2.3.1 一元一次不等式与一次函数 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“一元一次不等式与一次函数”核心内容，通过复习一元一次方程与一次函数的关系导入，搭建从“方程解”到“不等式解集”的学习支架，帮助学生梳理前后知识脉络。 其亮点在于以“数形结合”为核心，通过图像观察（数学眼光）与代数推理（数学思维）双向转化不等式与函数关系，结合兄弟赛跑、溶解度等实际问题（模型意识），小结明确联系方法。既提升学生几何直观与应用能力，又为教师提供清晰教学路径，助力高效教学。

北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件 2.3.1 一元一次不等式与一次函数 第二章 不等式与不等式组 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1 复习回顾 回答下列问题，回忆一元一次方程与一次函数的关系。 1.解方程 2x-5=0。 2x=5 x=2.5 求方程 kx+b=0的____ 2.一次函数 y=2x-5，当x取何值时，函数值为0。 当y=0时 2x-5=0 x=2.5 一次函数 y=kx+b的函数值为___时，求相应_________的值 3.一次函数 y=2x-5的函数图象与x轴交点横坐标是_____。 直线 y=kx+b与_____交点的___坐标 解 0 自变量x 2.5 x轴 横 数 形 进行新课 O x y 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y2x－5 A(2.5，0) 函数 y=2x-5 的图象如图所示，观察图象回答下列问题： （1）x取什么值时，2x-5=0？ （2）x取哪些值时，2x-5＞0？ （3）x取哪些值时，2x-5＜0？ （4）x取哪些值时，2x-5＞1？ x=2.5 x＞2.5 x＜2.5 x＞3 尝试·思考 如果 y=-2x-5，那么当 x 取哪些值时，y＜0？当 x 取哪些值时，y＜1？你是怎样求解的？ 方法一：运用函数图象 作一次函数 y=-2x-5 的图象。 O x y 1 2 3 -4 -5 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y-2x－5 当x＞-2.5时，y＜0； 当x＞-3时， y＜1。 B(-2.5，0) 1．如图，一次函数y＝x＋m的图象与x轴交于点(－3，0)，则不等式x＋m＜0的解集为(　　) A．x＞－3 B．x＜－3 C．x＞3 D．x＜3 B 返回 中考考法 5 2．如图，直线y＝kx＋b(k≠0)经过点(－1，3)，则不等式kx＋b≥3的解集为(　　) A．x>－1 B．x<－1 C．x≥3 D．x≥－1 D 返回 中考考法 6 3．已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx＋b的图象大致可能是(　　) B 返回 中考考法 7 尝试·思考 如果 y=-2x-5，那么当 x 取哪些值时，y＜0？当 x 取哪些值时，y＜1？你是怎样求解的？ 方法二：将函数转化为不等式 解不等式 -2x-5＜0，-2x-5 ＜1。 故当x＞-2.5时，y＜0；当x＞-3时， y＜1。 -2x-5＜0 解得：x＞-2.5 -2x-5＜1 解得：x＞-3 尝试·交流 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m。列出函数关系式，在同一平面直角坐标系中画出函数图象，并回答下列问题： （1）何时弟弟跑在哥哥前面？ （2）何时哥哥跑在弟弟前面？ （3）谁先跑过20m处？谁先跑过100m处？ 解：设哥哥起跑后所用的时间为x s，哥哥跑过的距离为y1 m，弟弟跑过的距离为y2 m。则 y1=4x y2=3x+9 O x y 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 27 36 y1=4x y2=3x+9 20 (1)__________时，弟弟跑在哥哥前面。 (2)_______时，哥哥跑在弟弟前面。 (3)______先跑过20m，_____先跑过100m。 0＜x＜9 x＞9 弟弟 哥哥 你能用代数法解答吗？ 哥哥: y1=4x 弟弟: y2=3x+9 (1)何时弟弟跑在哥哥前面？ (2)何时哥哥跑在弟弟前面？ (3)谁先跑过20m？谁先跑过100m？ 3x+9>4x x<9 4x>3x+9 x>9 4x=20 x=5 3x+9=20 4x=100 x=25 3x+9=100 ∴弟弟先跑过20m ∴哥哥先跑过100m 小结： 我们既可以运用函数图象解不等式，也可以运用解不等式帮助研究函数问题，二者相互渗透，互相作用。 一元一次不等式问题 一次函数问题 转化 4．如图，已知直线y1＝x＋b与y2＝kx－1相交于点P，点P的横坐标为－1，则关于x的不等式x＋b≤kx－1的解集为________。 x≤－1 返回 中考考法 13 5．(12分)图中所给的直线是一次函数y1＝x＋1的图象。 (1)请直接在所给的平面直角坐标系中画出一次函数y2＝－x＋3的图象； 解：一次函数y2＝－x＋3的图 象如图所示。 中考考法 14 (2)求出两条直线的交点A的坐标，并在图中标出点A的位置； 中考考法 15 (3)根据图象，当y1<y2时，直接写出x的取值范围。 解：由图象可知，当y1<y2时，x的取值范围为x<1。 返回 中考考法 16 思考：一元一次不等式 kx+b>0 (或kx+b<0)与一次函数 y=kx+b的关系？ kx+b＞0 的解集 kx+b＜0 的解集 数 形 y=kx+b中，y>0时x的取值范围 y=kx+b中，y<0时x的取值范围 直线位于x轴上方部分对应的x的取值范围 直线位于x轴下方部分对应的x的取值范围 x O y y=kx+b 6．(8分)如图，甲、乙两名学生均沿同一方向在同一直线上行走。OA，BA 分别表示甲、乙两名学生在行走过程中离甲出发点的距离s(m)与行走时间t(s)之间的函数关系图象。试根据图象回答下列问题： 中考考法 18 (1)甲、乙两名学生中，谁的速度较快？ 解：甲的速度较快。 中考考法 19 (2)在什么时间段内，甲在乙的前面？在什么时间段内，甲在乙的后面？在什么时间，甲、乙两人相遇？ 返回 解：由图象可知，当s甲>s乙时，t>8；当s甲<s乙时，0<t<8；当s甲＝s乙时，t＝8，所以在出发8 s之后，甲在乙的前面；在出发8 s之前，甲在乙的后面；在出发8 s时，甲、乙两人相遇。 中考考法 20 7．[徐州中考]如图为一次函数y＝kx＋b的图象，关于x的不等式k(x－3)＋b<0的解集为(　　) A．x<－4 B．x>－4 C．x<2 D．x>2 C 返回 中考考法 21 8．[西安铁一中月考]如图，直线y1＝2x与直线y2＝kx＋b(k≠0)相交于点P(a，2)，则关于x的不等式2x≤kx＋b的解集是________。 x≤1 返回 中考考法 22 9．一次函数y1＝kx＋b与y2＝mx＋n的部分自变量和对应函数值如下表： 返回 x … －2 －1 0 1 2 … y1 … 5 2 －1 －4 －7 … y2 … 1 2 3 4 5 … 则关于x的不等式kx＋b＞mx＋n的解集是________。 x＜－1 中考考法 23 10．(8分)如图，l1，l2分别表示甲物质和乙物质在水里的溶解度y1(g)，y2(g)与温度x(℃)之间的对应关系。 (1)①y1与x之间的函数关系式为 ______________________； ②y2与x之间的函数关系式为 _______________________； 中考考法 24 (2)温度在什么范围内，甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度？ 返回 中考考法 25 11．(8分)一次函数y1＝kx＋b和y2＝－4x＋a的图象如图所示，且A(0，4)，C(－2，0)。 (1)由图可知，不等式kx＋b＞0的解集是 ________； (2)若不等式kx＋b＞－4x＋a的解集是x＞1。 ①点B的坐标为________； ②求a的值。 x＞－2 返回 (1，6) 解：将点B(1，6)的坐标代入y2＝－4x＋a， 得6＝－4×1＋a，解得a＝10。 中考考法 26 12．(12分) 我们可以利用学习一次函数的方法和经验来研究函数y＝|x－1|的图象和性质。 (1)请补全下列表格： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … 4 __ 2 1 0 __ 2 … 3 1 中考考法 27 (2)请根据表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； 解：画出函数图象如图。 中考考法 28 －3≤x≤3 返回 中考考法 29 课堂小结 一元一次不等式 可以研究一次函数的图象走向 通过图象可直接解不等式 一次函数 数形结合 解：解方程组得 所以点A的坐标为。 点A的位置如图所示。 y2＝x＋30 y1＝x＋10 解：解方程组得 由题图得，当x＞时，l1在l2的上方，所以当温度大于℃时，甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度。 (3)根据图象，不等式－x＋3≥|x－1|的解集为________。 $