精品解析：江苏省常州市第二十四中学2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试卷

25-26学年第一学期九年级数学12月随堂作业 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 在中，各边都扩大3倍，则锐角的正切函数值（　　） A. 不变 B. 扩大3倍 C. 缩小3倍 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正切值．锐角三角函数值仅与角的大小有关，与边的长度无关，当各边扩大相同倍数时，扩大后的三角形与原来的三角形的角不变，因此正切值不变，即可作答． 【详解】解：∵在中，各边都扩大3倍， ∴扩大后的三角形与原来的三角形的角不变， 因此正切值不变， 故选：A． 2. 在△ABC中，若|sinA-|+(1-tanB)2=0，则∠C的度数是( ) A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据非负数的性质求出sinA及tanB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的值，由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】∵|sinA−|+(1−tanB)2=0， ∴sinA=，tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°． 故选C． 【点睛】（1）非负数的性质：几个非负数的和等0，这几个非负数都为0；（2）三角形内角和等于180°. 3. 如图，是的直径，直线与相切于点A，交于点C，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由切线的性质知，所以，由圆周角定理推出． 【详解】∵直线与相切于点A ∴ ∴ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形性质、圆周角定理，观察图形由角的位置关系得出角之间的数量关系是解题的关键． 4. 下列关于二次函数的图象的性质描述，其中正确的是（　　） A. 当时，随的增大而减小 B. 图象顶点为 C. 图象可由函数的图象平移得到 D. 图象与轴交点为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的顶点为，开口向下，通过平移的性质和求出与轴的交点坐标，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的， ∴开口向下，顶点为， 故B选项不符合题意； 则二次函数的开口向下，对称轴为直线 当时，随的增大而减小， 故A选项不符合题意； 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度得到， 故C选项符合题意； 令时，则， ∴图象与轴交点为， 故D选项不符合题意； 故选：C 5. 如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根到刮断点的长度是，折断部分与地面成的夹角，那么原来树的长度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，能够熟练运用三角形边角关系进行求解是解答此类题的关键．原来树的长度是的长．已知了的值，可在中，根据的度数，通过解直角三角形求出的长． 【详解】解：∵中，，； ； ． 故选：B． 6. 如图，已知直线，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα＝（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过D作EF⊥，交于E，交于F，可得DE=1，DF=2．再证明，可得DE=CF=1，然后根据勾股定理可得，再由锐角三角函数，即可求解． 【详解】解：过D作EF⊥，交于E，交于F， ∵， ∴EF与都垂直， ∴DE=1，DF=2． ∵四边形ABCD是正方形， 又 ∴∠α=∠CDF， ∴DE=CF=1， ∴在中， 故选B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正方形的性质，平行线间的距离，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 7. 如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于，于，证明，推出，可证，得到，得到四边形是正方形，是对角线，作的内切圆，圆心为，为切点，连接，．由切线长定理可知，推出，由面积法可知内切圆半径为，在中，由勾股定理即可解决问题． 【详解】解：作于，于， 平分，，， ，， 又， ，即， 四边形为的内接四边形，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 四边形是正方形，是对角线， ， 正方形的边长为， ， ， ， ， 作的内切圆，圆心为，为切点，连接，． 由切线长定理可知：， ， ， ， ， 即内切圆半径为， 在中，． 的内心与外心之间的距离为， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 二、填空题（每小题3分，共27分） 8. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为； 故答案为：． 9. 已知（为锐角），则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，求角的正切值．先作图，利用的定义设对边和斜边，再用勾股定理求邻边，最后根据 的定义计算，即可作答． 【详解】解：如图， 依题意，在直角三角形中，，为锐角， ∵， ∴， ∴设， 则， ∴， 则， 故答案为：． 10. 比较大小：___________；___________，（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 ①. < ②. = 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数；余弦函数与正弦函数有互余关系：，正切函数在到之间，角的正切值随着角度的增大而增大，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，正切函数在到之间，角的正切值随着角度的增大而增大， ∵， 因此； 依题意，， 故答案为：<，= 11. 二次函数的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值．化成二次函数的顶点式即可解答． 【详解】解：二次函数， ∵， ∴当时，二次函数有最小值，最小值是2． 故答案为：2． 12. 如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，等边三角形的判定，直角三角形的边角关系是正确解答的关键．求出圆的半径，根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：设半径为，由题意得， 解得， 正六边形内接于， ， ， 是正三角形， ，， 弦所对应的弦心距为， 的面积为， 故答案为：． 13. 如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则等于_____________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，先由两直线平行，同位角相等得到，再根据圆内接四边形对角互补进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，以为直径的与相切于点A，交于点D， 连接，则图中阴影部分的面积为________ 【答案】 【解析】 【详解】解：∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴图中阴影部分的面积为 故答案为： 15. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为______ 【答案】##13厘米 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 【详解】解：是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中，， ， ， ， 即的半径为． 故答案为． 16. 如图，经过的中点，，点为上动点，过点作的垂线，垂足为．当点旋转一周时，点运动的路程为______． 【答案】 【解析】 【分析】当与相切时，连接、，则，因为，是的中点，所以，则，所以，延长交于点，取的中点，连接，可证明，则，所以，可知当点从点运动到与相切时，点的运动路径为以为圆心、半径为且圆心角等于的圆弧，当点旋转一周时，点的运动路径为四段这样的圆弧，即可由弧长公式求得点运动的路程为，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，当与相切时，连接、，则， ， ， 是的中点， ， ， △是等边三角形， ， 延长交于点，取的中点，连接， 于点， ， ， ，， ， 、分别为、的中点， ， ， 当点从点运动到与相切时，点的运动路径为以为圆心、半径为且圆心角等于的圆弧， 当点旋转一周时，点的运动路径为四段半径为且圆心角等于的圆弧， 点运动的路程为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查切线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、弧长公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共4小题，共52分，17、19每题12分，18、20每题14分；） 17. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把特殊角的三角函数值化简，再运算乘方以及乘法，最后运算减法，即可作答． （2）先把特殊角的三角函数值化简以及运算算术平方根，再化简绝对值，最后运算加减法，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，如图，为石碾抽象出来的模型，是的直径，为的切线，点D是上的一点，连接并延长与的延长线交于点E，连接，已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 为的切线， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质推出，再证，即可证明是的切线； （2）利用三角函数解，设的半径长为r，则，再用勾股定理解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， 由（1）知， ， ， 设的半径长为r，则， 在中，， ， 解得， 即的半径长为． 【点睛】本题考查解直角三角形，切线的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，解题的关键掌握切线的判定定理，通过添加辅助线构造直角三角形． 19. 宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为. （1）求坐垫到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1）99.5（2）3.9 【解析】 【分析】（1）作于点，由可得答案； （2）作于点，先根据求得的长度，再根据可得答案 【详解】（1）如图1，过点E作于点， 由题意知、， ∴， 则单车车座到地面的高度为； （2）如图2所示，过点作于点， 由题意知， 则， ∴. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答． 20. 如图，已知矩形，，D是矩形边上的一点且满足，点P从点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒． （1）求点D的坐标； （2）当时，求t的值； （3）以P为圆心，为半径的圆P随点P的运动而变化，当圆P与四边形的边（或边所在的直线）相切时，直接写出t的值． 【答案】（1）（4，0） （2）或 （3）2或6或秒． 【解析】 【分析】（1）在中，利用可得是等腰直角三角形，进而确定的长即可解答； （2）分点在点D左侧和点在点D右侧两种情况讨论，分别画出图形并利用特殊角的三角函数值勾股定理求出的值即可解答； （3）分①当与相切于点C，②当与相切于点C，③当与相切三种情况讨论，通过解直角三角形求出的值即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴点D的坐标为（4，0）． 【小问2详解】 解：①当分点在点D左侧时，如图： ∵，， ∴，即 ∵ ∴， ∴,即，解得： ∴ ∴秒； ②当在点D右侧时，如图： ∵，， ∴， 设，则 ∴,即，解得： ∴ ∴秒； 综上，当时，t的值为或． 【小问3详解】 解：∵是的半径，且与相切， ∴点C为切点，如图2所示： ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴． 当点P与O重合时，与相切于C， ∴ ∴秒； 当时，与相切， 设，则，在中，，解得： ∴（秒）； ∴或6或秒． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要靠出来勾股定理、圆与特殊图形的综合、动圆问题等知识点，根据题意正确画出图形是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25-26学年第一学期九年级数学12月随堂作业 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 在中，各边都扩大3倍，则锐角的正切函数值（　　） A. 不变 B. 扩大3倍 C. 缩小3倍 D. 不能确定 2. 在△ABC中，若|sinA-|+(1-tanB)2=0，则∠C的度数是( ) A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 3. 如图，是的直径，直线与相切于点A，交于点C，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于二次函数的图象的性质描述，其中正确的是（　　） A. 当时，随的增大而减小 B. 图象顶点为 C. 图象可由函数的图象平移得到 D. 图象与轴交点为 5. 如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根到刮断点的长度是，折断部分与地面成的夹角，那么原来树的长度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，已知直线，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα＝（　　） A. B. C. D. 7. 如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共27分） 8. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______． 9. 已知（为锐角），则___________． 10. 比较大小：___________；___________，（填“>”、“<”或“=”） 11. 二次函数的最小值是______． 12. 如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为___________ 13. 如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则等于_____________度． 14. 如图，在中，，以为直径的与相切于点A，交于点D， 连接，则图中阴影部分的面积为________ 15. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为______ 16. 如图，经过的中点，，点为上动点，过点作的垂线，垂足为．当点旋转一周时，点运动的路程为______． 三、解答题（本大题共4小题，共52分，17、19每题12分，18、20每题14分；） 17. 计算： （1）． （2） 18. 石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，如图，为石碾抽象出来的模型，是的直径，为的切线，点D是上的一点，连接并延长与的延长线交于点E，连接，已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 19. 宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为. （1）求坐垫到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到，参考数据：，，） 20. 如图，已知矩形，，D是矩形边上的一点且满足，点P从点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒． （1）求点D的坐标； （2）当时，求t的值； （3）以P为圆心，为半径的圆P随点P的运动而变化，当圆P与四边形的边（或边所在的直线）相切时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $