解三角形及其应用举例专项训练-2026届高三数学一轮复习

解三角形及其应用举例 一、单项选择题 1．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　) A．10 km B．10 km C．10 km D．10 km 2．在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且2bcosB＝acosC＋ccosA，则角B的大小为(　　) A． B． C． D． 3．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b－c)2－a2＝－bc．若a＝，则△ABC面积的最大值是(　　) A． B． C． D．2 4．(2021·全国甲卷理)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　) A．346 B．373 C．446 D．473 二、多项选择题 5．(2024·重庆模拟)解放碑是重庆的地标性建筑，众多游客来此打卡拍照．现某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图(如图所示)，A为解放碑的最顶端，B为基座(即B在A的正下方)，在步行街上(与B在同一水平面内)选取C，D两点，测得CD的长为100m．小组成员利用测角仪已测得∠ACB＝，则根据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度AB的是(　　) A．∠BCD，∠BDC B．∠ACD，∠ADC C．∠BCD，∠ACD D．∠BCD，∠ADC 6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，A＝，下列结论正确的有(　　) A．若b＝，则满足条件的三角形只有1个 B．△ABC面积的最大值为3 C．△ABC周长的最大值为6 D．若△ABC为锐角三角形，则的取值范围是 三、填空题 7．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是____n mile． 8．(2024·岳阳二模)岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度AB，他首先在C处，测得楼顶A的仰角为60°，然后沿BC方向行走22.5 m至D处，又测得楼顶A的仰角为30°，则楼高AB为____m． 9．(2024·烟台、德州二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a2＋b2－c2)＝absinC，且c＝1，则△ABC面积的最大值为____． 四、解答题 10．在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AC＝，AD＝1，∠ACD＝30°． (1) 求CD的长； (2) 若△ABC为锐角三角形，求BC的取值范围． 11．人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空100 m的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其北偏东75°方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为45°，拍摄羚羊的俯角为60°，假设A，B，C三点在同一水平面上． (1) 求此时猎豹与羚羊之间的距离AB的长度； (2) 若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以25 m/s的速度出击，与此同时机警的羚羊以20 m/s的速度沿北偏东15°方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑600 m，试问：猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因． 解三角形及其应用举例 1. D　【解析】 由余弦定理可得AC2＝AB2＋CB2－2AB×CB×cos 120°＝102＋202－2×10×20×＝700，所以AC＝10(km). 2. B　【解析】 由2b cos B＝a cos C＋c cos A及正弦定理可得2sin B cos B＝sin A cos C＋cos A sin C＝sin B.因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以cos B＝，又B∈(0，π)，故B＝. 3. B　【解析】 因为(b－c)2－a2＝－bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以由余弦定理可得cos A＝＝＝.又0<A<，所以A＝. 方法一：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即3＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤3，所以S△ABC＝bc sin A＝bc≤. 方法二：由正弦定理可得＝＝＝＝2，所以b＝2sin B，c＝2sin C.又因为C＝π－B－＝－B，所以S△ABC＝ab sin C＝××2sin B×sin C＝sin B sin (－B)＝sin B(sin cos B－cos sin B)＝sin B(cos B＋sin B)＝sin B cos B＋sin2B＝sin2B＋＝＝sin ＋.因为△ABC为锐角三角形，所以<B<，所以<2B－<，所以当2B－＝，即B＝时，S△ABC取最大值，最大值为. 4. B　【解析】 如图，过点C作CH⊥BB′，过点B作BD⊥AA′，故AA′－CC′＝AA′－(BB′－BH)＝AA′－BB′＋100＝AD＋100.由题易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD＝DB，所以AA′－CC′＝DB＋100＝A′B′＋100.因为∠BCH＝15°，所以CH＝C′B′＝.在△A′B′C′中，由正弦定理得＝＝＝，而sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，所以A′B′＝＝100(＋1)≈273，所以AA′－CC′＝A′B′＋100≈373. (第4题) 5. ABD　【解析】 对于A，已知CD＝100m，∠ACB＝，∠BCD，∠BDC，在△BCD中，由正弦定理求得CB，从而求得AB，故A正确；对于B，已知CD＝100m，∠ACB＝，∠ACD，∠ADC，在△ACD中，由正弦定理求得AC，从而求得AB，故B正确；对于C，已知CD＝100m，∠ACB＝，∠BCD，∠ACD四个条件，无法通过解三角形求得AB，故C错误；对于D，由∠ACB，∠BCD借助直角三角形和余弦定理，用AB表示出CB，BD，AC，AD，然后结合∠ADC在△ADC中利用余弦定理列方程，解方程求得AB，故D正确． 6. BCD　【解析】 对于A，因为b sin A＝，<a<，所以满足条件的三角形有2个，故A错误；对于B，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即12＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，所以bc≤12，当且仅当b＝c＝2时取等号，所以S△ABC＝bc sin A＝bc≤3，所以△ABC面积的最大值为3，故B正确；对于C，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即12＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－，所以b＋c≤4，当且仅当b＝c＝2时取等号，所以△ABC的周长l＝2＋b＋c≤6，所以△ABC周长的最大值为6，故C正确；对于D，由正弦定理得＝＝＝＝＋，因为△ABC为锐角三角形，所以0<C<，0<－C<，即<C<，tan C>，所以<<2，故D正确． 7. 5　【解析】 如图，在△ABC中，AB＝10，A＝60°，B＝75°，C＝45°，由正弦定理得＝，所以BC＝＝＝5(n mile). (第7题) 8. 　【解析】 在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，＝tan 60°＝，则BC＝.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，＝tan 30°＝，则BD＝AB.因为CD＝22.5，所以BD－BC＝AB－＝AB＝22.5，解得AB＝. 9. 　【解析】 因为(a2＋b2－c2)＝ab sin C，所以由余弦定理2ab cos C＝a2＋b2－c2，得2ab cos C＝ab sin C，所以sin C＝2cos C.又sin2C＋cos2C＝1，C∈(0，π)，则sinC＝，cos C＝.所以由余弦定理以及基本不等式得1＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－≥2ab－＝，即ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以S△ABC＝ab sin C＝ab≤，即△ABC面积的最大值为. 10. 【解答】 (1) 在△ACD中，AC＝，AD＝1，∠ACD＝30°，由余弦定理可得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos ∠ACD，即1＝3＋CD2－3CD，解得CD＝1或2. (2) 因为BC⊥CD，∠ACD＝30°，所以∠ACB＝60°.因为△ABC为锐角三角形，所以解得30°<B<90°.在△ABC中，因为＝，所以BC＝＝＝＝＋·.由30°<B<90°，得tan B∈，所以∈(0，)，所以BC∈. 11. 【解答】 (1) 如图(1)，则∠PAC＝45°，∠CBP＝60°，∠BAC＝45°－15°＝30°，AC＝＝100(m)，BC＝＝100(m).由正弦定理得＝，可得sin ∠ABC＝.因此∠ABC＝60°或120°.当∠ABC＝60°时，∠ACB＝90°，猎豹与羚羊之间的距离AB＝＝200(m)；当∠ABC＝120°时，∠ACB＝30°＝∠BAC，猎豹与羚羊之间的距离AB＝BC＝100(m). 图(1)　图(2) (第11题) (2) 如图(2)，设捕猎成功所需的最短时间为ts.在△ABQ中，BQ＝20t，AQ＝25t，AB＝200，∠ABQ＝120°.由余弦定理得625t2＝400t2＋2002－2×20t×200×，整理得9t2－160t－1 600＝0.设f(t)＝9t2－160t－1 600，显然f(0)<0，f<0，因为猎豹能坚持奔跑的最长时间为24 s，且f(24)＝－256<0，所以猎豹不能捕猎成功． 学科网（北京）股份有限公司 $