专题09 期末真题百练通关（160题26大常考题型）（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材人教版

专题09 期末真题百练通关（160题26大常考题型） 题型1 三角形的概念 题型14 等腰三角形 题型2 三角形的边 题型15 等边三角形 题型3 三角形的中线、角平分线、高 题型16 幂的运算 题型4 三角形的内角与外角 题型17 整式的乘法 题型5 全等三角形及其性质 题型18 乘法公式 题型6 三角形全等的判定 题型19 用提公因式法分解因式 题型7 全等三角形的判定综合 题型20 用公式法分解因式 题型8 全等三角形的辅助线问题 题型21 从分数到分式 题型9 角的平分线 题型22 分式的基本性质 题型10 轴对称及其性质 题型23 分式的乘法与除法 题型11 线段的垂直平分线 题型24 分式的加法与减法 题型12 画轴对称的图形 题型25 整数指数幂 题型13 轴对称综合题 题型26 分式方程 题型一 三角形的概念（共4小题） 1．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若线段分别是中线上的高和中线，则（    ） A．或 B． C．或 D． 2．（25-26八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）如图，在中，，，，，为边上不同的个点，从点首先连接，图中出现了3个不同的三角形；再连接，图中便有6个不同的三角形……如此继续下去.连接BAn后，共有三角形的个数是 . 4．（23-24八年级上·吉林松原·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点A、B均在格点上，分别按下列要求画图． (1)在图①中画一个，使的面积是10； (2)在图②中画一个，使是轴对称图形； (3)在图③中画一个，点E在格点上，且大于． 题型二 三角形的边（共5小题） 5．（25-26八年级上·甘肃·期末）下列各组线段中，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）的两边长分别是3和4，则第三边长不可能是（   ）． A．4 B．5 C．6 D．7 7．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）已知等腰三角形的两边长分别为4和6，则这个等腰三角形的周长为 ． 8．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）刘家峡大桥是采用单跨桁式加劲梁悬索桥，主大桥结构采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是 ． 9．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）已知是等腰三角形，且，．求的周长． 题型三 三角形的中线、角平分线、高（共6小题） 10．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 12．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）如图，是边上的中线，的面积是3，则的面积是 ． 13．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，在 中，，，的平分线交于点E，点D为上一点，且，与交于点M （1） ． （2）若于点，，则的长为 ． 14．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）如图，在中，，是边上的高线，，平分，求的度数． 15．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 题型四 三角形的内角与外角（共6小题） 16．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）如图，，，则、的关系为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图， ． 19．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是的边上的高，平分交于点E，若，，求和的度数． 20．（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 21．（24-25八年级上·山西晋中·期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容――利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，，求证： 方法一 方法二 题型五 全等三角形及其性质（共3小题） 22．（24-25八年级上·四川南充·期末）下列四个图形中，有两个是全等形，它们是（    ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 23．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形拼成，连接，，若想求出图中阴影部分的面积，只需知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 24．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 题型六 三角形全等的判定（共9小题） 25．（25-26八年级上·湖南·期末）如图，已知，，，则图中有 对全等三角形，它们是 ． 26．（25-26八年级上·山东·期末）如图，在等腰直角中，，O是边上的中点，点D，E分别在，边上，且，交于点P，下列结论：①图中的全等三角形共有3对；②；③；④；正确的是有 ． 27．（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，已知，，E为线段上一点．请找出图中所有全等的三角形，并证明． 28．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，点A，F，C，D在同一直线上，求证：． 29．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 30．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知，B是的中点，求证：． 31．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，平分的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 32．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在与中，点在一条直线上，，．求证： (1)； (2)． 33．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿行走，小芳沿行走，两人分别同时到达，点C，D，若． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 题型七 全等三角形的判定综合（共4小题） 34．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 35．（25-26八年级上·全国·期末）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（   ） A．两条直角边分别相等 B．一条直角边和一个锐角分别相等 C．斜边和一个锐角分别相等 D．两条边分别相等 36．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 37．（24-25八年级上·北京延庆·期末）如图，是的角平分线，点在射线上，点在射线上，点在射线上，连接，．请你添加一个条件，使． 小明同学写出以下条件： ①，②，③， ④，⑤，⑥． 他认为：“添加以上条件中的任何一个，都可以使．” (1)小明的说法_______(填“正确”或“错误”)； (2)从小明写出的条件中选择一个______ (填写序号)，使得，补全图形，并写出证明过程． 题型八 全等三角形的辅助线问题（共4小题） 38．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，，点在边上，，点在边上，且，则的长为 ． 39．（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 40．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 41．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 题型九 角的平分线（共5小题） 42．（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（    ） ①平分；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 43．（25-26八年级上·全国·期末）如图，，以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两条弧交于点，作射线交于点，若，则的度数为 ． 44．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ． 45．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知 (1)利用直尺和圆规在图①中作出的角平分线，标上适当字母，不写作法，保留作图痕迹； (2)根据（1）的作图，试说明； (3)运用你所学的数学知识，在图②中再设计一种方法，作出的平分线（上述（1）的方法除外，不必说明理由，只在图中保留作图痕迹） 46．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 题型十 轴对称及其性质（共6小题） 47．（24-25八年级上·云南昭通·期末）下列说法中不正确的是（   ） A．如果两个图形成轴对称，那么对应点所连线段被对称轴垂直平分 B．成轴对称的两个图形的对称轴只有一条 C．任何一个正方形的对称轴都有四条 D．如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么这两个图形全等 48．（25-26八年级上·重庆·期末）下面有四幅交通警告图标，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 49．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 50．（25-26八年级上·全国·期末）如图，牧民从A 地出发 ，到一条笔直的河边 饮马 ， 然后到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 51．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，将折叠，使边AC落在边上，展开后得到折痕l，若，，求的度数． 题型十一 线段的垂直平分线（共5小题） 52．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．每个定理都有逆定理 C．等腰三角形的顶角一定是锐角 D．等腰三角形的底角必为锐角 53．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）“若则”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 54．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，，，直线为线段 的垂直平分线． 55．（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，并且平分．若，求的长． 56．（25-26八年级上·北京西城·期末）已知：在中，为边上一点，平分，于点，于点． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接、（只保留作图痕迹，不写作法和结论）． (2)若，求证：．请补全下面的证明过程． 题型十二 画轴对称的图形（共4小题） 57．（25-26八年级上·全国·期末）已知点与点关于y轴对称，则的值为（   ） A．1 B． C．7 D． 58．（25-26八年级上·全国·期末）点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 59．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，是轴对称图形，对称轴为直线，若点的坐标为，则点关于对称轴的对称点的坐标为 ． 60．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，已知四边形的四个顶点分别为． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形；写出点：______；：_____． (2)在x轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） (3)求四边形的面积． 题型十三 轴对称综合题（共4小题） 61．（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，的垂直平分线分别交边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．76 62．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，，O为内部的一点，连接． (1)作线段关于直线对称的线段，分别是；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：M，C，N三点在同一条直线上． 63．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．　　　 64．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在平面直角坐标系中，画出； (2)求的面积； (3)在图中作出关于轴对称的． 题型十四 等腰三角形（共8小题） 65．（25-26八年级上·江苏南通·期末）等腰三角形一个角为，则顶角的度数可能为（   ） A． B． C．或 D．或 66．（24-25八年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 67．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，中，，，D为边上一点，且平分，若，则的长是（　　） A．2 B． C．3 D． 68．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，于点，若，则 ． 69．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知中，，平分交于点D，是的外角的平分线，交于点G．以下结论：①；②是等腰三角形；③．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 70．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为 ． 71．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，，平分，，，． (1)求证：； (2)求的长． 72．（25-26八年级上·安徽六安·期末）问题情境： 已知：射线和射线相交于点．点在射线上，作射线，在射线上取一点，连接，使． 任务一：当点在线段上时， (1)如图1，请写出与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当，时，连接．在射线上取一点，使，连接． ①判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； ②的度数为_____； 任务二：当点是射线上的动点（点不与点和点重合）． (3)如图3，当，（），且时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 题型十五 等边三角形（共5小题） 73．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则 ． 74．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在等边中，，、相交于点． (1)求证； (2)过点作，垂足为．若，，求的长． 75．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，点E在上，且，平分． (1)求证：； (2)猜测与的位置关系，并说明理由； (3)若 ，请判断的形状，并说明理由． 76．（22-23八年级上·湖北荆门·期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点． (1)求证：： (2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值； (3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围． 77．（25-26八年级上·全国·期末）在中，，点D，E是边上的两点． (1)如图1，若，点N在边上，点F在的延长线上，且，连接交于点E，过点N作交于点D，，，求的值； (2)如图2，若，点F在的延长线上，连接，，，且，，求证：； (3)如图3，连接，，若，且，平分，，的面积为30，点M，N分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值． 题型十六 幂的运算（共4小题） 78．（25-26八年级上·甘肃·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 79．（22-23八年级上·广东广州·期末）若，，则 ． 80．（24-25八年级上·陕西延安·期末）若，求的值． 81．（23-24八年级上·青海果洛·期末）计算：． 题型十七 整式的乘法（共11小题） 82．（25-26八年级上·天津·期末）计算： ． 83．（25-26八年级上·甘肃·期末）一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是 ． 84．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若纸盒的容积为，则图2中纸盒底部长方形的周长为 ． 85．（24-25八年级上·河南周口·期末）若 ，则求的值． 86．（25-26八年级上·甘肃·期末）计算： (1) (2) 87．（25-26八年级上·四川凉山·期末）化简： (1) (2) (3) 88．（23-24八年级上·四川资阳·期末）若的展开式中不含的二次项和一次项． (1)求的值； (2)求的值． 89．（23-24八年级上·全国·期末）计算 (1)，其中，． (2)简便计算：． 90．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）计算： (1)； (2)． 91．（25-26八年级上·全国·期末）计算∶ (1)； (2)． 92．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）计算： (1) (2) 题型十八 乘法公式（共7小题） 93．（25-26八年级上·全国·期末）已知，则的值为（   ） A．89 B．74 C．64 D．49 94．（25-26八年级上·甘肃·期末）若是完全平方式，则的值为（    ） A．7或−1 B．5 C．7 D．−1 95．（25-26八年级上·全国·期末）下列乘法运算中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 96．（25-26八年级上·全国·期末）将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（   ） A． B． C． D． 97．（25-26八年级上·全国·期末）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形A和两个正方形B，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 98．（25-26八年级上·吉林四平·期末）化简：． 99．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）先化简，再求值： 其中 题型十九 用提公因式法分解因式（共3小题） 100．（25-26八年级上·全国·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 101．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）多项式的公因式是 102．（25-26八年级上·吉林·期末）分解因式：; 题型二十 用公式法分解因式（共8小题） 103．（25-26八年级上·吉林四平·期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 104．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 105．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）计算的值为 ． 106．（25-26八年级上·全国·期末）教材有这样一段话：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(如图) 这样，我们也可以得到 利用上述方法，分解因式： ． 107．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）将下列各式分解因式： (1)； (2)． 108．（25-26八年级上·湖南·期末）因式分解： (1)． (2)． 109．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期末）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为，当时，，，，此时可以得到数字密码171920或201719等． 请根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个即可）． 110．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解： 解：原式 例2：若利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值； 题型二十一 从分数到分式（共5小题） 111．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）若分式的值为零，则的取值为（   ） A． B． C． D．的值不存在 112．（23-24八年级上·山东济宁·期末）下列各式，，，，，属于分式的有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 113．（23-24八年级上·湖北黄石·期末）下列结论： ①不论a为何值时都有意义； ②时，分式的值为0； ③若的值为负，则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 114．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）当 时，分式无意义． 115．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 题型二十二 分式的基本性质（共8小题） 116．（24-25八年级上·四川泸州·期末）下列从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 117．（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 118．（23-24八年级上·云南红河·期末）下列式子是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 119．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 120．（23-24八年级上·山东滨州·期末）把分式方程变形为的形式，其依据为（    ） A．等式性质1 B．等式性质2 C．分式的基本性质 D．分式的乘法法则 121．（25-26八年级上·全国·期末）如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 122．（24-25八年级上·广东东莞·期末）约分： ． 123．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）分式和的最简公分母是 ． 题型二十三 分式的乘法与除法（共5小题） 124．（25-26八年级上·全国·期末）若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能是    （　　） A． B． C．b D． 125．（24-25八年级上·北京丰台·期末）计算： ． 126．（24-25八年级上·福建福州·期末）甲、乙两艘船在某海域航行，甲船航行用了，如果乙船的航速是甲船航速的，那么乙船航行的路程为 ． 127．（24-25八年级上·吉林·期末）计算：． 128．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）先化简，再求值：，其中． 题型二十四 分式的加法与减法（共9小题） 129．（25-26八年级上·全国·期末）计算 的结果是（   ） A． B． C． D．2 130．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期末）化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 131．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知，且，则 ． 132．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）先化简，再求值：，其中． 133．（25-26八年级上·甘肃·期末）先化简，再求值：，其中． 134．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）定义：若两个分式的和为为正整数，则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“______阶分式”； (2)分式与谁互为“6阶分式”？ 135．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）甲、乙两人两次同时到一家粮油店去买油，两次的油价有变化，但他们两人的购买方式不一样，其中甲每次总是买斤油．而乙每次只拿出元钱来买油．商店也按价计算卖给乙．设前后两次的油价分别是元/斤和元/斤（、，），请问这两种购买方式哪一种合算？请结合计算说明． 136．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）我们学过的分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，则称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，则称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，；． 请按照以上方法解决下列问题． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和，然后判断当x取什么整数时，该分式的值也为整数． 137．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 题型二十五 整数指数幂（共4小题） 138．（24-25八年级上·广西桂林·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 139．（24-25八年级上·河北衡水·期末）一种花瓣的花粉颗粒直径用科学记数法表示为，这个数用小数表示为（ ） A． B． C． D． 140．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）在2019年底，新型冠状病毒肺炎在全球迅猛传播，被世界卫生组织定为“国际关注的突发公共卫生事件”．据研究，这次疫情的冠状病毒微粒直径在微米左右，微米等于米，数字用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 141．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末） ． 题型二十六 分式方程（共10小题） 142．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列方程中是分式方程的是（） A． B． C． D． 143．（25-26八年级上·江苏南通·期末）小雅同学在学校阅览室借了一本昆虫记，共页，管理员要求在两周内归还，当她读了这本书的时，发现每天要多读页才能在借期内读完，问：已经读完的部分她每天读多少页？如果设已经读完的部分每天读页，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 144．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）临潭的冶力关景区被誉为“甘南生态大观园”和“兰州后花园”，从临夏到景区的公路全长175千米，公路全线改造升级后旅游大巴车的平均速度是原来的1.5倍，现在旅游大巴车从临夏到景区行驶时间比原来缩短了1小时，设旅游大巴车原来的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 145．（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）若关于x的方程无解，则a的值是 ． 146．（24-25八年级上·河南周口·期末）（1）关于x的分式方程无解，则 ； （2）若（1）中的方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则满足条件的整数a的值之和为 ． 147．（25-26八年级上·吉林四平·期末）解分式方程： 148．（24-25八年级上·吉林·期末）某校组织“书香校园”读书活动，八年一班班主任推荐给同学们一本好书．已知小王同学比小李同学每天多阅读6页，王同学阅读90页书所用时间与李同学阅读60页书所用时间相等．求王同学和李同学乙每天各阅读多少页． 149．（24-25八年级上·北京房山·期末）研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量． 150．（25-26八年级上·全国·期末）某工厂使用两台不同型号的注塑机(A型和 B型)合作生产一批零件．已知： 1．如果两台机器同时工作，完成这批零件所需的时间比A型机单独工作少5小时； 2．B型机单独工作完成这批零件所需的时间是A型机单独工作所需时间的2倍； 问：A型机单独工作完成这批零件需要多少小时？ 151．（25-26八年级上·山东·期末）某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同． (1)求A，B两款吉祥物每个的售价． (2)为了促销，商店对A款吉祥物进行9折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为了激励学生奋发向上，准备用不超过240元购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？ 一、选择题 1．仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（    ） A． B． C． D． 2．宋•苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小．据测量，200粒粟的重量大约为1克，用科学记数法表示1粒粟的重量约为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（   ） A． B．12 C． D．24 二、填空题 4．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长为的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，施工队实际工作效率比原计划提高了，结果提前完成任务，则原计划每小时修路 . 5．如图，，垂足为，，垂足为，与交于点，，，则的长为 ． 三、解答题 6．如图，在中，是边上的高，垂足为D点，点P在边上，连接，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 7．在一个城市的特定区域内，有两条相交的主要街道和，该街道内有两个大型商场和．为了提高火灾应急响应能力，保障区域内的生命和财产安全，市政府计划在内建设一个消防站，消防站的位置需要满足以下条件： ①到两条主要街道、的距离相等；②到、两个大型商场的距离相等． 请利用尺规作图法确定消防站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 8．小渝是一名建筑设计师，受甲方委托，负责为一栋建筑设计窗户．设计方案结合了平开窗和推拉窗两种形式．已确认项目总预算为14800元，其中推拉窗每平方米单价为平开窗的倍．若将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米． (1)请分别求出平开窗和推拉窗的单价； (2)设计过程中，甲方进一步提出：窗户全部按整数平方米分配，且用于推拉窗的资金不低于4000元．如果窗户规划总计为35平方米，那么在总费用不超出预算的前提下，小渝共有哪几种可行的设计方案？ 9．如图，在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且． (1)【特例探究】如图1，若点为的中点，求证：； (2)【类比迁移】如图2，若点在边上任意一点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 期末真题百练通关（160题26大常考题型） 题型1 三角形的概念 题型14 等腰三角形 题型2 三角形的边 题型15 等边三角形 题型3 三角形的中线、角平分线、高 题型16 幂的运算 题型4 三角形的内角与外角 题型17 整式的乘法 题型5 全等三角形及其性质 题型18 乘法公式 题型6 三角形全等的判定 题型19 用提公因式法分解因式 题型7 全等三角形的判定综合 题型20 用公式法分解因式 题型8 全等三角形的辅助线问题 题型21 从分数到分式 题型9 角的平分线 题型22 分式的基本性质 题型10 轴对称及其性质 题型23 分式的乘法与除法 题型11 线段的垂直平分线 题型24 分式的加法与减法 题型12 画轴对称的图形 题型25 整数指数幂 题型13 轴对称综合题 题型26 分式方程 题型一 三角形的概念（共4小题） 1．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若线段分别是中线上的高和中线，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】垂线段最短、三角形的识别与有关概念 【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据垂线段最短可得，据此可得答案． 【详解】解：∵线段分别是中线BC上的高和中线，而垂线段最短， ∴， 故选C． 2．（25-26八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 3．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）如图，在中，，，，，为边上不同的个点，从点首先连接，图中出现了3个不同的三角形；再连接，图中便有6个不同的三角形……如此继续下去.连接BAn后，共有三角形的个数是 . 【答案】 【知识点】三角形的个数问题、图形类规律探索 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律，注意数三角形的个数实际上就是数线段的条数． 【详解】解：观察图形可知： 从点首先连接，不同的三角形个数为， 再连接，不同的三角形个数为， 再连接，不同的三角形个数为， ， ∴连接到时，图中有个三角形(n为正整数)， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·吉林松原·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点A、B均在格点上，分别按下列要求画图． (1)在图①中画一个，使的面积是10； (2)在图②中画一个，使是轴对称图形； (3)在图③中画一个，点E在格点上，且大于． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】利用网格求三角形面积、画轴对称图形、三角形的分类 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）． （1）利用三角形面积公式，在B点右边4格处取C点，则满足条件； （2）以过A的铅垂线为对称轴，作出B点的对称点D，则满足条件； （3）把B点右边1格处取E点，则满足条件． 【详解】（1）如图，即为所求；   ． （2）如图，即为所求；    （3）如图，，即为所求；    题型二 三角形的边（共5小题） 5．（25-26八年级上·甘肃·期末）下列各组线段中，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据任意两边之和大于第三边判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、， 不能组成三角形，该选项不符合题意； 、，不能组成三角形，该选项不符合题意； 、，能组成三角形，该选项符合题意； 、，不能组成三角形，该选项不符合题意； 故选：． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）的两边长分别是3和4，则第三边长不可能是（   ）． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形第三边长是，得到，即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三边长是， 由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴第三边长不可能是7． 故选：D． 7．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）已知等腰三角形的两边长分别为4和6，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】14或16 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题方法是需分情况讨论腰长和底边长，再依据三角形三边的关系验证能否构成三角形． 分两种情况讨论：当腰长为4时和当腰长为6时，利用三角形的三边关系判断能否构成三角形，再求周长即可． 【详解】解：当腰长为4时，三角形的三边分别为4，4，6， ， 能构成三角形，周长为； 当腰长为6时，三角形的三边分别为6，6，4， ∵， 能构成三角形，周长为． 故答案为：14或16． 8．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）刘家峡大桥是采用单跨桁式加劲梁悬索桥，主大桥结构采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形具有稳定性． 根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：主大桥结构采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 9．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）已知是等腰三角形，且，．求的周长． 【答案】的周长为16 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义及三角形三边关系是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的定义及三角形三边关系进行求解即可． 【详解】解：因为，， 所以，即， 因为是等腰三角形， 所以， 所以的周长． 题型三 三角形的中线、角平分线、高（共6小题） 10．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 11．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、折叠问题、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【详解】解：①折叠使点与点重合，则：对折点即为的中点，则即为边上的中线； ②折叠使和重合，则：折痕即为的平分线； ③折叠使和重合，则：折痕即为边上的高； 故选D． 12．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）如图，是边上的中线，的面积是3，则的面积是 ． 【答案】6 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线，的面积是3， ∴ ， 故答案为：6． 13．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，在 中，，，的平分线交于点E，点D为上一点，且，与交于点M （1） ． （2）若于点，，则的长为 ． 【答案】 45 4 【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、等边对等角、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了直角三角形的性质（含角）、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识．解题的关键是利用角度关系推导角的度数，结合角直角三角形的特殊性质及勾股定理计算线段长度． （1）通过直角三角形角度关系、角平分线性质及等腰三角形性质，推导角度间的数量关系，得出的度数． （2）通过角平分线和直角三角形性质推导出，结合 判定 为等腰直角三角形，得 ；再利用 角所对直角边等于斜边一半，在 中得 ，在 中得 ，进而得 ． 【详解】（1）在中，，，则． ∵ 是的平分线， ∴． 由于为等腰三角形，，故． ，则． 在中，． 又因为与互补，所以． 故答案为：． （2）∵平分，， ∴，又， ∴，又得， ∴，又由（1）知 ∴， 结合知，是等腰直角三角形， ∴． 在中，，则， 在中，，则， 因，则． 故答案为： 14．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）如图，在中，，是边上的高线，，平分，求的度数． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由是边上的高线可得，利用三角形内角和定理可得，再利用角平分线的定义可得，进而得到，最后再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：是边上的高线， ， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 的度数为． 15．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)，见解析 (2)相等，； (3) 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的概念 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：                由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，所以的面积为． ∵ ∴，即 故答案为；相等，；  ． （3）解：是的重心， ， ， ， ． 题型四 三角形的内角与外角（共6小题） 16．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）如图，，，则、的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 延长交于点G，延长交于点H，求出，，再根据平行线的性质得出，进而可得答案． 【详解】解：延长交于点G，延长交于点H，如图， ， ， 在中，， ， ， ，即， ， ，即． 故选：D． 17．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，先根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴， 故选：C． 18．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图， ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质是解题关键． 延长、交于点G，通过三角形外角的性质，将所求的角度之和问题转化成两个三角形的内角和问题． 【详解】解：如图，延长、交于点G，设与交于点H，与交于点I， ∵是的外角， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵三角形内角和为， ∴，， ∴， 故答案为：． 19．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是的边上的高，平分交于点E，若，，求和的度数． 【答案】； 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线和直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据是 边上的高，可得，再由角平分线的定义，可得，然后根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 20．（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 21．（24-25八年级上·山西晋中·期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容――利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，，求证： 方法一 方法二 【答案】见解析 【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理的证明，熟练掌握利用平行线的性质证明三角形的内角和定理是解答的关键． 方法一：过点A作，利用平行线的性质得到，，再利用平角定义和等量代换可得结论； 方法二：过点C作，利用平行线的性质得到，即可求解． 【详解】证明：方法一：过点A作． ∵， ∴，． ∵， ∴， 即； 方法二：过点C作． ∵， ∴，， ∴，即． 题型五 全等三角形及其性质（共3小题） 22．（24-25八年级上·四川南充·期末）下列四个图形中，有两个是全等形，它们是（    ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 【答案】D 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查全等形的定义，能够完全重合的两个图形叫做全等形．据此即可解答． 【详解】解：图③和④是全等形． 故选：D 23．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形拼成，连接，，若想求出图中阴影部分的面积，只需知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、正方形的性质以及三角形面积公式，利用全等三角形的性质、正方形的性质以及三角形面积公式，将阴影部分面积转化为只含一个未知数的表达式，从而确定所需条件． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴图中阴影部分的面积 ∴若想求出图中阴影部分的面积，只需知道的长， 故选B． 24．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴， 即． 题型六 三角形全等的判定（共9小题） 25．（25-26八年级上·湖南·期末）如图，已知，，，则图中有 对全等三角形，它们是 ． 【答案】 ， 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据已知利用，分别证明，，即可求解． 【详解】解：在与中， ，，， ， ， ， ， 在与中， ∵，，， ， 图中全等的三角形有对，它们分别是，． 故答案为：，，． 26．（25-26八年级上·山东·期末）如图，在等腰直角中，，O是边上的中点，点D，E分别在，边上，且，交于点P，下列结论：①图中的全等三角形共有3对；②；③；④；正确的是有 ． 【答案】①②④ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 先根据等腰直角三角形的性质得到，，平分，，再证明和，加上，从而可对①进行判断；根据全等三角形的性质，由得到，则可对②进行判断；由得到，即，根据垂线段最短的性质，从而可对③进行判断；由得到，利用等量代换得到，然后根据三角形面积公式可对④进行判断． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，，O是边上的中点， ∴，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴图中共有3对全等三角形，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故答案为①②④． 27．（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，已知，，E为线段上一点．请找出图中所有全等的三角形，并证明． 【答案】图中全等三角形有：，，．证明见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．先根据“斜边、直角边”证明，得到，再根据“边角边”分别证明，即可． 【详解】解：图中全等三角形有：，，． 证明如下： 在和中， ， ∴， ∴． 在和中 ， ∴． 在和中 ， ∴ 28．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，点A，F，C，D在同一直线上，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据，得出，又因为，则，故，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 29．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 根据，可得，由可得，根据即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 30．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知，B是的中点，求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查两个三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是关键；由B是的中点，可得，再结合已知条件用边边边的判定即可证明． 【详解】证明：∵B是的中点， ∴， 在与中， ， ∴． 31．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，平分的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，再利用证明即可； （2）先求解，再结合全等三角形的性质可得，再进一步求解即可得到答案． 【详解】（1）解： 平分 ， ， 又 ， ． （2）解： ， ， 由 （1）知 ， ． 32．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在与中，点在一条直线上，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质．掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）先根据，得出，再利用，结论即得； （2）根据，得，即得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴； （2）由（1）知，， ∴， ∴． 33．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿行走，小芳沿行走，两人分别同时到达，点C，D，若． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】用HL证全等（HL）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形全等判定的特殊方法是解题的关键． （1）根据题意，得到，又，利用直角三角形全等的判定方法证明；从而得证； （2）由（1）得，得到，结合，即可得解． 【详解】（1），理由如下： ∵小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，两人分别同时到达， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， 又， ． 题型七 全等三角形的判定综合（共4小题） 34．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，画出的不唯一，该选项符合题意； 故选：． 35．（25-26八年级上·全国·期末）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（   ） A．两条直角边分别相等 B．一条直角边和一个锐角分别相等 C．斜边和一个锐角分别相等 D．两条边分别相等 【答案】D 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．选项A、B、C均能判定全等，而选项D没有明确对应关系，不能判定是否全等． 【详解】解：A．两条直角边分别相等，可用判定全等； B．一条直角边和一个锐角分别相等，可用或判定全等； C．斜边和一个锐角分别相等，可用判定全等； D．两条边分别相等，没有明确对应关系，如果相等的两条边，在一个三角形中是两条直角边，而在另一个三角形中是一条直角边和一条斜边，则不能判定两直角三角形全等．例如，一个直角三角形的两条边是长为3和4的两条直角边，而另一个直角三角形的两条边是长为3的直角边和长为4的斜边，则这两个直角三角形不全等． 故选：D． 36．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， 当添加时，由“”可判定，故选项不合题意； 当添加时，由“”可判定，故选项不合题意； 当添加时，由两边及一边的对角无法判定，故选项符合题意； 当添加时，由“”可判定，故选项不合题意； 故选：． 37．（24-25八年级上·北京延庆·期末）如图，是的角平分线，点在射线上，点在射线上，点在射线上，连接，．请你添加一个条件，使． 小明同学写出以下条件： ①，②，③， ④，⑤，⑥． 他认为：“添加以上条件中的任何一个，都可以使．” (1)小明的说法_______(填“正确”或“错误”)； (2)从小明写出的条件中选择一个______ (填写序号)，使得，补全图形，并写出证明过程． 【答案】(1)错误 (2)①或②或③或⑤或⑥，图见解析，证明见解析 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定方法对小明同学写出的个条件逐一分析判断即可； （2）补全图形，从小明写出的条件中选择一个，然后利用全等三角形的判定方法证明即可． 【详解】（1）解：对于小明同学写出的个条件， 选择条件①时，可以利用证明， 选择条件②时，可以利用证明， 选择条件③时，可以利用证明， 选择条件④时，利用不能证明， 选择条件⑤时，可以利用证明， 选择条件⑥时，可以利用证明， 小明的说法错误， 故答案为：错误； （2）解：补全图形如下： 选择条件①时，证明如下： 是的角平分线， ， 在和中， ， ； 选择条件②时，证明如下： 是的角平分线， ， 在和中， ， ； 选择条件③时，证明如下： 是的角平分线， ， 在和中， ， ； 选择条件④时，利用不能证明； 选择条件⑤时，证明如下： 是的角平分线， ， ， ， 即：， 在和中， ， ； 选择条件⑥时，证明如下： 是的角平分线， ， ， ， 即：， 在和中， ， ； 故答案为：①或②或③或⑤或⑥． 题型八 全等三角形的辅助线问题（共4小题） 38．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，，点在边上，，点在边上，且，则的长为 ． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交于点，交于点，由和得到，根据得到，则有，推出，利用全等三角形和直角三角形的性质推出，得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，作交于点，交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 39．（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题． （1）运用全等三角形的性质和判定，证明和全等，即可求得； （2）作辅助线构建全等三角形，运用全等三角形的性质和判定，证明， ，进而求得． 【详解】（1）解：证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作交于点，如图所示， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 40．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 41．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）18 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： 由题意得：， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3， 由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 题型九 角的平分线（共5小题） 42．（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（    ） ①平分；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质定理可得，即可判断①；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④； 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分， ，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， 故②错误； ③∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③正确； ④由②可知（）， （）， ∴，， ∴，④正确， 故选：C． 43．（25-26八年级上·全国·期末）如图，，以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两条弧交于点，作射线交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、作角平分线(尺规作图) 【分析】此题主要考查了基本作图以及平行线的性质，由作图步骤得到平分，是解题关键． 直接利用平行线的性质结合角平分线的作法得出，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：平分， ∵， ， ， ， 平分， ． ∵， ∴． 故答案为： 44．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、角平分线性质的实际应用、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 45．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知 (1)利用直尺和圆规在图①中作出的角平分线，标上适当字母，不写作法，保留作图痕迹； (2)根据（1）的作图，试说明； (3)运用你所学的数学知识，在图②中再设计一种方法，作出的平分线（上述（1）的方法除外，不必说明理由，只在图中保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据角平分线尺规作图的要求作出图形即可； （2）根据证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明即可； （3）以O为圆心，适当长为半径作弧交，于点E，F，过点F作，过点E作，直线交于点P，作射线即可． 【详解】（1）解：如图①，射线即为所求； （2）解：如图①中，连接，， 在和中， ， ， ， 平分 ； （3）解：如图②中，射线即为所求． 46．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)18 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的判定定理、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积． （1）先根据三角形外角性质计算出，然后计算即可； （2）过E点作于M点，于N点，如图，先计算出得到平分，根据角平分线的性质得到，，所以，根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论； （3）根据三角形面积公式得到，则可计算出，所以，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过E点作于M点，于N点，如图， ∵，， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， 即平分； （3）解：∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积． 题型十 轴对称及其性质（共6小题） 47．（24-25八年级上·云南昭通·期末）下列说法中不正确的是（   ） A．如果两个图形成轴对称，那么对应点所连线段被对称轴垂直平分 B．成轴对称的两个图形的对称轴只有一条 C．任何一个正方形的对称轴都有四条 D．如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么这两个图形全等 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轴对称图形、全等三角形的判定、轴对称的性质．利用轴对称的性质、全等三角形的判定等进行判定后即可得到正确的答案． 【详解】解：A、如果两个图形成轴对称，那么对应点所连线段被对称轴垂直平分，故原说法正确，本选项不符合题意； B、成轴对称的两个图形的对称轴有可能不止有一条，故原说法错误，本选项符合题意； C、任何一个正方形的对称轴都有四条，故原说法正确，本选项不符合题意； D、如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么这两个图形全等，故原说法正确，本选项不符合题意． 故选：B． 48．（25-26八年级上·重庆·期末）下面有四幅交通警告图标，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 49．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】本题主要考查成轴对称的定义，解决本题的关键是要熟练掌握成轴对称的定义．把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么 就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴，翻折后能够重合的点叫作对称点．据此即可求解． 【详解】解：A、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； B、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； C、图形Ⅰ和图形Ⅱ不成轴对称，符合题意； D、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； 故选：C． 50．（25-26八年级上·全国·期末）如图，牧民从A 地出发 ，到一条笔直的河边 饮马 ， 然后到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 【答案】见解析 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查轴对称-最短路径问题，其理论依据是两点之间线段最短以及轴对称的性质．解题关键在于利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点，把求折线的最短长度问题转化为求线段的长度问题，即运用“化折为直”的思想也是“将军饮马”模型的典型运用． 【详解】解：如图，以为对称轴作B点的对称点，连接点与点A交于点P，则点P即为饮马的地方． 51．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，将折叠，使边AC落在边上，展开后得到折痕l，若，，求的度数． 【答案】． 【知识点】折叠问题、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解决问题的关键．设折痕l与边交于点D，先根据三角形的内角和定理求出，再根据折叠的性质得，然后在中即可求出的度数． 【详解】解：设折痕l与边交于点D，如图所示： ∵，， ∴， 由折叠知，， ∴． 题型十一 线段的垂直平分线（共5小题） 52．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．每个定理都有逆定理 C．等腰三角形的顶角一定是锐角 D．等腰三角形的底角必为锐角 【答案】D 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、判断命题真假、互逆定理、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，定理与逆定理的定义，正确记忆相关知识点是解题的关键；根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理，定理与逆定理的定义，逐一判断各个选项即可． 【详解】解：A．三个角对应相等的两个三角形不一定全等，故该命题是假命题，A选项不符合题意； B．每个定理不一定有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题，故“对顶角相等”没有逆定理． 故该命题是假命题，B选项不符合题意； C．等腰三角形的顶角不一定是锐角，也可以是直角或钝角，故该命题是假命题，C选项不符合题意； D．因为等腰三角形的两个底角相等，故两个底角的和一定小于， 故每个底角都是小于的角， 即等腰三角形的底角一定是锐角，故该命题是真命题，D选项符合题意． 故选：D． 53．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）“若则”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【知识点】不等式的性质、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查命题真假的判断，写逆命题；先写出命题的逆命题，再判断即可． 【详解】解∶ “若则”的逆命题是∶ 若，则是真命题， 故答案为∶ 真． 54．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，，，直线为线段 的垂直平分线． 【答案】/ 【知识点】线段垂直平分线的判定、三线合一 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得垂直平分，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴直线垂直平分，即直线为线段的垂直平分线； 故答案为． 55．（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，并且平分．若，求的长． 【答案】2 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质．根据线段垂直平分线的性质得出线段的数量关系和直角，利用角平分线的性质证明，可证明得出对应边相等，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分线段， ∴，，， ∵平分，且，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 56．（25-26八年级上·北京西城·期末）已知：在中，为边上一点，平分，于点，于点． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接、（只保留作图痕迹，不写作法和结论）． (2)若，求证：．请补全下面的证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据角平分线的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，则可证明，再证明，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）证明：∵平分，，， ∴（角平分线的性质）， ∵是的垂直平分线， ∴， 又∵ ∴（等量代换）， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型十二 画轴对称的图形（共4小题） 57．（25-26八年级上·全国·期末）已知点与点关于y轴对称，则的值为（   ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于y轴对称的两点的坐标特征，掌握这一特征是关键． 若两点关于y轴对称，则其横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此则可求得结果． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴ 故选：A． 58．（25-26八年级上·全国·期末）点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握点关于坐标轴对称的特点，从而进行解题． 关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】∵关于x轴对称， ∴横坐标不变，为3；纵坐标变为相反数，为4， ∴点关于x轴对称的点的坐标是． 故选：A． 59．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，是轴对称图形，对称轴为直线，若点的坐标为，则点关于对称轴的对称点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题主要考查轴对称点坐标的特点，根据关于直线对称的两个点，纵坐标相等，横坐标之和为求解计算即可． 【详解】，，关于直线对称， ，解得， ． 故答案为：． 60．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，已知四边形的四个顶点分别为． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形；写出点：______；：_____． (2)在x轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析，； (2)见解析 (3)6 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、面积问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了轴对称图形的绘制，利用轴对称求最短路径以及不规则四边形的面积的计算，理解轴对称的性质是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征来确定对称点坐标并画出图形； （2）利用轴对称的性质找到使三角形周长最小的点； （3）通过将四边形补成一个大矩形，再减去多余三角形的面积来计算四边形的面积． 【详解】（1）解：如下图四边形即为所求；：；：． 故答案为：． （2）解：如下图，点P即为所求． （3）解：． 题型十三 轴对称综合题（共4小题） 61．（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，的垂直平分线分别交边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．76 【答案】A 【知识点】三线合一、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查的是轴对称--最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，求出的长可得结论． 【详解】解：连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 周长的最小值， ， ， 故选：A． 62．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，，O为内部的一点，连接． (1)作线段关于直线对称的线段，分别是；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：M，C，N三点在同一条直线上． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【知识点】角度问题(轴对称综合题)、画轴对称图形 【分析】（1）根据要求作出图形， （2）证明即可， 本题考查轴对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵关于对称， ， ∵关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴共线． 63．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．　　　 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【知识点】其他问题(轴对称综合题)、轴对称中的光线反射问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）由可证，可得； （2）由可证，可得，由余角的性质可得结论； （3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点D作， 由题意可得：， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明∶ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解∶ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键． 64．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在平面直角坐标系中，画出； (2)求的面积； (3)在图中作出关于轴对称的． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形 【分析】本题考查作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据点、、的坐标描点，再连线即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）根据轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）如图，即为所求, （2）的面积为； （3）如图,，即为所求， 题型十四 等腰三角形（共8小题） 65．（25-26八年级上·江苏南通·期末）等腰三角形一个角为，则顶角的度数可能为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 等腰三角形中，已知角可能为顶角或底角，分两种情况讨论顶角度数即可． 【详解】∵等腰三角形有两个角相等， ∴若为顶角，则顶角为； 若为底角，则另一底角也为，顶角为：； ∴顶角为或， 故选：D． 66．（24-25八年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】坐标系中描点、格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的地位，分类讨论用两圆一线的方式，找与轴的交点即可得到答案． 【详解】如图所示， 当点A是顶角顶点时，以A为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点； 当点O是顶角顶点时，以O为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，即和； 当点P是顶角顶点时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点． 故符合条件的点一共个． 故选：C． 67．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，中，，，D为边上一点，且平分，若，则的长是（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形内角和定理应用，根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 68．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，于点，若，则 ． 【答案】3 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质， 根据等腰三角形三线合一即可得出． 【详解】解：∵，，， ∴ 故答案是：3． 69．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知中，，平分交于点D，是的外角的平分线，交于点G．以下结论：①；②是等腰三角形；③．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③/③② 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行同位角相等、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 根据平行线＋角平分线得到，，故，故可判断②③，判断不了①． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形，故②正确， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴，故③正确， 但是证明不出，只能得到，故①错误， ∴正确的为②③， 故答案为：②③． 70．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据等腰三角形的定义分三种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， ， ∵，是等腰三角形， ∴分以下三种情况讨论： ①当时，， ，此时点与点重合，不符合题意； ②当时，， ； ③当时，， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 71．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，，平分，，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、含30度角的直角三角形、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题重点考查了平行线的性质、角平分线的定义及含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据，可得；根据平分，可得，于是得到，由同一三角形中等角对等边可得 （2）证出是直角三角形，利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：， 平分， ； （2）解：，， ， 即， ， 又， 是直角三角形， 又， 72．（25-26八年级上·安徽六安·期末）问题情境： 已知：射线和射线相交于点．点在射线上，作射线，在射线上取一点，连接，使． 任务一：当点在线段上时， (1)如图1，请写出与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当，时，连接．在射线上取一点，使，连接． ①判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； ②的度数为_____； 任务二：当点是射线上的动点（点不与点和点重合）． (3)如图3，当，（），且时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)；理由见解析 (2)①，，理由见解析；② (3)当点D在线段上时，；当点D在线段延长线上时， 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键． （1）利用三角形外角的性质可得，，根据可得； （2）证明，可得，，根据可得，问题得证； （3）分两种情况讨论：①当点D在线段上时，②当点D在线段延长线上时，在上截取，连接，证明，根据等腰三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴， 故答案为：； （2）解：①结论：，； 证明：由（1）知， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即； ②∵， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：； （3）解：当点D在线段上时，在上截取，连接，如图所示： 同理可得：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点D在线段延长线上时，在延长线上截取，连接，如图所示： 同理可证∴，， ， ∴ 综上所述：当点D在线段上时，；当点D在线段延长线上时，． 题型十五 等边三角形（共5小题） 73．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则 ． 【答案】3 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，根据等边三角形的性质求出，再根据等边三角形的性质得出，从而求出即可． 【详解】解：∵为等边三角形，为中线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 74．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在等边中，，、相交于点． (1)求证； (2)过点作，垂足为．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质可得，，由可得出，最后利用全等三角形判定定理即可证明； （2）利用全等三角形的性质可得，，利用三角形的外角的性质得出，利用含角直角三角形的性质可得，最后利用线段的和差关系即可求出的长． 【详解】（1）证明：等边， ，， ， ，即， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为7． 75．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，点E在上，且，平分． (1)求证：； (2)猜测与的位置关系，并说明理由； (3)若 ，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)是等边三角形，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三线合一、等边三角形的判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，证得是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，于是得到； （2）根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明:∵， ∴， 在和中 ， ； （2）解：， 理由：∵， ∴， ∵平分， ∴； （3）解：是等边三角形， 理由：∵，平分， ， ， ∴， ∴是等边三角形． 76．（22-23八年级上·湖北荆门·期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点． (1)求证：： (2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值； (3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)2或8 (3)或 【知识点】等边三角形的性质、大（小）边对大（小）角定理、含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出=即可得出结论； （2）先借助（1）的结论，判断出，进而分两种情况，即可得出结论； （3）借助（2）的结论即可得出范围． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴ 在和中， ∴； （2）如图，由（1）知，， ∵为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ②当时，即， ∴， 即是直角三角形时，或8. （3）∵为钝角三角形， ∴当时，， ②当时，． 即：是钝角三角形时，或． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，钝角三角形的特点，解本题的关键是判断出． 77．（25-26八年级上·全国·期末）在中，，点D，E是边上的两点． (1)如图1，若，点N在边上，点F在的延长线上，且，连接交于点E，过点N作交于点D，，，求的值； (2)如图2，若，点F在的延长线上，连接，，，且，，求证：； (3)如图3，连接，，若，且，平分，，的面积为30，点M，N分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理 【分析】（1）先证明是等边三角形，从而可得，再证明是等边三角形，从而可得，然后证明，从而可求得； （2）先证明是等边三角形，从而可得，，再证明，从而可得，，再证明是等边三角形，从而可得， ，从而可得，于是可得； （3）先求得，再求得，接着根据角平分线的性质证得，从而可得，再求得，从而可得的最小值． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，过点E作，交于点G， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，过点D作于点H，交于点N，过点N作于点M， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和（）综合（或者），角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 题型十六 幂的运算（共4小题） 78．（25-26八年级上·甘肃·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变指数相加，即（m，n为正整数）． 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 79．（22-23八年级上·广东广州·期末）若，，则 ． 【答案】2 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握同底数幂的除法的逆运算法则是解题的关键，利用同底数幂的除法的逆运算法则变形计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：2． 80．（24-25八年级上·陕西延安·期末）若，求的值． 【答案】16 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握幂的乘方法则是解题关键．先根据已知等式可得，再根据，计算幂的乘方、同底数幂的乘法即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 81．（23-24八年级上·青海果洛·期末）计算：． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方，先将带分数化为假分数，再利用积的乘方法则计算即可．解题的关键是掌握积的乘方运算法则的运用． 【详解】解： ． 题型十七 整式的乘法（共11小题） 82．（25-26八年级上·天津·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题涉及单项式的乘法运算，需处理系数相乘和同底数幂相乘，同时注意负负得正的符号规则． 【详解】解： 故答案为：． 83．（25-26八年级上·甘肃·期末）一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是 ． 【答案】/ 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，根据长方形的面积等于长乘以宽列式计算即可． 【详解】解：∵长方形面积长宽 ， ∴这个长方形的面积是． 故答案为：． 84．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若纸盒的容积为，则图2中纸盒底部长方形的周长为 ． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是先求出纸盒底部长方形的宽． 根据长方体纸盒的容积等于底面积乘以高求出底面积，底面积等于底面长方形的长与宽的乘积可以先求出宽，再计算纸盒底部长方形的周长即可． 【详解】解：根据题意，纸盒的高为，纸盒底部长方形的长为， ∴纸盒底部长方形的面积为：， 则纸盒底部长方形的宽为：， ∴纸盒底部长方形的周长为， 故答案为： 85．（24-25八年级上·河南周口·期末）若 ，则求的值． 【答案】 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 86．（25-26八年级上·甘肃·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方运算、计算多项式乘多项式、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查整式运算，重点考查幂的运算相关法则和多项式与多项式相乘的运算法则． （）先根据积的乘方和幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项得到结果； （）运用多项式乘多项式的法则，用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项化简． 【详解】（1） ． （2） ． 87．（25-26八年级上·四川凉山·期末）化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可 （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 88．（23-24八年级上·四川资阳·期末）若的展开式中不含的二次项和一次项． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查整式的乘法，平方差公式的应用． （1）根据整式的乘法运算法则展开，再根据展开式中不含的二次项和一次项，即整理后该项系数为零，据此建立等式求出、的值，将、的值代入中计算，即可解题． （2）把原式化为，再利用平方差公式逐步计算即可解题． 【详解】（1）解： ， ∵的展开式中不含的二次项和一次项， ∴， 解得：， ∴． （2）解：， ， ， ， 上式． 89．（23-24八年级上·全国·期末）计算 (1)，其中，． (2)简便计算：． 【答案】(1) (2)1 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算以及求值，平方差公式等知识． （1）先计算整式的混合运算，然后再代入数值计算即可． （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： 当，时， 原式 （2）解： 90．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式乘法混合运算、整式四则混合运算 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据积的乘方运算法则和平方差公式进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式运算法则，多项式除以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 91．（25-26八年级上·全国·期末）计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法以及整式的运算． （1）先根据同底数幂的乘法，再根据幂的乘方、积的乘方计算，接着根据同底数幂的除法计算，最后合并同类项计算即可； （2）先根据平方差公式计算，再根据单项式乘以多项式计算，最后合并同类项计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 92．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的乘方运算、实数的混合运算、计算单项式乘单项式、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查有理数的混合运算、整式的混合运算，掌握乘方、零指数幂的运算法则，单项式乘除法则是解题关键． （1）先处理乘方、零指数幂、绝对值等特殊运算，再按乘除加减顺序计算． （2）先分别算整式的乘除，再合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型十八 乘法公式（共7小题） 93．（25-26八年级上·全国·期末）已知，则的值为（   ） A．89 B．74 C．64 D．49 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】此题考查了完全平方公式的应用能力，关键是完全平方公式能进行准确变形． 运用完全平方公式将原式变形为，再将代入求解． 【详解】解：∵ ∴当时， 原式 故选：A． 94．（25-26八年级上·甘肃·期末）若是完全平方式，则的值为（    ） A．7或−1 B．5 C．7 D．−1 【答案】A 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． 将原式变形为，再根据完全平方公式的结构特征得到，即可求解． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴ ， ∴ 或， 故选：A． 95．（25-26八年级上·全国·期末）下列乘法运算中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式为，需找出符合此形式的选项即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：A、，项不相同，不能用平方差公式计算，不符合题意； B、，能用完全平方公式计算，不符合题意； C、，能用完全平方公式计算，不符合题意； D、，能用平方差公式计算，符合题意； 故选：D． 96．（25-26八年级上·全国·期末）将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，通过分析两个图形中阴影部分的面积，利用“面积相等”建立等式，从而推导出公式． 【详解】解：题图①中，题图②中阴影部分为一个平行四边形，底为、高为， ∴， ∴． 故选：A． 97．（25-26八年级上·全国·期末）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形A和两个正方形B，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用．设正方形，正方形的边长分别为，根据图形作答即可． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， 由甲得：， 由乙得：， ，． 由丙得知：． 故选：A． 98．（25-26八年级上·吉林四平·期末）化简：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、合并同类项 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键．根据完全平方公式和平方差公式，结合合并同类项法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 99．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）先化简，再求值： 其中 【答案】， 0 【知识点】合并同类项、整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的化简求值， 先根据平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项，最后代入字母的值求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 题型十九 用提公因式法分解因式（共3小题） 100．（25-26八年级上·全国·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 因式分解是将多项式化为整式的积的形式， A．，左边是整式的积，右边是多项式，不符合定义，故本选项不符合题意； B．，左边是多项式，右边是整式的积，符合定义，故本选项符合题意； C．，右边不是积的形式，不符合定义，故本选项不符合题意； D．，左边不是多项式，不符合定义，故本选项不符合题意； 故选：B． 101．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）多项式的公因式是 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据找公因式的方法得出答案即可． 【详解】解：多项式的公因式是． 故答案为： 102．（25-26八年级上·吉林·期末）分解因式：; 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接提取公因式，进而分解因式得出答案． 【详解】解： 题型二十 用公式法分解因式（共8小题） 103．（25-26八年级上·吉林四平·期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了用平方差公式分解因式，平方差公式适用于形如的表达式，需检查各选项是否可化为该形式． 【详解】解：∵平方差公式为； 选项A：为平方和，不符合公式； 选项B：有三项，非平方差形式； 选项C：，为平方和，不符合公式； 选项D：，符合平方差公式，可分解为． 故选：D． 104．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征：，左边需满足两数（或式）的平方差，逐项分析判断即可． 【详解】解：A中，，故选项不符合题意； B中，，故选项不符合题意； C中，，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故选项符合题意； D中，，故选项不符合题意； 故选：C． 105．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）计算的值为 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查了平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 106．（25-26八年级上·全国·期末）教材有这样一段话：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(如图) 这样，我们也可以得到 利用上述方法，分解因式： ． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查利用十字相乘法求解一元二次方程，判断是否可以利用十字相乘法是解题的关键． 首先观察这个式子的二次项系数，常数项和一次项系数，利用十字相乘法运算得到即可． 【详解】解：∵这个式子的二次项系数，常数项，一次项系数， ∴， 故答案为：． 107．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合运用公式法分解因式、零指数幂 【分析】本题考查了提取公因式法，零指数幂的计算，平方差公式和完全平方公式，理解相关知识是解答关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）根据零指数幂的运算法则求出，再利用完全平方公式求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 108．（25-26八年级上·湖南·期末）因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式、十字相乘法、分组分解法、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解； （1）先分组，再根据提公因式法和十字相乘法因式分解，最后再提公因式法因式分解即可求解； （2）先分组，再根据平方差公式和提公因式法因式分解，最后再提公因式法因式分解即可求解． 【详解】（1）解：. . （2）解： 109．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期末）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为，当时，，，，此时可以得到数字密码171920或201719等． 请根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个即可）． 【答案】212814，211428，282114 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答． 根据因式分解的方法可以将题目中的式子因式分解，从而可以解答本题． 【详解】解：， 当，时，，， 所以可以形成的数字密码是212814，211428，282114，281421，142128，142821． 110．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解： 解：原式 例2：若利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值； 【答案】(1) (2)时，代数式有最大值 【知识点】运用完全平方公式进行运算、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则及公式． （1）原式化为，利用完全平方公式，平方差公式分解因式即可； （2）先添括号与负号，将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最大值即可． 【详解】（1）原式 ； （2） ， ， ，即， 时，有最大值． 题型二十一 从分数到分式（共5小题） 111．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）若分式的值为零，则的取值为（   ） A． B． C． D．的值不存在 【答案】B 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查分式的值为零的条件．分式的值为零需满足分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 由得，即或， 又∵，即， ∴， 故选：B． 112．（23-24八年级上·山东济宁·期末）下列各式，，，，，属于分式的有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式．逐一判断各式中分母是否含有字母即可． 【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母， ∴，分母无字母，不是分式； 分母为常数2，无字母，不是分式； 分母含有字母，是分式； 分母含有字母，是分式； 分母为常数2，无字母，不是分式． ∴属于分式的有2个． 故选：C． 113．（23-24八年级上·湖北黄石·期末）下列结论： ①不论a为何值时都有意义； ②时，分式的值为0； ③若的值为负，则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，值为0的条件，对各式进行逐一分析即可． 【详解】解：①∵， ∴不论a为何值时，都有意义，故①正确； ②∵当时，， 此时分式无意义， ∴②错误； ③∵的值为负，， ∴， ∴，故③正确； ④∵有意义， ∴且， ∴x的取值范围是且，故④正确． 故选：B 114．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）当 时，分式无意义． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件是分母为零可得，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴ 故答案为：． 115．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义，则分母不为0． 根据分式有意义的条件得到，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， 解得， 故答案为：． 题型二十二 分式的基本性质（共8小题） 116．（24-25八年级上·四川泸州·期末）下列从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查分式的基本性质．利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：无法约分，则A不符合题意， 无法约分，则B不符合题意， 无法约分，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选D． 117．（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】约分、将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一排除即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项错误，符合题意； 、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项正确，不符合题意． 故选：． 118．（23-24八年级上·云南红河·期末）下列式子是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式． 结合最简分式的定义求解即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、是最简分式，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 119．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考． 先将分式分离常数得到，再将问题转化为为整数的问题求解． 【详解】解：， ∵的值为整数，为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或2或5或1， 故选：D． 120．（23-24八年级上·山东滨州·期末）把分式方程变形为的形式，其依据为（    ） A．等式性质1 B．等式性质2 C．分式的基本性质 D．分式的乘法法则 【答案】B 【知识点】求使分式变形成立的条件、等式的性质 【分析】本题考查解分式方程，根据等式的性质，分式的性质，逐一判断即可． 【详解】分式方程等式两边同时乘以得到 ∴A、等式性质：等式两边同时加上或者减去同一个式子，等式仍成立，不符合题意； B、等式性质：等式两边同时乘同一个式子，等式仍成立，符合题意； C、分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或者除以同一个不为的整式，分式值不变，不符合题意； D、分式的乘法法则：分式的分子和分母分别相乘，即分式的分子和分母与另一个分式的分子和分母相乘，不符合题意； 故选：B． 121．（25-26八年级上·全国·期末）如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】B 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 当和都扩大为原来的2倍时，代入新值计算分式，化简后比较与原分式的关系． 【详解】解：原分式为，当和都扩大为原来的2倍时，新分式为： ∴ 新分式是原分式的2倍，即分式的值扩大为原来的2倍． 故选：B． 122．（24-25八年级上·广东东莞·期末）约分： ． 【答案】 【知识点】约分 【分析】本题考查分式的约分．分式的分子分母同时约去公因式即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 123．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）分式和的最简公分母是 ． 【答案】/ 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据最简公分母的定义解答即可． 【详解】解：分式和的最简公分母是， 故答案为：． 题型二十三 分式的乘法与除法（共5小题） 124．（25-26八年级上·全国·期末）若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能是    （　　） A． B． C．b D． 【答案】C 【知识点】分式除法 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 将除法运算转化为乘法，并利用平方差公式化简，得到结果为，要求结果为整式，则分子必须能被分母整除，即必须包含因子，即可求解． 【详解】解： 要求结果为整式，即为整式， ∴必须能被整除. 只有选项C符合题意， 故选：C． 125．（24-25八年级上·北京丰台·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】分式乘方 【分析】本题考查了分式的乘方，掌握分式的乘方公式：（，为正整数）是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 126．（24-25八年级上·福建福州·期末）甲、乙两艘船在某海域航行，甲船航行用了，如果乙船的航速是甲船航速的，那么乙船航行的路程为 ． 【答案】 【知识点】列代数式、分式乘法 【分析】本题主要考查了列代数式， 根据题意先表示出甲船的速度，进而得出乙船的速度，据此即可解决问题，熟知速度、路程和时间三者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题知， 甲船的速度为， 则乙船的速度为：， ∴乙船航行的路程为， 故答案为：． 127．（24-25八年级上·吉林·期末）计算：． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查分式的乘除法，利用分式的乘除法则计算即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 128．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查的是分式的乘除，乘方混合运算，化简求值，先计算乘方，再计算乘除得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 题型二十四 分式的加法与减法（共9小题） 129．（25-26八年级上·全国·期末）计算 的结果是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，根据同分母分式减法法则计算，再对分子进行因式分解并化简即可． 【详解】解：原式． 故选：D． 130．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期末）化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了异分母分式的加法运算．通过通分将两个分式合并，利用平方差公式分解分母，然后相加化简，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：B 131．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知，且，则 ． 【答案】2 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母、分式加减混合运算 【分析】本题考查分式的加减，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会恒等变形，由题意，可得，因为，所以，推出，由此即可解决问题． 【详解】解析：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 132．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题主要考查分式的混合运算和化简求值．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 133．（25-26八年级上·甘肃·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 先计算括号内分式减法，然后计算除法，直至化为最简分式，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 134．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）定义：若两个分式的和为为正整数，则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“______阶分式”； (2)分式与谁互为“6阶分式”？ 【答案】(1)5； (2) 【知识点】分式加减混合运算 【分析】本题主要考查解分式加减，理解题意并掌握分式加减运算法则是解题的关键． （1）根据题意即可列出算式，进行化简即可得出答案； （2）根据题意即可列出算式，进行化简即可得出答案． 【详解】（1）∵ ； ∴分式与互为“5阶分式”； 故答案为：． （2）解：由题意得 ， ∴分式与互为“6阶分式”． 135．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）甲、乙两人两次同时到一家粮油店去买油，两次的油价有变化，但他们两人的购买方式不一样，其中甲每次总是买斤油．而乙每次只拿出元钱来买油．商店也按价计算卖给乙．设前后两次的油价分别是元/斤和元/斤（、，），请问这两种购买方式哪一种合算？请结合计算说明． 【答案】乙的购买方式比较合算，理由见解析 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题考查分式加减运算在实际问题中的应用，根据题意，分别写出甲和乙两次买油的平均单价，然后求差，计算化简，得出差大于，从而得甲和乙的平均单价之间的关系，可得结论．根据题意正确列式及明确分式计算的相关法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， 甲两次买油的平均单价为：， 乙两次买油的平均单价为：， ∴ ， ∵、，， ∴，， ∴， ∴， ∴乙的购买方式比较合算． 136．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）我们学过的分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，则称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，则称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，；． 请按照以上方法解决下列问题． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和，然后判断当x取什么整数时，该分式的值也为整数． 【答案】(1) (2)，或或0或1 【知识点】整式与分式相加减 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值． 【详解】（1）原式 ； （2）解：原式 ， ∵x为整数，该分式的值也为整数， ∴或或1或2， ∴或或0或1． 137．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)2＋，当时，分式运算的结果是整数 【知识点】同分母分式加减法、分式最值 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分母不能为0， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数． 题型二十五 整数指数幂（共4小题） 138．（24-25八年级上·广西桂林·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、整数指数幂的运算 【分析】本题考查了整数指数幂的运算，涉及同底数幂的乘法、除法、幂的乘方运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据同底数幂的乘法、除法、幂的乘方运算判断各选项． 【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原说法错误，不符合题意； D、，原说法错误，不符合题意， 故选：B． 139．（24-25八年级上·河北衡水·期末）一种花瓣的花粉颗粒直径用科学记数法表示为，这个数用小数表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题主要考查科学记数法－原数，科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．把的小数点向左移动6位即可求解． 【详解】解：，这个数用小数表示为． 故选：C． 140．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）在2019年底，新型冠状病毒肺炎在全球迅猛传播，被世界卫生组织定为“国际关注的突发公共卫生事件”．据研究，这次疫情的冠状病毒微粒直径在微米左右，微米等于米，数字用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】解：， 故选：C． 141．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末） ． 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂，根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算 【详解】解： ， 故答案为：． 题型二十六 分式方程（共10小题） 142．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列方程中是分式方程的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的定义 【分析】此题主要考查了分式方程的定义，正确把握相关定义是解题关键． 直接利用分式方程的定义分析得出答案． 【详解】解：A、是一元一次方程，故此选项错误； B、，是一元一次方程，故此选项错误； C、是一元二次方程，故此选项错误； D、，是分式方程，正确． 故选：D． 143．（25-26八年级上·江苏南通·期末）小雅同学在学校阅览室借了一本昆虫记，共页，管理员要求在两周内归还，当她读了这本书的时，发现每天要多读页才能在借期内读完，问：已经读完的部分她每天读多少页？如果设已经读完的部分每天读页，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是利用总时间构造等量关系． 设已经读完的部分每天读页，则未读部分每天读页，根据读已读部分和未读部分的总时间等于14天，列出方程即可． 【详解】解：设已经读完的部分每天读页， 根据题意，得， 即， 故选：D． 144．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）临潭的冶力关景区被誉为“甘南生态大观园”和“兰州后花园”，从临夏到景区的公路全长175千米，公路全线改造升级后旅游大巴车的平均速度是原来的1.5倍，现在旅游大巴车从临夏到景区行驶时间比原来缩短了1小时，设旅游大巴车原来的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，能读懂题意，寻找等量关系列出方程是解答本题的关键． 根据题意，原速度x千米/时，新速度千米/时，原时间小时，新时间小时，时间缩短1小时，故原时间减1等于新时间． 【详解】解：设原平均速度为千米/时，则新平均速度为千米/时． ∵原时间，新时间，且新时间比原时间缩短1小时， ∴， 故选C． 145．（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）若关于x的方程无解，则a的值是 ． 【答案】1或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】将分式方程转化为整式方程，然后根据整式方程中x的系数为零时方程无解及分式方程的分母为零时方程无解两种情况确定a的值． 本题考查分式方程的解，掌握分式方程无解情况下字母的取值是解题的关键． 【详解】解：， 原方程去分母，得：， ， 当，即时，原分式方程无解， ， 解得：， 当时，无解，即原分式方程无解， ， 综上，a的值为或1， 故答案为：或 146．（24-25八年级上·河南周口·期末）（1）关于x的分式方程无解，则 ； （2）若（1）中的方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】 5 13 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查分式方程无解问题，根据不等式组的解集求参数的值，熟练掌握解分式方程的步骤，求不等式的解集，是解题的关键： （1）将方程化为整式方程，根据方程无解，得到方程有增根，进行求解即可； （2）求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求出参数的范围，结合方程的解为正数，确定满足条件的整数，再求和即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 解得， ∵方程无解， ∴方程有增根， ∴， ∴， ∴，解得； 故答案为：5； （2）解，得， ∵关于y的不等式组的解集为， ∴， ∴， 由（1）且， ∴且； 综上：且； ∴满足条件的整数为3，4，6， ∴； 故答案为：13． 147．（25-26八年级上·吉林四平·期末）解分式方程： 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程， 根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，可得答案． 【详解】解：， 方程两边乘得， 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． 148．（24-25八年级上·吉林·期末）某校组织“书香校园”读书活动，八年一班班主任推荐给同学们一本好书．已知小王同学比小李同学每天多阅读6页，王同学阅读90页书所用时间与李同学阅读60页书所用时间相等．求王同学和李同学乙每天各阅读多少页． 【答案】王同学每天读书18页，李同学每天读书12页 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，设小李同学每天阅读书x页，则小王同学每天阅读页，根据“王同学阅读90页书所用时间与李同学阅读60页书所用时间相等”列出分式方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：设小李同学每天阅读书x页，则小王同学每天阅读页， 根据题意，得， 解得． 经检验：是原方程的解． ∴． 答：王同学每天读书18页，李同学每天读书12页． 149．（24-25八年级上·北京房山·期末）研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量． 【答案】洋槐一天平均每平方米固碳量是克 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系正确列出分式方程是解题的关键．设洋槐一天平均每平方米固碳量是克，则垂柳一天平均每平方米固碳量是克，根据题意列出分式方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设洋槐一天平均每平方米固碳量是克，则垂柳一天平均每平方米固碳量是克． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：洋槐一天平均每平方米固碳量是克． 150．（25-26八年级上·全国·期末）某工厂使用两台不同型号的注塑机(A型和 B型)合作生产一批零件．已知： 1．如果两台机器同时工作，完成这批零件所需的时间比A型机单独工作少5小时； 2．B型机单独工作完成这批零件所需的时间是A型机单独工作所需时间的2倍； 问：A型机单独工作完成这批零件需要多少小时？ 【答案】A型机单独工作完成这批零件需要15小时 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 设A型机完成这批零件所用的时间为小时，则B型机完成这批零件所用的时间为小时，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：A型机单独工作完成这批零件需要小时，则B型机单独工作完成这批零件需要小时． 依题意得： 解得： 检验：当时，，，，符合题意， 所以原分式方程的解为． 答：A型机单独工作完成这批零件需要15小时． 151．（25-26八年级上·山东·期末）某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同． (1)求A，B两款吉祥物每个的售价． (2)为了促销，商店对A款吉祥物进行9折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为了激励学生奋发向上，准备用不超过240元购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？ 【答案】(1)每个B款吉祥物的售价为20元，每个A款吉祥物的售价为40元； (2)李老师最多可购买2个A款吉祥物； 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用问题，根据题意找到相等关系和不等关系是解题的关键． （1）设一个B款吉祥物的售价为元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解； （2）设李老师购买A款吉祥物个，则购买B款吉祥物个，根据总价不超过240元，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元， 根据题意，得， 解得．经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）， 答：每个B款吉祥物的售价为20元，每个A款吉祥物的售价为40元； （2）解：设李老师购买A款吉祥物m个，则购买B款吉祥物个， 根据题意，得， 解得， 因为购买A款吉祥物的个数m为非负整数，所以m的最大值为2， 答：李老师最多可购买2个A款吉祥物． 一、选择题 1．仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质； 根据作图步骤可知，，，然后利用证明即可． 【详解】解：由作图可知：，，， ∴， ∴，即， 故选：A． 2．宋•苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小．据测量，200粒粟的重量大约为1克，用科学记数法表示1粒粟的重量约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法以及实际问题中的数值计算，掌握“用科学记数法表示较小数时，的指数由原数左边起第一个非零数字前的0的个数决定”是解题的关键． 先求一粒粟的重量，再转化为科学记数法形式即可求解． 【详解】解：200粒粟的重量约为1克， 1粒粟的重量约为克， ． 故选：D． 3．已知，则的值为（   ） A． B．12 C． D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，积的乘方的逆运算，先求出的值，再将原式因式分解为，再代入已知条件计算． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴ ， 故选：B． 二、填空题 4．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长为的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，施工队实际工作效率比原计划提高了，结果提前完成任务，则原计划每小时修路 . 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系并正确列出方程是关键，注意要检验；设原计划每小时修路x米，根据实际工作效率提高和提前8小时完成任务，列出关于时间的方程． 【详解】解：设原计划每小时修路x米，则实际每小时修路米． 原计划修路时间为小时，实际修路时间为小时． 由题意得：， 解得． 经检验是原分式方程的解． 故原计划每小时修路50米． 故答案为：50． 5．如图，，垂足为，，垂足为，与交于点，，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． 通过证明，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 三、解答题 6．如图，在中，是边上的高，垂足为D点，点P在边上，连接，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）根据题意可知，结合，得出，根据内错角相等，两直线平行得出结论； （2）利用三角形内角和求出的度数，再利用角平分线定义得到，利用两直线平行同旁内角互补即可得出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： 是边上的高线， ， ， 又， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 7．在一个城市的特定区域内，有两条相交的主要街道和，该街道内有两个大型商场和．为了提高火灾应急响应能力，保障区域内的生命和财产安全，市政府计划在内建设一个消防站，消防站的位置需要满足以下条件： ①到两条主要街道、的距离相等；②到、两个大型商场的距离相等． 请利用尺规作图法确定消防站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．分别作的角平分线与线段的垂直平分线交于点P，即可． 【详解】解：如图，点P即为所求． 8．小渝是一名建筑设计师，受甲方委托，负责为一栋建筑设计窗户．设计方案结合了平开窗和推拉窗两种形式．已确认项目总预算为14800元，其中推拉窗每平方米单价为平开窗的倍．若将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米． (1)请分别求出平开窗和推拉窗的单价； (2)设计过程中，甲方进一步提出：窗户全部按整数平方米分配，且用于推拉窗的资金不低于4000元．如果窗户规划总计为35平方米，那么在总费用不超出预算的前提下，小渝共有哪几种可行的设计方案？ 【答案】(1)平开窗每平方米单价为400元，推拉窗每平方米单价为480元； (2)一共有两种可行的设计方案：方案一，平开窗面积为25平方米，则推拉窗面积为10平方米；方案二，平开窗面积为26平方米，则推拉窗面积为9平方米． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设平开窗每平方米单价为x元，则推拉窗每平方米单价为元，根据将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米建立方程求解即可； （2）设平开窗面积为a平方米，则推拉窗面积为平方米，根据用于推拉窗的资金不低于4000元且总费用不超预算建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设平开窗每平方米单价为x元，则推拉窗每平方米单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：平开窗每平方米单价为400元，推拉窗每平方米单价为480元； （2）解：设平开窗面积为a平方米，则推拉窗面积为平方米， 由题意得，， 解得， ∵a为整数， ∴a的值可以为25或26， 当时，， 当时，， 答：一共有两种可行的设计方案：方案一，平开窗面积为25平方米，则推拉窗面积为10平方米；方案二，平开窗面积为26平方米，则推拉窗面积为9平方米． 9．如图，在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且． (1)【特例探究】如图1，若点为的中点，求证：； (2)【类比迁移】如图2，若点在边上任意一点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形． （1）先根据三线合一得到，然后由等边对等角得到，再证明，结合即可证明； （2）过点作交于点，证明即可． 【详解】（1）证明：∵等边三角形， ∴ ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： 过点作交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $