安徽省池州市多校2025～2026学年高三上学期第三次教学质量检测数学试题

绝密·启用前 2025~2026学年度第一学期第三次教学质量检测 高三数学 考试时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡，并交回。 4.试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合 题目要求。 1.已知向量ā=k,2),b=1,-1),则“k=2”是“ā⊥万的() A.不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知集合M=1,0},则与集合M相等的集合为() A.{x|-1<x<2,x∈W} B.{x,y)川y=Vx-1+- C.(rlx=(-1)"-1 2,nEN D.{(x,y)川x=1,y=0 3.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点P是抛物线C上的一点，|PF=8,过点P作y轴的垂线，垂足为p, 则|PF=() A.6 B.8 C.4万 D.2W13 4.设a,b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.把函数f()的图象向左平移云个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，纵坐 标不变，得到函数y=2sim(x+)的图象.则函数fw)的一个解析式为fx)=() A.2co(2+B.2sin(ds-)C.2cos(2+ ）D.2sim(4x+) 【数学试题第1页（共4页）】 6.下列不等式中，正确的是() A.sin18°>sin160° B.sin 1>sin 2 C.tan 0.2>sin0.2 D.cos<sin 9 3 7.已知奇函数f(x)的定义域为R且在(0，+)上单调递减，f(3)=0,则满足(x-1)f(x+1)≥0的x的取值范 围是( ) A.[-4,-1[1,2] B.[-4,-2U1,41C.-2,-1U1,2]D.[-4,-1U1, 4 8.已知tan(a+B)=3,tan(a-)=1,则sin4B=() A B多 c D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知复数z,z2,z为z的共轭复数，则下列结论中一定成立的是() A.3+z为虚数 B.若1z月z2|,则3=±2 C.|z2z曰z23 D.若|z=1,则1z+1-川的最小值为V2-1 0.已知双曲线C扩Q>06>0的左，右焦点分别是，，其中R上25，C的一条渐近线方程 为x-2y=0,过E的直线1交C于A,B两点，则() A.C的离心率为5 B.若AB=,则△FAB的周长为2m+8 C.若1的斜率为1，则△FAB的面积为40 3 D.若A,B为C的右支上两点，则直线1的斜率k∈(-o,U+) 11.己知△4BC的内角A,B,c所对的边分别为a,b,c,其中a为定值.若△4BC的面积S=a,则() 2 A.anA的最大值为4 B.b2+c2的最小值为2a C.△4BC周长的最小值为(N5+1)a D.的取值范围是5-15+凸 2,2 【数学试题第2页（共4页）】 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若直线y=-2与曲线C:y=x3和圆C2:(x-2+y2=10(a>0),都相切，则a的值为 - 13.已知a>b>1,若1og.b+1og,a=,则b的最大值为· 2 a+4 14.已知正四棱锥S-ABCD的体积为，若S,A,B,C,D这5个顶点均在球O的球面上，则球o体 积的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分) 已知底面边长和斜高长均为2的正四棱锥P-ABCD被平行于底面的平面所截得的正棱台为AB,C,D,-ABCD, 且满足AB=号4B. (1)求证：AB,/平面DCC,D; (2)求棱台的体积V和表面积S. 16.(本题满分15分) 在△Ac中，角4，B,c所对的边分别为a,0,c,已知cosB名，0=5，名号 (1)求a; (2)求sinA; (3)求cos(B-2A)的值， 17.(本题满分15分) 已知各项均为正数的{a}的前n项和为Sn,a=1,且2Sn=a,a+(neN). (1)求{a}的通项公式： (2)设b,=1一，记数列b}的前n项和为工，求使得工<”成立的正整数的取值范围. aa2 2 【数学试题第3页（共4页）】 18.（本题满分17分) 已知椭圆c:女+y 家+存a>b>0的离心率为2，过右熊点的直线写椭图℃交于M,N两点，且当/L1轴 时，|MN=2√2. (1)求椭圆c的方程； (2)若直线1的斜率存在且不为0，点M,N在x轴上的射影分别为P,Q,且R(4,),N,P三点共线， 设△RwW与△RPO的面积分别为S,3,，试判断辶是否为定值，若是，求出该定值，如果不是，请说明理 由. 19.(本题满分17分) 己知函数f(x)=-xsinx+x2+n. (1)当m=1时，求证：函数f(x)有唯一极值点； (2)当m=0,n=时，求f)在区间[0，上的零点个数： (3)两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线y=f(x)与曲线y=-cosx存在两条互相垂 直的“合一切线”，求m,n的值. 【数学试题第4页（共4页）】2025~2026学年度第一学期第三次教学质量检测 高三数学试题参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 符合题目要求 题号 1 2 3 X 5 7 8 答案 C A D B B C A D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 CD ACD ACD 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 符合题目要求， 1.【解答】解：向量b=(1,-1),a=(k,2),a⊥b,则ab=k-2=0,解得k=2, 所以“k=2”是“ā⊥b的充要条件. 2.【解答】解：选项B、D是点集，不符合题意； 对于C:当n为奇数时x=-1,当n为偶数时x=0,所以C={-1,0},不符合题意： 对于A:{x|-1<x<2,x∈N奶={1,0}，符合题意. 3.【解答】解：易知抛物线C的焦点F(2,0),设P(x,),可得P(0,), 又抛物线的准线方程为x=-2,因为引PF=8,所以x-(←2)=8， 解得x=6,此时y2=6x8=48,则1P'F=(2-0)2+(0-y)2=213. 4.【解答】解：根据题意，当a与b无公共点时，a与b可能平行或异面， 反之，当a与b是异面直线时，a与b无公共点. 故“a与b无公共点是“α与b是异面直线的必要不充分条件. 5.【解答】解：把函数)的图象向左平移年个单位长度，可得y=x+孕的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，纵坐标不变，可得y=fx+的图象， 结合题意可得y=fx+孕=2snx+孕， 3 子+年-1，得x=-+4,可得f0=2-r+4+=2sn（-25, 4 3 所以f(x)=2sin(4x- 3,8项符合题底 6.【解答】解：根据y=sinx在锐角范围内是增函数，且sin160°=sim20°， 可得siml8°<siml60°=sim20°，所以A项错误；根据y=sinx在[0，]上是增函数，且sin2=sin(π-2)， 高三数学参考答案第1页（共8页） 可得sin1<sin(红-2)=in2,所以B项错误；根据an0.2=sm020<os0.2<1, cos0.2 可得tan0.2=sim02 >sin0.2,所以c项正确； cos0.2 因为y=cosx在[0， 孕上是减函数，且sm写ca名，所以n写-co君<c号可知D项错误。 6 7.【解答】解：奇函数f(x)的定义域为R且在(0，+∞)上单调递减，则f(x)在（←，0）上单调递减， 又f(3)=0,则(x-1)fx+1)≥0可化为： -120,或1≤0 0≤x+1≤3-3≤x+1≤0' 解得1≤≤2或-4≤≤-1. 8.【解答】解：根据题意，可得tam2p=taa+-a-p]=1十3x2' 3-11 sin46=2sin 26cos28=_2sin 28cos26 2tan28 4 cos22B+sin228 1+tan22B 5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.【解答】解：设z=4+bi,=4+b,i, 对于A,因为=4-bi,所以z+z=4+bi+4-bi=2a为实数，故A错误： 对于B,若z日，，则VG+=V店+b好→a+b=a+b, 如4=b=1,4,=√2满足题意，但=1+i,,=√2，故B错误： 对于c,因为z,Z=(a,+b,(a-b)=(a,4+bb)+(b,a-a,b)i, z21=(a+b,)(a+b)=(a4-bb)+(a,b+a4b)i, 所以=品=V(a,4+b,}+(ab,-a}，故c正确： 对于D,若|z=1,设z=cos0+isin0,则z+1-i=(cos0+1)+(sin0-1)i, 所以z+1-i=cos0+02+sn0-1)=√3+2cos6-$im6)可=3+22cos(0+), 当c(8+孕=-1时，13+1-取得最小值V3-2瓦=V2-1,故D正确. 0.【解答】解：因为双曲线c的一条浙近线方程为x-2y=0,所以。冫可得=46=4c- 以5=c，易知c=5,所以a=2,则双曲线C的离心率e,放选项 当A,B为C的右支上两点时，由双曲线的定义得△FAB的周长为2m+8; 当A,B分别为C的左，右两支上两点时，△FAB的周长为2m+2E,B|,故选项B错误； 高三数学参考答案第2页（共8页） 若直线1的斜率为1，此时直线1的方程为x=y+√5， =y+5 联立{x 12=1’消去x并整理得3少-2W5v-1=0，设AG,),B(,’) 由韦达定到袋%-25=一有属-=+-4华 所以5片H与子59，故微选项c正确 因为A,B为C的右支上两点，所以朴b=,解得k>上或k<-上，故选项D正确。 a 2 2 2 11.【解答】解：△MBC的面积S=d-bc sinA,所以d=besinA, 2 由正弦定理可得：sin2A=sin Bsin Asin C,即sinA=sin BsinC, 设边a上的高为h,所以s=1a=h,可得h=a, 22 对于A,根据余弦定理可得：a=b2+c2-2 bc cosA,即b2+c2=+2 bc cosA, 又因为d=bcsinA,所以b2+c2=bcsinA+2 bc cos A, 即nA+2c0sA-b+c_b+>2i=2,当9-，即b=c时等号成立， bc c b 可得2cosA>2-sinA,又因为sinA∈(0,1]，所以cosA>0, 两边平方可得：4cos2A>(2-sinA)2=4-4sinA+sin2A, 又因为sin2A+cos2A=1,即4-4sim2A>4-4sinA+sim2A,解所以-4simA+5sin2A≤0，又因为simA≠0， 所以0<n长号则coAe房)，mA-测，所以tan4的最大值为，放A正确： cos 对于8，+c2c,当6=c时，等号成立， 可知s血长，所以F+生=号，所以6+产的最小值为a,故无 对于C,△ABC周长为a+b+c, 因为b+c≥2Wbc=2 1 =2a1 Vsin A mA'当b=c时，等号成立，sm4长，所以b+c②5a, 所以△4BC周长的最小值为(W5+1)a,故C正确： 对于D,因为+c:=csm4+2 beA=be(6inA+2cosA)x×5smA+0eos5sng25, 因为4+到=1,0，所以-，两边同时除以，名-长，所以白-50， c 可得会的取值危围是r5,5斗，放D正确， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.【答案：4 高三数学参考答案第3页（共8页） 【解答】解：设直线y=-2与曲线C:y=x相切的切点坐标为(x,), 由曲线Cy=,可得y=3x,则上3，解得飞=1，=3，所以切线的方程为y-3-2, x=-2 因为直线=3x-2与圆C,:(-a°广=10a>0相切，所以302到-0，解得a=4或a=(舍). √10 13.【答案1：4 解答】解：由ab>1则1oeb>0,由1ogb+1ga-号即1oe.6+ogb背 整理，得Qog,-1ogd+1=0,解得1og.b=}或1og,b=2,由a>b>1, 2 2 则1gb1,ogb号即b-a,46一1 a+4a+4a+年' Na 山1，则a 气·4，当且仅当aG,即a=4时，等号成立，6】 a+44 14.【答案】： 【解答】解：设正四校锥的底面边长为c,高为，则如-号可得心-骨 令球心到底面4cD的距离为d,则外接球的半径dh-，义T三9+=修+dP 即r2=4+h-},即r2=4+?-2m+r2, h 解得，-+是-么+么是≥3是-，当且仅当=2时取等号， .≥33 2h44h2V4422 侧球体体积最小值为V=4m2=x×279。 3 82 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解答】解：（1)证明：平面ABCD/平面AB,CD,平面ABCD⌒平面PAB=AB, 又平面AB,CD⌒平面PAB=AB, AB/AB,同理CD/CD,…（2分) 又AB/1CD,AB,/1CD,又C,DC平面DCCD,AB,丈平面DCC,D…（4分) AB,/1平面DCCD…（6分) (2)由题意得P-ABCD,P-AB,CD,是正四棱锥， 故P在平面ABCD上的投影为正方形ABCD的中心O,40=4C=√2(8分) 高三数学参考答案第4页（共8页） 在RaAP0中，A=240=5,P0=万，e-S0=+5 (10分) 3 ~平面ABcD1平面ABCA,AB=AB, (12分) 6 由已知的四个侧面为全等的等腰梯形，作BC的中点E,连结PE,△PBC为等边三角形， 故PB=6.8=6,sa}Se- ，S 4 4 3,S度=4，S底=1…(14分) S=5+35. …（15分) 16.【解答】解：（1)设a=2t,c=3t,t>0,则根据余弦定理得b2=a+c2-2 ac cos B, 即25=4+9t-2×2t×3t× 9 计行=2（负舍)…： 则a=4,C=6…(4分) 2)四为B为三角形内角，所以血8-1m-合语 (6分) 再根据正弦定理得a=b sinsin 即45 解得sinA= (8分) sinA 57 16 (3)因为csB=9>0,且B∈0，)，所以B∈0， (10分) 16 由(2)知sinB= 5V5 (11分) 16 因为a<b,则A<B,所以cosA=1-(（ …（12分) 4 则i血2A=2 sin co=2x5x3_3 4×年8,0os21=2c0s4-1=2×(-1= (14分) 8 cos(B-24)=cos B cos2A+sin Bsin2d= 9、15V73V757 …（15分) 6816864 17.【解答】解：(1)由a=1,且2S=a,a1neN),可得2a=2S=a4,即a=2…(2分) 当>2时，由2Sn=a.a1,可得2S1=a14… (3分) 两式相减可得2a。=a.41-a-1a,由a>0,可得a1-4-1=2… (4分) 即有4.1=1+20n-1)=21-1,4.=2+201-1)=21… (5分) 可得☑=…………………… (6分) (2)b=1= 1 11 (8分) aa+2(n+1)(n+2)n+1n+2 可符数列的前：项和红台}点32 (10分) n+1n+22n+22(n+2) 高三数学参考答案第5页（共8页） 工<2，即为2<20+2刃 …（12分) 当n=1时，2<6成立；当n=2时，4<8成立；当n=3时，8<10成立…(13分) 当心4时，2”>2(+2)… (14分) 综上，可得使得T<成立的正整数n的取值范围是1,2,3}… （15分) 18.【解答】解：(1)不妨设椭圆c的半焦距为c(c>0), 因为烯因c的离心率为行，所以e-台 ，b2V2 a2-2 …(2分) 能理行台宁0 x2,y2 联支后方1，解烟y名即Mw答-5，② a x=C 联立①②，解得a=2√2，b=2 (4分) 则椭圆c的方程为。+上 8+4=1 。。。。。。。 (6分) (2)易知椭圆的右焦点为(2,0)， 不妨设直线1的方程为y=k(x-2)k≠0)，M(,y),N(x2,y), 联立33消去v并整理得+2-8x+8游-8=0… (8分) 韦达定理得+x文8因为P上铂，所以P,0 1+2k2,2s 此时直线NP的方程为y=当-x),(10分) x2- 令x=4,解得y=4-2,即44-…(11分) x2-X1 x2-水 因为Ng1x轴，所以Q(x2,0). 因为ke=,当e=4） X-X2 ,-￥4-x)’ 所以eke=4）、-yk-24-x)+6-24- (x2-x14-x2)x1-x2 (x2-x)4-x2) k 2k [6+)24,-16=6,-x4-x,)1+2k1+28-8 16k (x2-x)4-x2) 3g2-+1-1-2水=0…(13分） 1+2k2 则0，M,R三点共线.因为Ng/PM,所以SgM=Saw· (14分) 高三数学参考答案第6页（共8页） 又Sw=SpM,所以△RN与△RPO的面积相同 (15分) 则=1，故为定值，定值为1… (17分) S, S, 19.【解答】(1)证明：函数p(x)=x-simx,有p(x)=1-cos≥0，则p(x)在R上单调递增， 当x>0时，有p(x)>gp(0)=0，即x-sinx>0… (1分) 当m=1时，由f()=-xsinx+-x2+n,得f()=-sinx-XCOSX+2x,且f"(0)=0. (2分) 当x>0时，f(w)=xI-cosx)+x-sinx…(3分) 因为1-c0Sx0,x-sinx>0,所以f(x)>0…（4分) 因为f(←x)=-f(x)对任意xeR恒成立，所以当x<0时，"()<0. 则f)在（←∞，0）上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，所以x=0是f)的唯一极值点…(5分) (2)解：当m=0n-多时，)=-smx+子0)=-mx-co, 当x∈[0，]时，f"x)0,所以f)在xe[0,上单调递减， 02,>0,fC9）-3,<0 (6分) 所以由零点存在定理知f)在x∈[0，]上有且仅有一个零点… (7分) 当xe[5]时，令()=f()=-sinx-cosx,则()=-2cosx+xsinx, 当xe(写)时，有()>0，所以)在巧小上单调递增… (8分) 又因为孕=-l0,)=x0,所以存在me(号分使得M四=0， 当x∈（受m时，f)=)<h侧=0，所以f)在（牙四上单调递减， 所以当x∈写，则时f)≤f孕<0，故f)在巧，则上无零点 (9分) 当x∈(m,)时，(x)=(x)>h0)=0，所以f(w)在(m,)上单调递增， 又fm<f受0f()=多0，所以f)在m列上有且仅有一个零点… (10分) 综上所述：f()在[0，π]上有且只有2个零点…(12分) (3)解：设曲线y=f(x)与曲线y=-cosx的两条互相垂直的合一切线的切点的横坐标分别为x,x, 其斜率分别为飞，2，则kk=-1. 因为（←cos.xY=simx,所以sinsinx,=kk=-l.所以{sinx,simx,}={-1,…(13分） 高三数学参考答案第7页（共8页） 不妨设sinx=1,则x=2kπ+元，keZ. 因为k=f(x)=2x-sinx-xcox…（14分) 由“合一切线”的定义可东知，2x-snx-￥c0sx=smX·所以m=上=2k∈Z…(15分) x4kπ+元 由“合一切线的定义可知，-smx+n=cos,所以0 当m= 名。ke2m=0时，取气=2+号=-2r-号 …(16分) 4k元+元 2 则f(x)=-cosx=0,fx)=-cosx,=0,f"(x)=simx=1,f(x)=sinx2=-1,符合题意. 所以m= 2 -,k∈Z,n=0… (17分) 4k元+ 注：及以上各解法仅供参考，如有其它解法并且正确，清按相应步骤给分！ 高三数学参考答案第8页（共8页）