第27章 相似 单元测试卷 2025--2026学年人教版九年级数学下册

第二十七章单元测试卷 姓名:___________ 班级:_________ 一、单项选择题(共18分) 1.已知下列变形错误的是( ) B.2a=3b D.3a=2b 2.如图,AB∥CD,AC,BD 相交于点E,AE=1,EC=2,DE=3,则BD的长为 ( ) A. B.4 C. D.6 3.如图,在△ABC中,D,E 分别为线段 BC,BA的中点.设△ABC的面积为S₁,△EBD 的面积为S₂,则 ( ) A. B. C. D. 4.如图,在△ABC 中,点 D 在 BC边上,连接 AD,点 E 在 AC 边上,过点 E 作 EF ∥BC,交 AD于点 F,过点 E 作 EG∥AB,交BC于点G，则下列式子一定正确的是 ( ) 5.如图,在△ABC 中,BC=120,高 AD=60,正方形EFGH 的一边在BC 上,点E,F 分别在 AB,AC 上,AD交EF 于点N,则AN的长为 ( ) A.15 B.20 C.25 D.30 6.如图,在▱ABCD中,∠ABC的平分线交AC于点E,交AD 于点F,交CD,的延长线于点G.若AF=2FD,则的值为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7.如图,在△ABC中,DE∥BC,且AD=2,DB=3,则 8.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 与△DOE是位似 图形，则它们位似中心的坐标是 . 9.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,对角线 BD与中位线EF 交于点G.若AD=2,EF=5,则FG= . 10.如图,在矩形ABCD中,若 ,则AE 的长为 . 11.《九章算术》中记载了一种测量井口到井水水面的距离的方法，如图所示，在井口 B 处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端 D 处观察井水水面 C 处，视线 DC 与井口的直径AB交于点 E.如果测得 AB=1.6m,BD=1m，BE=0.2m，那么井口到井水水面的距离AC为 m. 12.在矩形 ABCD中,AB=6,BC=8,点 P 在矩形ABCD 的内部,点 E 在边 BC 上,满足△PBE∽△DBC.若△APD 是等腰三角形,则 PE的长为 三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13.(1)已知 求 (2)如右图,直线 AD∥BE∥CF, 求 EF 的长. 14. 如 右图, 在 △ABC 中,∠BAC=90°,M 是 BC 的中点，过点 A 作AM 的垂线,交 CB 的延长线于点 D.求证:△DBA∽△DAC. 15.如图，在8×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上，在网格中找一点 D(点D 在小正方形的顶点上)，使以 A，B，C，D为顶点的四边形是凸四边形且分别满足以下条件： (1)在图1中找一点 D,使以 A,B,C,D 为顶点的四边形是平行四边形； (2)在图2中找一点 D,使△ADC 与△ACB相似但不全等. 16.如右图,在△ABC 中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD 是∠ABC的平分线,BD交AC 于点E.求 AE 的长. 17.小明沿一段笔直的人行道行走，在由 A 处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语.如下图,AB∥OH∥CD,BO:OD=4:5,AC,BD 相交于点O,OD⊥CD,垂足为D.已知AB=20m，请根据上述信息求标语 CD的长度. 18.如下图,四边形ABCD为菱形,点 E 在AC 的延长线上， (1)求证: (2)当AB=6,AC=4时,求 AE的长. 19.如下图,在菱形 ABCD 中,G 是 BD 上一点,连接CG 并延长交 BA 的延长线于点 F，交AD于点E,连接AG.求证: (1)AG=CG; 20.如下图,已知AC∥BD,AB 和CD 相交于点E,AC=6,BD=4,F是BC 上一点,连接 EF, (1)求 EF的长; (2)若△BEF 的面积为4, 求△ABC的面积. 21.如下图,在矩形 ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点F，延长 BC到点E，使得四边形ACED是平行四边形，平行四边形的对角线 AE分别交BD,CD于点G,H. (1)求证: (2)若AB=10,BC=12,求线段GH 的长度. 22.如下图,在矩形 ABCD 中,点 E 在 DC 上,DE=BE,AC与BD 相交于点O,BE与AC 相交于点F. (1)若 BE平分∠CBD,求证:BF⊥AC; (2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由； (3)若OF=3,EF=2,求 DE 的长度. 23.小明将两个直角三角形纸片按如图①所示的方式拼放在同一平面上，抽象出如图②所示的平面图形,∠ACB 与∠ECD 恰好为对顶角,∠ABC=∠CDE=90°,连接 BD,AB=BD,F是线段CE 上一点. 探究发现： (1)当 F 为线段CE 的中点时,连接 DF(如图②)，小明经过探究，得到结论：BD⊥DF.你认为此结论 (填“成立”或“不成立”); 拓展延伸： (2)将(1)中的条件与结论互换，即若 BD⊥DF，则F 为线段CE 的中点.请判断此结论是否成立.若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 解：结论成立. (3)若AB=6,CE=9,求 AD 的长. 学科网（北京）股份有限公司 $第二十七章 单元测试卷 (考试时间：120分钟 满分：120分) 得分： 班级： 姓名： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共 5.如图，在△ABC中，BC= 18分) 120,高AD=60,正方形 1.已知号=号a≠0，b-0),下列变形错误的是 EFGH的一边在BC上，点B DG E,F分别在AB,AC上， 第5题图 (B) AD交EF于点N,则AN的长为 (B) A-号 B.2a=3b A.15 B.20 c C.25 D.30 D.3a=2b 6.如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交AC 2.如图，AB∥CD,AC,BD相交于点E,AE=1, 于点E,交AD于点F,交CD的延长线于点G. EC=2,DE=3,则BD的长为 (C) (C) A 若A=2FD,则器的值为 B.4 c. D.6 A. 2 C. D. 3-4 D D C 第2题图 第3题图 D E 3.如图，在△ABC中，D,E分别为线段BC,BA 的中点.设△ABC的面积为S1,△EBD的面积 为5测警- 第6题图 第7题图 (B) 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） B号 c D 7.如图，在△ABC中，DE∥BC,且AD=2,DB= 4.如图，在△ABC中，点D在BC 3,则=号 边上，连接AD,点E在AC边 8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DOE 上，过点E作EF∥BC,交ADB 是位似图形，则它们位似中心的坐标是 于点F,过点E作EG∥AB,交 第4题因 (2,2) BC于点G,则下列式子一定正确的是 (C) A能-器 B需-器 c-器 A 器-铝 0123456x 第8题田 第9题压 9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,对角线BD (2)如右图，直线AD∥BE∥CF,A!D 与中位线EF交于点G.若AD=2,EF=5,则 船-号DE=6,求EF的长 B FG=4 解：AD∥BE∥CF,A=召， 可 AF 10.如图，在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5, AC-3, 8-2-号，脚亮=号解释D=9, 青则AE的长为 1 .EF=DF-DE=9-6=3. 第10题图 第11题图 14.如右图，在△ABC中， 11.《九章算术》中记载了一种测量井口到井水水 ∠BAC=90°，M是BC的 面的距离的方法，如图所示，在井口B处立一 中点，过点A作AM的垂 D B 根垂直于井口的木杆BD,从木杆的顶端D处 线，交CB的延长线于点D.求证：△DBA 观察井水水面C处，视线DC与井口的直径 ∽△DAC. AB交于点E.如果测得AB=1.6m,BD= 证明：如图，，∠1+∠BAM=∠2+∠BAM=90°， 1m,BE=0.2m,那么井口到井水水面的距离 .∠1=∠2. 又，∠BAC=90°，BM=MC, AC为7m. ∴.AM=MC, 12.在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点P在矩 ∴∠2=∠C,∴.∠1=∠C. :∠ADB=∠CDA, 形ABCD的内部，点E在边BC上，满足 ∴.△DBA∽△DAC △PBE∽△DBC.若△APD是等腰三角形， 则PE的长为 g或3 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）】 1.1)尼知气=学=音求， 3x-y 15.如图，在8×6的正方形网格中，每个小正方形 解：设受=号=音=k,则有x=2k,=3张，=妆， 的边长均为1，△ABC的三个顶点均在小正方 形的顶点上，在网格中找一点D(点D在小正 =y+3=2k=+3X“=号 3x-y 3X2k一3k 方形的顶点上)，使以A,B,C,D为顶点的四 边形是凸四边形且分别满足以下条件： 田① 田② (1)在图①中找一点D,使以A,B,C,D为顶 点的四边形是平行四边形； (2)在图②中找一点D,使△ADC与△ACB 相似但不全等， 16.如右图，在△ABC中，AB= 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 8,BC=4,CA=6,CD∥AB, 18.如下图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的 BD是∠ABC的平分线，BD E 延长线上，∠ACD=∠ABE. 交AC于点E.求AE的长. (1)求证：△ABC∽△AEB; 解：AB∥CD,.∠ABD=∠D,△ABEP△CDE, (2)当AB=6,AC=4时，求AE的长. 铝器 解：(1)证明：，四边形ABCD为菱 形，AC为对角线， BD平分∠ABC,∠ABD=∠CBD, ∠ACB=∠ACD. ∴∠CBD=∠D,∴.BC=CD. ,∠ACD=∠ABE,.∠ACB .AB=8,CA=6,CD=BC=4, =∠ABE. :受=石2经解得AE=4 义：∠BAC=∠EAB, .△ABC∽△AEB. (2:△ABCn△AB,小0-器 AB=6,4C=4,6=4, “AE-6, ∴.AE=9 17.小明沿一段笔直的人行道行走，在由A处步 行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O, 刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义 核心价值观标语.如下图，AB∥OH∥CD,BO :OD=4:5,AC,BD相交于点O,OD⊥CD, 垂足为D.已知AB=20m,请根据上述信息求 标语CD的长度， B 人行道A ←一行车道 0 隔离带H 行车道→ C.1 D人行道 富强民主文明和谐自由平等 公正法治爱国数业藏信友善 解：：AB∥CD, .△ABO∽△CD0, 常"= 28-音c0=25, 即标语CD的长度为25m. 0,如下图，已知AC∥BD,AB和CD相交于点 19.如下图，在菱形ABCD中，G是BD上一点， E,AC=6,BD=4,F是BC上一点，连接EF, 连接CG并延长交BA的延长线于点F,交 SABEF SACEF=2:3. AD于点E,连接AG.求证： (1)求EF的长； (1)AG-CG; (2)若△BEF的面积为4，求△ABC的面积. (2)AG2=GE·GF. 解：(1)AC∥BD, 证明：(1)四边形ABCD是菱 ·△ACE∽△BDE, 形，.AB∥CD,AD=CD,∠ADB =∠CDB. 器部 D 在△ADG与△CDG中， D AC=6,BD=4, (AD=CD, ∠ADG=∠CDG, 器=-是 DG=DG, :△BEF和△CEF同高，且SAsr:SAsr=2:3, ∴.△ADG≌△CDG(SAS), ∴.AG=CG. 品-器-器器是 (2)△ADG≌△CDG,∠EAG=∠DCG. AB∥CD,∠F=∠DCG,∴∠EAG=∠F. E∥B0,△CEn△cDB,器-器即琴=} 45 ∠AGB=∠PGA△GAB△cA,8-器 ∴.AG·GA=FG·GE,即AG=GE·GF En-号 (2):AC∥BD,EF∥BD,∴.EF∥AC, △BE△BAC,a=(). SAAnC 器-号腿-子 w=4=(号=25 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 22.如下图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE 21.如下图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相 =BE,AC与BD相交于点O,BE与AC相交 交于点F,延长BC到点E,使得四边形ACED 于点F. 是平行四边形，平行四边形的对角线AE分别 (1)若BE平分∠CBD,求证：BF⊥AC; 交BD,CD于点G,H. (2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明 (1)求证：DG2=FG·BG; 理由； (2)若AB=10,BC=12,求线段GH的长度 (3)若OF=3,EF=2,求DE的长度. 解：(1)证明：：四边形ABCD是矩 D 解：(1)证明：如图.四边形ABCD D 形，AD∥BC, 为矩形， ∴△ADGn△EBG小8e-器 .∠2=∠3=∠4. DE=BE,.∠1=∠2， ,四边形ACED是平行四边形， ∴.∠1=∠3. ∴.AC∥DE,∴.△AGFn△EGD, .BE平分∠CBD,.∠1=∠6，∠3=∠6. AG-GEDC_GF 又，∠3+∠5=90°，.∠5+∠6=90°， EG-GD'BG-GD' .∠CFB=90°，BF⊥AC .DG2=FG·BG. (2)△BAF,△ECF. (2):四边形ACED是平行四边形，AE,CD相交于 理由：如图.∠1=∠2=∠3=∠4，∠OFB=∠BFA, 点H, ∴.△OBFO△BAF. :.DH-DC=AB-5,AD-CE-BC-12. :∠OFB=∠EFC,∴.△OBFC∽△ECF. 在R△ADH中，AH=AD2+DH, a:△Cn△0aR,器-器，即号-器， ∴.AH=√12+5=13，.AE=2AH=26. .3CF=2BF,∴.30A=2BF+9.① △DGAE8c,8-铝- A0 BFABAF,小8器-器。 AG=26B,∴AG=号AE=5, .BF2=OF·AF, 即BF2=3(OA+3).② GB=AI-AG=13-35-号 由①②，得BF2-2BF-18=0, 解得BF=1十√19（负值己含去）， ∴.DE=BE=EF+BF=2+1+√I9=3+√19. 六、解答题（本大题共12分】 问题解决： 23.小明将两个直角三角形纸片按如图①所示的 (3)若AB=6,CE=9,求AD的长. 方式拼放在同一平面上，抽象出如图②所示的 解：如备用图，设G为EC的中点，连接DG, 平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角， GD-CG-CE- ∠ABC=∠CDE=90°，连接BD,AB=BD,F 由(I),得DG⊥BD,且BD=AB=6, 是线段CE上一点， 在△GDB申，GB=VBD+而=√6+(T 15 .CB=GB-CG=15_9 273, ∴.在Rt△ABC中，AC=√AB+CB=√6+3=3V5】 图① ② 备用图 易证△EDC∽△ABC, 探究发现： “A,唧2g :9"=Ec 335 (1)当F为线段CE的中点时，连接DF(如图 ②)，小明经过探究，得到结论：BD⊥DF.你认 c0=295A0=4C+cD=35+5245 5 5 为此结论 成立（填“成立”或“不成 立”)； 拓展延伸： (2)将(1)中的条件与结论互换，即若BD⊥ DF,则F为线段CE的中点.请判断此结论是 否成立.若成立，请写出证明过程；若不成立， 请说明理由， 解：结论成立 证明：：BD⊥DF,ED⊥AD,∠BDC+∠CDF=90°， ∠EDF+∠CDF=90°， ∴.∠BDC=∠EDF. ,AB=BD,∠A=∠BDC,∠A=∠EDF ,∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD, ∴∠A=∠E,∴∠E=∠EDF, ∴.EF=FD,∠E十∠CDF=90°. 又，∠E+∠ECD=90°，∠ECD=∠CDF, ∴CF=FD,.CF=EF,∴F为线段CE的中点.