广西壮族自治区桂林市资源县中峰镇育才初中2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年资源县中锋镇育才初中10月九年级数学月考卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1．以下四款人工智能大模型图标中，属于中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线是（     ） A． B． C． D． 4．如图，将绕点C按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则线段的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 5．已知点，点都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 6．平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 7．如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 8．一元二次方程的根的情况正确的是（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 9．如表中列出了二次函数的、的一些对应值，则一元二次方程的一个解的范围是（    ） … 0 1 … … 1 1 … A． B． C． D． 10．雪花缓缓飘落，为大地披上了一层白纱．如图所示的雪花图案是一个中心对称图形，将该图案绕着它的中心旋转，使其与自身重合，至少应旋转的角度是（   ） A． B． C． D． 11．某校为落实“光盘行动”，对每天的剩饭菜进行称量，第一周的剩余量为，第三周为，设平均每周剩余量减少的百分率为，则可列方程（　　） A． B． C． D． 12．已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13．若反比例函数的图象经过点，则的值为____________． 14．若，是方程的两个根，则________． 15．某抛物线型拱桥的示意图如图，桥长 AB＝48 米，拱桥最高处点 C 到水面 AB 的距离为 12 米，在该抛物线上的点 E、F 处要安装两盏警示灯（点 E、F 关于 y 轴对称），警示灯 F 距水面 AB 的高度是9米，则这两盏灯的水平距离EF是___米． 16．如图，在中，，如果将绕点A顺时针旋转得到，点D、E分别与点B、C对应，如果，那么旋转角（）的度数是______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17．（8分）计算． (1) (2) (3) (4) 18．（10分）2026年河北省第十七届运动会吉祥物为凤娃和凰宝，某商店定制了一批带有这组吉祥物印花的运动衫（如图）进行试销，每件运动衫的成本为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件．经市场调研发现，该款运动衫的单价每降低10元，商店平均每天可多售出1件．为了扩大销售，减少库存，商店决定采取适当的降价措施，设每件运动衫的售价降低x元． (1)每件运动衫的利润为（ ）元，每天可售出的运动衫为（ ）件；（用含x的式子表示，并填入括号内） (2)若商店销售这款运动衫每天的利润为1920元，求x的值． 19．（10分）为了增强全民国家安全意识，我国将每年月日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：，，，，，，，，，． 乙：，，，，，，，，，． 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 a 171.44 乙 86.3 b 90 73.41 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： (1)_________，_________； (2)求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； (3)根据【信息】和【信息】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 20．（10分）如图，和关于点O对称． (1)画出对称中心O； (2)若，，，求的周长； (3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 21．（10分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，活力启航小组在某次玩游戏时做了如下探究： 背景调查 沙包游戏是中国一项传统的民间儿童集体游戏，被认为是中国最早手球类运动的形式之一． 数据收集 活力启航小组的同学们玩沙包游戏时，发现某次扔出的沙包到地面的高度（）与到出发点的水平距离（）之间的几组对应值如下表所示： （） 0 2 4 6 8 10 （） 2 3 2 数据分析 小组成员在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点并进行连线，如图．    建立模型： (1)若与符合初中学习过的某种函数关系，则可能是______函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据（1）中的判断结果，求与之间的函数关系式； (3)应用模型：若某一时刻沙包到地面的高度为，求此时沙包到出发点的水平距离． 22．（12分）如图，在中，，，，动点P 在射线 上，将线段 绕点 C逆时针旋转得到线段，连接、．      (1)证明：； (2)面积的最小值为 ； (3)当为等腰三角形时，求的长． 23．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点． 【性质初探】 (1)抛物线的开口______（填“向上”或“向下”）； (2)求证：无论取何值，抛物线的最小值恒为； 【深入探究】 (3)将抛物线向右平移（）个单位长度得到抛物线，当时，是否存在实数，使得抛物线与关于轴对称？若存在，求出值；若不存在，说明理由； (4)若抛物线与的交点在轴上． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴的平行线，分别与抛物线，的另一个交点是点、点，选取两个符合条件的值，并验证越大，越小． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年资源县中锋镇育才初中10月九年级数学月考卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B A D B C C C 题号 11 12 答案 C D 1．C 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是中心对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形，故符合题意； D、不是中心对称图形，故不符合题意． 2．C 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 方程含两个未知数，不是一元二次方程． B. 方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． C. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程． D. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 3．C 【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可进行求解． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线是． 4．B 【分析】本题主要考查了图形的旋转，勾股定理．根据旋转的性质可得，再由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：∵将绕点C按逆时针方向旋转，得到， ∴， ∴， 故选：B． 5．A 【分析】代入两点横坐标计算对应函数值，比较大小即可得解． 【详解】解：将代入，可得：， 将代入，可得：， ， ． 6．D 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即可得出答案． 【详解】由题意，得， 关于原点对称的点的坐标是， 故选∶D． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 7．B 【分析】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的几何意义． 由点在反比例函数（）的图象上，得到即可求解． 【详解】解：点在反比例函数（）的图象上，且， ， 矩形的面积为2，故选B． 8．C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 利用一元二次方程根的判别式的符号判断根的情况． 【详解】解：中，，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了二次函数与对应一元二次方程的关系，由表格数据可知，当时，，当时，，可得函数的图象在x轴的交点横坐标的范围是，即可得到一元二次方程一个解的范围． 【详解】解：由表格数据可知，当时，，当时，． ∴函数的图象在x轴的交点横坐标的范围是， 即一元二次方程的一个解的范围是． 故选：C． 10．C 【分析】本题考查了求旋转对称图形的旋转角度，根据题意求出即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴将该图案绕着它的中心旋转，使其与自身重合，至少应旋转的角度是， 故选：C 11．C 【分析】设平均每周剩余量减少的百分率为，根据题意，列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设平均每周剩余量减少的百分率为，根据题意得， ， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键． 12．D 【分析】先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，取得最大值； ∵当时，；当时，， ∵， ∴的最小值为． ∴的取值范围是． 13． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ∴ 解得． 14．0 【分析】根据方程的系数结合两根之积等于，即可求出结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键． 15．24 【分析】设抛物线的解析式为，由题意可得A（-24，0），E、F的纵坐标为9，且E、F对称，据此求解即可. 【详解】解：设抛物线的解析式为， 有题意可知A（-24，0），E、F的纵坐标为9，且E、F对称， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 把代入解析式中得， 解得， ∴米， 故答案为：24. 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识进行求解. 16． 或 【分析】分点D在上方，点D在下方两种情况，根据角的和差关系分别求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点D在上方时， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角的大小为； 如图所示，当点D在下方时， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴旋转角的大小为； 综上所述，旋转角的大小为或. 17．(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，平方根，解一元一次方程，正确计算是解题的关键． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）根据有理数的混合运算法则计算即可； （3）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （4）根据平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； （4）解：， ∴， 解得：． 18．(1)， (2)的值为40 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据总利润单件利润件数，列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设每件运动衫的售价降低x元，每件运动衫的利润为： 元； 每天可售出的运动衫为： 件； （2）解：由题意，得：， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）， 的值为40． 19．(1)90；92 (2)70；96 补全甲组竞赛成绩的箱线图如下： (3)乙组竞赛成绩较好．理由：因为乙组的平均数86.3大于甲组平均数84.6，乙组的方差73.41小于甲组的方差171.44，说明乙组平均分更高，成绩更稳定．所以乙组竞赛成绩较好． 【分析】（1）根据中位数的定义，将甲组学生的成绩从小到大排列，然后求排在第5、6的成绩的平均数即可；根据众数的定义，找到乙组中出现次数最多的成绩即可； （2）根据四分位数的求解方法求解上、下四分位数即可；然后求出甲组数据的最大值、最小值，再结合中位数和上、下四分位数即可补全箱线图； （3）可以从平均数和方差的角度分析． 【详解】（1）解：甲组的成绩从小到大排列：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 共10个数据，则中位数是第5、6个数据的平均数， 故甲组学生竞赛成绩的中位数为（分），即； 乙组学生竞赛成绩出现次数最多为92分， 故乙组学生竞赛成绩的众数为92分，即； （2）解：方法一：前半部分为前5个数（60, 70, 70, 80, 89），中位数是第3个为70，则下四分位数为， 后半部分数据为（91, 92, 96, 98, 100），中位数是第3个为96，则上四分位数为； 方法二：，则取整数3，那么第3个数据即为下四分位数，即； ，则取整数8，那么第8个数据即为上四分位数，即； 甲组的数据最大值为100，最小值为60，而中位数为90，故补全箱线图见答案； （3）略 20．(1)如图，点O即为所求： (2)18 (3)四边形为平行四边形， 理由：如图， ∵和关于点O对称， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 【分析】（1）根据中心对称的性质，对称中心在线段、上，则连接和，它们的交点即为对称中心O； （2）根据中心对称的两个三角形全等可得到各边的长，然后计算周长即可； （3）根据中心对称的性质得，，则根据平行四边形的判定方法可判断四边形为平行四边形． 【详解】（1）略 （2）解：∵和关于点O对称， ∴， ∴，，， ∴的周长为； （3）略 21．(1)二次 (2) (3) 【分析】（1）根据点的对称性判定即可； （2）利用待定系数法，设成顶点式求解即可； （3）令，得，求解即可； 【详解】（1）解：根据点的对称性，判断该函数可能是二次函数； （2）解：根据表中数据可知，二次函数图象的顶点坐标为． 设与之间的函数关系式为． 将代入，得， 解得， 与之间的函数关系式为．（或）； （3）解：令，得， 解得（不合题意，舍去），， 此时沙包到出发点的水平距离为． 22．(1) 证明：由旋转的性质得，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴；    (2)2 (3)4或8 【分析】（1）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，再利用“”证明即可； （2）根据，可得当的值最小时，最小，此时，根据等腰三角形的性质与判定可得，即可求解； （3）以A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，连接，如图，设，则，，由（1）可得，，可求，，，再分三种情况：若，若，若，列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：将线段 绕点 C逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 当的值最小时，最小，此时， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）解：以A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，连接，如图，    设，则，， 由（1）可得，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ①若，则， 解得， ∴， ②若，则， 方程无解，这种情况不存在， ③若，则， 解得（此时点P与点A重合，舍去）或， ∴， 综上所述，的长为4或8． 【点睛】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、旋转的性质、等边三角形的性质、解一元一次方程和一元二次方程，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 23．(1) 向上 (2) 证明：∵ ， ， ∴ ，当时取等号， ∴ 抛物线的最小值恒为． (3) 存在实数，， 证明：抛物线的顶点式为，顶点坐标为， 将向右平移2个单位得到，则的顶点坐标为，且两抛物线二次项系数均为，开口方向、大小相同， 若与关于轴对称，则两顶点关于轴对称， 顶点关于轴的对称点为， ∴ ， 解得，符合的条件． (4) ① ； ② 选取和，验证如下： 当时，，直线与的另一交点，与的另一交点，； 当时，，直线与的另一交点，与的另一交点，. ∵ 且， ∴ 越大，越小． 【分析】（1）根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向； （2）通过配方法将抛物线解析式化为完全平方式，利用平方的非负性证明最小值为； （3）利用平移前后抛物线顶点的坐标变化，结合关于轴对称的点的坐标特征列方程求解； （4）① 先确定轴上交点的坐标，代入平移后的抛物线解析式推导与的函数关系；② 求出直线与两抛物线的另一交点坐标，计算的长度，代入值验证结论． 【详解】（1）解：∵抛物线中，， ∴抛物线的开口向上． （2）略 （3）略 （4）解：① ∵ 抛物线与轴交于点，且两抛物线的交点在轴上， ∴ ； 抛物线由向右平移个单位得到，其解析式为； 将代入的解析式，得， 整理得， ∵ ，， ∴ ， ∴ ，即， ∵ ， ∴ ， ∴关于的函数解析式为：． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $