精品解析：河南省周口市扶沟县崔桥镇2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025—2026学年上学期阶段性评价（三） 八年级数学（华师版） 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若a的平方根是，则a的值为（ ） A. B. 36 C. 6 D. 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 5，6，7 B. 0.3，0.4，0.5 C. ，， D. 5，12，13 3. 若，则k的值是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 4. 图，是边的垂直平分线，若，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 5. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下图是三个叠在一起的三角形（三角形），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形完全相同的三角形，下列说法不正确的是（ ） A. 都可以 B. 作的依据可以是 C. 都可以 D. 作的依据是 7. 如图，是的角平分线，，分别是和的高，，，的面积是30，则的面积是（ ） A. 36 B. 30 C. 24 D. 66 8. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 三边对应相等的两个三角形全等 B. 等边三角形是锐角三角形 C. 同位角相等，两直线平行 D. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 9. 中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（ ） A. 40 B. 42 C. 48 D. 56 10. 若我们约定：表示不大于x的最大整数，例如：，，，记，则的值为（ ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. ______． 12. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 13. 如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为，则的长为______． 14. 在2025年世界互联网大会乌镇峰会上，宇树科技的展台是最热闹的展台之一．前空翻、武术、跳舞、拳击，机器人行云流水的动作，一次次引爆全场的欢呼与惊叹．如图，一个机器人从点A出发，拐了几个直角的弯后到达点B位置，根据图中的数据，点A和点B的直线距离是______． 15. 已知且，，则的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）分解因式：． 17. 如图，已知点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B． （1）点B表示的数为______； （2）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的算术平方根． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，在四边形中，，O为的中点，且平分． （1）求证：平分； （2）已知，，求的长． 20. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． （1）经测量，，，，小明判断是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； （2）若小明沿水平方向移动到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度． 21. 如图，是等腰三角形，，是等边三角形，且点B，D，E，C在同一条直线上． （1）若，，求的长； （2）以为腰在下方作等腰三角形，使，连接，若．求证：是等边三角形． 22. 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小．解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A，B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“>”“<”或“=”填空）： ①______； ②已知，则______； 【类比运用】 （2）图1是边长为m的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加（），得到如图2所示的大长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加n，得到如图3所示的大正方形，此正方形的面积为．试用作差法比较与的大小； 【延伸运用】 （3）已知x取任意实数，试比较代数式与的大小． 23. 如图，在中，，，，D是线段的中点，动点E，F分别在线段上运动，且始终有，连接． （1）判断是否是等腰直角三角形，并说明理由； （2）下列结论中，正确的有______（填序号），请从中选择一个正确的结论并说明理由． ①四边形的周长为定值； ②四边形的面积为定值； ③的值不为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期阶段性评价（三） 八年级数学（华师版） 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若a的平方根是，则a的值为（ ） A. B. 36 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数，解题关键是掌握平方根的定义． 根据平方根的定义求解． 【详解】解：∵a的平方根是， ∴ ∴a的值为36， 故选：B． 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 5，6，7 B. 0.3，0.4，0.5 C. ，， D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数是满足较小的两个数的平方之和等于最大的数的平方的一组正整数，据此逐项分析即可作答． 【详解】解：∵ 对于选项 A：，∴ A 不符合题意； ∵ 对于选项 B：0.3, 0.4, 0.5 不是正整数，∴ B 不符合题意； ∵ 对于选项 C: ，∴ C 不符合题意； ∵ 对于选项 D：, 且均为正整数，∴ D 符合题意． 故选：D． 3. 若，则k的值是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 展开右边的完全平方式，与左边多项式比较系数求k． 【详解】解：∵， 又∵=， ∴， 比较x项系数得：， 故选：C． 4. 图，是边的垂直平分线，若，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段的和与差，线段垂直平分线的性质等知识点，解题关键是掌握线段垂直平分线的性质． 先根据垂直平分线的性质，得出，再利用线段的差求出． 【详解】解：∵是边的垂直平分线，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，单项式乘单项式，同底数幂除法，有理数乘方运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．根据积的乘方运算法则，单项式乘单项式运算法则，同底数幂除法运算法则，有理数乘方运算法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故 B错误； C．，故C错误； D．，故D正确． 故选：D． 6. 下图是三个叠在一起的三角形（三角形），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形完全相同的三角形，下列说法不正确的是（ ） A. 都可以 B. 作的依据可以是 C. 都可以 D. 作的依据是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用证明三角形全等（），用（）证明三角形全等（或者），解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据全等三角形的判定，对四个选项逐一分析，再作出判断即可． 【详解】解：只知道一个角，不能作出与完全相同的三角形； 知道三个角与两边，可以根据、、，作出与完全相同的三角形，故B正确； 知道两角夹边，可以根据，作出与完全相同的三角形，故D正确； 综上所述，、都可以，故A正确； 所以C错误， 故选：C． 7. 如图，是的角平分线，，分别是和的高，，，的面积是30，则的面积是（ ） A. 36 B. 30 C. 24 D. 66 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算问题，角平分线的性质定理等知识点，解题关键是掌握角平分线的性质并能熟练运用它来求解． 先根据角平分线的性质，得出，再根据的面积是30，求得，从而可求得的面积． 【详解】解：∵AD是的角平分线，DE，DF分别是和的高， ∴， ∵的面积是30， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积是， 故选：A． 8. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 三边对应相等的两个三角形全等 B. 等边三角形是锐角三角形 C. 同位角相等，两直线平行 D. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题的真假判断，需写出各命题的逆命题并依据初中数学知识判断是否成立即可． 【详解】解：A．原命题：三边对应相等的两个三角形全等；逆命题：全等三角形的三边对应相等， 因为全等三角形的对应边相等，所以逆命题成立，故A不符合题意； B．原命题：等边三角形是锐角三角形；逆命题：锐角三角形是等边三角形；因为锐角三角形不一定三边相等（如三边不等的锐角三角形），所以逆命题不成立，故B符合题意； C．原命题：同位角相等，两直线平行；逆命题：两直线平行，同位角相等；逆命题成立，故C不符合题意； D．原命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；逆命题：在线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；逆命题成立，故D不符合题意． 故选：B． 9. 中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（ ） A. 40 B. 42 C. 48 D. 56 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先得出，，再利用勾股定理求得，从而可求得“数学风车”的周长． 【详解】解：如图， ∵小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的，， ∴，，“数学风车”的周长为， ∵，， ∴， ∴“数学风车”的周长为， 故选：D． 10. 若我们约定：表示不大于x的最大整数，例如：，，，记，则的值为（ ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义，实数的运算，无理数的估算等知识，理解题中新定义是关键；由新定义知，当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个，则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，由此即可求解． 【详解】解：， ， ， 当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个， 则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5， ， ， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则，是解题的关键．应用乘法分配律将乘法运算展开，即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键．反证法的步骤先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，据此解答即可． 【详解】解：原命题的结论是，其反面为，因此应假设． 故答案为：． 13. 如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，由题意得，， 进而根据线段垂直平分线的判定得到是的垂直平分线，再根据得到，代入已知计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，设与相交于点， 由题意知，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴ ， ∵，四边形的面积为， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 在2025年世界互联网大会乌镇峰会上，宇树科技的展台是最热闹的展台之一．前空翻、武术、跳舞、拳击，机器人行云流水的动作，一次次引爆全场的欢呼与惊叹．如图，一个机器人从点A出发，拐了几个直角的弯后到达点B位置，根据图中的数据，点A和点B的直线距离是______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，根据长方形的性质与判定求线段长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先分别证明四边形是长方形，四边形是长方形，从而可求得与，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点B作于点C，延长交于点D，连接， 则，， ∵一个机器人从点A出发，拐了几个直角的弯后到达点B位置， ∴， ∴， ∴， ∴四边形中，， ∴四边形是长方形， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形中，， ∴四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴， 即点A和点B的直线距离是17， 故答案为：17． 15. 已知且，，则的值为______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂相乘，完全平方公式的变形等知识， 由第一个等式利用幂的乘方得到，由第二个等式利用幂的运算性质得到，然后利用完全平方公式变形求 ． 【详解】解：由 ，得 ， 由 ，得 ， ∴． 故答案为：17． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先计算算术平方根的平方，计算立方根，再去绝对值，最后计算加减； （2）先提出公因式，再用完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 17. 如图，已知点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B． （1）点B表示的数为______； （2）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的算术平方根． 【答案】（1） （2）的算术平方根是3． 【解析】 【分析】（1）根据A点表示的数及平移的方向与距离，列出算式求出B点表示的数； （2）先根据绝对值、算术平方根的非负性，求出c、d，再代入，求出的算术平方根． 【小问1详解】 解：∵点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B， ∴点B表示的数为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵与互为相反数， ∴，， ∴，， ∴的算术平方根是， 即的算术平方根是3． 【点睛】本题考查了绝对值非负性，求一个数的算术平方根，利用算术平方根的非负性解题，实数与数轴，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据 除以单项式运算法则，平方差公式，合并同类项法则进行化简，然后代入数据计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 如图，在四边形中，，O为的中点，且平分． （1）求证：平分； （2）已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，过点O作于E． ∵，平分， ∴． ∵O为的中点， ∴． ∴． 又∵， ∴平分． （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线的判定定理，全等的性质和综合等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先根据角平分线的性质得出，再根据中点的意义得出，从而可得，再根据角平分线的判定得出平分； （2）由（1）得，再证明，从而可得，同理可得，再根据线段的和求得． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 由（1）得， 在和中， ∵，， ∴． ∴． 同理可得， ∴． ∵，， ∴． 20. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． （1）经测量，，，，小明判断是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； （2）若小明沿水平方向移动到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度． 【答案】（1） 解：他的说法正确．理由如下： ∵，，， ∴． ∴是直角三角形，． （2）风筝垂直下降的高度为 【解析】 【分析】本题考查了判断三边能否构成直角三角形，用勾股定理解三角形，求风筝高度(勾股定理的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用勾股定理的逆定理求解； （2）先求得，再利用勾股定理求得，从而可利用线段的差求得风筝垂直下降的高度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得，， ∵， ∴． ∵， ∴在中，． ∴， 即风筝垂直下降的高度为． 21. 如图，是等腰三角形，，是等边三角形，且点B，D，E，C在同一条直线上． （1）若，，求的长； （2）以为腰在下方作等腰三角形，使，连接，若．求证：是等边三角形． 【答案】（1）； （2） ∵，， ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和（）综合（或者），等边三角形的性质，等边三角形的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先根据等边对等角，得出，再根据等边三角形的性质，得出，，从而可得，再证明，从而可得，进而可求得． （2）先证明，从而可得，再求得，从而可得是等边三角形． 【小问1详解】 解：∵是等腰三角形，， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． 【小问2详解】 略 22. 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小．解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A，B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“>”“<”或“=”填空）： ①______； ②已知，则______； 【类比运用】 （2）图1是边长为m的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加（），得到如图2所示的大长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加n，得到如图3所示的大正方形，此正方形的面积为．试用作差法比较与的大小； 【延伸运用】 （3）已知x取任意实数，试比较代数式与的大小． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）①利用作差法比较大小； ②先求差，再分解因式后，判断积的符号即可； （2）先分别表示出、，再求差比较大小； （3）先求差，再利用完全平方公式分解因式后确定符号即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 故答案为：； ② ， ∵， ∴，， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （2）由题可得，， ． ∵， ∴． （3） ． ∵， ∴代数式． 【点睛】本题考查了整式加减的应用，通过对完全平方公式变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，因式分解的应用，不等式的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 23. 如图，在中，，，，D是线段的中点，动点E，F分别在线段上运动，且始终有，连接． （1）判断是否是等腰直角三角形，并说明理由； （2）下列结论中，正确的有______（填序号），请从中选择一个正确的结论并说明理由． ①四边形的周长为定值； ②四边形的面积为定值； ③的值不为定值． 【答案】（1） 解： 是等腰直角三角形．理由如下： 如图，连接． ∵，，， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∵D是线段的中点， ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴是等腰直角三角形，． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴是等腰直角三角形． （2） 解：②，理由如下： ∵， ∴． 又∵D是线段的中点， ∴． ∵， ∴． ∴四边形的面积为定值； ∵动点E，F分别在线段上运动， ∴的长是变量， 故四边形的周长不是定值；的值不为定值． 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键， （1）连接，证明、都是等腰直角三角形，再证明得出，，即可证明结论； （2）得出，根据，求出即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $