微专题 《第2章 等式与不等式》期末复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册
【原卷版】 （沪教版）微专题 《第2章 等式与不等式》期末复习
沪教版高中数学《第 2 章 等式与不等式》以 “性质、求解、应用” 为核心脉络，分三模块构建知识体系。等式与不等式的性质：含等式性质与方程解集，一元二次方程解法及根与系数关系，不等式性质与实数大小比较逻辑，为后续运算变形奠基。不等式的求解：覆盖一元一次不等式（组）、一元二次不等式（结合二次函数图像）、分式不等式、含绝对值不等式的解法，掌握不同类型不等式的同解变形与解集表示。平均值不等式及其应用：含平均值不等式（一正二定三相等）与三角不等式，用于解决最值等实际问题，提升数学建模能力。
题型1：比较数（式）的大小
题型2：不等式的基本性质
题型3：不等式性质的综合应用
题型4：一元二次不等式的解法
题型5：三个二次之间的关系
题型6：与一元二次不等式相关的恒成立问题
题型7：平均值不等式及其变形
题型8：利用平均值不等式求最值
题型9：与平均值不等式有关的恒成立问题
题型10：平均值不等式的实际应用
题型11：平均值不等式与其他知识交汇的最值问题
题型12：三角不等式及其应用
题型1：比较数（式）的大小
例1．（1）已知
，
，则
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A．
B．
C．
D．
，
的大小与
有关
【提示】
【答案】
【解析】
（2）已知
，
均为正实数，若
，
，则
、
的大小关系是
题型2：不等式的基本性质
例2．（1）如果
，那么下列不等式中成立的是
A．
B．
C．
D．
（2）已知克糖水中含有克糖
，再添加
克糖
，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式
A．
B．
C．
D．
题型3：不等式性质的综合应用
A．
B．
C．
D．
（2）已知
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
题型4：一元二次不等式的解法
例4．（1）不等式
的解集为（ ）
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A．
B．
C．
D．
（2）不等式
的解集是
题型5：三个二次之间的关系
例5．（1）已知关于
的不等式
的解集为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式
的解集为
C．
D．不等式
的解集为
（2）若关于的不等式的解集是
，则不等式
的解集是
题型6：与一元二次不等式相关的恒成立问题
例6．（1）设
，不等式
恒成立的一个充分条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）“关于x的不等式
对任意的
恒成立”的一个必要不充分条件可以是 .
（1）
（2）
（3）
（4）
题型7：平均值不等式及其变形
例7．（1）已知命题
，命题
，则
是
成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（2）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要
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