精品解析：天津市南开翔宇学校2025-2026学年上学期第二次月考数学试卷.

九年级数学学科练习（二） 一、选择题 1. 已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 2. 下列图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A. 4组 B. 3组 C. 2组 D. 5组 4. 若两个相似三角形的面积比为，则这两个相似三角形的周长比（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为x（），则窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，A，B，D，F在上且点A，O，B共线，点在外，下列对角的叙述错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列关于二次函数的说法，正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 对称轴在轴右侧 C. 当时，随的增大而减小 D. 最小值为 8. 课内问题思考：在一块长、宽的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，小颖设计方案如图所示，则图中的为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A. 125° B. 140° C. 130° D. 150° 10. 给出下列说法： ①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； ④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图，将以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 有一斜坡，斜坡上点处有一棵树，．如图建立平面直角坐标系，从点处抛出一个小球，恰好经过树的顶端，落地点为．小球距离水平地面的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①这棵树的高度； ②小球运动的最大高度为； ③小球运动时的高度低于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题 13. 在比例尺的地图上，乐乐家与小明家之间的距离为厘米，则他们两家的实际距离是______千米． 14. 一个不透明的袋子中有1个红球、3个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为_______． 15. 一个扇形的弧长为6，半径为3，则该扇形的面积为________． 16. 如图，在中，，，则______． 17. 如图，在正方形中，，点O为的中点，点P为正方形外一动点，且，则线段的最大值为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均为格点，且在同一个圆上，连接，，取格点，连接并延长交圆于点． （1）线段的长等于______； （2）请在如图所示的网络中，用无刻度的直尺画出的中点，简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 三、解答题 19. 如图，是一位同学设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图.小树在路灯的照射下形成投影，这位同学测得树高，树影，树与路灯的水平距离．求路灯的高度． 20. 4张相同的卡片上分别写有数字，，，，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片的数字记录下来． （1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ； （2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字作为横坐标，第二次记录下来的数字作为纵坐标，若所得坐标位于坐标轴上时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表的方法说明理由） 21. 如图，内接于，，点E在直径BD的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若， ①求阴影部分的面积； ②连接AO，试求以扇形OAB为侧面围成的圆锥的底面圆的半径． 22. 在中， 是的直径， ，弦交于点 ， （1）如图①， 求 和的大小； （2）如图②， 过点作的切线， 过点作 于点，若 求 的长． 23. 某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ （3）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 24. 如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点坐标为，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为．的延长线交轴于点，与轴交于点． （1）如图2，当时，求点的坐标； （2）如图3，在旋转过程中，连接，，交于点，与轴交于点，连接．设，的面积为． ①求的度数； ②求关于的函数表达式，并直接写出的取值范围； （3）在（2）的情况下，设，的面积为，．请直接写出关于的函数表达式（无需写出的取值范围）． 25. 已知抛物线（为常数），与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为． （1）若． ①求点和点的坐标； ②连接并延长交的延长线于点，求的度数； （2）若点的坐标为，且，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．且，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科练习（二） 一、选择题 1. 已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，掌握点P到圆心的距离，当时，点P在圆内是解题的关键． 根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵点P在半径为5的内， ∴， ∴点P到圆心O的距离不可能是6． 故选：D． 2. 下列图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，中心对称图形的定义，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意， 故选：B． 3. 下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A. 4组 B. 3组 C. 2组 D. 5组 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，解题的关键是掌握相似图形的判定方法． 相似图形需对应角相等且对应边成比例． 【详解】解：①∵两个等边三角形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ②∵两个等腰直角三角形角均为、、，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ③∵两个正方形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ④∵两个菱形对应角不一定相等， ∴不一定相似，不符合题意； ⑤∵两个正六边形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ∴一定相似的有①、②、③、⑤，共4组， 故选：A． 4. 若两个相似三角形的面积比为，则这两个相似三角形的周长比（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比；根据此性质先求出相似比，即可解答． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为，且面积比等于相似比的平方， ∴相似比， ∴周长比． 故选：B． 5. 用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为x（），则窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得，根据矩形的面积公式解答即可． 本题考查了矩形的周长与面积，函数的表达式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为． 故选：C． 6. 如图，A，B，D，F在上且点A，O，B共线，点在外，下列对角的叙述错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及其推论，等腰三角形． 根据圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、正确，故此选项不符合题意； B、由是直径，则，正确，故此选项不符合题意； C、∵，∴，正确，故此选项不符合题意； D、无法证明，故此选项符合题意； 故选：D． 7. 下列关于二次函数的说法，正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 对称轴在轴右侧 C. 当时，随的增大而减小 D. 最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，在轴的左侧， ∴当时，随的增大而减小，当时，函数值最小为； 故只有选项D正确； 故选D． 8. 课内问题思考：在一块长、宽的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，小颖设计方案如图所示，则图中的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系列出方程是解题的关键．通过图可以看出设路宽为x，然后用x表示出花园的长和宽，以花园的面积占荒地面积的一半，为等量关系列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意可得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴ 故选：B． 9. 如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A. 125° B. 140° C. 130° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．先利用三角形内心的性质得到，则可计算出，然后利用圆周角定理得到∠BOC的度数． 【详解】解：过点I分别作，如图 ∵点I是的内心，且结合切线性质 ∴ ∵ ∴， 即 ∴， ∵点O是的外心， ∴． 故选：B． 10. 给出下列说法： ①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； ④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形和圆的关系去判断三角形内接圆和圆内接三角形即可得到答案. 【详解】三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，①是对的； 圆的内接三角形可以无数多个，所以②是错的； 三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆，③是对的； 圆的外切三角形可以有无数多个，④是错误的． 所以①③正确，正确的有2个. 故选B. 【点睛】此题重点考查学生对三角形内接圆和外接圆，圆内接三角形和外接三角形的理解，掌握其规律是解题的关键. 11. 如图，将以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和，根据旋转得到，，，，再逐个判断即可． 【详解】解：∵将以点为中心顺时针旋转得到， ∴， ∴，，，， 当时， 才成立，故选项A不一定正确； 现有条件无法证明，，故选项B，C不一定正确； 如图，与交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选项D一定正确； 故选：D． 12. 有一斜坡，斜坡上点处有一棵树，．如图建立平面直角坐标系，从点处抛出一个小球，恰好经过树的顶端，落地点为．小球距离水平地面的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①这棵树的高度； ②小球运动的最大高度为； ③小球运动时的高度低于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，相似三角形的判定和性质等知识，求出函数解析式是关键．求出函数解析式，延长交于点B，则轴于点E，作于点D，证明，则，得到，，求出，即可得到，即可判断①正确；由，，抛物线开口向下，即可判断②正确； 当时，，当时，，，即可判断③正确． 【详解】解：把代入得到， ， 解得，， ∴， 延长交于点B，则轴于点E，作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴点和点的横坐标为， 当时，， ∴， ∴ 故①正确； ∵，，抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为， 即小球运动的最大高度为； 故②正确； 当时，， 当时，， ∵ ∴小球运动时的高度低于运动时的高度． 故③正确； 综上可知，正确结论为①②③， 故选：D 二、填空题 13. 在比例尺的地图上，乐乐家与小明家之间的距离为厘米，则他们两家的实际距离是______千米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例尺的应用，设两家的实际距离是，由题意得，据此即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设两家的实际距离是， 由题意得，， 解得厘米千米， 故答案为：． 14. 一个不透明的袋子中有1个红球、3个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式． 直接利用概率公式计算即可． 【详解】解：一个不透明的袋子中有1个红球、3个黄球，这些球除颜色外无其他差别， 则从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为． 故答案为：． 15. 一个扇形的弧长为6，半径为3，则该扇形的面积为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算．根据扇形面积计算公式即可求解． 【详解】解：设扇形弧长为l，半径为r， 则， 故答案为：9． 16. 如图，在中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 由，可得到，由，可得到，从而可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ， 故答案为：． 17. 如图，在正方形中，，点O为的中点，点P为正方形外一动点，且，则线段的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的任意两边之和大于第三边，作辅助线并判断出最大时的情况是解题的关键．连接，取的中点E，根据正方形的性质求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边可得O、E、P三点共线时最大． 【详解】解：如图，连接，取的中点E， ，O为的中点， ，， ， ， 由三角形的三边关系得，， 当O、E、P三点共线时最大， 此时． 故答案为：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均为格点，且在同一个圆上，连接，，取格点，连接并延长交圆于点． （1）线段的长等于______； （2）请在如图所示的网络中，用无刻度的直尺画出的中点，简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 ①. ②. 取格点，连接相交于点，则点为圆心，连接，取格点，连接并延长交于点，连接交于点，则点即为所求． ． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，平移的性质，勾股定理，平行线分线段成比例． （1）利用勾股定理即可求解； （2）取格点，连接相交于点，点为圆心，连接，取格点，连接并延长交于点，此时，且，则点为的中点，连接交于点，利用垂径定理得到的中点． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）∵是直径， ∴为圆心， 根据网格可得：， ∴ ∴是的中点， 连接交于点， ∴是的中点． 三、解答题 19. 如图，是一位同学设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图.小树在路灯的照射下形成投影，这位同学测得树高，树影，树与路灯的水平距离．求路灯的高度． 【答案】路灯的高度为． 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先证明可得，再利用相似三角形的性质解答即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ． ∴， ∴： ∴， ∴路灯的高度为． 20. 4张相同的卡片上分别写有数字，，，，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片的数字记录下来． （1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ； （2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字作为横坐标，第二次记录下来的数字作为纵坐标，若所得坐标位于坐标轴上时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表的方法说明理由） 【答案】（1） （2） 解：小敏设计的游戏规则公平，理由如下： 列表如下： 0 1 3 0 1 3 由表可知，共有12种等可能结果，其中结果所得坐标位于坐标轴上的有6种结果， 甲获胜的概率乙获胜的概率， 小敏设计的游戏规则公平． 【解析】 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用概率公式求解即可； （2）利用列表法列举出所有可能结果，再利用概率公式得出甲、乙获胜的概率，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、3， ∴第一次抽取的卡片上数字是负数的结果有1种 ∴第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 21. 如图，内接于，，点E在直径BD的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若， ①求阴影部分的面积； ②连接AO，试求以扇形OAB为侧面围成的圆锥的底面圆的半径． 【答案】（1） 证明：连接． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）①；②， 【解析】 【分析】（1）首先连接，由，利用圆周角定理，即可求得∠AOB的度数，又由，即可求得与的度数，利用三角形外角的性质，求得的度数，又由，利用等边对等角，求得，则可求得，则可证得是的切线； （2）①连接，先求得，再由（1）知，可求得，则，又由（1）知：，，，，即可由求解； ②先求出长，再根据以扇形OAB为侧面围成的圆锥的底面圆的周长等于长求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①连接，如图， ∵为的直径， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， 又由（1）知：，， ∵， ∴； ②由（1）知， ∵， ∴长， 设以扇形OAB为侧面围成的圆锥的底面圆的半径为r， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，扇形面积和弧长的计算等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 22. 在中， 是的直径， ，弦交于点 ， （1）如图①， 求 和的大小； （2）如图②， 过点作的切线， 过点作 于点，若 求 的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理， （1）连接，根据垂径定理证明，然后根据直角三角形的性质即可解决问题； （2）根据切线的性质证明，过点作于点，结合（1）证明是等腰直角三角形，四边形为矩形，进而可以解决问题． 【小问1详解】 解：在中，连接， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 如图②，连接， 切于点， 于点，， 于点， ， ， ， 同（）可得， ， 如图②，过点作于点， 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形为矩形， ． 23. 某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ （3）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝﹣2x＋120；（2）30元；（3）售价定为38元/件时，每天最大利润792元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据“每件利润×销售量＝总利润”列出一元二次方程，解之可得； （3）根据以上相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数性质求解可得． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0）， 由所给函数图象可知：， 解得， 故y与x的函数关系式为y＝﹣2x＋120； （2）根据题意，得：（x﹣20）（﹣2x＋120）＝600， 整理，得：x2﹣80x＋1500＝0， 解得：x＝30或x＝50（不合题意，舍去）， 答：每件商品的销售价应定为30元； （3）∵y＝﹣2x＋120， ∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x＋120） ＝﹣2x2＋160x﹣2400 ＝﹣2（x﹣40）2＋800， ∴当x＝40时，w最大＝800， ∴根据题干售价不得高于38元，所以售价定为38元时利润最大，为792元． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点坐标为，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为．的延长线交轴于点，与轴交于点． （1）如图2，当时，求点的坐标； （2）如图3，在旋转过程中，连接，，交于点，与轴交于点，连接．设，的面积为． ①求的度数； ②求关于的函数表达式，并直接写出的取值范围； （3）在（2）的情况下，设，的面积为，．请直接写出关于的函数表达式（无需写出的取值范围）． 【答案】（1） （2）①，② （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，故，在中，利用勾股定理，得到，由此得到答案． （2）①过点作交于点，通过证明，得到，又，故，即点为等腰直角斜边的中点，由此得到答案． ②通过证明，得到，，在中，由勾股定理得：，即，由此得到． （3）由（2）得到，，在等腰中，由勾股定理得：，又，，故，把代入得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得： 点坐标为，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为， 得到如图正方形， 由旋转的性质得： ， 四边形是正方形， ，， 在中， ， 由勾股定理， 得：， ， 解得：，， 点的坐标为． 【小问2详解】 根据题意，由旋转的性质， 得：， 在和中， ， ， ，， 是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得： ， ， 如图，过点作交于点， 则，即， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 又， ， 即点为等腰直角斜边的中点， 综上：①； ② 【小问3详解】 根据题意，如图所示， 由（2）得： ，， 在等腰中，由勾股定理得： ， 即， ， ， 又的面积为， ， ， ， 把代入得： ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质和定理，利用已知条件，作正确的辅助线，构造全等的三角形，是解答本题的关键． 25. 已知抛物线（为常数），与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为． （1）若． ①求点和点的坐标； ②连接并延长交的延长线于点，求的度数； （2）若点的坐标为，且，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．且，当时，求的值． 【答案】（1）①；；② （2） 【解析】 【分析】（1）①把代入函数解析式，再求解A，D的坐标即可；②先求解点的坐标为，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，求解，结合，可得，再利用锐角三角函数可得答案； （2）先求解，可得抛物线的解析式为，设，其中．可得顶点的坐标为．过点作于点，连接，证明，求解， 可得，过点作轴于点，与直线交于点，可得点，点，结合，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：①，， 抛物线的解析式为， ， 当时，， 解得， 点在点的左侧， ，； ②∵， ∴， ，设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 同理，由点，可得直线的解析式为， 令，解得， 点的坐标为， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ∵， ∴， ∴ ∴． 【小问2详解】 点在抛物线上，其中， ，得， 抛物线的解析式为， ，其中． 对称轴为直线，顶点的坐标为． 过点作于点，连接， 则，， ∵，， ∴， ， ， ， ， 解得，（不符合题意的根舍去） ， 过点作轴于点，与直线交于点， 同理可得：直线为：， 则点，点， ∴，， 同理可得：， ， ， 解得．（不符合题意的根舍去） 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，锐角三角函数的应用，利用待定系数法求解函数的解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $