精品解析：江苏省泰州市靖江市靖城中学2025-2026学年上学期第二次月考九年级数学试题

靖城中学2025-2026学年度第一学期阶段质量调研 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列函数中是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，线段BD,CE相交于点A，DE//BC,若BD=6,AD=2,DE=1.5,则BC的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.5 5. 如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（ ） A. （千米） B. （千米） C. （千米） D. （千米） 6. 关于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四个命题： 甲：x＝1是该方程的根 乙：该方程两根之和为2 丙：x＝3是该方程的根 丁：该方程两根异号 如果有一个命题是假命题，则该命题是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题（本大题共有10小题S，每小题3分，共30分） 7. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 8. 若m是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式6m﹣3m2＋2的值是______________． 9. 已知，若，则___________． 10. 如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是___________． 11. 已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积为___. 12. 如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 13. 如果两个相似三角形的周长之比1：4，那么它们的某一对对应角的角平分线之比为_____． 14. 如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，______． 15. 如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算的距离，他在点处测得处的俯角为，则______m． 16. 如图，已知，在中，是边上的中线，，，，，点是边上一动点，连接，若，则___________． 三、解答题（本大题共有10小题，共102分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为符合条件的最大整数，求此方程的根． 20. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 21. 如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求图中阴影部分的面积． 22. 如图是由的小正方形组成的网格，都是格点，仅用无刻度的直尺在下列给定的网格中完成画图．（要求：每个作图辅助线不超过3条） （1）在图1中，画线段，使得，且； （2）在图1中，在（1）的基础上，在上找出点，使得； （3）直接写出的值：___________； （4）在图2中，在上画点，使得． 23. 已知：与相切于点与相交于点为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上一点，点的横坐标为，点是轴负半轴上的一点，连接，交轴于点，延长到点，使得，过点作平行于轴，过点作轴平行线交于点． （1）当时，求点、点的坐标； （2）求的值． 25. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边记为a，b，c． （1）如图1，若， ①请用无刻度的直尺和圆规在线段AB上作一点D，使得△ACD的周长为．（请保留作图的相关痕迹）； ②试求证：； （2）如图2，若，试求证：． 26. 如图1，点是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，均为直径上方的动点，连接，且始终满足与该半圆相切，切点为点． （1）求证：； （2）当半径时，令， ①探究满足的关系并证明； ②若，比较与的大小，并说明理由； （3）如图2，当半径时，过点作于点，与交于点，点在同一直线上，连接，令，求关于的函数解析式．（不考虑自变量的取值范围） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖城中学2025-2026学年度第一学期阶段质量调研 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，解题的关键是掌握两种图形的定义． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B. 该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C. 该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D. 该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列函数中是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，解答的关键是熟知二次函数的定义：形如的函数是二次函数．据此直接判断各选项的最高次数和系数即可． 【详解】解：由于二次函数需满足最高次数为2且二次项系数， 选项A：，最高次数为1，不是二次函数，故不符合题意； 选项B：，未指定，因此不一定是二次函数，故不符合题意； 选项C：，，最高次数为2，是二次函数，故符合题意； 选项D：，最高次数为3，不是二次函数，故不符合题意． 故选：C． 3. 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求得结果. 【详解】. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键. 4. 如图，线段BD,CE相交于点A，DE//BC,若BD=6,AD=2,DE=1.5,则BC的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：∵DE∥BC，BD=6，AD=2，DE=1.5， ∴AB=4 ∴，即， 解得：BC=3， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握线段的对应关系． 5. 如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（ ） A. （千米） B. （千米） C. （千米） D. （千米） 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出的度数，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解；由题意得，， ∴劣弧的长为千米， 故选：C． 6. 关于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四个命题： 甲：x＝1是该方程的根 乙：该方程两根之和为2 丙：x＝3是该方程的根 丁：该方程两根异号 如果有一个命题是假命题，则该命题是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】因为只有一个假命题，所以可以利用假设法，逐—判断即可． 【详解】解：若甲是假命题，则乙丙丁是真命题， 解得x1＝3，则x2＝﹣1，符合题意； 若乙是假命题，则甲丙丁是真命题， ∵．两根之和不为2，而x1＝l，x2＝3与两根异号矛盾，与题意不符； 若丙是假命题，则甲乙丁是真命题， 令x1＝l，则x2＝l，与题意不符， 若丁是假命题，则甲乙丙是真命题， ∵x1+x2＝4≠2，与题意不符； 故选：A． 【点睛】本题考查了命题真假的判断，一元二次方程根的情况的判断，属于基础题． 二、填空题（本大题共有10小题S，每小题3分，共30分） 7. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 8. 若m是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式6m﹣3m2＋2的值是______________． 【答案】-1 【解析】 【分析】把m代入方程，整体求值即可． 【详解】解：m是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的解， 则m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣2m＝1， ﹣3m2+6m＝-3， 6m﹣3m2＋2=-3+2=-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，解题关键是明确一元二次方程解的意义，树立整体思想，代入求值． 9. 已知，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，通过设比例常数，将，，用表示，再根据已知条件求出的值，最后代入求即可． 【详解】解：设，则，，， 由得：，即， 所以， 因此， 故答案为：． 10. 如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是___________． 【答案】相交 【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键；因此此题可直接根据图形进行求解即可． 【详解】解：∵一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆， 则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是相交， 故答案为：相交． 11. 已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积为___. 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【详解】底面圆的半径为2，则底面周长=4π，侧面面积=×4π×4=8πcm2． 故答案是：. 【点睛】考查圆锥的计算，关键是利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 12. 如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，根据垂径定理，圆周角定理推出，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如果两个相似三角形的周长之比1：4，那么它们的某一对对应角的角平分线之比为_____． 【答案】1:4 【解析】 【详解】分析：根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据对应角平分线的比等于相似比解答． 详解： ∵两个相似三角形的周长之比1：4， ∴它们的相似比是1：4， ∴它们的某一对对应角的角平分线之比为1：4． 故答案为1：4． 点睛：考查对相似三角形性质的理解：请理解和熟记以下知识点： （1）相似三角形周长的比等于相似比； （2）相似三角形面积的比等于相似比的平方； （3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 14. 如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角问题，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据正多边形内角计算公式求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 15. 如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算的距离，他在点处测得处的俯角为，则______m． 【答案】100 【解析】 【分析】本题是跨学科综合题．根据由等高线可知、两地的高度差为50米，然后点处测得处的俯角为求值即可． 【详解】解：由等高线可得、两地的实际高度差为， 依题意作图得：，，， ∴ 故答案为：100． 16. 如图，已知，在中，是边上的中线，，，，，点是边上一动点，连接，若，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，当点Q为的中点时，此时是的中位线，此时满足，，当时，则是等边三角形，据此分别求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点Q为的中点时， ∵是边上的中线， ∴此时是的中位线， ∴此时满足，， ∴，， 如图所示，当时，则是等边三角形， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共有10小题，共102分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了含三角函数的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是掌握相关知识． （1）先计算负整数指数幂、绝对值、三角函数值和零指数幂，再算加减，即可求解； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1） ； 解：（2） 或 ，． 18. 为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由． 【答案】的长为米或米 【解析】 【分析】设米，则米，根据矩形生态园面积为，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设米，则米，根据题意得， ， 解得：， 答：的长为米或米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为符合条件的最大整数，求此方程的根． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】（1）根据关于x的方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0，列出不等式，即可求出k的取值范围． （2）由（1）中k的取值范围得出符合条件的k的最大整数值，代入原方程，利用求根公式即可求出x的值． 【详解】（1）解：根据题意，得． 解不等式，得． （2）解：根据题意，得． 此时，原方程为． 解这个方程，得，． 【点睛】本题考查的是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△的关系及求根公式，是一个综合性的题目，难度适中． 20. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 21. 如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，求不规则图形的面积，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，得到，根据平行线的性质，得到，即可得证； （2）作于点，易得四边形为正方形，解，求出的长，再利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作于点， 由（1）知：， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 22. 如图是由的小正方形组成的网格，都是格点，仅用无刻度的直尺在下列给定的网格中完成画图．（要求：每个作图辅助线不超过3条） （1）在图1中，画线段，使得，且； （2）在图1中，在（1）的基础上，在上找出点，使得； （3）直接写出的值：___________； （4）在图2中，在上画点，使得． 【答案】（1） 解：如图所示，线段即为所求： （2） 解：如图所示，点E即为所求； （3） （4） 解：如图，点即为所求： 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，网格与勾股定理，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）取格点D，连接，结合网格与勾股定理得出，以及根据勾股逆定理得出，即可作答． （2）理解题意，与格线交于E，连接即可； （3）结合网格特征，运用勾股定理求出的长，求出的值， （4）如图，取格点，格点，连接，与的交点即为点． 【小问1详解】 由勾股定理，得，； 则； 即． 【小问2详解】 结合网格特征得出， ∴， ∵，， ∴，即作图符合题意； 【小问3详解】 解：依题意，，， ∴； 【小问4详解】 由作图可知：，； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即作图符合题意． 23. 已知：与相切于点与相交于点为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握圆与三角形的综合知识是关键． （1）根据切线的性质，结合题意得到，，由圆周角定理即可求解； （2）根据题意得到，，根据平行线的性质，三角形内角和定理得到，由含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵与相切于点， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意，是直径， ∴，， 结合（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上一点，点的横坐标为，点是轴负半轴上的一点，连接，交轴于点，延长到点，使得，过点作平行于轴，过点作轴平行线交于点． （1）当时，求点、点的坐标； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握反比例函数图像的性质，待定系数法求解析式是关键． （1）根据题意，把代入得到，运用待定系数法得到直线的解析式为，证明，得，代入计算即可求解； （2）同（1）的方法得到直线的解析式为，，再证明，得到即可求解． 【小问1详解】 解：∵点是反比例函数图像上一点，点的横坐标为， ∴当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴直线与轴的交点为，设这个交点为，如图所示， ∴，则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点是反比例函数图像上一点，点的横坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴，则， 同（1）得到，， ∴，即， 解得，， ∴， ∴，且， 如图所示，延长交轴于点， ∴，则， ∴， ∵轴，轴， ∴，且， ∴， ∴． 25. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边记为a，b，c． （1）如图1，若， ①请用无刻度的直尺和圆规在线段AB上作一点D，使得△ACD的周长为．（请保留作图的相关痕迹）； ②试求证：； （2）如图2，若，试求证：． 【答案】（1） ①如图，点即为所求． ②证明：如图，延长至点，使，连接， ∵在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边记为a，b，c， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴， ∴． （2） 证明：如图，在上取点，使，连接， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，，， ∴，，， 在和中 ∴ ∴， ∴， ∴． ． 【解析】 【分析】（1）①作线段的垂直平分线交于点； ②如图，延长至点，使，连接，证明，再利用即可得到结论； （2）如图，在上取点，使，连接，证明，再利用即可得到结论． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图—复杂作图，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识．解题关键是通过作辅助线构建相似三角形解决问题． 26. 如图1，点是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，均为直径上方的动点，连接，且始终满足与该半圆相切，切点为点． （1）求证：； （2）当半径时，令， ①探究满足的关系并证明； ②若，比较与的大小，并说明理由； （3）如图2，当半径时，过点作于点，与交于点，点在同一直线上，连接，令，求关于的函数解析式．（不考虑自变量的取值范围） 【答案】（1） 证明：如图1所示，连接， ∵与均为该半圆的切线，与该半圆相切， ∴， ∴； （2）①，证明如下：如图所示，过点作于点， ∴，∵与均为该半圆的切线，∴，∴四边形为矩形，∴，∴，由（1）得，∴由勾股定理得，即，整理得；②，证明如下：将代入得， ； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线长定理，切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用圆的切线长定理进行证明即可； （2）①过点作于点，根据切线的性质得出直角，证明四边形为矩形，得出相等的边，利用勾股定理列出等式进行整理即可； ②将①的结论代入整理即可； （3）根据切线的性质定理及垂直的定义证明，根据分线段成比例，证明，借助（2）的结论得出，根据等面积法得出，最后代入求出解析式即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：由（1）得，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 由（2）可得， ∴，即， ∵为圆的直径， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $