值，即叫做函数y=f(x)从x0到x0+∆x的平均变化率. 【知识清单2 导数的几何意义】 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T(T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线x0. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 【知识清单3 导数的运算】 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【知识清单4 函数的单调性】 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时， 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 4．导数中函数单调性的应用 (1)比较大小：利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. (2)解不等式：与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【知识清单5 函数的极值】 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列 方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【知识清单6 函数的最值】 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 3．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【知识清单7 导数中的函数零点（方程根）问题】 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 【知识清单8 导数中的不等式问题】 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 2．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 【知识清单9 导数中的双变量问题】 1．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【知识清单10 导数在解决实际问题中的应用】 1．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 【题型1 变化率问题】 【例1】（25-26高二上·江苏·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平均速度的含义，代入数据，计算即可得答案. 【解答过程】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高一下·北京海淀·期中）已知函数，则在上的平均变化率为（    ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】根据平均变化率的定义求解即可. 【解答过程】由题设在上的平均变化率为. 故选：A. 【变式1.2】（24-25高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【答案】C 【解题思路】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断即可. 【解答过程】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A、B错误； 因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率 故在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【解题思路】结合瞬时变化率与平均变化率变化率结合图象分析即可得. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确. 故选：D. 【题型2 导数的概念】 【例2】（24-25高二上·陕西西安·期末）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用导数的定义求解. 【解答过程】因为函数在处可导， 所以 . 故选：B. 【变式2.1】（25-26高二上·江苏·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将题目给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解. 【解答过程】因为，即， 即，则. 故选：A. 【变式2.2】（24-25高二下·江苏·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解题思路】由导数的概念即可求，最后由导数的几何意义即可求解. 【解答过程】由有， 所以. 故选：A． 【变式2.3】（24-25高二下·山东·月考）已知函数，则（    ） A． B． C．-6e D． 【答案】B 【解题思路】利用导数的运算法则求出，再利用导数的定义即可求出. 【解答过程】由题意得， 则 . 故选：B. 【题型3 导数的运算】 【例3】（25-26高二上·江苏·期末）下列求导正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数加法运算法则判断A；根据复合函数的导数判断B；根据导数除法运算法则判断C；根据导数乘法运算法则判断D. 【解答过程】，A不正确； ，B不正确； ，C不正确； ，D正确. 故选：D. 【变式3.1】（25-26高二上·江苏·期末）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【解答过程】A：，正确； B：，正确； C：，错误； D：，正确； 故选：C. 【变式3.2】（25-26高三上·天津东丽·开学考试）已知函数的导函数为，且满足，则（   ） A． B．0 C． D．-1 【答案】D 【解题思路】首先利用导数公式求，再代入导数公式求的值. 【解答过程】，所以，得， 则，所以. 故选：D. 【变式3.3】（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数，其导函数记为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】化简，令，判断该函数的奇偶性，结合奇偶性以及，求得，根据复合函数求导法则得，进而得，即，即可得解. 【解答过程】因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以； 因为，所以，即， 又，所以，所以， 所以． 故选：D. 【题型4 曲线的切线问题】 【例4】（24-25高二下·河南焦作·期末）过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】设切点为，利用切点坐标表示出切线方程，然后代入点，求出即可得解. 【解答过程】设切点为，因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又该切线经过点，所以， 整理得，解得或， 所以切线方程为或. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高二下·陕西铜川·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出导函数，再点斜式写出切线方程即可. 【解答过程】因为，所以， 而， 因此曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高二上·全国·单元测试）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出曲线在点处的切线方程，再设直线与曲线相切于点，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【解答过程】由题，令，则，所以， 所以曲线在点处的切线方程为． 由，得， 设直线与曲线相切于点，则，得， 则，所以，所以． 故选：A. 【变式4-3】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【解答过程】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 【题型5 函数的单调性问题】 【例5】（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出函数的定义域，解不等式，即可得出函数的增区间. 【解答过程】函数的定义域为，则， 因为，由，可得， 故函数的单调递增区间为. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高二上·湖南长沙·月考）设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数的性质，结合指数函数的单调性、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【解答过程】由， 因为函数在上单调递增， 所以有在上恒成立， 因为，所以，所以， 由， 因为，所以， 所以当时，， 于是有 ，解得，或， 而，所以， 故选：D. 【变式5-2】（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)的递增区间为、，递减区间为 【解题思路】（1）求导，根据两直线垂直得到切线斜率，由导数几何意义得到方程，求出； （2）求定义域，求导，得到不等式，求出单调区间. 【解答过程】（1）， 则， 由题意可得， 解得. （2）由，故，定义域， 则，， 由0得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为、，的递减区间为. 【变式5-3】（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）函数在上单调递减，转化为恒成立，进而用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【解答过程】（1），， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． （2）∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 【题型6 函数的极值问题】 【例6】（25-26高二上·湖南长沙·月考）函数的极大值点为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对求导，利用导数判定原函数的单调性和极值点. 【解答过程】由题意可知：函数的定义域为，且， 令，解得，在单调递增； 令，解得，在单调递减； 可知函数的极大值点为. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高二上·云南玉溪·月考）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数极值点的定义，结合二次函数的性质、数形结合思想、转化法进行求解即可. 【解答过程】，则， 由题意有两个不同的异号零点，即有两个不同的根， 记， 当时，函数单调递增，在时，函数单调递减， 所以当时，函数有最大值，且， 所以当时，有两个不同的根， 等价于直线与函数有两个不同的交点，如图， 所以. 故选：A. 【变式6-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数 在处有极小值，则的值为（    ） A．1或3 B．2 C．3 D．1 【答案】D 【解题思路】由在处有极小值可知，解出的值，并根据单调性验证可求得的值. 【解答过程】因为，所以 ． 因为函数在处有极小值， 所以，解得或． 当时， ， 当时，或，当时，， 所以在处取到极小值，符合题意； 当时，， 当时，或，当时，， 所以在处取到极大值，不符合题意． 综上，的值为1． 故选：D. 【变式6-3】（24-25高二下·海南·月考）已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据极值的定义，结合导数的运算法则进行求解即可. 【解答过程】， 因为函数的极小值点为， 所以，或， 当时，，当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是函数的极大值点，不符合题意； 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以是极小值点，是极大值点， 故选：A. 【题型7 函数的最值问题】 【例7】（25-26高二·全国·假期作业）函数在闭区间上的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出导函数，即可求出单调区间，从而求出极值与端点处的函数值，即可求出函数的最值. 【解答过程】因为，所以，由，得． 又当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 又因为，． 故，． 故选：B. 【变式7-1】（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对求导，求出导数为0的的值，分析的单调性，得出极值点，极值，并计算取得极值的其它点，从而得到的取值范围. 【解答过程】，令，解得或，易知： 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故的极小值为，极大值为， 所以， 由可得，，解得或， 由可得，，解得或， 所以，， 因此，即. 故选：B． 【变式7-2】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【解题思路】（1）求得，得到，得到切线的斜率为，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1）知，得出函数的单调性，进而求得函数的最值. 【解答过程】（1）解：由函数，可得， 则，即切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）解：由（1）知， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此为的极小值点，也是最小值点， 又由，其中， 所以在上的最小值为，最大值为. 【变式7-3】（24-25高二下·江苏南京·开学考试）设函数． (1)若恒成立，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，当时，函数的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，. 【解题思路】（1）由给定的恒成立的不等式分离参数，构造函数，求出函数的最大值即可. （2）利用导数按分类讨论函数在上的单调性，并求出最小值即可. 【解答过程】（1）函数的定义域为，不等式， 令，依题意，恒成立，， 当时，；当时，， 函数在上递增，在上递减，，则， 所以实数a的取值范围是. （2）由函数，求导得，由，得， 当时，，函数在上单调递减， ，解得，无解； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，解得，符合题意， 所以存在实数a，当时，函数的最小值是2，. 【题型8 利用导数研究函数零点（方程根）】 【例8】（24-25高二下·河南·月考）函数的零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】求出函数的导数并求出单调区间，确定极值情况，再结合零点存在性定理求解. 【解答过程】函数的定义域为R， 求导得， 由，得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数的极大值，极小值，而， 因此函数在上有唯一零点0；在与分别有唯一零点， 所以所求零点个数为3. 故选：C. 【变式8.1】（2025·湖南益阳·三模）若函数有两个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分类讨论的值，再根据导数分析的单调性，结合函数有两个零点，即可求解范围． 【解答过程】函数的定义域为. 当时，令，在只有一个零点，不合题意； 当时，， 当时，，则在单调递增，，所以在只有一个零点，不合题意； 当时，令， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 又时，， 若有两个零点，则， 设，令，解得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以， 所以， 故选：C． 【变式8.2】（25-26高三上·云南昆明·期中）已知函数. (1)若，证明：当时，； (2)若，求的最小值； (3)讨论的零点个数. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3)答案见解析 【解题思路】（1）利用导数的性质，结合函数的单调性进行运算证明即可； （2）根据导数的性质，结合函数的单调性进行求解即可； （3）根据参变量分离法，通过构造新函数，利用数形结合思想分类讨论进行求解即可. 【解答过程】（1）， 因为，， 所以，因此， 所以当时，函数在上单调递减， 于是由，证毕； （2）当时，，， 当时，，所以函数在时，单调递增， 当时，，，显然， 因此，所以函数在时，单调递减， 所以当时，函数有最小值； （3）当时，， 所以此时该函数是实数集上的减函数，而， 所以此时函数有唯一零点； ， 设， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增，且， 函数的图象和直线的图象如下图所示： 显然当时，直线和函数的图象有唯一交点； 函数在处的切线斜率为， 因此当时，直线和函数的图象有唯一交点； 因此当时，直线和函数的图象有两个交点， 当时，直线和函数的图象有两个交点， 综上所述：当时，函数有两个零点， 当时，函数有一个零点. 【变式8.3】（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （2）（i）结合（1）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. 【解答过程】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，所以函数在上单调递增；． 当时，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（1）知，且，所以，解得． （ii）由（1）得，所以，两边同时取自然对数， 得，两式相减得，即， 要证，只需证明， 令，只需证明构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式（*）成立，于是原不等式成立． 【题型9 利用导数研究不等式恒（能）成立问题】 【例9】（2025高二·全国·专题练习）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】同构，先利用对数的运算性质变形不等式为，构造，然后利用导数分析单调性和最值可得. 【解答过程】因为关于x的不等式对恒成立， 所以，即， 不妨设，此时在上恒成立， 可得， 当时，单调递增；当时，单调递减， 又，所以当时，，当时，， 又，所以在上恒成立，即恒成立. 构造函数，，则， 易知时，，在上单调递减；时，，在上单调递增； 所以， 所以实数a的取值范围为. 故选：D． 【变式9-1】（24-25高二下·河南郑州·期末）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】只需，根据导数求出的最小值，由二次函数单调性求出的最小值，即可求解. 【解答过程】，，使得成立， 则， 函数， ， 令得，当时，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取极小值，也是最小值， 函数的最小值为， ， 则， 所以. 故选：A. 【变式9-2】（2025·四川泸州·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，对任意，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出该点的函数值与函数在该点的导数值，再利用点斜式直线方程化简求解即可． （2）要使恒成立，只需，令，求导结合零点存在定理得的单调区间，进而求得在上的最小值即可得解． 【解答过程】（1）已知，将代入函数可得． 又， 将代入导数中，得到切线的斜率． 已知点，斜率，代入可得切线方程，即． （2）要使恒成立，只需． ，则． 令，． 因为时，，所以，即在上单调递增． 又， ， 所以存在，使得． 当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增． 由上述分析可知，在处取得最小值，即． 因为，即，整理得， 两边同时除以，可得，即， 将代入中： 所以，要使对恒成立，只需． 【变式9-3】（25-26高三上·北京·月考）已知函数. (1)若时，求曲线在处切线的斜率； (2)求的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）根据导数几何意义直接求解即可； （2）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到结论； （3）将问题转化为，由二次函数性质可求得，采用参变分离的方式可得，利用导数可求得的最小值，进而得到结果. 【解答过程】（1）当时，，则， ，在处切线的斜率为. （2）由题意知：的定义域为，， ①当时，，，， 在上单调递增； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）对任意，均存在，使得，； ，当时，， 在上恒成立，即在上恒成立，； 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 【题型10 利用导数证明不等式】 【例10】（24-25高二下·广东中山·月考）已知函数，. (1)求的极值； (2)证明：当时，.（参考数据：） 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)证明见解析 【解题思路】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值； （2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再证明即可，或者转化证明不等式，通过构造函数可得证. 【解答过程】（1）函数的定义域为，又， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 所以的极大值为，无极小值； （2）设， 解法一：则， 令， 当时，单调递减，当时，单调递增， 又， 所以存在，使得，即. 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以当时，在处取得极小值，即为最小值， 故， 设，因为， 由二次函数的性质得函数在上单调递减， 故， 所以当时，，即. 解法二：要证，即证， 因为，所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，所以，即. 【变式10-1】（2025高二·全国·专题练习）已知函数．证明：． 【答案】证明见解析 【解题思路】先求出函数定义域，对不等式变形，构造新函数，求导，通过导数分析函数的单调性和最小值，从而证明结论． 【解答过程】当时，，的定义域为， 令． 令，则需证明， 求导得，令， 则， ，，即在上单调递增， ， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 在处取极小值，即为最小值， ，在上恒成立，原不等式得证． 【变式10-2】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，. (1)若，求a的取值范围； (2)若有两个实数解，，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）不等式变形得到在上恒成立，构造函数，求出单调性和最小值，只需，解得； （2）不妨设，由（1）知方程，，，且，欲证，即证，构造差函数，得到差函数的单调性，结合（1）可知，所以，则. 【解答过程】（1）由可知，，， 即在上恒成立，， 令，则，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 由于在上单调递增， 故只需，解得； （2）方程有两实数解，， 即有两实数解，不妨设， 由（1）知方程要有两实数解，则，即， 同时，，， 由（1）知有两根，即有两根， 则有， 欲证，即证，， 令，， 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 令， 在上恒成立， 故在上单调递增， 所以，故， 又，，结合在单调递增，， 所以，则. 【变式10-3】（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在上的单调性； (3)若，求证：当时，． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）利用导数与函数单调性的关系即可判断在上的单调性； （3）设，结合（2）分类讨论，可判断该函数的单调性，即可证明不等式. 【解答过程】（1）当时，，则， 所以． 又，故所求切线方程为． （2），，， ①当时，，在上单调递增． ②当时，令，解得． 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 故时，在上单调递增； 时，在上单调递减；在上单调递增． （3）证明：设． ，由（2）可知 ①当时，在上单调递增，所以， 即在上单调递增，所以，满足题意； ②当时， 当时，单调递减； 当时，单调递增， ， ，，即， 在上单调递增，，满足题意， 综上可得，当且时，． 【题型11 导数在实际问题中的应用】 【例11】（25-26高三上·河北·月考）已知某圆柱的上、下底面圆的圆周都在半径为4的球的表面上，则该圆柱体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设该圆柱的底面圆半径为，高为，则，得该圆柱的体积，设，利用导数研究单调性进而求最大值即可. 【解答过程】设该圆柱的底面圆半径为，高为，则，所以， 所以该圆柱的体积， 设，则，由， 得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，则该圆柱体积的最大值是. 故选：D. 【变式11-1】（24-25高二下·广西·期中）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为（    ）万条时，该软件能获得最高收益. A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【解题思路】由题意列出收益函数，然后利用导数研究其单调性，根据单调性求解最值即可得解. 【解答过程】设收益为元，由题意， 则，， 当时，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 即当收集的数据量为19万条时，该软件能获得最高收益. 故选：C. 【变式11-2】（24-25高二下·上海松江·月考）某公司生产的某批产品的销售量x万件（生产量与销售量相等），，已知生产该批产品共需投入成本万元，产品的销售价格定为元/件. (1)将该产品的利润y万元表示为销售量x万元的函数； (2)当销售量x投入多少时，该公司的利润最大，最大值多少？ 【答案】(1) (2)当时，利润最大，最大为520万元 【解题思路】（1）根据已知条件列式得出函数； （2）先求出导函数，再根据导函数正负判断函数单调性即可得出最大值. 【解答过程】（1）由题意知， ， . （2）， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 则当时，利润最大，最大为520万元. 【变式11-3】（24-25高三上·北京·月考）现有一张长为40cm，宽为30cm的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失．如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为xcm，高为ycm，体积为． (1)求出y关于x的函数解析式； (2)求该铁皮盒体积的最大值． 【答案】(1)，； (2) 【解题思路】（1）根据题意列出方程，将其表示成y关于x的函数形式，并求出定义域即可； （2）先求出的表达式，利用求导判断函数单调性，即可求出其最大值. 【解答过程】（1）因为材料利用率为，由题意可得，即； 因为长方形铁皮长为40，宽为30，故， 综上，，； （2）铁皮盒体积， ，令，得 的变化情况如下： 20 + 0 - 则在上为增函数，在上为减函数， 则当时，取最大值，最大值为． 【题型12 导数新定义问题】 【例12】（24-25高二下·四川泸州·月考）若存在使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中，不存在“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出函数的导函数，结合“巧值点”的定义逐个求解判断. 【解答过程】对于A，由，得，所以， 所以有无数个“巧值点”，所以A错误； 对于B，由，则， 令，则，显然，则，显然不成立， 所以无解，故不存在“巧值点”，故B正确； 对于C，由，得，由，得， 即为函数的“巧值点”，所以C错误； 对于D，由，得，令，则， 令，则， 所以在上单调递增， 因为，所以存在，使， 即，所以为函数的“巧值点”，所以D错误. 故选：B. 【变式12-1】（24-25高二下·广东东莞·月考）定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列四个函数：①；②；③；④，则存在“自足点”的函数共有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】求出各函数的导函数，判断每个选项中方程是否有解，由此可得合适的选项. 【解答过程】对于①，则，由， 即，，所以无实数根， 因此不存在“自足点”，故①错误； 对于②，，则，由， 可得，其中，令，显然在定义域上单调递增， 又，， 所以函数在上存在零点，即函数存在“自足点”，故②正确； 对于③，则，其中， 因为，故函数存在“自足点”，故③正确； 对于④，则， 由，可得， 因为，， 所以， 所以方程无实解，故④错误. 故存在“自足点”的函数共有个. 故选：B. 【变式12-2】（24-25高二下·全国·月考）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． (1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)存在， (3) 【解题思路】（1）利用凹函数的定义即可求解； （2）利用凹函数的定义可得在上恒成立，可得在上恒成立，分和两种情况求解可得的取值范围. （3）根据题意，转化为，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性，结合，得到存在，使，结合函数的单调性，求得的最小值为，由，得到，求得，即可求解. 【解答过程】（1） 时，， 函数在区间上是凹函数． （2）， ， 若在区间上为凹函数， 则在上恒成立， ，即在上恒成立， 在上恒成立， 当时，显然成立，下面讨论的情况， 令，则， 时，在上为增函数， 由，得，即， 即时，恒成立， 设，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，则， 故存在实数，使得在区间上为凹函数，的取值范围为． （3）， 令，则， 令，则， 当时，在区间上单调递增， 又， 存在，使， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 当时，的最小值为， 由，有， ，又恒成立，， 且的最大值为3． 【变式12-3】（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数． (1)写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）根据二阶拟合函数定义即可得，构造函数，利用二阶导数讨论单调性即可得证； （2）构造函数证明，结合（1）可得，当时，通过放缩可得成立，当时，通过放缩可知，然后构造函数，利用导数证明不满足题意即可得解； （3）求出，根据二次函数性质可证其有两个零点，将目标不等式转化为，构造，利用导数即可得证. 【解答过程】（1）因为，， 所以在处的二阶拟合函数． 设，则，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立． （2）记，则，则， 所以在上单调递增，， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立， 由（1）可知，则， 所以当时，对恒成立， 则对恒成立． 设， 当时，， 设，则， 所以在上单调递减，则， 所以，这与题意矛盾，所以． （3）因为， 所以，则， 则， 因为，且的图象开口向上， 所以有两个零点，且． 因为当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 要证，只需证， 因为，且， 所以只需证， 构造函数， 则， 所以在上单调递增，所以，即， 因为，所以，所以． 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏泰州·月考）设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】利用导数的定义直接求得. 【解答过程】由题意可知， . 故选：D. 2．（25-26高二上·福建厦门·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据基本初等函数的导数公式计算可得. 【解答过程】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D． 3．（24-25高二下·福建泉州·月考）函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求导，令导数小于零求解． 【解答过程】函数的定义域为， ， 由得，所以的单调减区间为. 故选：D. 4．（25-26高二上·江苏·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设切点为，利用导数几何意义求切线方程，结合所过的点求参数，进而确定切线方程. 【解答过程】，， 设切点为，则， 切线方程为，又切线过点， ，整理得， 切线方程为，则. 故选：C. 5．（25-26高二上·江苏·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 6．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值列出不等式求参数范围. 【解答过程】对函数求导得，，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时 时 ， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 7．（25-26高三上·福建厦门·月考）函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意可得恒成立，构造函数，求导根据函数单调性可得的最大值即可得答案. 【解答过程】因为函数， 在上恒成立， 所以恒成立， 令，则， 令，则， 所以当时，单调递增；当时，单调递减； 所以当时，取得极大值，也是最大值， 因为 ，所以. 故选：B. 8．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将函数变形，构造等价函数令，则，求导判断单调性求得仅有两个零点，问题转化为方程和共有4个根，令，利用导数分析单调性和最值求解. 【解答过程】， 令，则， ，令，得，且， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又，，所以函数仅有两个零点， 所以恰有4个零点，即方程和共有4个根， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 故和至多各一个根，不合题意； 当时，，令，得， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， ，且时，，时，， 要使方程和共有4个根，则， 即，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二上·江苏连云港·月考）一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则（   ） A．在内质点的平均速度为 B．时质点的瞬时速度为 C．质点运动的速度为 D．质点运动的加速度为 【答案】AD 【解题思路】根据平均变化率得平均速度即可判断A；根据导数的概念求解时质点的瞬时速度，与质点运动的速度，即可判断B，C；根据速度与时间的关系求加速度即可判断D. 【解答过程】对于A，在内质点的平均速度为，故A正确； 对于B，时质点的瞬时速度为 ，故B错误； 对于C，质点运动的速度为 ，故C错误； 对于D，质点运动的加速度为 ，故D正确. 故选：AD. 10．（24-25高二下·江西萍乡·期末）对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是其对称中心.若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极小值为 B．有且仅有个零点 C．点是的对称中心 D． 【答案】ACD 【解题思路】对A：利用导数计算可得函数单调性，即可得极小值；对B：根据极大值、极小值，结合零点的存在性定理可得函数有3个零点；对C：求出方程的实数解，再计算出即可得；对D：根据对称性，可得，再结合倒序相加法计算即可得. 【解答过程】对A：， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减； 则的极小值为，故A正确； 对B：由，， ，， 故在、及上各有一零点， 即有且仅有个零点，故B错误； 对C：，则， 令，解得，， 故点是的对称中心，故C正确； 对D：由关于点对称， 则， 故 ， 则，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高二下·广西钦州·期末）对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得极大值1 B．在处的切线方程为 C．有两个零点 D．若在上恒成立，则 【答案】ABD 【解题思路】利用导数来研究原函数的单调性即可判断A，利用导数求切线方程即可判断B，利用方程的解即可判断C，利用分离参变量构造函数求导来研究函数最大值，即可判断D. 【解答过程】由题得， 所以当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又因为，所以在处取得极大值1，故A正确； 由于，， 所以在处的切线方程为， 整理得：，故B正确； 由，所以只有一个零点，故C错误； 由，可得，构造，求导得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又因为，所以在处取得最大值，所以，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数满足，则 . 【答案】 【解题思路】根据导数的运算法则，求得，令，得到关于的方程，即可求解. 【解答过程】由函数，可得， 令，可得，即，解得. 故答案为：. 13．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知曲线，则曲线过点的切线方程为 ． 【答案】和 【解题思路】考点：导数的几何意义（切线斜率）、过定点的切线问题（定点未必是切点）．利用导数表示切线斜率，设出切点坐标；将定点代入切线方程，求解所有可能的切点（需注意存在多个切点的情况）；结合不同切点，得到对应的切线方程． 【解答过程】曲线的导数为， 设切点为，则切线斜率为， 切线方程为； 将代入切线方程，整理得， 因式分解得，解得或． 当（切点为），斜率为12，切线方程为； 当（切点为），斜率为3，切线方程为． 故答案为：和． 14．（2025高二·全国·专题练习）若对任意，满足恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】若时，根据所给范围，分析可得不等式恒成立；若时，将条件转化为，构造函数，利用导数求得的单调性，可得恒成立，即恒成立，构造，利用导数求得的单调性，可得的最值，分析即可得答案. 【解答过程】若时，对任意，，，， 所以对任意，不等式恒成立，满足题意； 若时，则， 不等式可化为， 故，即， 由已知在恒成立， 令，，可得，在恒成立， 因为时，， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以恒成立，其中，， 即恒成立． 令，则， 所以在上单调递增，则，所以． 综上可得， 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·江苏·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】根据题意，利用导数的运算法则，准确计算，即可求解； 【解答过程】（1）由函数， 可得. （2）由函数， 可得 . 16．（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）求出函数的导函数，再由点斜式求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，再分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【解答过程】（1）当时，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当，即时恒成立，所以在上单调递增； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上可得，当时的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当 时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 17．（2025高二上·全国·专题练习）如图所示，ABCD是边长为40cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设. (1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 【答案】(1) (2)， 【解题思路】（1）设包装盒的底面边长为，高为，将、用表示，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值； （2）求得关于的函数表达式，利用导数法可求得的最大值及其对应的值，进而代入计算得出高及底面边长的比值. 【解答过程】（1）设包装盒的底面边长为，高为， 则由题意可得，，，其中， 所以， 因此，当时，取得最大值； （2）根据题意，由（1）有， 所以， 由得，（舍）或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以当时，函数取得极大值，也是最大值； 此时包装盒的高与底面边长的比值. 18．（2025高二·全国·专题练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)求证：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）求导可得，分和进行讨论即可得解； （2）根据题意参变分离可得恒成立，令，求出的最大值即可得解； （3）由（2）知时，，即，故只需证明，当时，，令，再求导，利用导数证明不等式即可． 【解答过程】（1）求导得， ①若，则，函数在上单调递增； ②若，由，得；由，得， 所以函数在上单调递增；在上单调递减. （2），即， 又，恒成立， 令，， 则的解为， 所以，，单调递增， ，，单调递减， ， 恒成立， ， 故实数a的取值范围为； （3）由（2）知时，， 即，又，所以， ， 令，， 令，， 当，解得， 所以当时，，单调递减， 时，，单调递增， ， 故，即， 则在上单调递增， ， 即时，， 故当时，． 19．（24-25高三上·天津滨海新·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求得，可求切线方程； （2）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （3）（i）结合（2）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. 【解答过程】（1）当时，，求导得，所以， 又，所以切点为， 所以切线方程为，即； （2）由，求导得， 若，，所以在上单调递增； 若，令，得，解得， 当 时，，则在 上单调递减； 当 时，，则在 上单调递增； 综上所述：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（2）知，且，所以， 解得，所以的取值范围． （ii）由（i）得，所以，， 两边同时取自然对数，得，， 两式相减得，即， 要证，只需证明， 即，所以， 令，只需证明，构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式成立， 于是原不等式成立． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 导数及其应用 【苏教版】 【知识清单1 导数的概念】 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t0到这段时间内的平均速度为. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当∆t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当∆t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度，即瞬时速度. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当∆x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当∆x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率. 3．函数的平均变化率 对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+∆x).这时，x 的变化量为∆x，y的变化量为∆y=f(x0+∆x)- f (x0).我们把比值，即叫做函数y=f(x)从x0到x0+∆x的平均变化率. 【知识清单2 导数的几何意义】 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T(T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线x0. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 【知识清单3 导数的运算】 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【知识清单4 函数的单调性】 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时， 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 4．导数中函数单调性的应用 (1)比较大小：利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. (2)解不等式：与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【知识清单5 函数的极值】 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列 方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【知识清单6 函数的最值】 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 3．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【知识清单7 导数中的函数零点（方程根）问题】 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 【知识清单8 导数中的不等式问题】 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 2．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 【知识清单9 导数中的双变量问题】 1．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【知识清单10 导数在解决实际问题中的应用】 1．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 【题型1 变化率问题】 【例1】（25-26高二上·江苏·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一下·北京海淀·期中）已知函数，则在上的平均变化率为（    ） A．1 B． C．3 D．4 【变式1.2】（24-25高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【变式1.3】（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【题型2 导数的概念】 【例2】（24-25高二上·陕西西安·期末）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高二上·江苏·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二下·江苏·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．1 【变式2.3】（24-25高二下·山东·月考）已知函数，则（    ） A． B． C．-6e D． 【题型3 导数的运算】 【例3】（25-26高二上·江苏·期末）下列求导正确的（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高二上·江苏·期末）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高三上·天津东丽·开学考试）已知函数的导函数为，且满足，则（   ） A． B．0 C． D．-1 【变式3.3】（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数，其导函数记为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【题型4 曲线的切线问题】 【例4】（24-25高二下·河南焦作·期末）过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式4-1】（24-25高二下·陕西铜川·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·全国·单元测试）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式4-3】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【题型5 函数的单调性问题】 【例5】（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·湖南长沙·月考）设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 【变式5-3】（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【题型6 函数的极值问题】 【例6】（25-26高二上·湖南长沙·月考）函数的极大值点为（   ） A．1 B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·云南玉溪·月考）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数 在处有极小值，则的值为（    ） A．1或3 B．2 C．3 D．1 【变式6-3】（24-25高二下·海南·月考）已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【题型7 函数的最值问题】 【例7】（25-26高二·全国·假期作业）函数在闭区间上的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【变式7-3】（24-25高二下·江苏南京·开学考试）设函数． (1)若恒成立，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，当时，函数的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【题型8 利用导数研究函数零点（方程根）】 【例8】（24-25高二下·河南·月考）函数的零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8.1】（2025·湖南益阳·三模）若函数有两个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8.2】（25-26高三上·云南昆明·期中）已知函数. (1)若，证明：当时，； (2)若，求的最小值； (3)讨论的零点个数. 【变式8.3】（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【题型9 利用导数研究不等式恒（能）成立问题】 【例9】（2025高二·全国·专题练习）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高二下·河南郑州·期末）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·四川泸州·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，对任意，都有恒成立，求的取值范围． 【变式9-3】（25-26高三上·北京·月考）已知函数. (1)若时，求曲线在处切线的斜率； (2)求的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【题型10 利用导数证明不等式】 【例10】（24-25高二下·广东中山·月考）已知函数，. (1)求的极值； (2)证明：当时，.（参考数据：） 【变式10-1】（2025高二·全国·专题练习）已知函数．证明：． 【变式10-2】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，. (1)若，求a的取值范围； (2)若有两个实数解，，证明：. 【变式10-3】（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在上的单调性； (3)若，求证：当时，． 【题型11 导数在实际问题中的应用】 【例11】（25-26高三上·河北·月考）已知某圆柱的上、下底面圆的圆周都在半径为4的球的表面上，则该圆柱体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高二下·广西·期中）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为（    ）万条时，该软件能获得最高收益. A．17 B．18 C．19 D．20 【变式11-2】（24-25高二下·上海松江·月考）某公司生产的某批产品的销售量x万件（生产量与销售量相等），，已知生产该批产品共需投入成本万元，产品的销售价格定为元/件. (1)将该产品的利润y万元表示为销售量x万元的函数； (2)当销售量x投入多少时，该公司的利润最大，最大值多少？ 【变式11-3】（24-25高三上·北京·月考）现有一张长为40cm，宽为30cm的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失．如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为xcm，高为ycm，体积为． (1)求出y关于x的函数解析式； (2)求该铁皮盒体积的最大值． 【题型12 导数新定义问题】 【例12】（24-25高二下·四川泸州·月考）若存在使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中，不存在“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25高二下·广东东莞·月考）定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列四个函数：①；②；③；④，则存在“自足点”的函数共有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式12-2】（24-25高二下·全国·月考）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． (1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 【变式12-3】（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数． (1)写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且． 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏泰州·月考）设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 2．（25-26高二上·福建厦门·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·福建泉州·月考）函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 6．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·福建厦门·月考）函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·江苏连云港·月考）一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则（   ） A．在内质点的平均速度为 B．时质点的瞬时速度为 C．质点运动的速度为 D．质点运动的加速度为 10．（24-25高二下·江西萍乡·期末）对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是其对称中心.若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极小值为 B．有且仅有个零点 C．点是的对称中心 D． 11．（24-25高二下·广西钦州·期末）对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得极大值1 B．在处的切线方程为 C．有两个零点 D．若在上恒成立，则 三、填空题 12．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数满足，则 . 13．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知曲线，则曲线过点的切线方程为 ． 14．（2025高二·全国·专题练习）若对任意，满足恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．（25-26高二上·江苏·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2). 16．（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 17．（2025高二上·全国·专题练习）如图所示，ABCD是边长为40cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设. (1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 18．（2025高二·全国·专题练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)求证：当时，． 19．（24-25高三上·天津滨海新·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $