1.3直角三角形 教案 2025-2026学年数学北师大版八年级下册

课题

第1课时  直角三角形的性质与判定

授课类型

新授课

授课人

教学内容

课本P24-28

教学目标

1．知识目标：

（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．

2．能力目标：

（1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．

教学重难点

重点：①了解勾股定理及其逆定理的证明方法．

②结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．

难点：勾股定理及其逆定理的证明方法．

教学准备

教师准备：课件、多媒体；学生准备；练习本；

教与学互动设计（教学过程）

设计意图

1. 创设情景，导入新课

展示生活中的数学问题：

如图是在北京召开的24届国际数学家大会的会标，它的设计灵感来自哪类三角形的知识？

你对这类三角形有那些了解呢？

通过生活中的图片引入直角三角形，来激发学生学习数学的兴趣,使学生很自然地进入本节的学习，进而顺利引入新课。

（板书课题：第1课时     直角三角形的性质与判定）

2.实践探究，学习新知

【探究1】直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理

教师提问：

问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？

问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？

师生活动：学生自主交流探究各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明.

证明：如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.

已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°.

求证：△ABC是直角三角形.

证明：在△ABC中，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

又∠A +∠B=90°，∴∠C=90°，

∴△ABC是直角三角形.

【归纳总结】

定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.

数学符号语言如下：

∵在△ABC中，∠A+∠B=90°（已知）

∴△ABC是直角三角形.

【探究2】勾股定理及其逆定理的证明

师生活动：教师提出问题，学生自主交流探究各自的结论，教师适时引导学生给出相对规范的证明.

教师提问：直角三角形的三条边有怎样的数量关系？你能证明吗？

已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．

求证：a2+b2＝c2．

让学生通过分析归纳总结出直角三角形的两锐角定理和其逆定理内容，并能够对定理和逆定理进行证明.

让学生根据以前所学的勾股定理和逆

师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主证明.教师注意适时引导.

证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED．

∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．

∴四边形ACDE是直角梯形．

∴S梯形ACDE＝(a+b)(a+b) ＝ (a+b)2．

∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，

∵AB＝BE．∴S△ABE＝c2

∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，

∴(a+b) 2＝ c2 + ab + ab,

即a2 + ab + b2＝c2 + ab,

∴a2+b2＝c2.

教师追问：反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三

定理的知识直接回答出定理的内容，对于证明学生有一定的难度，教师应引导学生证明.

勾股定理的逆定理的证明方法对学生来说也是有一定难度的，《标准》也只