精品解析：河北省石家庄市第四十一中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

河北省石家庄市第四十一中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 已知的半径为2，点到圆心的距离为4，则点（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 无法确定 2. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点、、都在上，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 三角形的内心是三条边中垂线的交点 D. 直径是弦 9. 一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为y元，每次提价的百分率是x，则y与x的函数关系式是（　　） A. y＝100(1+2x) B. y＝100(1﹣2x) C. y＝100(1+x) D. y＝100(1﹣x) 10. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 11. 关于x的二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴的交点坐标为 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减小 12. 如图．在中，，⊙O为的内切圆，切点为D、E、F，则的半径为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知的半径为2，点O到直线l的距离为3，则l与的位置关系是 _____ ． 14. 已知抛物线与x轴的一个交点为，则______． 15. 已知抛物线上有两点，，则________（填“”、“”或“”）． 16. 已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，的值为______________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答题应写出证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数． （1）求出函数顶点坐标； （2）当时，随的增大而_____________（填“增大”或“减小”）； （3）当时，的取值范围为_____________． 18. 如图，为的直径，点在上，的平分线交于点，， （1）求的度数． （2）若的半径为5．求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． （1）弧所在圆的圆心的坐标为________________； （2）求弧所在圆的半径； 20. 如图，是的直径，为上一点，点在延长线上．． （1）求证：是的切线 （2）若连接，，的半径为．求劣弧和半径构成的扇形的面积（结果保留）． 21. 如图，已知二次函数的图像与轴分别交于点和点，与轴交于点． （1）求点和点的坐标； （2）在抛物线上是否存在异于点的一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由； （3）当时，直接写出的取值范围_____________． 22. 某桶装水公司每天的房租、水电费、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元，也不得低于7元，调查发现日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示． （1）求日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数关系式； （2）设日均获利为w（元），求销售单价x多少元时，w达到最大，w最大多少元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交y轴于点，抛物线经过点和，点是抛物线上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为． （1）求出抛物线的解析式： （2）若点在第四象限，线段的长度能否达到2个单位长度？若能，求出此时点坐标，若不能，说明理由． 24. 已知的半径为3，弦．中，，，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点与点重合，点在上，点在内），随后移动，使点在弦上移动，点始终在上随之移动． （1）当点与点重合时，求劣弧的长； （2）当时，如图2，求点到的距离； （3）设点到的距离为，当点在劣弧上，且过点的切线与垂直时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省石家庄市第四十一中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 已知的半径为2，点到圆心的距离为4，则点（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系，点P到圆心O的距离大于圆的半径时，点P在圆外． 【详解】解：∵的半径为2，点P到圆心O的距离为4，且， ∴点P在外． 故选：A． 2. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数定义，熟记二次函数定义是解决问题的关键． 根据二次函数的定义：形如（），判断各选项是否满足该形式，即可得到答案． 【详解】解：A：，为一次函数，不满足二次函数定义，不符合题意； B：，满足二次函数定义，是二次函数，符合题意； C：，的次数不是正整数，不满足二次函数定义，不符合题意； D：，为一次函数，不满足二次函数定义，不符合题意； 故选：B． 3. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟记抛物线与轴的交点坐标的求法是解决问题的关键． 求抛物线与轴的交点坐标，只需令，代入解析式计算的值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与轴相交时，， ∴ 将代入，得， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故选：D． 4. 如图，点、、都在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．据此解答即可． 【详解】解：∵圆周角和圆心角同时对着， ∴，即， ∵， ∴． 故选：C． 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形，根据圆的内接四边形对角互补，即可作答． 【详解】解：四边形内接于，若， ， 故选：D． 6. 圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧长公式，即可得到答案. 【详解】∵圆心角是90°，半径为20， ∴弧长===， 故选B. 【点睛】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式，是解题的关键. 7. 如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 连接，由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴在中，． 故选：B． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 三角形的内心是三条边中垂线的交点 D. 直径是弦 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的基本概念，三角形的内心，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误，不符合题意； C、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，原说法错误，不符合题意； D、直径是弦，原说法正确，符合题意； 故选D． 9. 一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为y元，每次提价的百分率是x，则y与x的函数关系式是（　　） A. y＝100(1+2x) B. y＝100(1﹣2x) C. y＝100(1+x) D. y＝100(1﹣x) 【答案】C 【解析】 【分析】利用经过两次提价后的价格＝原价×(1+每次提价的百分率)，即可得出y与x的函数关系式． 【详解】解：依题意得：y＝100(1+x)． 故选：C． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式是解题的关键． 10. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用平移规律“左加右减针对自变量，上加下减针对函数值”即可求解． 【详解】解：原抛物线为， 向右平移2个单位，得 ， 再向上平移3个单位，得 ， 故得到的抛物线解析式为 ； 故选D． 11. 关于x的二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴的交点坐标为 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的开口方向、与y轴的交点坐标、顶点坐标及增减性逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：A、图象的开口向下，则错误，故不符合题意； B、当时，，则图象与y轴的交点坐标为，则错误，故不符合题意； C、图象的顶点坐标是，则错误，故不符合题意； D、图象的对称轴为：，当时，y随x的增大而减小，则正确，故符合题意； 故选：D． 12. 如图．在中，，⊙O为的内切圆，切点为D、E、F，则的半径为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，求三角形的内切圆的半径，连接，切线长定理结合切线的性质，得到，推出四边形是正方形，设的半径为，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵为的内切圆， ∴，即， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 设的半径为，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得 ，即的半径为， 故选B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知的半径为2，点O到直线l的距离为3，则l与的位置关系是 _____ ． 【答案】相离 【解析】 【分析】本题考查直线与圆位置关系．根据题意比较点O到直线l的距离和半径长度，即可得到本题答案． 【详解】解：∵的半径为2，点O到直线l的距离为3， ∴， ∴l与的位置关系是相离， 故答案为：相离． 14. 已知抛物线与x轴的一个交点为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． 把代入得，再利用整体代入的方法，即可求得结果． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点为， ， ， ， 故答案为：． 15. 已知抛物线上有两点，，则________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴和开口方向，通过比较点到对称轴的距离判断函数值的大小即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为，系数，故开口向上． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为． ∵抛物线的开口向上，距离对称轴越远，函数值越大， ∴． 故答案为： 16. 已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，的值为______________． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与一次函数图像的交点问题，求出与轴的交点坐标，以及翻折后开口向下的部分的抛物线的解析式，再分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：设二次函数与轴的两个交点分别为， 当时，则， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将该二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方， ∴开口向下部分的抛物线的顶点坐标为， ∴， 当直线与新图像有3个交点时，分种情况， ①当直线恰好经过点时，则：，解得； ②当直线与抛物线只有一个交点时，满足题意， 令，整理，得， 则，解得； 综上：或； 故答案为：3或． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答题应写出证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数． （1）求出函数顶点坐标； （2）当时，随的增大而_____________（填“增大”或“减小”）； （3）当时，的取值范围为_____________． 【答案】（1） （2）增大 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）将一般式化为顶点式，即可得出结果； （2）根据二次函数的增减性进行判断即可； （3）根据二次函数的增减性求出函数值的范围即可． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； 【小问3详解】 解：由（2）可知，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，值最大，为；当时，函数有最小值为， ∴． 18. 如图，为的直径，点在上，的平分线交于点，， （1）求的度数． （2）若的半径为5．求的长． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键： （1）根据直径所对的圆周角是直角，结合三角形的内角和定理，求出的度数，角平分线求出，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可； （2）解直角三角形即可． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵的半径为5， ∴， 在中，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． （1）弧所在圆的圆心的坐标为________________； （2）求弧所在圆的半径； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查圆的确定方法，勾股定理，熟练掌握圆的确定方法是解题的关键： （1）根据圆的确定方法，得到线段的中垂线的交点即为圆心，画图即可得出结果； （2）利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：如图，点即为圆心，由图可知：； 【小问2详解】 由勾股定理，得； 故半径为． 20. 如图，是的直径，为上一点，点在延长线上．． （1）求证：是的切线 （2）若连接，，的半径为．求劣弧和半径构成的扇形的面积（结果保留）． 【答案】（1） 证明：连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，求扇形的面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）连接，根据等边对等角，以及角的和差关系求出，即可得证； （2）求出的度数，利用扇形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴扇形的面积为． 21. 如图，已知二次函数的图像与轴分别交于点和点，与轴交于点． （1）求点和点的坐标； （2）在抛物线上是否存在异于点的一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由； （3）当时，直接写出的取值范围_____________． 【答案】（1） （2）存在，或或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）令，进行求解即可； （2）根据，得到点到轴的距离等于点到轴的距离，进行求解即可； （3）根据图象直接进行求解即可． 【小问1详解】 解：当时，解得， ∴； 【小问2详解】 存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴ ∴， 当时，解得或， ∴； 当时，解得或； ∴或； 综上：或或； 【小问3详解】 由图象可知，当时，或． 22. 某桶装水公司每天的房租、水电费、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元，也不得低于7元，调查发现日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示． （1）求日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数关系式； （2）设日均获利为w（元），求销售单价x多少元时，w达到最大，w最大多少元． 【答案】（1） （2）销售单价x为11元时，w达到最大，w最大为1550元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的应用，解题的关键是通过题目和图象弄清题意，并列出二次函数和一次函数，用数学知识解决生活中的实际问题． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）利用二次函数的性质求出最值即可． 【小问1详解】 解：设日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数关系式为（），根据题意得， ， 解得， ∴， 所以，日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设销售单价x元，日均获利为w元，根据题意得， ， ， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交y轴于点，抛物线经过点和，点是抛物线上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为． （1）求出抛物线的解析式： （2）若点在第四象限，线段的长度能否达到2个单位长度？若能，求出此时点坐标，若不能，说明理由． 【答案】（1） （2）能，或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式是解题的关键． （1）先求出的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）表示出，则，根据线段的长等于2，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 能， ∵点是抛物线上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为 ∴，则， ∴， 由题意，，解得或， ∴或． 24. 已知的半径为3，弦．中，，，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点与点重合，点在上，点在内），随后移动，使点在弦上移动，点始终在上随之移动． （1）当点与点重合时，求劣弧的长； （2）当时，如图2，求点到的距离； （3）设点到的距离为，当点在劣弧上，且过点的切线与垂直时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，，先证明为等边三角形，再利用等边三角形的性质结合弧长公式可得答案； （2）过作于，过作于，连接，证明四边形是矩形，可得，，再结合勾股定理可得答案； （3）如图，由过点A的切线与垂直，可得过圆心，过作于，过作于，而，可得四边形为矩形，可得，再进一步利用勾股定理与锐角三角函数可得答案． 【小问1详解】 解：如图，连接，， ∵的半径为3，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 解：过作于，过作于，连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，而， ∴， ∴点B到的距离为； 【小问3详解】 解：如图，∵过点A的切线与垂直， ∴过圆心， 过作于，过作于，而， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题属于圆的综合题，难度较大，考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，垂径定理的应用，切线的性质，求弧长，解直角三角形等知识点，熟练地利用数形结合的方法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $