第八章 向量的数量积与三角恒等变换 标准单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

第八章向量的数量积与三角恒等变换标准单元测试卷（学生版） 一、单选题 1．若向量，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 2．已知，则（　　） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知非零向量，的模长相等，且，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．若命题“”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，向量在上的投影向量的坐标为，，则（    ） A．4 B． C． D． 8．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，则（　　） A． B． C． D． 10．已知平面向量，则（   ） A．当时， B．当时，的最小值为 C．当时， D．当时， 11．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，，，则 ． 13．已知，，若，则实数x的取值范围为 . 14．已知O是斜三角形所在平面内一定点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的 心． 四、解答题 15．已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 16．已知，. (1)求的值； (2)求的值. (3)求的值. 17．已知平面向量，. (1)若，求的值. (2)若，求的值. 18．已知向量与的夹角为，且，，若，. (1)当时，求实数的值； (2)求的最小值. 19．已知向量，，且． (1)求及； (2)记，求函数的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章向量的数量积与三角恒等变换标准单元测试卷（详解版） 一、单选题 1．若向量，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【知识点】利用坐标求向量的模、求投影向量 【分析】由投影向量的公式可知，结合条件可得. 【详解】由题意可知，，则， 因为，所以，则. 故选：C 2．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的计算、已知数量积求模、已知模求数量积 【分析】先由，得到，再结合，求出，进而得到，即可求解的值. 【详解】因为，所以， 即，所以； 因为，所以； 代入 ，得到，得到； . 故选：A. 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】由两角和的正弦结合弦切互化化简即可. 【详解】，， 又由，得，即， ，即． 故选：D 4．已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二倍角的余弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据，，，，利用平方关系求得，，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以，， ，， 所以， 故选：C. 5．已知非零向量，的模长相等，且，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】利用向量模长的平方等于向量自身的平方，结合向量数量积公式求解夹角即可． 【详解】对两边平方，展开得：． 则， ∴， ∵，∴， ∵，∴， 故选：C． 6．若命题“”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据全称命题的真假求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】先分离参数构造函数，利用辅助角公式结合三角函数的图象即可求解. 【详解】命题“”为真命题， 即在上恒成立， 设，则， 因为，则， 所以当即时，取得最小值为， 所以，所以实数的取值范围为. 故选：B. 7．已知向量，向量在上的投影向量的坐标为，，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求投影向量、向量模的坐标表示 【分析】首先求出，再由向量在上的投影向量为计算可得. 【详解】因为，所以， 所以向量在上的投影向量为， 又向量在上的投影向量的坐标为， 所以，解得. 故选：A. 8．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】两模长平方后，相减得到，结合垂直关系得到方程，求出. 【详解】因为， 所以， 两式相减得，即. 又，所以，所以，从而. 故选：B. 二、多选题 9．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、二倍角的余弦公式、已知弦（切）求切（弦）、诱导公式五、六 【分析】根据同角三角函数关系式，结合已知条件，可求得的值，并确定其符号，从而确定的范围，判断A；求出的值，结合诱导公式判断B；由二倍角的余弦公式求得，判断C；根据，判断D. 【详解】由，得. 所以. 因为，所以. 所以，所以. 所以. 所以，，. 所以A，B，D正确，C错误. 故选：ABD. 10．已知平面向量，则（   ） A．当时， B．当时，的最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【知识点】垂直关系的向量表示、坐标计算向量的模、数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】利用向量垂直的坐标表示可判定A，利用向量数量积的坐标表示结合二次函数计算可判定B，利用向量模长的坐标表示及一元二次不等式的计算、结合消元法可判定C、D. 【详解】对于A，当时，，即，故A正确； 对于B，当时，即， 所以， 当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C，当时，则，所以， 解之得或，故C错误； 对于D，当时，则，所以， 而，则，故D正确. 故选：ABD 11．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示、已知数量积求模 【分析】根据向量的坐标运算和模长公式，即可求解AB，举反例即可求解CD. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故，故B正确； 对于C，取，则，此时，，故C错误； 对于D，取，则，此时，故D错误， 故选：AB 三、填空题 12．已知，，，则 ． 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据两角和的正切公式求得，再结合的取值范围，由同角三角关系式，求得. 【详解】由，， 得. 因为，所以，所以. 所以 由，得. 故答案为：. 13．已知，，若，则实数x的取值范围为 . 【答案】 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】利用向量的夹角公式可得答案. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，即， 解得，所以实数x的取值范围为. 故答案为： 14．已知O是斜三角形所在平面内一定点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的 心． 【答案】垂 【知识点】根据向量关系判断三角形的心、向量的线性运算的几何应用、垂直关系的向量表示 【分析】将已知等式移项，通过向量的减法运算变形，再利用数量积为0说明垂直关系进而判断. 【详解】由 ， 又因为， ， ， 所以，所以， 所以点P在的高线上，即P的轨迹过的垂心. 故答案为：垂. 四、解答题 15．已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】（1）根据题中条件化简得到，结合先平方再开方计算向量的模； （2）先计算，，最后根据计算即可. 【详解】（1）由整理得，又， 代入得，解得， 则； （2）因为， 又， 所以. 16．已知，. (1)求的值； (2)求的值. (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的余弦公式化简、求值、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由平方求解即可； （2）由（1）的结果求得，进而可求解； （3）由诱导公式，两角和的正弦、余弦公式，结合即可求解. 【详解】（1）由平方可得： ， 得； （2）由（1）， 又，，所以， 所以， 又， 所以，结合， 解得， 所以； （3） 17．已知平面向量，. (1)若，求的值. (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量垂直的坐标表示、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】（1）根据两向量平行的坐标关系结合二倍角公式列式求解； （2）根据向量垂直的坐标关系结合两角和的正切公式求解. 【详解】（1）∵，且， ∴， ∴， ∴. （2）∵，且， ∴， ∵若，则，这与矛盾. ∴，∴，∴. ∴. 18．已知向量与的夹角为，且，，若，. (1)当时，求实数的值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】（1）由，结合向量数量积的定义及运算律即可求解； （2）由，平方得到，通过配方法即可求解. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以， 因为向量与的夹角为，且，， 所以， 所以，所以. （2）因为， 所以， 由（1）知，且，， 所以， 则， 故当时，最小为. 19．已知向量，，且． (1)求及； (2)记，求函数的最小值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】坐标计算向量的模、数量积的坐标表示、求含cosx的二次式的最值 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示和向量模的坐标运算即可； （2）根据（1）中结果代入计算得，再根据二次函数性质即可得到答案． 【详解】（1）由题意得， 由于， 则 ， 因为，所以． （2）， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $