弧度制、任意角的三角函数专项训练-2026届高三数学一轮复习

弧度制、任意角的三角函数 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．sin2·cos3·tan4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 2．(2024·吕梁二模)已知角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边经过点(－，1)，则tan＝(　　) A．－ B．－ C． D． 3．(2025·青岛期初)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称．若cosα＝－，则cos(α－β)＝(　　) A． B．－ C．1 D． 4．中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆的面积．南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n，使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π．据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为(　　) A．π≈sin B．π≈nsin C．π≈n D．π≈ 二、多项选择题 5．若＜α＜，那么下列不等式成立的是(　　) A．sinα＜cosα＜tanα B．cosα＜sinα＜tanα C．sinα＜α＜tanα D．α＜sinα＜tanα 6．(2024·温州二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P(－3,4)为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，则(　　) A．cos(π＋α)＝ B．β＝2kπ＋＋2α(k∈Z) C．tanβ＝ D．角β的终边在第一象限 7．如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1,0)，∠BOA＝，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(　　) A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3 B．经过 s后，扇形AOB的弧长为 C．经过 s后，扇形AOB的面积为 D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇 三、填空题 8．如图，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是____． 9．已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边为x轴正半轴，终边过点A(3，y)，且sin(π＋θ)＝，则cosθ＝____，tanθ＝____． 10．已知一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为____． 四、解答题 11．已知＝－，且lg(cosα)有意义． (1) 试判断角α所在的象限； (2) 若角α的终边上有一点M，且OM＝1(O为坐标原点)，求m的值及sinα的值． 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，且与单位圆相交于点A，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． (1) 若点B的横坐标为－，求tanα的值； (2) 若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合． B组　滚动小练 13．(2024·韶关一模)若函数f(x)＝log2(x2－4)在(－∞，a)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[2，＋∞) C．(－∞，0] D．[0，＋∞) 14．(2024·扬州期中)若关于x的不等式x2＋px＋q＜0的解集为(－1,2)，则不等式＞0的解集为(　　) A．(－4,2)∪(3，＋∞) B．(－3,2)∪(4，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2,4) D．(－∞，－4)∪(2,3) 15．(2025·黄冈期初)已知函数f(x)＝2alnx＋x2－(a＋3)x(a∈R)． (1) 若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋b，求a和b的值； (2) 讨论f(x)的单调性． 弧度制、任意角的三角函数 1. A　【解析】 因为＜2＜3＜π＜4＜，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角，所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，所以sin 2·cos 3·tan 4＜0. 2. A　【解析】 方法一：由角α终边经过点(－，1)，可得tan α＝－，所以tan ＝＝－. 方法二：因为角α的终边经过点(－，1)，所以α为第二象限角，tan α＝－，则α＝＋2kπ，k∈Z，故tan ＝tan ＝－. 3. B　【解析】 因为角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称，所以cos α＝cos β＝－，sin α＝－sin β，且sin2α＝1－cos2α＝，sinα·sin β＝－sin2α＝－，故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－＝－. 4. A　【解析】 设圆的半径为r，将内接正n边形分成n个小三角形，由内接正n边形的面积无限接近圆的面积，即可得πr2≈n··r2·sin ，解得π≈sin . 5. BC　【解析】 对于A，B，如图，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM＜MP＜AT，即cos α＜sin α＜tan α.对于C，D，如图，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、正切线AT，则MP＝sin α，AT＝tan α.连接AP，因为S△AOP＝OA·MP＝sin α，S扇形AOP＝αr2＝α，S△AOT＝OA·AT＝tan α.因为S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，所以sin α＜α＜tan α，即sin α＜α＜tan α. (第5题) 6. ACD　【解析】 因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，4)，所以OP＝5，所以sin α＝，cos α＝－，所以cos (π＋α)＝－cos α＝，故A正确．因为sin 2α＝2sin α·cos α＝2××＝－，cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝－，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为.因为角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，所以角β的终边与单位圆的交点为，所以tanβ＝，且β的终边在第一象限，故C正确，D正确．因为终边在直线y＝－x的角为kπ－，k∈Z，角2α的终边与角β的终边关于y＝－x对称，所以＝kπ－⇒β＝2kπ－－2α(k∈Z)，故B错误． 7. ABD　【解析】 经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动 2 rad，此时∠BOA的弧度数为＋3，故A正确；经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的弧长为×1＝，故B正确；经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的面积为S＝××12＝，故C不正确；设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋2)＋＝2π，解得t＝ s，故D正确． 8. 9. 　－　【解析】 因为角θ的终边过点A(3，y)，所以sin θ＝，cos θ＝.因为sin (π＋θ)＝，所以－sin θ＝，即sin θ＝－<0，所以点A在第四象限，所以＝－，解得y＝－4，所以cos θ＝，tan θ＝＝－. 10. 　【解析】 设圆的半径为r，则扇形的半径为.记扇形的圆心角为α，由扇形面积等于圆面积的，得＝，解得α＝，所以扇形的弧长与圆周长之比为＝＝. 11. 【解答】 (1) 由＝－，得sin α<0；由lg (cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角． (2) 因为OM＝1，所以＋m2＝1，解得m＝±.又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－，sin α＝＝＝＝－. 12. 【解答】 (1) 设点B的纵坐标为m，则由题意得m2＋＝1，且m>0，所以m＝，故B，根据三角函数的定义得tan α＝＝－. (2) 若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，故与角α终边相同的角β的集合为. 13. A　【解析】 f(x)的定义域是(－∞，－2)∪(2，＋∞)，令y＝log2t，其在定义域上单调递增，t＝x2－4在(－∞，－2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知，a∈(－∞，－2]. 14. B　【解析】 关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集为(－1，2)，则方程x2＋px＋q＝0的两根为－1和2，则即则>0化为>0，整理得>0，解得－3<x<2或x>4. 15. 【解答】 (1) f(x)＝2a ln x＋x2－(a＋3)x，则f′(x)＝＋x－a－3.曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋b，则f′(1)＝a－＝－1，解得a＝.由f(1)＝－a－＝－1＋b，解得b＝－. (2) f(x)＝2a ln x＋x2－(a＋3)x，定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝＋x－a－3＝.令f′(x)＝0，解得x＝2或x＝.若a≤0，则当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．若0<a<3，则当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈和x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．若a＝3，则f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，f(x)单调递增．若a>3，则当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0，2)和x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)；当0<a<3时，f(x)的单调递增区间为和(2，＋∞)，单调递减区间为；当a＝3时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a>3时，f(x)的单调递增区间为(0，2)和，单调递减区间为. 学科网（北京）股份有限公司 $