解三角形及其应用举例专项训练-2026届高三数学一轮复习

解三角形及其应用举例

一、单项选择题

1．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　)

A．10 km B．10 km

C．10 km D．10 km

 

2．在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且2bcosB＝acosC＋ccosA，则角B的大小为(　　)

A． B．

C． D．

3．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b－c)2－a2＝－bc．若a＝，则△ABC面积的最大值是(　　)

A． B．

C． D．2

4．(2021·全国甲卷理)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　)

A．346 B．373

C．446 D．473

二、多项选择题

5．(2024·重庆模拟)解放碑是重庆的地标性建筑，众多游客来此打卡拍照．现某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图(如图所示)，A为解放碑的最顶端，B为基座(即B在A的正下方)，在步行街上(与B在同一水平面内)选取C，D两点，测得CD的长为100m．小组成员利用测角仪已测得∠ACB＝，则根据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度AB的是(　　)

A．∠BCD，∠BDC B．∠ACD，∠ADC

C．∠BCD，∠ACD D．∠BCD，∠ADC

6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，A＝，下列结论正确的有(　　)

A．若b＝，则满足条件的三角形只有1个

B．△ABC面积的最大值为3

C．△ABC周长的最大值为6

D．若△ABC为锐角三角形，则的取值范围是

三、填空题

7．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是____n mile．

8．(2024·岳阳二模)岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度AB，他首先在C处，测得楼顶A的仰角为60°，然后沿BC方向行走22.5 m至D处，又测得楼顶A的仰角为30°，则楼高AB为____m．

9．(2024·烟台、德州二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a2＋b2－c2)＝absinC，且c＝1，则△ABC面积的最大值为____．

四、解答题

10．在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AC＝，AD＝1，∠ACD＝30°．

(1) 求CD的长；

(2) 若△ABC为锐角三角形，求BC的取值范围．

11．人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空100 m的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其北偏东75°方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为45°，拍摄羚羊的俯角为60°，假设A，B，C三点在同一水平面上．

(1) 求此时猎豹与羚羊之间的距离AB的长度；

(2) 若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以25 m/s的速度出击，与此同时机警的羚羊以20 m/s的速度沿北偏东15°方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑600 m，试问：猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因．