专题04 双曲线的综合应用（18大考点）（寒假复习讲义）高二数学苏教版

专题04 双曲线的综合应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点2 ：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 考点一：双曲线的定义与标准方程 【例1】（2025·高二·河北石家庄·月考）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为， 因为该双曲线过点， 所以，即， 故选：B 【变式1-1】（2025·高二·江苏·期末）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线经过点，所以双曲线的焦点在轴上， 所以，又因为离心率为， 即，解得， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 【变式1-2】（2025·高三·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 【变式1-3】（2025·山东济南·三模）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以，双曲线的标准方程是． 故选：A． 考点二：双曲线方程的充要条件 【例2】（2025·高二·安徽蚌埠·月考）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由方程表示双曲线，则满足， 即，解得或，所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式2-1】（2025·高二·江苏扬州·月考）若方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由题意得，解得． 故选：A． 【变式2-2】（2025·高二·陕西西安·月考）已知方程，则（   ） A．时，方程表示椭圆 B．时，所表示的曲线离心率为 C．时，方程表示焦点在轴上的双曲线 D．时，所表示曲线的渐近线方程为 【答案】C 【解析】对于A选项，若方程表示椭圆，则， 解得或，A错； 对于B选项，当时，方程表示椭圆， 则，，，其离心率为，B错； 对于C选项，若方程表示的是焦点在轴上的双曲线， 则，解得，即当时，方程表示焦点在轴上的双曲线，C对； 对于D选项，当时，方程表示双曲线，则，， 此时该双曲线的渐近线方程为，D错. 故选：C. 【变式2-3】（2025·高二·广西·月考）若方程表示的图形是双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．， 【答案】C 【解析】依题有，所以，解得或 故选：C. 考点三：点与双曲线的位置关系 【例3】已知双曲线方程下列说法中正确的有（    ） A．焦点坐标 B．该双曲线的图象过点 C．焦距为10 D．双曲线上存在点P，使得且 【答案】C 【解析】易知焦点坐标在轴上，由，焦点坐标为，A错误； ，B错误； 由上知，焦距为，C正确； 若，则重合，显然不在双曲线上，D错误. 故选：C. 【变式3-1】（2025·广西玉林·三模）函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（     ） A．6 B．-2 C．1 D．4 【答案】D 【解析】令，解得， 所以， 因为点A在双曲线上， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以m-n的最大值为4 故选：D 【变式3-2】（2025·高二·上海宝山·期末）点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点、、，则双曲线的两条渐近线方程为， 点在直线的上方，则，则，即 点在直线的上方，则，则， 所以，， 点在双曲线的外部，则， 在直线的上方，则，可得， 点在直线的下方，则，可得， 所以，，即； 因为点在双曲线的内部，则. 综上所述，. 故选：D. 【变式3-3】（2025·高二·安徽·期末）若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得，设，则由， 得，整理得. 由得， 依题意可知，解得， 则双曲线C的虚轴长. 考点四：双曲线上两点距离的最值问题 【例4】（2025·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【答案】A 【解析】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点， 所以， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立； 因为，所以，所以成立，的最小值为16. 故选：A. 【变式4-1】（2025·高三·云南昆明·月考）已知双曲线与椭圆的焦点相同，离心率互为倒数，设，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【解析】因为椭圆的焦点为，离心率为，则，解得， 因为为双曲线左支上任意一点，所以，即，又， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8. 故选：C 【变式4-2】（2025·高二·全国·单元测试）已知双曲线和直线是的左、右顶点，是上异于A，B两点的任意一点，直线AP，BP分别交直线于M，N两点，设的外接圆半径分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，因为为双曲线上异于A，B两点的任意一点， 所以，即． 根据双曲线的对称性，不妨设在第一象限，直线， 则直线， 令，得， 令，得，所以． 因为的外接圆半径分别为， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 故选：B. 【变式4-3】（2025·高二·贵州六盘水·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，位于第一象限的为该双曲线的一条渐近线上一点，直线为该双曲线的左支上一点，若的周长的最小值为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题，渐近线的方程为， 则点到渐近线的距离， 则由题， 由双曲线的定义，所以， 所以的周长为， 当且仅当三点共线时等号成立， 又的周长的最小值为， 所以，所以， 所以该双曲线的离心率. 故选：C. 考点五：双曲线上两线段的和差最值问题 【例5】（2025·高二·甘肃庆阳·期末）已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为双曲线的右焦点为，则， 且，可得，则，，， 所以，双曲线的标准方程为，如下图所示： 双曲线的左焦点为，且， 同理可得， 由双曲线的定义可得，所以，， 所以，的周长为， 当且仅当为线段与双曲线的交点时，等号成立， 所以，周长的最小值为. 故选：A. 【变式5-1】（2025·高三·四川南充·月考）已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为（   ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【解析】由题意得，故，如图所示， 而到渐近线的距离， 则， 当且仅当M，，N三点共线时两个等号同时成立， 所以的最小值为，所以，即， 当且仅当时，等号成立，又，故， 所以， 即面积的最大值为32. 故选：B 【变式5-2】（2025·高二·贵州贵阳·月考）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【解析】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 【变式5-3】（2025·广东珠海·模拟预测）点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】由双曲线的方程可得，焦点， 可得， 所以， 当，，三点共线时，最小， 因为直线和相互垂直， 且和分别过定点和，所以交点的轨迹方程是以和为直径的两个端点的圆，圆心在，半径为2， 所以， 当三点共线且在和之间时最小，所以的最小值为6， 故选：A 考点六：离心率的值 【例6】双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】的渐近线方程为，， 结合条件两条渐近线的夹角为， 则，解得，又，， ，. 故选：C. 【变式6-1】（2025·四川眉山·一模）设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】如图，设，， 由双曲线定义可知：，， ，，即； 在直角中，，即， 解得：，则，； 在直角中，，即， 即，所以. 故选：A. 【变式6-2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是其渐近线上的一点，若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】由，得为直角三角形， 又，所以点在第一或第四象限内，不妨取点在第一象限内， 如图， 则，又，所以为正三角形，故， 因为点是其渐近线上的一点，所以，则双曲线的离心率. 故选：B. 【变式6-3】（2025·高三·湖南·期中）设双曲线的左､右焦点分别为，点在上，满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示： 设,则,在中，， 由余弦定理得， 化简得，即.又， 即， 即， 化简得 ，又 所以 故选：C 考点七：双曲线的简单几何性质问题 【例7】（多选题）（2025·高二·湖北·月考）已知双曲线，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（    ） A．C的实轴长为4 B．C的离心率为 C．C的焦点到渐近线的距离为 D．过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条 【答案】AC 【解析】因为p，q，r依次成公比为2的等比数列，所以，，即，． 所以C的方程可化为，则，，即，． 对于A，C的实轴长为4，故A正确； 对于B，离心率为，故B错误； 对于C，不妨设焦点坐标为，一条渐近线的方程为，则焦点到渐近线的距离为，故C正确； 对于D，交于同一支时弦长最小值为，交于两支时弦长最小值为． 根据对称性可知过焦点与C相交所得弦长为4的直线有5条，故D错误． 故选：AC. 【变式7-1】（多选题）（2025·高二·福建厦门·期末）曲线，则（    ） A．C上的点满足， B．C关于x轴、y轴对称 C．C与x轴、y轴共有3个公共点 D．C与直线只有1个公共点 【答案】ACD 【解析】表示椭圆在x轴上方的部分， 表示双曲线在x轴下方的部分， 作出图象： 双曲线的一条渐近线为， 故选项ACD正确，选项B错误. 故选：ACD. 【变式7-2】（多选题）（2025·高二·重庆·期中）下列有关双曲线 的命题中，叙述正确的是（   ） A．双曲线的虚轴长为4 B．双曲线上的点到焦点的最小距离为3 C．双曲线的焦点到渐近线的距离为 4 D．经过焦点的最短弦长为 6 【答案】CD 【解析】由题意有：，所以，即， 所以虚轴长为：，故A错误； 双曲线的点到焦点的距离的最小值为：，故B错误； 因为双曲线的渐近线方程为：，即， 焦点到的距离为，故C正确； 当过焦点与双曲线相交于一支时，最短的弦长为通径长为， 当过焦点与双曲线相交于两支时，最短弦长为斜率为0与双曲线交于顶点，即弦长为实轴， 又，所以经过焦点的最短弦长为6，故D正确； 故选：CD. 【变式7-3】（多选题）（2025·高二·河南安阳·期中）已知双曲线的右焦点为，直线是的一条渐近线，是右支上的一点，为坐标原点，则（  ） A．到的距离为 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D． 【答案】ACD 【解析】因为双曲线的渐近线为，又是的一条渐近线，所以，因为，所以，所以，所以双曲线的方程为. 对于A，由双曲线知右焦点，， 所以到的距离为，故A正确； 对于B，的渐近线方程为，即，故B错误； 对于C，的离心率为，故C正确； 对于D，当点是双曲线的右支与轴的交点时，即时，，故D正确. 故选：ACD. 考点八：利用第一定义求解轨迹 【例8】（2025·高二·陕西西安·月考）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设点，则直线，的斜率分别为， 因它们的斜率之积是，则，化简得， 则动点M的轨迹方程为. 故答案为： 【变式8-1】已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】 由于， 则， 又因为， 所以， 则， 为等腰三角形，且， 因此， 由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 且，， 所以点的轨迹方程为． 【变式8-2】已知动圆与两圆，中的一个内切，与另一个外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，的圆心分别为，，圆的半径为． 因为，所以当动圆的半径小于2时，与其中一圆内切后，不可能与另一圆外切，所以， 当圆与圆内切、与圆外切时，有， 则，圆的圆心轨迹是以，为焦点的双曲线的左支； 当圆与圆外切、与圆内切时，有， 则，圆的圆心轨迹是以，为焦点的双曲线的右支． 因此圆的圆心的轨迹是以，为焦点的双曲线，，， 则，，，方程为． 故答案为：． 【变式8-3】（2025·高二·云南昆明·期中）已知反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到，若的三个顶点均在双曲线上，则垂心的轨迹方程是 ．（三角形三条高线交于一点，此点即为垂心） 【答案】 【解析】等轴双曲线上三点的垂心的轨迹方程就是等轴双曲线本身. 证明如下： 由题意，反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到， 故证明采用反比例函数. 设垂心的坐标为， 且三个顶点都在等轴双曲线上， 设三个顶点坐标为, 所以直线的方程为， 即， 因为,即， 所以直线的方程为， 同理由,即， 所以直线的方程为， 所以由， 解得的垂心坐标为， 即垂心的横纵坐标的乘积为， 所以垂心的轨迹方程就是原来的等轴双曲线本身. 故答案为：. 考点九：双曲线的实际应用 【例9】（2025·高二·贵州·期中）在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，建立平面直角坐标系，设该双曲线的方程为），焦距为， 由题意得，得， 所以双曲线的方程为1. 当时，， 所以该进料口的上口宽度为. 故选：B 【变式9-1】（2025·高二·辽宁沈阳·期中）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【解析】由题意画出轴截面如下图所示： 设小球的截面圆圆心为，设双曲线上的点的坐标为， 则点到圆心的距离的平方，对称轴为， 若最小值在时取得，则小球触及最底部，故二次函数的对称轴在的左边，所以，则， 所以，即清洁钢球的最大半径为. 故选：A 【变式9-2】（2025·辽宁辽阳·二模）如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设炮弹爆炸点P的坐标为，则， 所以P的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为340的双曲线的左支． 因为，所以．又， 所以， 故炮弹爆炸点的轨迹方程为． 故选：B． 【变式9-3】（2025·高二·云南丽江·月考）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，，由题意知，，， 所以，，， 所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则， 则. 故选：C. 考点十：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 【例10】（2025·高二·天津·月考）已知点是双曲线：的右支上一点，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列结论正确的是（    ） ①点的横坐标为；②的周长为；③小于；④的内切圆半径为. A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】对于①，双曲线中，故. 左焦点，右焦点，. 设，则， 所以，将代入到双曲线方程中得， ，得到，即，负根舍去，故①正确. 对于②，计算的周长，由双曲线定义得， ， 故周长为，故②正确. 对于③，由余弦定理 ， 因为余弦函数在单调递减，故，故③正确. 关于④，设三角形内切圆半径为，周长为，由三角形面积公式，则， 故④正确. 故选： 【变式10-1】（2025·高二·山东济南·月考）已知点在离心率为的双曲线的左支上，，是双曲线的右焦点，若周长的最小值是，则此时的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线的左焦点为，,如图： 由双曲线， 所以周长为， 当且仅当三点共线时取等号. 如图： 所以,得，即——①. 又因为离心率为，所以——②，将②代入①得，， 解得或（舍去）所以，所以双曲线方程为. 此时，直线的方程为，联立方程，消去y， 得，解得，再代入直线方程得，所以的坐标为. 所以. 故选：B. 【变式10-2】（2025·高二·广西·月考）已知双曲线的左右焦点分别是是该双曲线上的一点，且，若的面积为，则双曲线的焦距等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由可得，， 由余弦定理得， ， 即，所以， ， 则双曲线的焦距等于4. 故选：C. 【变式10-3】（2025·高二·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示： 在双曲线中，，，则，则、， 由双曲线的定义可得，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：C. 考点十一：求离心率的取值范围 【例11】（2025·高二·江苏·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，双曲线的渐近线方程为， 要使直线与双曲线的右支有两个交点， 需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率， 即，即，由， 得，整理得，所以， 因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是. 故选：B. 【变式11-1】（2025·高二·江苏·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，双曲线的渐近线方程为， 要使直线与双曲线的右支有两个交点， 需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率， 即，即，由， 得，整理得，所以， 因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是. 故选：B 【变式11-2】（2025·高二·浙江·月考）已知双曲线，，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据双曲线方程可得，渐近线方程为，即， 设，设PA中点为Q，由，得， 因为Q在渐近线上，所以，即， 所以点P为圆M与直线的公共点， 由题意圆M的圆心为，半径为2， 则圆心M到直线的距离，， 所以，解得. 所以离心率的取值范围为. 故选：B 【变式11-3】（2025·高二·辽宁葫芦岛·月考）如图，在等腰梯形中，为线段上的一点，以为顶点的双曲线经过点，且，则的离心率不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，以的中点为原点，建立直角坐标系， 设，得， 过作于，因为是等腰梯形，且， 则，所以，则， 所以 设，则， 得，，又点在双曲线上，所以， 整理得，则， 因为，易知在区间上单调递增，则， 所以，即，又，所以， 故选：A. 考点十二：直线与双曲线的位置关系 【例12】（2025·高二·四川成都·月考）已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知当时，曲线方程为，当时，曲线方程为.因为时，取值与无关，所以直线恒过点. ∵如图所示,时曲线分别对应椭圆位于轴和轴上方的曲线，时曲线分别对应双曲线位于轴下方的曲线，且双曲线的渐近线方程为， ∴由图知，要使直线和曲线有两个不同交点,斜率应满足时， D正确， 故选：D. 【变式12-1】（2025·高二·江苏无锡·月考）如果直线与双曲线的右支有两个公共点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将直线代入到双曲线中消得：， 若直线与双曲线右支相切时，，则（负值舍）， 由的渐近线为，则时直线与双曲线右支有一个交点，如下图示， 要使直线与双曲线的右支有两个公共点，由图知. 故选： 【变式12-2】（2025·高二·北京·月考）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线与双曲线的右支有两个不同的交点， 联立，消去得， 所以，解得， 故k的取值范围是. 故选：A. 【变式12-3】（2025·高二·广东·期中）已知双曲线：（），的右支上存在两点,，使得线段的中点是.若过的右焦点且垂直于轴的直线与的右支分别交于点,，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，由线段的中点为， 则且，，. 因为，，两式相减整理得， 即，所以， 所以直线的斜率为， 由于双曲线的渐近线方程为：，因为直线与的右支有2个交点， 所以，化简得，解得. 把代入，得， 依题意，点在点的下方， 所以，解得.综上得，. 由于，将代入中，计算可得 ， 则， 由于当时，随的增大而增大， 又当时，. 所以，则的取值范围是 故选：D. 考点十三：弦长问题 【例13】（2025·高二·贵州·月考）已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上一点， 与x轴垂直，且 (1)求C的方程; (2)若直线与C交于A，B两点，求 【解析】（1）由双曲线的定义得，解得， 设焦距，则， 因为与x轴垂直，所以点P的横坐标为c，设点P的纵坐标为， 因为点P在双曲线C上，所以，解得， 因为与x轴垂直，且，所以，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）将直线l与双曲线C联立，得， 解得， 所以. 【变式13-1】（2025·高二·内蒙古包头·月考）已知双曲线：的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线的方程； (2)若直线被双曲线截得的弦长为，求实数的值． 【解析】（1）由条件可知，，所以，，， 所以双曲线的方程为； （2）联立，得， 设直线被双曲线交于点， 恒成立， ，， ， ， 解得： 【变式13-2】（2025·高二·四川绵阳·月考）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左、右焦点分别为，直线经过，与双曲线的右支交于两点，且，求． 【解析】（1）已知双曲线与双曲线渐近线相同， 由的渐近线方程得， 故的渐近线方程斜率为，即，得， 可得，代入点得，解得， 故. （2）由方程得，焦点， 设直线，与联立得， 设，韦达定理得， ，又得， 而，其中，代入得， 平方整理得，解得， 弦长. 【变式13-3】（2025·高二·贵州铜仁·月考）如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求： (1)双曲线的焦点的坐标； (2)直线的方程； (3)求. 【解析】（1）由双曲线，即，则，故， 所以左焦点，右焦点； （2）由直线过且倾斜角为，则，所以； （3）联立，则，整理得， 其中，所以，， 则. 考点十四：中点弦问题 【例14】（2025·高二·湖北黄冈·月考）已知点，，直线，相交于，且它们的斜率之积为． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线交点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 【解析】（1）设，直线，相交于， 且它们的斜率之积为，，化简得， 则动点的轨迹方程为； （2）由（1）得的轨迹方程为， 设点，，则有，， 得：， 整理得：， 为的中点，，， 直线的斜率， 直线的方程为，即. 【变式14-1】（2025·高二·河北石家庄·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【解析】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为， 即，又双曲线的渐近线方程为，所以，即. 而双曲线经过点，所以有，解得. 所以双曲线的方程为. （2）设，将其代入双曲线方程中得 ，两式相减得 因为线段的中点坐标为，所以. 所以，设直线的斜率为，则. 所以直线的方程为，即. 【变式14-2】（2025·高二·河北·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【解析】（1）由题知双曲线的焦点在轴上， 因为双曲线的一条渐近线方程为，且经过点， 所以，解得，， 所以双曲线的方程为 （2）设，代入双曲线的方程得：， 两式作差得：， 因为线段的中点坐标为，所以， 所以， 所以直线的方程为：，即 此时联立方程得， 满足题意. 综上，直线的方程为： 【变式14-3】（2025·高二·陕西西安·月考）已知双曲线的虚轴长为，分别是的左、右焦点． (1)求的渐近线方程． (2)若是的右支上一点，且，求． (3)是否存在直线，使得直线与交于，两点，且弦的中点为？若存在，求的倾斜角；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为双曲线的虚轴长为，所以，所以， 所以的渐近线方程为，即； （2）因为双曲线定义及是的右支上一点，所以， 又因为，所以； （3）假设存在直线l，设，则， 两式相减得， 由的中点为， 得， 因此直线的斜率， 双曲线的渐近线方程为，而，则直线与双曲线相交， 所以存在直线满足要求，直线的斜率为，的倾斜角为. 考点十五：求双曲线的参数或范围问题 【例15】（2025·高二·江苏南京·月考）已知双曲线的渐近线方程是，且过点. (1)求的标准方程； (2)、分别为双曲线的左、右顶点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于、两点，记直线、、、的斜率分别为、、、，已知. （i）证明：为定值； （ii）求面积的取值范围. 【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为， 因为双曲线过点，所以， 所以双曲线的方程为，即为. （2）（i）设点、，又，， 所以，同理，， 所以，所以； （ii）（法一）由已知与坐标轴不垂直，故可设直线的方程为， 由，消去得， 所以，                              . 所以， 整理，得， 即 整理，得，解得或， 当时，直线过点，不合题意，舍去， 当时，直线过点，满足题意， 所以直线过定点，                                    .. 因为， 又，所以， 由直线与双曲线的左支有两个交点，且与坐标轴不垂直， 得，令，则， ， 因为在上单调递减，所以， 所以，所以面积的取值范围是. （ii）（法二）设直线的方程为，直线的方程为， 由消去得，则，解得，， 同理，. 由直线与双曲线的左支有两个交点，且与坐标轴不垂直， 所以，，可得，解得即且. 又，即， 所以. 由， 令，且且， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，故， 所以， ， 由在上单调递减，所以，即， 所以，所以面积的取值范围是. 【变式15-1】（2025·高二·河南新乡·月考）已知双曲线过点，且离心率． (1)求双曲线C的方程； (2)设，分别为双曲线C的左、右焦点，E为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），M，N分别为，的内心． ①证明：M，E，N三点共线； ②设直线AB的倾斜角为，用表示，并求出的取值范围． 【解析】（1）由双曲线过点，得， 又因为离心率，所以，结合，解得，， 所以方程为． （2）①证明：如图，设的内切圆与，，分别切于，，， 所以，，， 所以， 又，所以，， 又，，所以与重合，所以的横坐标为， 同理可得的横坐标也为，所以，，三点共线. ②设直线的倾斜角为，则，， 则 ， 当时，， 当时，由题知，，，，则， 所以渐近线的斜率为，则渐近线的倾斜角为和， 因为，两点在双曲线的右支上，所以，且， 所以或，所以，且， 则， 综上所述，． 【变式15-2】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点． (1)若直线的斜率存在，求出直线斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求直线斜率的取值范围． 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的渐近线方程为，所以， 易知直线的斜率不为，设，，直线的方程为， 联立双曲线与直线消元整理得， 所以，解得， 再由斜率存在以及可得，的取值范围为； （2）依题意，，，结合（1）由韦达定理可知， ，， 于是， 因此 ， 即是定值，定值为； （3）由（2）可知，， 令，则， 所以直线与直线的方程分别为，， 由，解得，即交点的横坐标为， 故 ， 又，即，即， 又，即，解得或， 又，所以， 故的取值范围为. 【变式15-3】（2025·高二·重庆·期中）已知双曲线的一条渐近线为，且过点，动点P在直线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线l过双曲线右焦点F且与双曲线右支交于A、B两点，求证：直线、、的斜率成等差数列； (3)若过点P作双曲线的切线有两条，切点分别为M、N，设直线、的夹角为，求的取值范围． 【解析】（1）已知双曲线渐近线为，可得：； 将点代入双曲线方程中得：， 由，解得：，， 所以双曲线方程为. （2） 如图，设，，，， 则，，， 设，联立方程：， 得：，因为两交点均在右支，则， ， ，， ， 由此可得：，因此得证：直线、、的斜率成等差数列； （3） 如图，设过点的切线方程为， 设直线、的斜率分别为，， 联立方程：， 得：， 由于直线与曲线相切，所以，即， 整理得：， 当时，方程的其中一个根为， 此时切线与渐近线重合，不合题意； 当时，方程的其中一个根为， 此时切线与渐近线重合，不合题意； 又因为方程的判别式， 故的取值范围为. 由此可得：与为方程的两个根； 即得：，. 直线、的夹角为， 则， 由于（当时，最小值取等号） 得：， 所以的取值范围为. 考点十六：求双曲线的最值问题 【例16】（2025·高二·上海·月考）双曲线的左焦点为． (1)过点作斜率为k的直线l与C交于A，B两点，若，求斜率k； (2)点P在双曲线上，，求的最小值． 【解析】（1）双曲线，，所以，所以左焦点为． 所以直线的方程为，联立直线与双曲线方程得： ，化简得. 设，根据韦达定理得. 所以. 因为，所以，化简得，解得. （2）设，因为点P在双曲线上，所以满足，得到. 所以. 因为或，根据二次函数的性质可知，当时，取最小值为. 【变式16-1】（2025·高二·山东菏泽·月考）已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若动点在轴右侧，点，求的最小值. 【解析】（1）， 点到直线的距离， 由题意可知，， 化简得：，即曲线的方程为：； （2）设点到直线的距离为，因为，所以， 所以， 因为点在轴右侧，即点在双曲线的右支，过点向直线作垂线，垂足为， 所以， 当点三点共线时，取得最小值， 且最小值为点到直线的距离，即为：， 所以的最小值为. 【变式16-2】（2025·高二·黑龙江大庆·月考）在平面直角坐标系中，已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴与两点，点的坐标为，当点运动时，点的轨迹为曲线.记，直线的方程为，直线与曲线交于两点（点，点均位于轴右侧）.记直线和的交点为点，设直线，的斜率分别为. (1)求曲线的标准方程； (2)记，的面积分别为，，求的最小值. 【解析】（1）由，消去得， 又，且是双曲线与直线唯一的公共点， 则， 解得，，且点， 过点且与直线垂直的直线为， 令，得，令，得， 因此， 于是曲线的标准方程为，. （2）设，   由，消去x并整理得， 由直线与双曲线的右支交于两点，得可得 ， 解得， 则，，即， 而， 所以 ，即， 则直线：，直线：， 则点的横坐标为， 于是 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为3. 【变式16-3】（2025·山东济南·一模）已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 【解析】（1）由题可知， 则， 由轴时，，可令， 代入双曲线得， 解得， 则所求方程为； （2）①证明：设，则， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点； ②， 由①得，解得， 令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. 考点十七：向量问题 【例17】（2025·高二·江西新余·期末）已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 【解析】（1）由离心率，又，则， 又长轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； 其渐近线方程为. （2）直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， 的方程为； 设 由，得， 【变式17-1】（2025·高二·河南新乡·期中）已知双曲线的焦距为8，离心率为2. (1)求双曲线C的标准方程； (2)直线l与圆相切，且与双曲线C的左、右两支分别交于点M，N，求证：. 【解析】（1）由题意，得，，解得，. 因为， 所以双曲线C的标准方程为. （2）如图， 因为直线l与圆相切， 所以圆心到直线l的距离. 由（1）知，双曲线C的渐近线的斜率为. 因为直线l与双曲线C的左、右两支相交，所以直线l的斜率k存在，且. 设直线l的方程为，则，所以. 由消去y，整理得. ， 设，，则，，所以. 因为，， 所以 . 把，代入，得 ， 所以，所以. 【变式17-2】（2025·高二·辽宁大连·期中）已知椭圆的左、右两个顶点分别为．曲线是以两点为顶点，离心率为2的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点． (1)求曲线的方程； (2)设点的横坐标分别为，证明：； (3)设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围. 【解析】（1）由题意，，， 因为曲线是以、两点为顶点的双曲线， 所以设双曲线的方程为， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， 所以双曲线的方程为； （2）由题意，设点、， 直线的方程为，（）， 联立椭圆方程， 消去得， 由，可得， 联立双曲线方程， 消去得， 同理可得， 所以； （3）设点、，则，， 因为，所以，即， 因为点在双曲线上，即，所以，即， 又点是双曲线在第一象限内的一点，所以， 因为，， 所以， 由（2）知，，设，则，则， 令，， 设，则， 因为，故即， 所以在区间上单调递增，当时 ，，， 则，则，所以， 即当时，的取值范围为. 【变式17-3】（2025·高二·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 【解析】（1）由题意可得，故. （2）当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当时，即当时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，即当时，则，解得. 综上所述，或. （3）由题知、，当直线的斜率为时，此时，不合题意， 则直线的斜率不为，则设直线的方程为，设点、， 根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数，其中， 由韦达定理可得①，②， ，， 则， 因为、在直线上，则，， 即，即， 将①②代入有， 即  化简得， 所以，代入到，得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上，，. 考点十八：定点、定值问题 【例18】（2025·高二·北京海淀·月考）已知椭圆：的右焦点，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)点是椭圆上一动点，且点不在坐标轴上，轴于点，，且交直线于点，直线交轴于点，求证：为定值. 【解析】（1）因为椭圆：的右焦点，所以， 因为离心率，解得，由，解得， 因此椭圆的标准方程为. （2）设点在椭圆上且，则，即， 当时，，直线为，因为，故直线为，为直线与的交点，即，直线的轴截距点，此时，所以. 当时，因为轴于点，所以， 故的斜率为，因，故的斜率为， 所以直线的方程为，令得点纵坐标为， 故， 直线的斜率为，代入， 直线的方程为， 令，解得， 故， 因此为定值. 综上所述，为定值. 【变式18-1】（2025·高二·福建·月考）设分别是椭圆的左､右焦点，过且斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列. (1)求的离心率； (2)若点满足. ①求的方程； ②设，点在上，且为垂足.试探究，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 【解析】（1）由成等差数列，得. 又，所以. 设，. 则直线的方程为. 由，得. 所以. 所以. 所以，所以，，所以. 所以的离心率为； （2）若点满足，则点在线段的垂直平分线上，记的中点为，则直线的斜率为. 由（1）知. 所以.所以. 由（1）知，所以. ①所以椭圆的方程为； ②设. 当直线的斜率均存在时，设直线的方程为，则直线的方程为. 由，得. .所以. ，所以. 所以.即. 以代得，. 即. 所以直线的斜率为： 所以直线的方程为： 所以直线过定点. 当直线的斜率不都存在时，一条为，另一条为. 则，或交换. 此时的方程为，即.过. 因为，所以点在以为直径的圆上. 的中点为，所以存在，使得为定值，且. 【变式18-2】（2025·高二·山西太原·月考）已知椭圆的右焦点为，过的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，． (1)求E的方程； (2)过点A作的垂线，垂足为M．证明：直线过定点． 【解析】（1）记的半焦距为，由右焦点为可得：，而， 故，于是的方程为. （2）如图： 不妨设，， 设，联立， 有，可得，， 即 易知，直线的斜率为， 故直线的方程可表示为 当时，显然， 故 ， 所以直线过定点 而当斜率为0时，直线就是轴，也过点 综上，直线过定点. 【变式18-3】（2025·高二·湖南·月考）已知椭圆的长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程. (2)设分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上除上、下顶点外的一点，直线分别与椭圆交于另一点和，直线与椭圆交于另一点. （i）求面积的最大值； （ii）证明：直线过定点. 【解析】（1）设椭圆的半焦距为. 由题可知，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）如图，由（1）可知. 由题可知直线的斜率存在，设直线， 联立直线与椭圆的方程，即，消去，可得， 则，由，可得，异号， 所以 ， 当且仅当，即时“”成立. 又的面积， 所以的面积， 即面积的最大值为2. （ii）由上知直线， 联立直线与椭圆的方程，即， 消去，可得. 因为，所以， 设，则， 又，所以， 即. 同理可得. 直线的方程为， 联立直线与椭圆的方程，即， 消去，可得， 所以，则. 直线的方程为， 由对称性可知：若直线过定点，则定点必在轴上. 令，得 ，（将代入即可） 所以直线过定点. 1．（2025·高二·吉林长春·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，过原点的直线与的左、右两支分别交于两点，点在上且，若以为直径的圆过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，，，， 由以AB为直径的圆恰好过左焦点可得，由双曲线的对称性得四边形为矩形， 可设，则， 在直角三角形中，可得， 即，解得， 又在直角三角形中，， 即，， 因为 所以，即. 故选：C． 2．（2025·高二·浙江杭州·期末）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的渐近线的斜率小于，得， 因此，由，得， 则，即，则 所以的取值范围是. 故选：D 3．（2025·高二·辽宁朝阳·月考）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线方程为（）， 所以渐近线方程为，即. 因为焦点到一条渐近线的距离为1 ，则有， 化简解得，又离心率，所以. 所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 4．（2025·高二·江苏·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【解析】由圆可化为， 则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值， 即的最小值是. 故选：B. 5．（2025·高二·黑龙江大庆·月考）双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的渐近线为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，不妨设在第一象限，则①，又②， 由①②得到，又由题知， 所以，整理得到， 所以，则，即，所以双曲线的渐近线为， 故选：D. 6．（2025·高二·浙江绍兴·月考）已知、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】如图，作出符合题意的图形， 根据双曲线的定义，可得， 是等边三角形，即， 即， 又，， 中，， ， 即 解得 由此可得双曲线的离心率 故选：C． 7．（2025·高二·安徽·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，， ，且直线为内切圆的一条切线，则内切圆的半径为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】已知双曲线，则， 因为，即， 所以点在双曲线左支上， 因为直线为内切圆的一条切线， 而也是内切圆的一条切线， 所以可设内切圆的圆心为，半径为， 设与轴的切点为， 由内切圆切线长性质可知，， 而，即，解得. 故选：C 8．（2025·高二·陕西榆林·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于、两点.若，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知点，关于轴对称，令，， ，， ，(负值舍去)， 由，可得，则， ，渐近线方程为. 故选：B. 9．（多选题）（2025·高二·河北衡水·月考）已知直线与双曲线相交于，两点，且，两点的横坐标之积为，为的右焦点.下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．若为双曲线的右顶点，则直线，的斜率之积是 【答案】ACD 【解析】对于A，因为直线过原点，所以直线与双曲线的交点，关于原点对称， 又因为，两点的横坐标之积为，所以两交点的横坐标分别为3，， 可得两点的坐标分别为，， 将点代入，得，解得， 所以，所以，故的离心率，故A正确； 对于B，双曲线，其渐近线方程为，故B错误； 对于C，由A可知，的面积为 ，故C正确； 对于D，由题意知，点的坐标为，不妨设点，， 则直线，的斜率分别为，， 因此直线，的斜率之积是，故D正确. 故选：ACD. 10．（2025·高二·河北·月考）已知直线与双曲线交于A，B两点，若点A，B的横坐标之积为，则 . 【答案】 【解析】由直线与双曲线的对称性，不妨设，点在第一象限， 则．由题意得，解得． 代入双曲线的方程，得，解得． 因为，所以． 故答案为：. 11．（2025·高二·福建厦门·月考）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于A，B两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】2 【解析】 如图，根据双曲线的定义得，， 由于，，则， 所以．设由题可得，则， 在中，由余弦定理，可得整理得， 即，因，则可得 . 故答案为：2． 12．（2025·高二·江苏·期末）已知曲线，两条直线均过坐标原点O，和曲线C交于M，N两点，和曲线C交于P，Q两点，若的面积为，则四边形的面积为 . 【答案】 【解析】曲线可化为，为双曲线的标准方程.因为双曲线关于原点对称，直线过原点，且与双曲线交于两点，所以两点关于原点对称；直线过原点，且与双曲线交于两点，所以两点关于原点对称， 所以， 由，得， 由，得，又 所以， 所以. 故答案为： 13．（2025·高二·江苏·期末）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 . 【答案】1 【解析】不妨设椭圆和双曲线的中心均在原点，对称轴均为坐标轴，如图所示， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为， 设点在第一象限，根据椭圆及双曲线的定义，得， 所以， 因为，所以， 根据对称性知四边形为平行四边形，所以， 所以为等边三角形，所以， 在中，由余弦定理得， 化简得，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值是1. 故答案为：1. 14．（2025·高二·江苏·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设双曲线E：的右焦点为，则，. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值. ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， ，. 故答案为：. 15．（2025·高二·陕西渭南·月考）设，分别是双曲线的左、右焦点.是坐标原点.过作一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为 . 【答案】 【解析】由于直线的方程为，点， 由于， 所以， 则, 所以，则, 在中，由正弦定理可得：,则， 所以, 在中，由余弦定理可得：, 则,由， 化简可得：，则, 所以双曲线的离心率, 故答案为： 16．（2025·高二·贵州遵义·期末）已知双曲线 (1)求双曲线C的焦点坐标、渐近线方程和离心率； (2)已知为坐标原点，若直线与双曲线交于A，B两点，求的面积. 【解析】（1）由题意，知双曲线的标准方程为， 所以，故， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，离心率. （2）联立双曲线与直线的方程，化简得. 设，则， 利用弦长公式，得. 因为点到直线的距离为， 所以. 17．（2025·高二·江苏·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 【解析】（1）因为双曲线的离心率为，可得，则， 则，可得，则， 因此，双曲线的方程为. （2）若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得 ，解得. 因此，点在定直线上. 18．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由已知得：，所以， 化简可得：，即动点的轨迹为双曲线. （2）因为， 所以，即， 所以． 显然过点的动直线不与x轴重合，故设直线方程为， ，，， 联立，可得， 首先有，且， 由韦达定理得，， 因为，所以， 即，整理得， 所以，化简得， 当时，方程恒成立， 当时，解得， 故在轴上存在点，使得． 19．（2025·高二·江苏·期末）已知双曲线的离心率为分别为其左、右顶点，点在上.为直线上的动点，与双曲线的另一交点为与双曲线的另一交点为. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【解析】（1）由题意得，，解得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的左顶点，右顶点， 设直线上的动点， 于是直线的斜率，直线的方程为,与双曲线联立， 消得：， 整理得：， 设交点，则由韦达定理可得：， 即，则， 直线的斜率，直线的方程为， 再与双曲线联立，消得：， 整理得：， 设交点，则由韦达定理可得：， 即，则， 由双曲线的对称性知，若直线过定点，则定点必在轴上， 不妨设这个定点为， 则 因为，所以， 整理得：， ， 当时，可得，则直线过点， 当时，直线与轴重合，直线也过点， 所以直线经过定点. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 双曲线的综合应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点2 ：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 考点一：双曲线的定义与标准方程 【例1】（2025·高二·河北石家庄·月考）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高二·江苏·期末）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高三·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【变式1-3】（2025·山东济南·三模）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 考点二：双曲线方程的充要条件 【例2】（2025·高二·安徽蚌埠·月考）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高二·江苏扬州·月考）若方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2-2】（2025·高二·陕西西安·月考）已知方程，则（   ） A．时，方程表示椭圆 B．时，所表示的曲线离心率为 C．时，方程表示焦点在轴上的双曲线 D．时，所表示曲线的渐近线方程为 【变式2-3】（2025·高二·广西·月考）若方程表示的图形是双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．， 考点三：点与双曲线的位置关系 【例3】已知双曲线方程下列说法中正确的有（    ） A．焦点坐标 B．该双曲线的图象过点 C．焦距为10 D．双曲线上存在点P，使得且 【变式3-1】（2025·广西玉林·三模）函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（     ） A．6 B．-2 C．1 D．4 【变式3-2】（2025·高二·上海宝山·期末）点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·高二·安徽·期末）若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点四：双曲线上两点距离的最值问题 【例4】（2025·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【变式4-1】（2025·高三·云南昆明·月考）已知双曲线与椭圆的焦点相同，离心率互为倒数，设，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式4-2】（2025·高二·全国·单元测试）已知双曲线和直线是的左、右顶点，是上异于A，B两点的任意一点，直线AP，BP分别交直线于M，N两点，设的外接圆半径分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·高二·贵州六盘水·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，位于第一象限的为该双曲线的一条渐近线上一点，直线为该双曲线的左支上一点，若的周长的最小值为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 考点五：双曲线上两线段的和差最值问题 【例5】（2025·高二·甘肃庆阳·期末）已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·高三·四川南充·月考）已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为（   ） A．16 B．32 C．36 D．64 【变式5-2】（2025·高二·贵州贵阳·月考）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【变式5-3】（2025·广东珠海·模拟预测）点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 考点六：离心率的值 【例6】双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（   ） A． B．2 C． D． 【变式6-1】（2025·四川眉山·一模）设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式6-2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是其渐近线上的一点，若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式6-3】（2025·高三·湖南·期中）设双曲线的左､右焦点分别为，点在上，满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点七：双曲线的简单几何性质问题 【例7】（多选题）（2025·高二·湖北·月考）已知双曲线，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（    ） A．C的实轴长为4 B．C的离心率为 C．C的焦点到渐近线的距离为 D．过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条 【变式7-1】（多选题）（2025·高二·福建厦门·期末）曲线，则（    ） A．C上的点满足， B．C关于x轴、y轴对称 C．C与x轴、y轴共有3个公共点 D．C与直线只有1个公共点 【变式7-2】（多选题）（2025·高二·重庆·期中）下列有关双曲线 的命题中，叙述正确的是（   ） A．双曲线的虚轴长为4 B．双曲线上的点到焦点的最小距离为3 C．双曲线的焦点到渐近线的距离为 4 D．经过焦点的最短弦长为 6 【变式7-3】（多选题）（2025·高二·河南安阳·期中）已知双曲线的右焦点为，直线是的一条渐近线，是右支上的一点，为坐标原点，则（  ） A．到的距离为 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D． 考点八：利用第一定义求解轨迹 【例8】（2025·高二·陕西西安·月考）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为 ． 【变式8-1】已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 【变式8-2】已知动圆与两圆，中的一个内切，与另一个外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 ． 【变式8-3】（2025·高二·云南昆明·期中）已知反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到，若的三个顶点均在双曲线上，则垂心的轨迹方程是 ．（三角形三条高线交于一点，此点即为垂心） 考点九：双曲线的实际应用 【例9】（2025·高二·贵州·期中）在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·高二·辽宁沈阳·期中）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 【变式9-2】（2025·辽宁辽阳·二模）如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2025·高二·云南丽江·月考）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 考点十：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 【例10】（2025·高二·天津·月考）已知点是双曲线：的右支上一点，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列结论正确的是（    ） ①点的横坐标为；②的周长为；③小于；④的内切圆半径为. A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式10-1】（2025·高二·山东济南·月考）已知点在离心率为的双曲线的左支上，，是双曲线的右焦点，若周长的最小值是，则此时的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2025·高二·广西·月考）已知双曲线的左右焦点分别是是该双曲线上的一点，且，若的面积为，则双曲线的焦距等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式10-3】（2025·高二·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点十一：求离心率的取值范围 【例11】（2025·高二·江苏·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2025·高二·江苏·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2025·高二·浙江·月考）已知双曲线，，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】（2025·高二·辽宁葫芦岛·月考）如图，在等腰梯形中，为线段上的一点，以为顶点的双曲线经过点，且，则的离心率不可能为（    ） A． B． C． D． 考点十二：直线与双曲线的位置关系 【例12】（2025·高二·四川成都·月考）已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2025·高二·江苏无锡·月考）如果直线与双曲线的右支有两个公共点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2025·高二·北京·月考）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】（2025·高二·广东·期中）已知双曲线：（），的右支上存在两点,，使得线段的中点是.若过的右焦点且垂直于轴的直线与的右支分别交于点,，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点十三：弦长问题 【例13】（2025·高二·贵州·月考）已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上一点， 与x轴垂直，且 (1)求C的方程; (2)若直线与C交于A，B两点，求 【变式13-1】（2025·高二·内蒙古包头·月考）已知双曲线：的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线的方程； (2)若直线被双曲线截得的弦长为，求实数的值． 【变式13-2】（2025·高二·四川绵阳·月考）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左、右焦点分别为，直线经过，与双曲线的右支交于两点，且，求． 【变式13-3】（2025·高二·贵州铜仁·月考）如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求： (1)双曲线的焦点的坐标； (2)直线的方程； (3)求. 考点十四：中点弦问题 【例14】（2025·高二·湖北黄冈·月考）已知点，，直线，相交于，且它们的斜率之积为． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线交点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 【变式14-1】（2025·高二·河北石家庄·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【变式14-2】（2025·高二·河北·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【变式14-3】（2025·高二·陕西西安·月考）已知双曲线的虚轴长为，分别是的左、右焦点． (1)求的渐近线方程． (2)若是的右支上一点，且，求． (3)是否存在直线，使得直线与交于，两点，且弦的中点为？若存在，求的倾斜角；若不存在，请说明理由． 考点十五：求双曲线的参数或范围问题 【例15】（2025·高二·江苏南京·月考）已知双曲线的渐近线方程是，且过点. (1)求的标准方程； (2)、分别为双曲线的左、右顶点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于、两点，记直线、、、的斜率分别为、、、，已知. （i）证明：为定值； （ii）求面积的取值范围. 【变式15-1】（2025·高二·河南新乡·月考）已知双曲线过点，且离心率． (1)求双曲线C的方程； (2)设，分别为双曲线C的左、右焦点，E为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），M，N分别为，的内心． ①证明：M，E，N三点共线； ②设直线AB的倾斜角为，用表示，并求出的取值范围． 【变式15-2】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点． (1)若直线的斜率存在，求出直线斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求直线斜率的取值范围． 【变式15-3】（2025·高二·重庆·期中）已知双曲线的一条渐近线为，且过点，动点P在直线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线l过双曲线右焦点F且与双曲线右支交于A、B两点，求证：直线、、的斜率成等差数列； (3)若过点P作双曲线的切线有两条，切点分别为M、N，设直线、的夹角为，求的取值范围． 考点十六：求双曲线的最值问题 【例16】（2025·高二·上海·月考）双曲线的左焦点为． (1)过点作斜率为k的直线l与C交于A，B两点，若，求斜率k； (2)点P在双曲线上，，求的最小值． 【变式16-1】（2025·高二·山东菏泽·月考）已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若动点在轴右侧，点，求的最小值. 【变式16-2】（2025·高二·黑龙江大庆·月考）在平面直角坐标系中，已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴与两点，点的坐标为，当点运动时，点的轨迹为曲线.记，直线的方程为，直线与曲线交于两点（点，点均位于轴右侧）.记直线和的交点为点，设直线，的斜率分别为. (1)求曲线的标准方程； (2)记，的面积分别为，，求的最小值. 【变式16-3】（2025·山东济南·一模）已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 考点十七：向量问题 【例17】（2025·高二·江西新余·期末）已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 【变式17-1】（2025·高二·河南新乡·期中）已知双曲线的焦距为8，离心率为2. (1)求双曲线C的标准方程； (2)直线l与圆相切，且与双曲线C的左、右两支分别交于点M，N，求证：. 【变式17-2】（2025·高二·辽宁大连·期中）已知椭圆的左、右两个顶点分别为．曲线是以两点为顶点，离心率为2的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点． (1)求曲线的方程； (2)设点的横坐标分别为，证明：； (3)设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围. 【变式17-3】（2025·高二·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 考点十八：定点、定值问题 【例18】（2025·高二·北京海淀·月考）已知椭圆：的右焦点，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)点是椭圆上一动点，且点不在坐标轴上，轴于点，，且交直线于点，直线交轴于点，求证：为定值. 【变式18-1】（2025·高二·福建·月考）设分别是椭圆的左､右焦点，过且斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列. (1)求的离心率； (2)若点满足. ①求的方程； ②设，点在上，且为垂足.试探究，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 【变式18-2】（2025·高二·山西太原·月考）已知椭圆的右焦点为，过的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，． (1)求E的方程； (2)过点A作的垂线，垂足为M．证明：直线过定点． 【变式18-3】（2025·高二·湖南·月考）已知椭圆的长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程. (2)设分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上除上、下顶点外的一点，直线分别与椭圆交于另一点和，直线与椭圆交于另一点. （i）求面积的最大值； （ii）证明：直线过定点. 1．（2025·高二·吉林长春·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，过原点的直线与的左、右两支分别交于两点，点在上且，若以为直径的圆过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·浙江杭州·期末）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·辽宁朝阳·月考）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·江苏·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 5．（2025·高二·黑龙江大庆·月考）双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的渐近线为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·浙江绍兴·月考）已知、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．3 7．（2025·高二·安徽·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，， ，且直线为内切圆的一条切线，则内切圆的半径为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2025·高二·陕西榆林·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于、两点.若，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2025·高二·河北衡水·月考）已知直线与双曲线相交于，两点，且，两点的横坐标之积为，为的右焦点.下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．若为双曲线的右顶点，则直线，的斜率之积是 10．（2025·高二·河北·月考）已知直线与双曲线交于A，B两点，若点A，B的横坐标之积为，则 . 11．（2025·高二·福建厦门·月考）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于A，B两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为 ． 12．（2025·高二·江苏·期末）已知曲线，两条直线均过坐标原点O，和曲线C交于M，N两点，和曲线C交于P，Q两点，若的面积为，则四边形的面积为 . 13．（2025·高二·江苏·期末）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 . 14．（2025·高二·江苏·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 15．（2025·高二·陕西渭南·月考）设，分别是双曲线的左、右焦点.是坐标原点.过作一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为 . 16．（2025·高二·贵州遵义·期末）已知双曲线 (1)求双曲线C的焦点坐标、渐近线方程和离心率； (2)已知为坐标原点，若直线与双曲线交于A，B两点，求的面积. 17．（2025·高二·江苏·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 18．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2025·高二·江苏·期末）已知双曲线的离心率为分别为其左、右顶点，点在上.为直线上的动点，与双曲线的另一交点为与双曲线的另一交点为. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $