专题07 数列求和（10大考点）（寒假复习讲义）高二数学苏教版

专题07 数列求和 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：数列求和常用方法 一．公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 二．几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 知识点2 :常用技巧 常见的裂项技巧 积累裂项模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 积累裂项模型2：根式型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 积累裂项模型3：指数型 （1） （2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是 （7） 积累裂项模型4：对数型 积累裂项模型5：三角型 （1） （2） （3） （4）， 则 积累裂项模型6：阶乘 （1） （2） 常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） ； （11） ； （12）； （13）． （14）． 考点一：分段数列求和 【例1】（25-26高二上·天津西青·月考）设等差数列的前项和为，． (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)设数列的前项和为，求． 【解析】（1）因为， 所以，解得， 所以； （2）因为， 所以， 所以当时，取最大值，为36； （3）令， 解得， 又因为， 所以， 即数列的前6项为正，从第7项起为负， 所以当时，， 所以， 当时，， 所以 ， 综上，； 【变式1-1】（25-26高二上·浙江宁波·月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足. (1)证明数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解析】（1）因为，所以（）. 相减得，即. 所以. 因为是正项数列，所以， 所以，即. 故是等差数列. 令，得，解得， 所以. （2）（2）因为，则， 即. 所以， 所以. 【变式1-2】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前20项和. 【解析】（1）在数列中，， 当时，， 两式相减得， 则， 由可得， 所以当，依然成立， 的通项公式为. （2）由（1）得 则 ， 所以数列的前20项和. 【变式1-3】（25-26高二上·江苏常州·月考）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. (1)求和的通项公式； (2)设（），求数列的前项和； 【解析】（1）设的公差为，的公比为（）， 因为，所以，又，所以， ，解得； 所以，； （2）当为奇数时，， 数列的前项中所有奇数项之和 ； 当为偶数时，， 数列的前项中所有偶数项之和 ，① ，② ①-②得 . ； . 考点二：公式法 【例2】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）已知数列的前项和满足， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最大值. 【解析】（1）由 ，得 当 时，； 当 时，， 又 时，，符合上式， 故数列 的通项公式为 （）. （2）， 由于 为正整数，且 ，， 故 . 【变式2-1】（25-26高二上·重庆·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式. (2)记，数列的前项和为，求. 【解析】（1）设的公差为，由，则或， 若，则，此时，， 满足条件等式； 若，则， 此时，， 不满足条件等式，舍去； 综上，. （2）由上可知， 所以当时， 此时， 当时， 此时 ， 综上，. 【变式2-2】（25-26高二上·安徽·月考）（1）若为等差数列，且，，求的通项公式； （2）记的前项和为，若，，且为等差数列，求和． 【解析】（1）设的公差为． 由题意知解得 所以． （2）设的公差为， 则，即． 当时，， 所以，得， 所以，也符合该式． 所以． 【变式2-3】（25-26高二上·陕西宝鸡·月考）已知数列满足，，，若. (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； 【解析】（1）证明：由得， 所以，又. 所以是首项为，公差为的等差数列； （2）由（1）得， 因为，所以当时前项和取得最小值为. 考点三：错位相减法 【例3】（22-23高二上·山东济南·月考）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：． 【解析】（1）因为，，成等差数列，所以， 即，整理可得，所以公比. 由，可得，解得， 所以； （2）因为， 所以， 则， ， 上面两式相减可得 ， 所以. 又因为，所以． 【变式3-1】（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【解析】（1）因为，所以当时，， 当时，， 当时，，符合上式，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列，所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）由（1）知，，可得， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. 【变式3-2】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）已知是等差数列，是首项为1，公比为3的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【解析】（1）由数列是首项为1，公比为3的等比数列，可得， 因为数列是等差数列，设其公差为，首项为， 又因为，可得，即，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由数列的通项公式为， 又由，所以， 设数列的前项和为， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. 【变式3-3】（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知等差数列满足，，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 因为，，所以， 即，解得，， 所以数列的通项公式； 因为，所以，所以， 又，适合上式，所以的通项公式为：； （2）由（1）知和，得：； 两式相减得， 所以，因，则， 当时，， 单调递增，又，所以. 考点四：分组求和法 【例4】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列， (1)求和的通项公式； (2)设求数列的前n项和. 【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，得，故， 又，消去可得，则（舍）或． 则，故． （2）因为，所以， 则. 【变式4-1】（25-26高二上·河北承德·月考）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为且，满足条件：． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解析】（1）由于，故 等比数列的通项公式：，故． 根据题意列方程组：， 得，即． 解得（舍去，因）或，故． 因此等差数列的通项公式为：； 等比数列通项公式为：; （2）根据题意得：， 由（1）得． ， 故． 【变式4-2】（25-26高二上·北京平谷·月考）已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)求数列前项和的最大值． 【解析】（1）因为， 所以等比数列的公比为，所以. 所以， 所以等差数列的公差为， 所以. （2）由（1）知， 所以 . （3）由等差数列的前项和公式知 ， 由二次函数的性质知，当时，取得最大值75. 【变式4-3】（25-26高二上·山东青岛·月考）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，为数列的前项和，求. 【解析】（1）因为①，当时，②， 由①②得到， 又时，，不满足， 所以 （2）由（1）知， 所以 . 考点五：裂项相消法之等差型 【例5】（25-26高二上·河北·期中）已知数列为等差数列，为其前n项和，， (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 【解析】（1）由题意等差数列中，，，设公差为， 可得，解得， 故. （2）由（1）可得， 故. 因为，所以，得证. 【变式5-1】（25-26高二上·河南·月考）已知等差数列的公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 【解析】（1）由题意，得且， 解得 所以. （2）证明：由（1）得，因为， 所以. 则 因为，所以，所以. 【变式5-2】（25-26高三上·河北·期中）已知为正项等差数列，，为的前项和. (1)求数列的通项公式： (2)求数列的前项和; (3)设数列的前项和为，证明：. 【解析】（1）利用等差数列性质：，结合 所以 是方程 的根， 因为为正项等差数列，所以公差，，所以 由 ，所以 所以 （2）由（1）知等差数列前n项和： 所以，利用错位相减法求前项和， 两式相减得到 所以 （3）因为，所以 裂项化简通项 所以 因为，所以，得证. 考点六：裂项相消法之根式型 【例6】（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的通项公式及前项和； (3)记，，证明：． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以，或， 当时，：，，，显然，，成等比数列， 当时，，，，显然，，不能成等比数列， 所以，于是； （2）令， ， 两式相减，得， 因为等差数列的公差为，且， 所以， 即，即， ，所以数列的前项和， 当时，， 显然不适合，所以； （3），即， 由， 于是 . 【变式6-1】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且. (1)求； (2)证明：是等差数列； (3)求数列的前项和为. 【解析】（1）在正项数列中，， 当时，，又，故， ，而，解得； 当时，，又，故， ，即，而，解得， 所以，. （2）在正项数列中，，当时，， 则，即， 所以是首项为4，公差为4的等差数列. （3）由（2）得，由是正项数列，得，则， 因此， ， 所以数列的前项的和. 【变式6-2】已知数列的前n项和为，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【解析】（1）由得： 即， 所以数列为等差数列， 由得， 设公差为d，，得， 所以， 故数列的通项公式为． （2）， 所以． 【变式6-3】已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【解析】（1）当时，由，得： 由 ， ， 由上面两式相减，得： 所以数列是以首项为，公比为的等比数列，得： （2） 考点七：裂项相消法之指数型 【例7】（25-26高三上·云南红河·月考）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证： 【解析】（1）由题意， 所以数列的前项和为， 当时，； 当时，. 时，上式亦成立. 所以数列的通项公式为. （2）， 所以， 因为，所以 又因为时，单调递增，所以， 所以. 【变式7-1】（25-26高三上·河南郑州·月考）在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，若，求的前项和． 【解析】（1）因为，所以，又，所以数列是等比数列且公比为， 所以，即； （2）， ， 所以， 两式相减得， 所以， ， 所以． 【变式7-2】（25-26高二上·重庆·月考）若一个数列 为常值数列，且 ，则有 ，解得 . (1)若数列 满足条件 ，且 ，求 的通项公式； (2)已知数列 前 项和为 ，且满足，且 ① 求数列 的通项公式； ② 设，，求证：. 【解析】（1）方法一：因为数列 满足条件 ，所以数列 为常值数列， 又 ，所以，故， 方法二：数列满足条件，且，可得， 则， 所以数列 的通项公式. （2）①由数列 前 项和为 ，且满足， 当时，可得， 两式相减，可得，即， 可得，又， 所以，故数列 为常值数列， 又因为，可得， 所以数列 的通项公式. ②由①知：，可得， 所以 则， 因为，所以. 【变式7-3】（25-26高三上·江苏南京·期中）已知数列的首项，且满足递推关系. (1)求证：是等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若，求. 【解析】（1）， ，因为 所以 所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列. 可得： 即： （2）由（1）得，. 则， 所以. ， 由， 得， 所以，解得. 考点八：裂项相消法之三角型 【例8】数列各项均为正数，的前n项和记作，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2023项和． 【解析】（1）当时，有相减得，即，各项均为正数， 所以， 又当时，， 解得或(舍)， 所以对任意正整数n，均有， 故是以首项为1，公差以1的等差数列， 所以． （2）由于， 故， 由（1）得， 记前n项和为，则 ， 所以. 【变式8-1】已知数列中，，设为前n项和，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和 【解析】（1）数列中，，为前n项和， 当时，，， 当时，①， ②， 由②-①得：，， 即， 当时，，递推可得：，，，， 由累乘法可得：， ，又因为，所以，即，经检验，当时符合上式， 所以； （2）由（1）可知，，所以： ， 所以 ； 所以数列的前n项和. 【变式8-2】（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知数列的前n项和为，，，且（）. (1)求； (2)求的通项公式； (3)求数列的前n项和. 【解析】（1）当时，， 则. （2）当时，由，得， 则， 得， 当时，，也满足上式， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则，即. （3）. 当n为偶数时， . 当n为奇数时， ， 故. 【变式8-3】（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前100项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为，由， 得，化简得，解得， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，得， 所以 ； （3）因为的最小正周期为， 所以计算一个周期内（）的的和， ，， ， ， 所以， 所以 . 考点九：倒序相加法 【例9】（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【解析】（1）由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. （2）由题意得， 则， 而，而，可得当时，， 令，因为反比例函数在上单调递减， 所以在上单调递增，即在上单调递增，故得证. 【变式9-1】（2025高二·全国·专题练习）设，，求的值． 【解析】 因为， 所以 ． 故 ， 所以． 【变式9-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求证：． 【解析】（1）因为， 所以． 当时，， 所以， 所以，即当时，． 又当时，，所以数列的通项公式为． （2）， 所以． 所以． 【变式9-3】（24-25高二上·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【解析】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 考点十：并项求和法 【例10】（2025·陕西西安·模拟预测）等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前2n项和， (3)求的最大值和最小值． 【解析】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为， 则，解得， 所以，； （2）由（1），，， 所以 令， 即①， 则②， ①-②得： ， 整理得 所以； （3）因为，设 所以 ， 当为奇数时，，由反比例函数性质可知随增大而增大， 故； 当为偶数时，，由反比例函数性质可知随增大而减小， 故， 又当时，，介于与之间， 所以的最大值为，最小值为. 【变式10-1】（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由得：，； ， ， 当且时，， ，则； 当时，，满足； 综上所述：. （2）由（1）得：， ， ， ， . （3）当为奇数时，；当为偶数时，； ，均为递增数列，，，， 的前项中，包含数列的前项和数列的前项， 的前项和为. 【变式10-2】（25-26高三上·江西·月考）已知正项等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)设数列的前项和为，求． 【解析】（1）设等差数列的公差为，则 解得或 依题意得，则，所以． （2）由（1）知，， 所以． （3）因为， 所以. 1．（25-26高二上·上海浦东新·月考）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 【解析】（1）设等差数列的公差为d， 由题可得：， 解得， ； （2）由（1）知，， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取最小值， 此时最小值为； （3）， 由， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 2．（25-26高二上·云南曲靖·期中）记为等差数列的前项和，已知 (1)求数列的通项公式； (2)记数列，的前项和为，求． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以； （2）由（1）得， . 3．（25-26高二上·上海浦东新·月考）设是等比数列， (1)求的通项公式； (2)求． 【解析】（1）设等比数列的公比为， 由题知，解得， 则等比数列的通项公式； （2）结合（1）可知，是首项为，公比为的等比数列， 共项， 由等比数列的求和公式， 4．（25-26高二上·江苏苏州·月考）在数列，且满足；在数列中，记数列的前n项和为，满足. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由数列，且满足，可得， 即，所以数列是以，公差为的等差数列， 所以，所以， 又由数列的前n项和为，满足， 当时，，可得， 当时，， 两式相减，可得，即，所以， 即，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. （2）由（1）知：且，所以， 则， 可得， 两式相减，可得 ， 所以. （3）由不等式，可得 即对任意恒成立， 设，可得， 当时，可得； 当时，，即，即， 当为偶数时，可得，解得； 当为奇数时，可得，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 5．（25-26高二上·江苏泰州·月考）设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 【解析】（1）当时，由，得，，得， 又，，且，作差得， 所以，，则且， 故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为； （2） ∴. 又，所以. 6．（25-26高二上·江苏连云港·月考）记为递增数列的前项和，． (1)求证：数列是等差数列，并求出其通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，前项和为，求证：. 【解析】（1）由题令，则，解得， 当时，， 所以，即， 因为，且是递增数列，所以， 所以，即，是公差和首项均为2的等差数列， 所以. （2）设是数列的前项和， 因为，所以， 所以， 则， 两式相减得，， 即. （3）， 所以，① 因为， 所以，② ①+②得，， 即，所以. 7．（2025高二上·福建福州·专题练习）已知数列的通项公式为. 数列满足，. (1)求数列的前n项和. (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式. (3)求数列的前n项和. 【解析】（1）由，得， 所以. （2）依题意，，由，得，得， 而，则， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，，即. （3）由（2）知， 所以. 8．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知数列的前n项和为，_______.请在①，；②，，成等比数列，，两个条件中任选一个补充在上面横线中，并解答下面问题. (1)求数列的通项公式； (2)记，求. 【解析】（1）选择条件①， ∵，即，∴， 由累乘法可知当时，, 验证，当时，， ∴数列的通项公式. 选择条件②， ∵，即，∴， ∴数列是公差的等差数列， 由题意可知，∴，解得，∴， ∴数列的通项公式. （2） ， . 9．（25-26高二上·河北·月考）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，，求数列的前n项和及使的n的最小值. 【解析】（1）在数列中，①， 又因为②,， 所以得． 又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知，， 因为对于任意恒成立，所以恒成立． 设，则， 当和时，，即； 当时，， 所以， 所以数列的最大项是，所以， 即实数的取值范围为． （3）由（1）知， 所以． 所以， 所以 . 由，得，即． 因为，所以当时，； 当时，． 所以当时，，所以使的的最小值是4． 10．（25-26高二上·陕西宝鸡·月考）记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项的和，求及表达式 【解析】（1）因为，所以当时， 两式作差得， 又，符合上式，故； （2）由（1）得，， 故， 故. 11．（2025·四川成都·一模）已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，证明：. 【解析】（1）， 当时，，，，，， 当时，， ，， 是等差数列，公差，首项为， ， ，，， 验证时也成立，； （2），，， 设，，，， . 12．（25-26高二上·四川达州·月考）已知数列，若，且. (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项的和为，求. 【解析】（1）因为， 所以，又，所以， 所以是以为首项、为公比的等比数列， 所以，则. （2）由（1）可得，所以， 故 . 13．（25-26高二上·福建三明·月考）已知数列中，.设. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和，并证明：. 【解析】（1）∵， ∴， 又， ∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，∴，∴， ∵， ∴是递增数列. 综上得证. 14．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知数列的前项和为，且．求证： (1)数列为等比数列； (2)数列的前项和． 【解析】（1）当时，由，① 得，② 由①-②得，，所以． 又，且，所以，且． 所以，． 所以，数列为以2为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）得数列为以2为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以，所以， 所以． 所以， ． 又，所以，． 15．（24-25高二下·江西上饶·期中）已知等差数列为递增数列，且满足． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和，并求最大值、最小值． 【解析】（1）等差数列为递增数列，且满足，故， 即，解得，(不符合递增数列舍去)， 所以该数列的公差， 所以通项公式为． （2）由（1）可得， 又. 当为奇数时， 所以， 同理，当为偶数时， 故， 为奇数时，， 此时， 故的奇数项构成递减数列，故 为偶数时，， 此时， 故的偶数项构成递增数列，故 故的最大值为，最小值为． 16．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和； (3)求使得成立的最大整数． 【解析】（1）①， 当时，②， 式子①②，化简得， 两边同时除以得， 中，令得， 即，又，故， ，故对， 数列是首项为1，公差为1的等差数列； （2）由（1）得，则， 则， 则 ； （3）设等比数列的公比为， 由，或， 又数列是递增数列，， 由（2）知，即， 令，则， ， 当时，，当时，，当时，， 即有， 又， 故当时，， 又， ，当时，， 故使得成立的最大整数为6. 17．（25-26高三上·安徽·月考）已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【解析】（1）①， ∴当时，令得②， 由①-②可得，，即， ∴数列从第二项开始为常数列，，可得； 当时，，计算可得，经检验不符合上式， ； （2）∵由（1）知， ， 当为偶数时，， 当为奇数时，． ∴综上，． 18．（25-26高二上·浙江金华·月考）已知数列中，首项，. (1)求证是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和； (3)令，的前项和为，求证：，． 【解析】（1）由已知得，可变形得， 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列， 故， 解得，即 （2）， 所以. （3）若为奇数，，若为偶数，， 故， ， 当时， ； 当时，. 因此，当时，不等式成立. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列求和 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：数列求和常用方法 一．公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 二．几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 知识点2 :常用技巧 常见的裂项技巧 积累裂项模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 积累裂项模型2：根式型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 积累裂项模型3：指数型 （1） （2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是 （7） 积累裂项模型4：对数型 积累裂项模型5：三角型 （1） （2） （3） （4）， 则 积累裂项模型6：阶乘 （1） （2） 常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） ； （11） ； （12）； （13）． （14）． 考点一：分段数列求和 【例1】（25-26高二上·天津西青·月考）设等差数列的前项和为，． (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)设数列的前项和为，求． 【变式1-1】（25-26高二上·浙江宁波·月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足. (1)证明数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式1-2】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前20项和. 【变式1-3】（25-26高二上·江苏常州·月考）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. (1)求和的通项公式； (2)设（），求数列的前项和； 考点二：公式法 【例2】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）已知数列的前项和满足， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最大值. 【变式2-1】（25-26高二上·重庆·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式. (2)记，数列的前项和为，求. 【变式2-2】（25-26高二上·安徽·月考）（1）若为等差数列，且，，求的通项公式； （2）记的前项和为，若，，且为等差数列，求和． 【变式2-3】（25-26高二上·陕西宝鸡·月考）已知数列满足，，，若. (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； 考点三：错位相减法 【例3】（22-23高二上·山东济南·月考）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：． 【变式3-1】（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【变式3-2】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）已知是等差数列，是首项为1，公比为3的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【变式3-3】（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知等差数列满足，，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 考点四：分组求和法 【例4】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列， (1)求和的通项公式； (2)设求数列的前n项和. 【变式4-1】（25-26高二上·河北承德·月考）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为且，满足条件：． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式4-2】（25-26高二上·北京平谷·月考）已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)求数列前项和的最大值． 【变式4-3】（25-26高二上·山东青岛·月考）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，为数列的前项和，求. 考点五：裂项相消法之等差型 【例5】（25-26高二上·河北·期中）已知数列为等差数列，为其前n项和，， (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 【变式5-1】（25-26高二上·河南·月考）已知等差数列的公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 【变式5-2】（25-26高三上·河北·期中）已知为正项等差数列，，为的前项和. (1)求数列的通项公式： (2)求数列的前项和; (3)设数列的前项和为，证明：. 考点六：裂项相消法之根式型 【例6】（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的通项公式及前项和； (3)记，，证明：． 【变式6-1】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且. (1)求； (2)证明：是等差数列； (3)求数列的前项和为. 【变式6-2】已知数列的前n项和为，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【变式6-3】已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 考点七：裂项相消法之指数型 【例7】（25-26高三上·云南红河·月考）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证： 【变式7-1】（25-26高三上·河南郑州·月考）在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，若，求的前项和． 【变式7-2】（25-26高二上·重庆·月考）若一个数列 为常值数列，且 ，则有 ，解得 . (1)若数列 满足条件 ，且 ，求 的通项公式； (2)已知数列 前 项和为 ，且满足，且 ① 求数列 的通项公式； ② 设，，求证：. 【变式7-3】（25-26高三上·江苏南京·期中）已知数列的首项，且满足递推关系. (1)求证：是等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若，求. 考点八：裂项相消法之三角型 【例8】数列各项均为正数，的前n项和记作，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2023项和． 【变式8-1】已知数列中，，设为前n项和，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和 【变式8-2】（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知数列的前n项和为，，，且（）. (1)求； (2)求的通项公式； (3)求数列的前n项和. 【变式8-3】（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前100项和． 考点九：倒序相加法 【例9】（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【变式9-1】（2025高二·全国·专题练习）设，，求的值． 【变式9-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求证：． 【变式9-3】（24-25高二上·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 考点十：并项求和法 【例10】（2025·陕西西安·模拟预测）等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前2n项和， (3)求的最大值和最小值． 【变式10-1】（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和 【变式10-2】（25-26高三上·江西·月考）已知正项等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)设数列的前项和为，求． 1．（25-26高二上·上海浦东新·月考）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 2．（25-26高二上·云南曲靖·期中）记为等差数列的前项和，已知 (1)求数列的通项公式； (2)记数列，的前项和为，求． 3．（25-26高二上·上海浦东新·月考）设是等比数列， (1)求的通项公式； (2)求． 4．（25-26高二上·江苏苏州·月考）在数列，且满足；在数列中，记数列的前n项和为，满足. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 5．（25-26高二上·江苏泰州·月考）设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 6．（25-26高二上·江苏连云港·月考）记为递增数列的前项和，． (1)求证：数列是等差数列，并求出其通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，前项和为，求证：. 7．（2025高二上·福建福州·专题练习）已知数列的通项公式为. 数列满足，. (1)求数列的前n项和. (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式. (3)求数列的前n项和. 8．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知数列的前n项和为，_______.请在①，；②，，成等比数列，，两个条件中任选一个补充在上面横线中，并解答下面问题. (1)求数列的通项公式； (2)记，求. 9．（25-26高二上·河北·月考）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，，求数列的前n项和及使的n的最小值. 10．（25-26高二上·陕西宝鸡·月考）记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项的和，求及表达式 11．（2025·四川成都·一模）已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，证明：. 12．（25-26高二上·四川达州·月考）已知数列，若，且. (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项的和为，求. 13．（25-26高二上·福建三明·月考）已知数列中，.设. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和，并证明：. 14．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知数列的前项和为，且．求证： (1)数列为等比数列； (2)数列的前项和． 15．（24-25高二下·江西上饶·期中）已知等差数列为递增数列，且满足． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和，并求最大值、最小值． 16．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和； (3)求使得成立的最大整数． 17．（25-26高三上·安徽·月考）已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 18．（25-26高二上·浙江金华·月考）已知数列中，首项，. (1)求证是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和； (3)令，的前项和为，求证：，． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $