2025年福建省厦门市高中自主招生考试数学试卷

2025年高中自主招生考试试题（数学学科） 考试时间：8：00-9：30 满分：150 一、单选题（每题4分，共32分） 1. 从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（ ）． A. 3个都是正品 B. 至少有1个是次品 C. 3个都是次品 D. 至少有1个是正品 2. 设，，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（ ） A. B. C. D. 4. 《孙子算经》中记载了这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有x个老头，y个梨，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 6. 如图，在四边形中，，，，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图像与其向下平移个单位长度所得的图像都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（ ） A. 18 B. 16 C. 20 D. 24 8. 如图，等边的边长为，点在边上，，线段绕顺时针旋转得到线段，连接交于点，连接，下列结论：①四边形 面积为；②外接圆的半径为；③；其中正确的是（ ）. A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③ 二、填空题（每题5分，共40分） 9. 掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是_____． 10. 设，是方程 的两个根，那么的值为_____． 11. 已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是______． 12. 有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付_____元． 13. 若直角三角形中有两边的边长为、，这两边长都是质数，且使得代数式及的值都是正整数，则此直角三角形的第三边的长是_____． 14. 如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，且反比例函数的图像经过点，连接，则 与的面积比是_____． 15. 如图，已知矩形，点是的中点，将边沿翻折到的位置，点的对应点为，连接并延长交于点，当恰为的中点时，的值是_____． 16. 在四边形中，，，，， ．点是边上一点，如果以为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是_____． 三、解答题（共78分） 17. （1）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？ （2）若实数，，满足，则称比远离．对任意两个不相等的实数，，证明比远离 ． 18. 已知整式，其中，． （1）若，求的值； （2）若，且，，，，，是自然数，则满足条件的不同整式中共有几个？请说明理由． 19. 如图①，已知四边形中，， ，，，，点是边上的动点，连接，作，设射线交线段于，交射线于． （1）如果射线经过点（即点、与点重合，如图②所示），求的长； （2）若点在的延长线上，不与点重合，设 ，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围． 20. 已知，是半径为的的弦，的另一条弦满足 ，且 于点（其中点在圆内，且 ， ）． （1）在图中用尺规作出弦与点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度； （3）如图，延长 至点，使得 ，连接， 的平分线交的延长线于点，点为的中点，连接 ，若 ．求证： ． 21. 若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”． （1）①若函数，当时，求函数的“共同体函数”的值； ②若函数 （，，为常数），求函数的“共同体函数”，的解析式； （2）记函数的最大值为，请问是否存在实数，使得函数的“共同体函数”的最小值等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2025年高中自主招生考试试题（数学学科） 考试时间：8：00-9：30 满分：150 一、单选题（每题4分，共32分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、填空题（每题5分，共40分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】100 【13题答案】 【答案】12或 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 三、解答题（共78分） 【17题答案】 【答案】（1）；（2）见解析 【18题答案】 【答案】（1）7 （2）5个，理由见解析 【19题答案】 【答案】（1）的长为或 （2）关于的函数解析式及的取值范围为： 【20题答案】 【答案】（1）作图如图所示 ； （2）不变， （3）略 【21题答案】 【答案】（1）①；②； （2）存在， 或， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $