精品解析：河北省廊坊市第四中学2025-2026学年上学期九年级第二次月考数学卷

2025—2026第一学期九年级第二次月考数学试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的定义，解题关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程）判断各选项． 【详解】解：选项，含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义； 选项，含有参数，若则方程变为一次方程，不符合一元二次方程的定义； 选项，方程含有分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义； 选项，只含有一个未知数，最高次数为，且为整式方程，符合一元二次方程的定义． 故选：． 2. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查识别中心对称图形．掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据识别一个图形是否是中心对称图形，判断是否存在一点，使图形绕着这个点旋转后能与原图形重合，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：图形绕中心点每旋转后能与原图形重合，故旋转后依旧重合，是中心对称图形，符合题意要求； 选项B：图形绕中心点每旋转后能与原图形重合，故旋转后无法与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意要求； 选项C：图形绕中心点每旋转后能与原图形重合，故旋转后无法与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意要求； 选项D：图形绕中心点每旋转后才能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意要求； 故选：A． 3. 小明在物理实验课上用放大镜观察一个三角形器材，其中不会发生变化的量是（ ） A. 各内角的度数 B. 各边的长度 C. 三角形的周长 D. 三角形的面积 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得，用放大镜观察得到的三角形和原本的三角形相似， ∴各内角的度数不会改变，各边的长度，周长和面积均变大了， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 4. 已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：∵的半径为，圆心O到直线l的距离d，为， ∴， ∴圆与直线l相交，直线l与圆有两个交点， 故选：C． 5. 如右图，，若，，，则的长度是（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，准确找出比例线段是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，求出，进而求出． 【详解】解：∵， ∴，结合，，， 得，解得， ∴， 故选D． 6. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的对称轴在轴的左侧 B. 函数的最小值为 C. 图象的顶点在直线上 D. 图象与轴的交点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象的对称轴以及开口方向，最值是解题的关键根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】∵二次函数为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， 选项A：对称轴的位置取决于的符号，不一定在轴左侧，故A错误； 选项B：∵，抛物线开口向下，有最大值，无最小值，故B错误； 选项C：顶点坐标的值恒为，所以顶点在直线上，故C正确； 选项D：令，得，仅当时，，故图象与轴的交点坐标不一定为，故D错误； 故选C． 7. 已知，是方程的两个实数根，则式子的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解以及根与系数关系、代数式求值，根据根据系数关系得到，再根据方程的解得到，进而代值求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，即， ∴ ， 故选：D． 8. 如图所示为长米、宽米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，可列方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，合理列出方程是解题的关键． 设小道的宽为米，则6个小矩形可合成长为米、宽为米的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为米，宽为米的矩形， 根据题意知：． 故选：D． 9. 如图，点O为正八边形的中心，连接、，则（ ）度． A. 45 B. 30 C. 22.5 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的角度计算，掌握正多边形的中心角的计算方法是解题的关键． 连接、，由于正八边形各顶点共圆，先得出，再利用圆周角定理得出的度数． 【详解】解：连接、，如下图所示： ∵为正八边形， ∴， ∴， 故选C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心． 依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，观察图象，可直接得出外心的坐标． 【详解】解：∵三角形的外心是各边的垂直平分线的交点， 图中已明确出各边垂直平分线以及其交点， 观察图象，可直接得出外心坐标为， 故选A． 11. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，交于点．当旋转角时，点的对应点恰好落在边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何—旋转问题．解题关键在于掌握旋转前、后的图形全等．根据旋转可得，，再结合旋转角以及三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：由旋转性质可得：，，， ， ， ，， ， 故选D． 12. 如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别，现从中任取一张卡片，将其数字记为，则使一元二次方程有实数根的概率是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、根据概率公式求概率，由一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式得出且，从而得出的取值可以是，，最后再由概率公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：一元二次方程有实数根， ，， 解得：，且， 的取值可以是，， 使一元二次方程有实数根的概率， 故选：D． 二、填空（共4小题，13-16题每题3分，17题4分，共13分） 13. 已知点 A（1，a）、点 B（b，2）关于原点对称，则 a＋b 的值为_____. 【答案】-3 【解析】 【详解】∵点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称， ∴b=﹣1，a=﹣2， ∴a+b=﹣3， 故答案为﹣3． 14. 如图，与相切于点C，，的半径为3，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，故为直角三角形，再根据勾股定理计算的长度． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴为直角三角形， ∵，， ∴， 故答案为：． 15. 图中扇形纸片的圆心角为，半径为．圆锥母线长为，底面半径为．小赵同学将扇形纸片贴合在圆锥侧面上，发现有一部分空缺（图中阴影部分），要填补缺口，还需要剪出一张半径为，圆心角______为扇形纸片． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，圆锥的侧面积，熟练掌握扇形的面积，圆锥的侧面积的计算公式是解题的关键． 由题意知，扇形的面积为，圆锥的侧面积为，设需半径为，圆心角为扇形纸片，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，扇形的面积为（）， 圆锥的侧面积为（）， 设需半径为，圆心角为扇形纸片， 依题意得，， 解得，， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于A点，交y轴于B点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点D恰好落在双曲线上，现将正方形沿y轴向下平移a个单位，可以使得顶点C落在双曲线上，则k值为_______，a的值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得、的坐标是解题的关键． 过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，通过证明，得出点坐标，即可求出的值，同理求出点的坐标，由图像平移，得出变化后的坐标，结合反比例函数表达式，求出的值． 【详解】解：∵点、为直线与坐标轴的交点， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， 过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，如下图： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，故， ∴点的坐标为， 同理可得点的坐标为， ∵点D在反比例函数上， ∴，解得， 正方形沿y轴向下平移a个单位后， 点坐标变为，此时点C在反比例函数上， ∴，解得， 故答案为：，． 三、解答题 17. 解方程： （1） （2）； （3）． 【答案】（1）或 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）化简后使用配方法进行求解即可； （2）用因式分解法进行求解即可； （3）用因式分解法进行求解即可． 【小问1详解】 解： 或 【小问2详解】 解： 或 【小问3详解】 解： 或 18. 已知，二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表． ．．． －1 0 1 m 3 ．．． ．．． n 0 1 0 －3 ．．． 根据题意完成下列各问： （1）该二次函数的解析式； （2）求，的值； （3）当时，的取值范围是_____； （4）当时，的取值范围是_____． 【答案】（1）， （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数图象解不等式，求二次函数的解析式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）结合表中对应数据，采用待定系数法求函数表达式即可； （2）得出函数表达式后，将、对应的值代入求解即可 （3）结合函数的增减性，判断出函数值最大和最小时对应的自变量取值，代入求值即可； （4）结合函数图象，开口向下，根据时的取值，判断出的取值范围． 【小问1详解】 解：将点、、代入， 得，解得， 故二次函数解析式为． 【小问2详解】 解：已知， 故当时，， 当时，，解得（舍去）或， 故，． 【小问3详解】 解：函数对称轴为直线，在内， 故，顶点坐标为， 根据图象性质，当趋近于时，函数值趋近，当趋近于时，函数值趋近， ∴的取值范围为． 【小问4详解】 解：结合表格，当时，的值为或， 结合函数开口向下，判断出当时，的取值范围为． 19. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标是，，． （1）将绕点O逆时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； （2）求出（1）中点B旋转到点所经过路径长以及所扫过的面积． 【答案】（1）图见解析，点的坐标为 （2）点B旋转到点所经过的路径长为，所扫过的面积为 【解析】 【分析】本题考查了作图——旋转变换，勾股定理，求弧长及扇形面积．熟练掌握旋转的性质以及弧长公式、扇形面积公式是解题的关键． （1）根据题意，画出旋转图形，确定点的坐标即可； （2）依次确定半径，根据弧长公式、扇形面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：图中即为所求，观察图像，点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵，点绕点旋转， 故其经过的路径为以为圆心，为半径的圆周长的， 即， ∵，点绕点旋转， 故其扫过的面积为以为圆心，为半径的圆面积的， 即， 故点B旋转到点所经过的路径长为，所扫过的面积为． 20. 一次函数经过点，交反比例函数于点． （1）求； （2）连接，求的面积． （3）点在反比例函数第一象限的图象上，若，直接写出的横坐标的取值范围． 【答案】（1），， （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，一次函数与反比例函数图象和性质，交点坐标，函数与不等式，是解题的关键． （1）利用一次函数经过点，点，列方程计算求得，得到点，再利用待定系数法求解即可； （2）求出，利用计算即得； （3）利用三角形面积公式求得，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵经过点，点， ∴， 解得， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴C的横坐标的取值范围为：． 21. 某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． （1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； （2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可； （2）利用画树状图法或列表法计算概率即可． 本题考查了概率的计算，熟练掌握概率公式和画树状图活列表法计算概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 － （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） － （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） － （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） － 由上表可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种， ． 22. 如图为生活中常见的多功能锅，锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，若某食堂有一口锅，其锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的拋物线记为． （1）写出和的解析式：__________； （2）如果烹饪时锅内的水位高度是，则此时水面的直径为__________； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）锅盖不能正常盖上，理由见解析 【解析】 【分析】考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用. （1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）烹饪时锅内的水位高度是，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． 【小问1详解】 解：由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：当烹饪时锅内的水位高度是时，则， ∴， 解得：， ∴此时水面的直径为． 故答案为：； 【小问3详解】 解：锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上． 23. 数学课上，老师提出：仅用无刻度的直尺作图． （1）如图，点、、上， ①在图①中，画一个与互补的圆周角； ②在图②中，画一个与互余的圆周角. （2）在图③中，是的内接三角形，于点．画出的平分线． 【答案】（1）①见解析，②见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质以及作图，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）①在劣弧上任取一点，连接，，则即为所求； ②连接，，并延长交于点，则即为所求． （2）延长交于，依据垂径定理即可得到为的中点，连接，则平分； 【小问1详解】 解：①即为所求，如图所示， 四边形是圆内接四边形， ； ②连接，，并延长交于点，则即为所求，如图所示， 理由如下： 是内接三角形． ， ， 又， ， ， ， 则即为所求． 【小问2详解】 解：如图，射线即为所求； 证明：是弦，且， 点为中点， ，即平分 24. 如图1，中，，将扇形按图1摆放，使扇形的半径、分别与、重合，． 如图2，若不动，让扇形绕点逆时针旋转一周，连接线段、，设旋转角为． 发现：直接写出、的数量关系． 探究：若 （1）扇形绕到点的左侧，当时，旋转角______°； （2）扇形绕到点的右侧，当与相切时，求； （3）若点是弧上任意一点，在扇形绕点逆时针转过程中，当的面积最大时，直接写出的度数； 延伸：如图3，若，当、、三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】发现；探究：（1）310；（2）；（3）或；延伸：或． 【解析】 【分析】发现：根据OA=OB，OP=O即可得到； 探究：（1）根据题意画出图形，由OP∥AB得到∠AOP=∠A=50°，即可求出旋转角； （2）由与相切得到是直角三角形，根据勾股定理求出AP即可得到B； （3）根据的面积=OQ乘以过点A作OQ的高线的积的一半，故当高线恰好是OA时，的面积最大，由此得到的度数； 延伸：根据题意画出图形，利用等腰三角形的三线合一的性质及三角函数求出OH，利用勾股定理求出AH，即可得到答案. 【详解】发现：∵OA=OB，OP=O， ∴OA-OP=OB-O， 即； 探究： （1）如图： ∵，OA=OB， ∴∠A=∠B=50°， ∵OP∥AB， ∴∠AOP=∠A=50°， ∴旋转角 ， 故答案为：310； （2）解：∵与相切， ∴即是直角三角形， ∴， ∴； （3）∵点Q在上， ∴OQ=OP， 的面积=OQ乘以过点A作OQ的高线的积的一半，故当高线恰好是OA时，的面积最大， ∴=90°-80°=10°或=180°-10°=170°； 延伸：过点O作OH⊥P于H，如图1， ∵∠PO=90°，OP=O=6， ∴OH=PH=， ∵OA=10， ∴AH=, ∴B=AP=； 过点O作OH⊥P于H，如图2， ∵∠PO=90°，OP=O=6， ∴OH=PH=， ∵OA=10， ∴AH=, ∴B=AP=； ∴线段的长为或. 【点睛】此题考查全等三角形与旋转问题，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角函数，平行线的性质，圆的切线的性质，是一道较为综合的题型. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026第一学期九年级第二次月考数学试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 小明在物理实验课上用放大镜观察一个三角形器材，其中不会发生变化的量是（ ） A. 各内角的度数 B. 各边的长度 C. 三角形的周长 D. 三角形的面积 4. 已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 如右图，，若，，，则的长度是（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 6. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的对称轴在轴的左侧 B. 函数的最小值为 C. 图象的顶点在直线上 D. 图象与轴的交点坐标为 7. 已知，是方程的两个实数根，则式子的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 8. 如图所示为长米、宽米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，可列方程为（    ） A. B. C. D. 9. 如图，点O为正八边形中心，连接、，则（ ）度． A. 45 B. 30 C. 22.5 D. 90 10. 如图，在平面直角坐标系中，则外心坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，交于点．当旋转角时，点的对应点恰好落在边上，则（ ） A B. C. D. 12. 如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别，现从中任取一张卡片，将其数字记为，则使一元二次方程有实数根的概率是（ ） A. B. 1 C. D. 二、填空（共4小题，13-16题每题3分，17题4分，共13分） 13. 已知点 A（1，a）、点 B（b，2）关于原点对称，则 a＋b 的值为_____. 14. 如图，与相切于点C，，半径为3，则的长为_______． 15. 图中扇形纸片的圆心角为，半径为．圆锥母线长为，底面半径为．小赵同学将扇形纸片贴合在圆锥侧面上，发现有一部分空缺（图中阴影部分），要填补缺口，还需要剪出一张半径为，圆心角______为扇形纸片． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于A点，交y轴于B点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点D恰好落在双曲线上，现将正方形沿y轴向下平移a个单位，可以使得顶点C落在双曲线上，则k值为_______，a的值为_______． 三、解答题 17. 解方程： （1） （2）； （3）． 18. 已知，二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表． ．．． －1 0 1 m 3 ．．． ．．． n 0 1 0 －3 ．．． 根据题意完成下列各问： （1）该二次函数的解析式； （2）求，的值； （3）当时，的取值范围是_____； （4）当时，取值范围是_____． 19. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标是，，． （1）将绕点O逆时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； （2）求出（1）中点B旋转到点所经过的路径长以及所扫过的面积． 20. 一次函数经过点，交反比例函数于点． （1）求； （2）连接，求的面积． （3）点在反比例函数第一象限的图象上，若，直接写出的横坐标的取值范围． 21. 某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． （1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； （2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 22. 如图为生活中常见的多功能锅，锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，若某食堂有一口锅，其锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的拋物线记为． （1）写出和的解析式：__________； （2）如果烹饪时锅内的水位高度是，则此时水面的直径为__________； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说明理由． 23. 数学课上，老师提出：仅用无刻度的直尺作图． （1）如图，点、、在上， ①在图①中，画一个与互补的圆周角； ②在图②中，画一个与互余的圆周角. （2）在图③中，是的内接三角形，于点．画出的平分线． 24. 如图1，中，，将扇形按图1摆放，使扇形的半径、分别与、重合，． 如图2，若不动，让扇形绕点逆时针旋转一周，连接线段、，设旋转角为． 发现：直接写出、的数量关系． 探究：若 （1）扇形绕到点的左侧，当时，旋转角______°； （2）扇形绕到点的右侧，当与相切时，求； （3）若点是弧上任意一点，在扇形绕点逆时针转过程中，当的面积最大时，直接写出的度数； 延伸：如图3，若，当、、三点共线时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $