微专题 解“爪形”三角形 专项训练-2026届高三数学一轮复习

微专题解“爪形”三角形 一、课前热身 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,若A=元，D是边AC的中点，c=1,BD=√3， 求a. 二、探究策略 典型例题如图，在△ABC中，∠BAC=120°，点D在边BC上，BD=2DC,AB=V3,AD=1,求 BC的长. A D 变式训练1如图，记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,己知b2=aC,点D是边BC的中点， A BD=b,AD=2DC,求coS∠ABC· D 变式训练2在418c中，cos∠ABC=B-2,点D在线段AC上，且D=200,m-4 , 求BC和AC的长. 变式训练3如图，平面凹四边形ABCD,其中AB=3,BC=5,∠ABC=120°，AD sin A=CD sin C,证 明：BD为的角∠ABC平分线. A D C B 4V2 变式训练4知图，在△1BC中，B1=2,cosB=),点D在线段BC上，BD=2DC，SAD 3 求sim∠BAD 的值. sin∠CAD D 变式训练5如图，已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,∠ABC=120°，BD为的角∠ABC平 分线，交AC于点D,且BD=1,求4a+c的最小值. D 微专题 解“爪形”三角形 一、课前热身 已知的内角的对边分别为，若，是边的中点，，，求. 解：在中，设，解得.因为是边的中点，所以. 在中，由余弦定理可得. 二、探究策略 典型例题 如图，在中，，点在边上，，，，求的长. 解：方法一（基于边） 设，，， 在中，设，即， 在中，设，即， 由，所以，即，得 在中，根据余弦定理得：， 即 联立①、②得，，故. 变式训练1 如图，记的内角的对边分别为，已知，点是边的中点，，，求. 解：方法一（基于边） 因为，，所以，. 在中，由余弦定理可得. 在中，由余弦定理可得. 因为，所以，即， 得，因为，所以，所以或. 在中，根据余弦定理得：. 当时，；当时，（舍去）. 综上所述， 方法二（向量法） 用，作为基底，由得. ，所以，解得 在中，根据余弦定理得：. 点拨：已知“爪”角，用向量的线性表示法，若，即. 特殊地，若是边的中点，即（即为中线性质）. 变式训练2 在中，，，点在线段上，且，， 求和的长. 解：方法二（向量法） 用，作为基底，由得. ，所以，解得， 即.在中，根据余弦定理得：. 解：方法三（基于角）：观察图形中已知三角形和未知三角形中的元素关系，求边长可先求，因此目标三角形中已知两边，需要再求一个角方能解决. 设，， 在中，根据正弦定理得， 在中，根据正弦定理得， 联立①②得，由于，即，所以. 在中，，解得，故. 变式训练3 如图，平面凹四边形，其中，，，.证明：为的角平分线. 证明：方法三（基于角）在中，， 在中，， 联立①②结合，得，即为的角平分线. 方法四（面积法）由，即，设，则 所以.由得，所以 在中，，所以，即. 方法五（面积法比或面积和），即. . 特殊地，若为角平分线，即为角平分线定理. 变式训练4 如图，在中，，，点在线段上，，，求的值. 解：方法五（面积法比或面积和） 由得，所以，即. 在中，根据余弦定理得，所以. 再由得即. 变式训练5 如图，已知的内角的对边分别为，，为的角平分线，交于点，且，求的最小值. 解：方法五（面积法比或面积和） 因为，为的角平分线，所以. 由三角形的面积公式可得，化简得， 又，，所以，则， 当且仅当时，即，时取等号，故的最小值为9. 解：方法六（建系法） 以为坐标原点，建立坐标系，如图，由，，设，， 则，. 由得得 由得，解得， 所以 学科网（北京）股份有限公司 $