复习案10 导数的概念与运算-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

复习案10 导数的概念与运算 【知识回顾】 1.导数的概念 (1)如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝. (2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝ . 2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x f(x)＝ax(a＞0且a≠1) f′(x)＝axln__a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x). 5.复合函数的定义及其导数 (1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). (2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 常用结论： 1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，则(f(x0))′＝0. 2.′＝－(f(x)≠0). 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点. 4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”. 【重点题型剖析】 题型一 平均变化率 一、单选题 1．（2022·河南驻马店·高三期中（文））已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2007·陕西·高考真题（文））某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等．在各时段内平均增长速度分别为，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·河北·高三阶段练习）如图是一个装满水的圆台形容器，若在底部开一个孔，并且任意相等时间间隔内所流出的水体积相等，记容器内水面的高度h随时间t变化的函数为，定义域为D，设分别表示在区间上的平均变化率，则（    ） A． B． C． D．无法确定的大小关系 5．（2022·浙江·高二期中）函数在区间上的平均变化率等于（    ） A． B．1 C．2 D． 6．（2022·全国·高二课时练习）已知是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2022·上海市大同中学高二期末）设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是___________. 8．（2022·上海南汇中学高二期末）若函数在区间上的平均变化率为5，则______． 9．（2004·湖北·高考真题（理））某日中午12时整，甲船自A处以的速度向正东行驶，乙船自A的正北处以的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之距离对时间的变化率是___________． 10．（2022·全国·高二课时练习）如图所示为物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的序号是______． ①在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度； ③在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度． 11．（2022·全国·高二单元测试）小明从家里到学校行走的路程s与时间t