专题03 椭圆的综合应用（18大考点）（寒假复习讲义）高二数学苏教版

专题03 椭圆的综合应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 知识点2 ：椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 考点一：椭圆的定义与标准方程 【例1】（2025·高二·江苏·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高二·陕西榆林·月考）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高二·江苏常州·期中）方程表示的曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高二·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 考点二：椭圆方程的充要条件 【例2】（2025·高二·上海·月考）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】（2025·高二·四川成都·月考）是方程表示椭圆的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（2025·高二·安徽·月考）已知是椭圆上的两点，且线段的垂直平分线为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高二·陕西西安·月考）已知方程，则（   ） A．时，方程表示椭圆 B．时，所表示的曲线离心率为 C．时，方程表示焦点在轴上的双曲线 D．时，所表示曲线的渐近线方程为 考点三：点与椭圆的位置关系 【例3】（2025·高二·河南南阳·月考）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【变式3-1】（2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 【变式3-3】（2025·高二·河北邯郸·月考）直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 考点四：椭圆上两点距离的最值问题 【例4】（2025·高二·河南新乡·月考）已知点到点的距离与点到直线的距离之比为，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【变式4-1】（2025·高二·江苏·期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 【变式4-2】（2025·高二·河南开封·期中）椭圆上任一点P到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【变式4-3】（2025·高二·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 考点五：椭圆上两线段的和差最值问题 【例5】（2025·高二·江苏·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·高二·重庆荣昌·月考）为椭圆上一点，是它的上焦点，，则的最大值为（ ） A． B． C．3 D． 【变式5-2】（2025·高二·北京·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·高二·天津·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：上任意一点，则的最小值（   ） A． B． C． D． 考点六：离心率的值 【例6】（2025·高二·重庆沙坪坝·期中）已知椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·高二·北京海淀·月考）已知椭圆的两个焦点分别为，，左顶点为，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·高二·重庆江北·月考）若过点的直线与椭圆相交于两点，且关于直线对称，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·高二·安徽·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，第二象限内的点在椭圆上，且轴，若点满足，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 考点七：椭圆的简单几何性质问题 【例7】（多选题）（2025·高二·广西河池·月考）已知椭圆，则（    ） A．M与N的离心率相等 B．M与N的焦距相等 C．M与N的长轴长不相等 D．M的短轴长是N的短轴长的两倍 【变式7-1】（多选题）（2025·高二·安徽·月考）已知椭圆和椭圆，则（    ） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 【变式7-2】（多选题）（2025·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（   ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为 C．点在椭圆C内 D．的值可以是6 【变式7-3】（多选题）（2025·湖北·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆E上，则（    ） A．点在x轴上 B．椭圆E的长轴长为4 C．椭圆E的离心率为 D．使得为直角三角形的点P恰有6个 考点八：利用第一定义求解轨迹 【例8】（2025·高二·吉林长春·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·高二·广东·期中）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·高二·安徽·月考）已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·高二·山西·期中）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 考点九：椭圆的实际应用 【例9】（2025·高二·北京东城·月考）“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，，则就是“天问一号”在点时对火星的观测角．图（2）所示的四个点处，对火星的观测角最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·高二·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【变式9-2】（2025·高二·上海·期末）某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 【变式9-3】（2025·高二·江苏泰州·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 考点十：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 【例10】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A． B．1 C． D． 【变式10-1】（2025·高二·江苏·期末）已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（    ） A． B． C．4 D．6 【变式10-2】（2025·高二·江苏·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【变式10-3】（2025·高二·陕西西安·月考）若点在椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则（   ） A． B． C．的周长为 D．面积为 考点十一：求离心率的取值范围 【例11】（2025·高二·江苏·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2025·高二·吉林·月考）已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2025·高二·辽宁沈阳·月考）椭圆的右焦点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】（2025·高三·甘肃兰州·专题练习）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点十二：直线与椭圆的位置关系 【例12】（2025·高三·天津滨海新·月考）已知椭圆：的离心率为，为椭圆上一点 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆有且只有一个公共点，求的值. 【变式12-1】（2025·高三·广西·开学考试）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【变式12-2】（2025·高二·四川绵阳·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 【变式12-3】（2025·高二·河南新乡·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 考点十三：弦长问题 【例13】（2025·高二·河北·期中）已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 【变式13-1】已知椭圆方程为与直线方程相交于、两点，求的弦长. 【变式13-2】（2025·高二·新疆喀什·期中）已知椭圆的方程为,左焦点为,且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)经过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于两点，求的长． 【变式13-3】（2025·高二·天津·期中）已知椭圆：的焦距为2，离心率为. (1)求出椭圆的标准方程，并写出椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围、顶点坐标、长轴与短轴的长度. (2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长； 考点十四：中点弦问题 【例14】（2025·高二·重庆·期中）已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 【变式14-1】（2025·高二·陕西西安·期中）已知是曲线上的动点，且动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 【变式14-2】（2025·高二·贵州黔南·月考）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【变式14-3】（2025·高二·北京·期中）已知椭圆及直线． (1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)当时，求直线与椭圆相交所得的弦长； (3)求直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程． 考点十五：求椭圆的参数或范围问题 【例15】（2025·高二·北京西城·期末）已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点. (1)求椭圆的离心率； (2)记线段与椭圆的交点为，求的取值范围. 【变式15-1】（2025·高二·安徽亳州·月考）已知，在椭圆C：上，，分别为C的左、右焦点． (1)求a，b的值及C的离心率； (2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形的面积的取值范围． 【变式15-2】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知，分别是椭圆的左右顶点.椭圆长轴长为6，离心率为.为坐标原点，过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点. (1)求椭圆的标准方程； (2)当直线的斜率为正时，设直线、分别交轴于点，记，，求的取值范围. 【变式15-3】椭圆：的左、右焦点分别是 离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1. (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接设的角平分线交C的长轴于点，求的取值范围. 考点十六：求椭圆的最值问题 【例16】（2025·高二·辽宁·期中）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; 【变式16-1】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 【变式16-2】（2025·高二·重庆·期末）已知椭圆的离心率为，过椭圆C的焦点作x轴的垂线被椭圆C截得的弦长为2． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的上顶点A作直线交椭圆于另一点B（异于点A），求的最大值． 【变式16-3】（2025·广东茂名·二模）已知椭圆，右焦点为，过点的直线交于两点. (1)若直线的倾斜角为，求； (2)记线段的垂直平分线交直线于点，当最大时，求直线的方程. 考点十七：向量问题 【例17】（2025·高二·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，且焦点在轴上． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于两点．若，求的值． 【变式17-1】（2025·高二·江苏连云港·月考）（1）椭圆C与椭圆C1:有相同的焦点，且经过点M，求椭圆C的标准方程； （2）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且，求点到轴的距离. 【变式17-2】（2025·高二·江苏宿迁·月考）如图，已知椭圆，记分别是的左､右焦点，是的上顶点，连接并延长交椭圆于点，过作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. (1)若，求； (2)若点的坐标为，且，求直线的斜率. 【变式17-3】（2025·高二·广西·月考）已知是椭圆的右焦点，椭圆的离心率，斜率不为0的直线经过点且与椭圆交于两点.当直线与轴垂直时，弦的长为. (1)求椭圆的方程； (2)设分别为椭圆的左､右顶点，设直线的斜率分别为，求； (3)轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由. 考点十八：定点、定值问题 【例18】（2025·高二·广西贺州·月考）已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． (1)求椭圆的方程． (2)设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 【变式18-1】（2025·高二·贵州遵义·期末）设椭圆过点，且离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的上顶点，MN为上异于的两点，若直线AM，AN的斜率为，且.求证：以线段MN为直径的圆经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【变式18-2】（2025·高二·江苏·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【变式18-3】（2025·高二·北京·月考）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右顶点坐标． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为． （i）求四边形面积的最大值； （ii）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由． 1．已知集合， ，则中元素个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．不确定 2．设点是曲线上的点，又点，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·河南商丘·期末）已知椭圆关于轴､轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·湖北荆州·月考）已知椭圆，若椭圆上存在两点、关于直线对称，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·山东青岛·学业考试）若直线与圆没有公共点，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 6．（2025·高二·北京·期中）已知，，动点，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知过原点的所有直线都与椭圆有两个不同的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 8．（2025·高二·北京·期末）点在直线上，若椭圆上存在两点，使得是等腰三角形，则称椭圆具有性质．下列结论中正确的是（    ） A．对于直线上的所有点，椭圆都不具有性质 B．直线上仅有有限个点，使椭圆具有性质 C．直线上有无穷多个点（但不是所有的点），使椭圆具有性质 D．对于直线上的所有点，椭圆都具有性质 9．（多选题）（2025·高二·浙江台州·期中）已知点P是椭圆上的一点，O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，下列选项正确的是（    ） A． B．若，且N是的中点，则 C．若的面积为1，则点P在第一象限的坐标为 D．若，则的最小值为1 10．（多选题）（2025·高二·福建南平·期中）已知圆和椭圆则（   ） A．椭圆E与直线必有两个不同的交点 B．圆O上存在4个点到直线的距离都等于1 C．动点P在直线上，过P向圆O引两条切线，A，B为切点，则四边形PAOB面积最小值为4 D．在椭圆中，它的任意两条相互垂直的切线的交点都在圆上 11．（多选题）（2025·高二·辽宁·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（    ） A． B． C．当点不在轴上时，从点向轴作垂线，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为 D．的最大值为 12．（2025·高二·四川南充·月考）直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 . 13．已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是 . 14．（2025·高三·广东佛山·开学考试）已知椭圆的左，右焦点分别为，点在内，点在上，则的取值范围是 . 15．（2025·高二·河南南阳·月考）已知是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若点，，证明点在椭圆上，并求的取值范围. 16．（2025·高二·重庆·开学考试）已知椭圆的短半轴长是，A、B两点分别为的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线上，且C在第一象限. (1)设F是椭圆的右焦点，且，求的标准方程； (2)若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆上，并说明理由. 17．（2025·北京海淀·一模）已知椭圆，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2，且． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由． 18．（2025·高二·山东潍坊·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2. (1)求的方程； (2)若斜率为的直线交于，两点，线段的中点为，求的取值范围. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 椭圆的综合应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 知识点2 ：椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 考点一：椭圆的定义与标准方程 【例1】（2025·高二·江苏·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以，， 则，所以椭圆方程为. 故选：B 【变式1-1】（2025·高二·陕西榆林·月考）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知分别为该椭圆的右顶点和上顶点，，则其焦点在纵轴上， 不妨设该椭圆方程为，即，所以该椭圆方程为. 故选：C 【变式1-2】（2025·高二·江苏常州·期中）方程表示的曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】表示到点的距离之和为10， 又，故点的轨迹满足椭圆的定义， 设其标准方程为：， 显然，又，解得， 则标准方程为：. 故选：C. 【变式1-3】（2025·高二·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 考点二：椭圆方程的充要条件 【例2】（2025·高二·上海·月考）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】将方程化为标准形式为. 当时，方程表示的曲线是圆，充分性不成立， 若该方程表示椭圆，则需满足分母均大于0，即且，解得且，必要性成立， 因此，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 【变式2-1】（2025·高二·四川成都·月考）是方程表示椭圆的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】当时，，，此时，方程化简为表示圆，不满足充分性， 当方程表示椭圆时，，解得，不满足必要性. 故是方程表示椭圆的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【变式2-2】（2025·高二·安徽·月考）已知是椭圆上的两点，且线段的垂直平分线为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，设直线. ，得. 则. 所以线段中点的横坐标为，纵坐标为. 因为线段的中点在直线上，，解得. 所以，解得． 方法二：由题意知，设． ∵线段的垂直平分线为. 设线段的中点为，则点在直线上，即. 因为是椭圆上的点，所以. 两式相减，得，即. 由中点坐标公式得，可得， 所以.代入，得. 因为是椭圆上的点，所以线段的中点在椭圆内部， 所以，即，解得． 故选：C. 【变式2-3】（2025·高二·陕西西安·月考）已知方程，则（   ） A．时，方程表示椭圆 B．时，所表示的曲线离心率为 C．时，方程表示焦点在轴上的双曲线 D．时，所表示曲线的渐近线方程为 【答案】C 【解析】对于A选项，若方程表示椭圆，则， 解得或，A错； 对于B选项，当时，方程表示椭圆， 则，，，其离心率为，B错； 对于C选项，若方程表示的是焦点在轴上的双曲线， 则，解得，即当时，方程表示焦点在轴上的双曲线，C对； 对于D选项，当时，方程表示双曲线，则，， 此时该双曲线的渐近线方程为，D错. 故选：C. 考点三：点与椭圆的位置关系 【例3】（2025·高二·河南南阳·月考）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【解析】由于，所以在内， 故选：B 【变式3-1】（2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B 【变式3-2】已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 【答案】A 【解析】直线与圆没有公共点， 圆心到直线的距离，即， ， 又， 点在椭圆内部. 故选：A. 【变式3-3】（2025·高二·河北邯郸·月考）直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线过定点，只需该点落在椭圆内或椭圆上，∴， 解得，又， 故选：C． 【变式3-4】若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【答案】C 【解析】点与点关于原点对称， 点与关于轴对称， 点与关于轴对称， 若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上， 故选：C 考点四：椭圆上两点距离的最值问题 【例4】（2025·高二·河南新乡·月考）已知点到点的距离与点到直线的距离之比为，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【解析】设点，则根据题意可得：， 整理得：， 则， 因为，所以当时，， 故选：C 【变式4-1】（2025·高二·江苏·期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【解析】设圆的圆心为，其半径，则， 设椭圆上的点，则，即， 因此 ，当且仅当时取得最大值， 所以. 故选：D 【变式4-2】（2025·高二·河南开封·期中）椭圆上任一点P到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设点P的坐标为，其中，由，可得， 又由， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：B 【变式4-3】（2025·高二·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 考点五：椭圆上两线段的和差最值问题 【例5】（2025·高二·江苏·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点为， 故, 由于,故， 因此， 故的最小值为5，当且仅当三点共线，且在上半椭圆时取到最小值. 故选：B. 【变式5-1】（2025·高二·重庆荣昌·月考）为椭圆上一点，是它的上焦点，，则的最大值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】设为椭圆的下焦点， 由椭圆方程知，，，， 则， 由椭圆的定义得 所以，当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 【变式5-2】（2025·高二·北京·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点，且, 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， 又因 ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 因,，则， 故的最小值， 故选：B 【变式5-3】（2025·高二·天津·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：上任意一点，则的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，得，， 将曲线的方程化为，则圆心为，半径， 由椭圆定义得，即， 所以， 当且仅当点在线段上时等号成立， 因为，所以的最小值为. 故选：A 考点六：离心率的值 【例6】（2025·高二·重庆沙坪坝·期中）已知椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆的左顶点，设点，则， 且，由直线AP，AQ的斜率之积为，得， 所以椭圆的离心率. 故选：A 【变式6-1】（2025·高二·北京海淀·月考）已知椭圆的两个焦点分别为，，左顶点为，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，椭圆的焦点在轴上，所以，，， 所以在中，，， 又在椭圆中，，所以， 由余弦定理，可得， 即，化简得， 解得，即. 故选：A 【变式6-2】（2025·高二·重庆江北·月考）若过点的直线与椭圆相交于两点，且关于直线对称，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点关于直线对称，所以直线与直线垂直， 所以. 所以直线的方程为. 设的中点为，则在直线与直线上，则 ，解得，，即. 设，，则，，， 两式相减得，，又， 所以，即，所以. 因为，所以. 故选：D. 【变式6-3】（2025·高二·安徽·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，第二象限内的点在椭圆上，且轴，若点满足，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】椭圆左、右焦点，轴，把代入椭圆方程，得， 点位于第二象限内， ，则，故， 又，， ，，即， ，解得， ，故D正确． 故选：D． 考点七：椭圆的简单几何性质问题 【例7】（多选题）（2025·高二·广西河池·月考）已知椭圆，则（    ） A．M与N的离心率相等 B．M与N的焦距相等 C．M与N的长轴长不相等 D．M的短轴长是N的短轴长的两倍 【答案】BC 【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆M的离心率，椭圆N的离心率，A错误； 对于B，椭圆M与N的焦距长都为，相等，B正确； 对于C，椭圆M与N的长轴长不相等，C正确； 对于D，椭圆M的短轴长不是N的短轴长的两倍，D错误. 故选：BC. 【变式7-1】（多选题）（2025·高二·安徽·月考）已知椭圆和椭圆，则（    ） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 【答案】BD 【解析】由椭圆方程可知：椭圆的焦点在x轴上，椭圆的焦点在y轴上， 且，， 则两椭圆的焦点、顶点均不相同，故AC错误； 两椭圆的离心率均为，即离心率相等，故B正确； 两椭圆有相同的对称轴（为坐标轴）和对称中心（为坐标原点），故D正确； 故选：BD. 【变式7-2】（多选题）（2025·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（   ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为 C．点在椭圆C内 D．的值可以是6 【答案】BC 【解析】由题意有，所以椭圆方程为，所以，所以椭圆的长轴长为，故A错误； 离心率为，故B正确； 又因为，故C正确； 设，， 所以， 又，所以，又，故D错误， 故选：BC. 【变式7-3】（多选题）（2025·湖北·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆E上，则（    ） A．点在x轴上 B．椭圆E的长轴长为4 C．椭圆E的离心率为 D．使得为直角三角形的点P恰有6个 【答案】BC 【解析】由题意的长半轴长，短半轴长，焦半距， 椭圆的焦点在y轴上，A错误； 椭圆E的长轴长为，B正确； 椭圆E的离心率为，C正确； 椭圆的右顶点，焦点， 所以， 则，即为锐角， 故根据椭圆的对称性可知，使得为直角三角形的点P恰有4个（以或为直角），D错误． 故选：BC． 考点八：利用第一定义求解轨迹 【例8】（2025·高二·吉林长春·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆圆心为，半径为， 圆圆心为，半径为，动圆圆心为，半径为 则， 由圆与圆外切可得， 由圆与圆内切可得， 所以，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设为 则，所以， 所以轨迹方程为， 故选：B. 【变式8-1】（2025·高二·广东·期中）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，分别过点做直线的垂线，垂足分别为， 则，切点为, ，，是中点， 是梯形的中位线，， 又圆C的方程为，， ，， 即，动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设该椭圆的方程为， 则， ， 动点的轨迹方程为. 故选：A 【变式8-2】（2025·高二·安徽·月考）已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，则，且， 可得，化简得，即，且. 故选：D. 【变式8-3】（2025·高二·山西·期中）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心，半径为， 由题意可知，又点是圆上的点，则， 且，则， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，， 则点的轨迹方程； 故选：B. 考点九：椭圆的实际应用 【例9】（2025·高二·北京东城·月考）“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，，则就是“天问一号”在点时对火星的观测角．图（2）所示的四个点处，对火星的观测角最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设火星半径为，椭圆左焦点为，连接，如图所示： 则， 因为， 所以越大，越小，越小， 所以当点位于点处时，对火星的观测角最小， 故选：C. 【变式9-1】（2025·高二·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是， 而点在圆上，则的周长等于． 故选：D. 【变式9-2】（2025·高二·上海·期末）某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 【答案】C 【解析】如图，以线段的中点为原点，所在直线为轴， 以的方向为轴正方向建立直角坐标系， 则可设轨道所在的椭圆的标准方程为， 则由已知，， 所以，，故离心率为，故A正确； 以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为， 所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为， 故B正确，C错误， 因为近火星点与远火星点的距离为，故D正确. 故选：C． 【变式9-3】（2025·高二·江苏泰州·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系， 则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为， 又，所以. 故选：A. 考点十：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 【例10】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由题知，， 所以. 设的内切圆半径为，因为（根据面积相等列出方程）， 所以，得. 故选：B 【变式10-1】（2025·高二·江苏·期末）已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【解析】由已知椭圆的长轴长，短轴长，焦距， 所以， 设的中点为， 则， 于是， 又，则为正三角形，即. 故选：A. 【变式10-2】（2025·高二·江苏·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】D 【解析】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为， 则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：D. 【变式10-3】（2025·高二·陕西西安·月考）若点在椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则（   ） A． B． C．的周长为 D．面积为 【答案】A 【解析】在椭圆中，，，， 对于C选项，的周长为，C错； 对于B选项，由余弦定理可得 ， 解得，B错； 对于D选项，，D错； 对于A选项，因为，解得， 所以，解得，A对. 故选：A. 考点十一：求离心率的取值范围 【例11】（2025·高二·江苏·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，由，消去得，, ，解得， 设，则，则点， 由直线的斜率小于，得， 由，，得，椭圆焦点在轴上， 所以椭圆离心率， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C. 【变式11-1】（2025·高二·吉林·月考）已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，， 两式相减得， 所以，即， 所以， 令，则，， 且函数在上单调递增，则， 所以的取值范围是. 故答案为：D 【变式11-2】（2025·高二·辽宁沈阳·月考）椭圆的右焦点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F， 即F点到P点与A点的距离相等， 又， ，， 整理得， 又，∴解不等式得：． 故选：D． 【变式11-3】（2025·高三·甘肃兰州·专题练习）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上， 则直线与圆相离， 所以，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 考点十二：直线与椭圆的位置关系 【例12】（2025·高三·天津滨海新·月考）已知椭圆：的离心率为，为椭圆上一点 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆有且只有一个公共点，求的值. 【解析】（1）由题意可得，  则， 得椭圆方程为. （2）根据题意，联立，消去得， ， 得， 即. 【变式12-1】（2025·高三·广西·开学考试）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【解析】（1）由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. （2）法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意. ②当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立，得，， 设，则. 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意. ②设直线方程为， 联立，得，， 设，则， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 【变式12-2】（2025·高二·四川绵阳·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 【解析】（1）由题意，则，又，则，则， 所以C的标准方程为. （2）联立与，有，整理得， 由题意，，则，则. 【变式12-3】（2025·高二·河南新乡·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 【解析】（1）因为点在椭圆C上，所以． 椭圆C的离心率为，解得． 故椭圆C的标准方程为． （2）联立得． ①，解得， 所以m的取值范围为． ②因为，所以，解得． ． 考点十三：弦长问题 【例13】（2025·高二·河北·期中）已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 【解析】（1）由题意，且，，得， 因此椭圆的方程为. （2）设椭圆左焦点为，直线的方程为，，， 联立直线方程与椭圆方程， 可得，解得：，. 所以 【变式13-1】已知椭圆方程为与直线方程相交于、两点，求的弦长. 【解析】设，， 将代入得：，所以， 所以. 【变式13-2】（2025·高二·新疆喀什·期中）已知椭圆的方程为,左焦点为,且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)经过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于两点，求的长． 【解析】（1）由题意，椭圆半焦距且,得, 因此椭圆方程为. （2）过且斜率为1的直线为,设, 联立直线方程与椭圆方程,可得, 根据韦达定理，有. . 【变式13-3】（2025·高二·天津·期中）已知椭圆：的焦距为2，离心率为. (1)求出椭圆的标准方程，并写出椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围、顶点坐标、长轴与短轴的长度. (2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长； 【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，， 解得：，，， 则椭圆的方程为：， 椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围分别为， 顶点坐标分别为、长轴与短轴的长度分别为； （2）过椭圆的左焦点，倾斜角为的直线的方程为， 由可得， 设的横坐标分别为， 可得，， 则 ， 所以线段的长为. 考点十四：中点弦问题 【例14】（2025·高二·重庆·期中）已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 【解析】（1）若直线的斜率为1，那么该直线方程为，即. 联立直线与椭圆方程组得，解得. 所以. 所以. （2）设，则满足，两式相减得 ，因为是线段的中点， 所以，所以， 则有，所以直线的方程为， 即，即. 【变式14-1】（2025·高二·陕西西安·期中）已知是曲线上的动点，且动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 【解析】（1）因为动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数， 则，整理可得， 所以曲线的轨迹方程为. （2）由题意点在椭圆内，且直线l的斜率存在且不为0， 设点、，因为为线段的中点， 所以 ， 所以直线的方程为即. 【变式14-2】（2025·高二·贵州黔南·月考）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【解析】（1）设，则由题意可得， 化简得，故的方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为0， 故设直线，， ，得， 则， 则， 因线段的中点坐标为， 则，， 解得，经检验，满足， 则直线的方程为. 【变式14-3】（2025·高二·北京·期中）已知椭圆及直线． (1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)当时，求直线与椭圆相交所得的弦长； (3)求直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程． 【解析】（1）联立直线与椭圆，可得， 整理得， 由直线与椭圆有公共点，故，可得. （2）由题设及（1），联立直线与椭圆得，则或， 而直线为，当有，当有， 所以弦长为. （3）由（1）有，令直线与椭圆交点为， 所以，则，故中点坐标为， 由，则， 所以弦的中点的轨迹方程为，即且. 考点十五：求椭圆的参数或范围问题 【例15】（2025·高二·北京西城·期末）已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点. (1)求椭圆的离心率； (2)记线段与椭圆的交点为，求的取值范围. 【解析】（1）由题意得，且，即， 解得， 所以椭圆的离心率. （2）由题意，得. 设，则. 所以，. 因为， 所以当时，；当时，. 所以的取值范围为. 【变式15-1】（2025·高二·安徽亳州·月考）已知，在椭圆C：上，，分别为C的左、右焦点． (1)求a，b的值及C的离心率； (2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形的面积的取值范围． 【解析】（1）因为，在椭圆C：上， 所以,解得，， 所以，C的离心率为； （2）由（1）得，， 故， 因为动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧， 所以四边形的面积， 当且仅当P，Q分别为上顶点和下顶点时，等号成立. 【变式15-2】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知，分别是椭圆的左右顶点.椭圆长轴长为6，离心率为.为坐标原点，过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点. (1)求椭圆的标准方程； (2)当直线的斜率为正时，设直线、分别交轴于点，记，，求的取值范围. 【解析】（1）由题可知解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设直线，， 由得 解得或（舍）， 且 的直线方程为，的直线方程为， 令解得，所以，同理， 所以, 由，可得 所以 即 ， 因为，所以，所以， 所以. 的取值范围为. 【变式15-3】椭圆：的左、右焦点分别是 离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1. (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接设的角平分线交C的长轴于点，求的取值范围. 【解析】（1）把代入椭圆方程得，解得， ∵过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1，∴. 又，联立得解得， ∴椭圆C的方程为. （2）设 由角平分线的性质可得， 又，消去 得到，化为， ∵，即，也即，解得. ∴的取值范围；. 考点十六：求椭圆的最值问题 【例16】（2025·高二·辽宁·期中）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; 【解析】（1）设，则，， 由，得，整理得， 故点P的轨迹方程E为. （2）由（1）知，点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，，， 故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为， 因为，所以点N在椭圆内， 由椭圆的定义得， 当P，N，三点共线(在线段PN上)时取等号， 所以的最大值为· 【变式16-1】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 【解析】（1），分别是直线和上的动点， 设，，， 点为线段的中点，则，， 又， ，即， 动点的轨迹方程为. （2）线段是圆的一条直径，圆心为，半径为， ， ， ，当时，取得最大值． 【变式16-2】（2025·高二·重庆·期末）已知椭圆的离心率为，过椭圆C的焦点作x轴的垂线被椭圆C截得的弦长为2． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的上顶点A作直线交椭圆于另一点B（异于点A），求的最大值． 【解析】（1）依题意不妨取右焦点，如下图所示; 易知椭圆C过点，则，得， 又因为得， 解得，， 椭圆C的方程为； （2）显然，设， 当直线AB斜率不存在时，可得，此时； 当AB斜率存在，设直线， 与椭圆方程联立可得， 则，则， 令，，， 则， 当，时，等号成立； 综上可得最大值为． 【变式16-3】（2025·广东茂名·二模）已知椭圆，右焦点为，过点的直线交于两点. (1)若直线的倾斜角为，求； (2)记线段的垂直平分线交直线于点，当最大时，求直线的方程. 【解析】（1）由题意可得， 因为直线的倾斜角为，所以， 因此，的方程为， 联立方程，消去得 解得 所以 因此，； （2）设，由题意得，直线的斜率不为0，故设为， 联立方程消去得，，， 因此， 所以， 设线段的中点为， 则， 所以， 所以 设，则， 当且仅当，即时等号成立， 当最大时，也最大，此时直线的方程为， 即或 考点十七：向量问题 【例17】（2025·高二·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，且焦点在轴上． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于两点．若，求的值． 【解析】（1）由题意知：，解得：，椭圆方程为. （2） 由题意知：直线斜率，可设，则， 设，， 由得：， ，， ，，且， ，即，，解得：. 【变式17-1】（2025·高二·江苏连云港·月考）（1）椭圆C与椭圆C1:有相同的焦点，且经过点M，求椭圆C的标准方程； （2）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且，求点到轴的距离. 【解析】（1）椭圆C1：的焦点坐标为， 所以椭圆C的焦点坐标也为，即得焦距为， ∵椭圆C过点M，∴， ∴，∴椭圆的标准方程为. （2）由椭圆方程得，，， 设，则，； 由得：（1）； 又点在椭圆上，可得（2）； （1）（2）联立消去得，，即； 故点到轴的距离是． 【变式17-2】（2025·高二·江苏宿迁·月考）如图，已知椭圆，记分别是的左､右焦点，是的上顶点，连接并延长交椭圆于点，过作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. (1)若，求； (2)若点的坐标为，且，求直线的斜率. 【解析】（1）由条件可知，，，则， 因为，所以, 由对称性可知，； （2）设，，， 由，可知， 所以，得， 因为点，则， 所以，所以，则， 所以， 所以直线的斜率为； 【变式17-3】（2025·高二·广西·月考）已知是椭圆的右焦点，椭圆的离心率，斜率不为0的直线经过点且与椭圆交于两点.当直线与轴垂直时，弦的长为. (1)求椭圆的方程； (2)设分别为椭圆的左､右顶点，设直线的斜率分别为，求； (3)轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题可知，， 所以， 故椭圆的方程为； （2）设直线的方程为设， 由得，， 故， ， ， 注意到，即， 故. （3）假设轴上存在满足条件的定点， 设其坐标为，则， ， 因为为定值，故， 得，定值为， 故轴上存在定点，使得为定值. 考点十八：定点、定值问题 【例18】（2025·高二·广西贺州·月考）已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． (1)求椭圆的方程． (2)设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 【解析】（1）依题意知：，解得， 所以椭圆C的方程为： （2）①依题意由（1）知，直线的斜率不为0． 设其方程为：，并与椭圆C联立方程组： ，得， 则， ，同理：， 所以． 令，则， 所以， 因为，则， 所以，结合函数单调性定义知，在时单调递增． 所以，则. 所以的最大值是. ②证明：由①知. 所以 . 【变式18-1】（2025·高二·贵州遵义·期末）设椭圆过点，且离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的上顶点，MN为上异于的两点，若直线AM，AN的斜率为，且.求证：以线段MN为直径的圆经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【解析】（1）由椭圆的离心率及，知. 又椭圆过点，所以，解得. 所以椭圆的方程为. （2）法一：证明：由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为. 联立方程得. 设，则. 所以 化简得，解得或（舍去）. 所以. 所以. 设该圆过一个定点，则， 所以，即. 将代入化简有对任意实数成立， 所以解得. 故以线段MN为直径的圆过定点. 法二：同法一求出直线在y轴上的截距m得直线MN过定点， 以及，. 题目情境关于轴对称，故若以线段MN为直径的动圆过定点，则该定点在轴上. 设定点为，则. 所以，即. 将代入，得. 化简有对任意实数都成立， 即解得. 故以线段MN为直径的圆过定点. 【变式18-2】（2025·高二·江苏·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【解析】（1）椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3， ，故， ， 椭圆的方程为； （2） ①设过点的直线方程为，点， 联立，得， 则， 则， 又点到直线的距离， 令，化简整理得 ，，，解得， 直线的方程为． ②由①知，， 直线，直线， 联立直线，整理得， 由①知，， ， 即，解得， 点在直线上． 【变式18-3】（2025·高二·北京·月考）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右顶点坐标． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为． （i）求四边形面积的最大值； （ii）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由． 【解析】（1）设椭圆标准方程为，则由题意可得： ，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2） （i）把代入椭圆，解得， 所以可得点的坐标为，，则， 设直线的方程为，设点， 联立，整理得：， 由，可得. 由韦达定理知：，， 四边形的面积， 故当时，； （ii）由题意知，直线的斜率，直线的斜率， 则 . 所以的值为常数． 1．已知集合， ，则中元素个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【答案】C 【解析】由，得， ∴直线恒过定点， 因为，所以点在椭圆内， ∴直线与椭圆相交， ∴中元素个数为2． 故选：C. 2．设点是曲线上的点，又点，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】曲线，化为，它表示顶点分别为的菱形， 以，为焦点，长轴长为10，短轴长为6的椭圆方程， 在直角坐标系中，作出曲线和椭圆的图形，如下图所示： 由图形以及椭圆的定义可知：若在椭圆上，又在曲线上时，即或时，； 若在椭圆内部，又在曲线上时，则， 综上，. 故选：C. 3．（2025·高二·河南商丘·期末）已知椭圆关于轴､轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆的方程为， 因为不在椭圆的外部， 所以，因为， 所以，化简得：， 同除以得：，结合， 解得：， 故. 故选：B 4．（2025·高二·湖北荆州·月考）已知椭圆，若椭圆上存在两点、关于直线对称，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆，即：， 设椭圆上两点关于直线对称，中点为， 则，， 所以， ∴， ∴，代入直线方程得，即， 因为在椭圆内部， ∴， 解得 ， 即的取值范围是． 故选：A． 5．（2025·高二·山东青岛·学业考试）若直线与圆没有公共点，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【解析】圆的圆心，半径为， 因为直线与圆没有公共点， 所以圆心到直线的距离大于半径，得，即， 所以，则点在椭圆内部， 所以过点的直线与椭圆必有2个公共点. 故选：C. 6．（2025·高二·北京·期中）已知，，动点，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】，，则， 当时，，表示点在圆上或圆外， ，表示点在椭圆上或椭圆外， 如图 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7．已知过原点的所有直线都与椭圆有两个不同的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【解析】椭圆的方可化为① 一方面，由原方程表示椭圆，知，且，于是，. 另一方面，由已知条件知原点在椭圆内部，于是，解得. 综上可得或. 故选：C 8．（2025·高二·北京·期末）点在直线上，若椭圆上存在两点，使得是等腰三角形，则称椭圆具有性质．下列结论中正确的是（    ） A．对于直线上的所有点，椭圆都不具有性质 B．直线上仅有有限个点，使椭圆具有性质 C．直线上有无穷多个点（但不是所有的点），使椭圆具有性质 D．对于直线上的所有点，椭圆都具有性质 【答案】D 【解析】以点为圆心作圆，则通过改变圆的半径大小，使得圆与椭圆相交于两点，这样，于是是等腰三角形，即可知结论正确的是D．取直线上的任意点，以点为圆心作圆，通过改变圆的半径大小，使得圆与椭圆相交于两点，这样，于是是等腰三角形，所以对于直线上的所有点，椭圆都具有性质． 故选：D． 9．（多选题）（2025·高二·浙江台州·期中）已知点P是椭圆上的一点，O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，下列选项正确的是（    ） A． B．若，且N是的中点，则 C．若的面积为1，则点P在第一象限的坐标为 D．若，则的最小值为1 【答案】ABC 【解析】对于A：易知，由椭圆方程可知：， 所以正确； 对于B： 由椭圆的定义，，所以，又分别为的中点， 由中位线性质可知，正确； 对于C：设，， 由三角形面积可知：，解得：， 代入椭圆方程，解得：，故C正确； D选项，因为，所以在椭圆内部， 又，所以， 所以，当在线段上取等号，结合图象显然等号不成立，故错误； 故选：ABC 10．（多选题）（2025·高二·福建南平·期中）已知圆和椭圆则（   ） A．椭圆E与直线必有两个不同的交点 B．圆O上存在4个点到直线的距离都等于1 C．动点P在直线上，过P向圆O引两条切线，A，B为切点，则四边形PAOB面积最小值为4 D．在椭圆中，它的任意两条相互垂直的切线的交点都在圆上 【答案】ACD 【解析】对于A，将直线整理得，由， 知，所以直线过定点，因为， 所以该定点在椭圆内，即椭圆E与直线必有两个不同的交点，故A正确； 对于B，圆的圆心到直线的距离为， 因为圆的半径为， 所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为， 与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为， 所以只有三个点满足题意，故B错误； 对于C，连接OP，OA，OB，因为A，B为切点，所以， 所以，且当最小，取得最小值时，此时取得最小值， 所以当与直线垂直时，， 又因为半径为2， 所以， 所以，则，故C正确． 对于D，设椭圆的两条互相垂直的切线的交点为， 当切线的斜率存在时，设椭圆切线方程为， 代入椭圆方程，消去得， ， 则， ， 因为两条切线相互垂直，所以， 当其中一条切线的斜率不存在时，不妨取，则另一条切线为（或）， 则交点为（或）， 显然坐标也满足上面方程，故D正确. 故选：ACD． 11．（多选题）（2025·高二·辽宁·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（    ） A． B． C．当点不在轴上时，从点向轴作垂线，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为 D．的最大值为 【答案】ABC 【解析】对于A，由椭圆方程得：，，所在直线为， ，A正确； 对于B，，， ，B正确； 对于C，设，，则， ，即，，又在椭圆上， ，即点轨迹为，C正确； 对于D，由椭圆定义知：，， （当且仅当三点共线时取等号，即位于图中点的位置时取等号）， ，D错误. 故选：ABC. 12．（2025·高二·四川南充·月考）直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】直线方程可化为，故该直线恒过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点， 则点在椭圆内或椭圆上，所以，，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 13．已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知：直线的斜率， 设椭圆上关于直线对称的两点分别为，的中点为， 可得，且，， 因为点在上，则，两式相减得， 整理可得，可得，即， 则， 联立方程，解得，即， 因为点在椭圆内，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（2025·高三·广东佛山·开学考试）已知椭圆的左，右焦点分别为，点在内，点在上，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意得，， 又因为点在内，所以，解得， 而， 不妨设，则， 所以. 故答案为：. 15．（2025·高二·河南南阳·月考）已知是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若点，，证明点在椭圆上，并求的取值范围. 【解析】（1）由与轴垂直得，即半焦距， 由点在椭圆上，得，解得， 所以椭圆的方程是. （2）由点，得， 所以点在椭圆上； 依题意， ，而，则  ， 所以的取值范围是. 16．（2025·高二·重庆·开学考试）已知椭圆的短半轴长是，A、B两点分别为的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线上，且C在第一象限. (1)设F是椭圆的右焦点，且，求的标准方程； (2)若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆上，并说明理由. 【解析】（1）由题可得，， 因为，所以，解得， 所以，故的标准方程为； （2）直线与直线的交点在椭圆上，理由如下： 由题可得此时，，，， 则直线，即， 直线，即， 联立，得， 所以直线AD与直线BC的交点坐标为， 因为，满足椭圆的方程， 所以直线与直线的交点在椭圆上. 17．（2025·北京海淀·一模）已知椭圆，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2，且． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由． 【解析】（1）由题可知，， 的面积为2，且，则，又，解得； 故椭圆的方程为：，其长轴长. （2）由（1）可知，，又， 故直线方程为：，又在直线上，故设点， 当时，直线斜率不存在，此时与重合，也与重合，显然在椭圆上； 当时，直线的斜率为，与轴没有交点，不满足题意； 当，且时，直线斜率为，直线方程为：， 令，可得，故； 直线斜率为：，直线方程为：； 直线斜率为：，直线方程为：； 联立，消去可得，代入可得：，即， 又，即，故点在椭圆上. 综上所述，在椭圆上. 18．（2025·高二·山东潍坊·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2. (1)求的方程； (2)若斜率为的直线交于，两点，线段的中点为，求的取值范围. 【解析】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设，， 因为线段的中点为，所以， 又，两式相减可得， 即， 所以， 又点在椭圆内部，所以，解得， 所以，即的取值范围为. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $