精品解析：湖北省宜昌市五峰县2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年湖北省宜昌市五峰县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2024年7月26日，在法国巴黎举办的第33届夏季奥林匹克运动会上，我国取得了40金，创造了中国代表团在海外奥运会上的最佳成绩．下列标志中，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的科学根据是（ ） A 三角形具有稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 对顶角相等 D. 垂线段最短 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式有意义．则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如果一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的边数为（ ） A 七 B. 八 C. 九 D. 十 6. 分式的最简公分母是（　） A. B. C. D. 7. 若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（ ） A. 或5 B. 5 C. 8 D. 8或 8. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即 (，1，2，3，…)展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（　　） A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 9. 如图，，添加下列条件不一定得到是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边三角形的顶点在直线上，直线且交于点，交于点，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：______． 12. 如图是用尺规作已知角的平分线的示意图，则的依据是______． 13. 如图，的周长为，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长为______. 14. 袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，将用科学记数法表示为______． 15. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出关于的分式方程为______． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 因式分解： （1） （2） 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 解分式方程： 20. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′； （2）在直线l上找一点P，使PB′+PC的长最短； （3）若△ACM是以AC为腰的等腰三角形，点M在小正方形的顶点上．这样的点M共有　 　个． 21. 如图，，点E在边上，与交于点F． （1）试说明：； （2），求的度数． 22. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼．已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个，甲种月饼的单价是乙种月饼单价的1.5倍． （1）求超市购进甲、乙两种月饼的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种月饼共200个，若总金额不超过1300元．问最多购进多少个甲种月饼？ 23. 在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． （1）如图1，是的中线，，，求的取值范围． 我们可以延长到点M，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：__________； （2）如图2，是的中线，点E在边上，交于点F，且，请参考（1）中的方法求证：； （3）如图3，在四边形中，，点E是中点，连接，，且，试猜想线段，，之间的数量关系，并予以证明． 24. 在平面直角坐标系中，点，，点C是x轴负半轴上的一动点，连接BC，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，交y轴于点E． （1）如图1，若，求点E的坐标； （2）如图2，若，连接OD，求证：； （3）若，，过O作于G，． ①按要求画出图形； ②求的面积为多少？（用含t的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖北省宜昌市五峰县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2024年7月26日，在法国巴黎举办的第33届夏季奥林匹克运动会上，我国取得了40金，创造了中国代表团在海外奥运会上的最佳成绩．下列标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 2. 如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的科学根据是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 对顶角相等 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性解答． 【详解】解：常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是三角形具有稳定性，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法等知识．根据运算法则计算后即可． 【详解】解：A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 4. 若分式有意义．则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选D． 5. 如果一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的边数为（ ） A. 七 B. 八 C. 九 D. 十 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和，解题的关键是熟练掌握多边形外角和为．由题意可知，该多边形的每个外角相等，结合多边形外角和求解即可． 【详解】解：∵该多边形的每一个外角都等于， ∴该多边形的边数为， 故选：C． 6. 分式的最简公分母是（　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 先变形得到，然后根据最简公分母的定义进行判断即可． 【详解】解：， 的最简公分母为， 故选：D ． 7. 若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（ ） A 或5 B. 5 C. 8 D. 8或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，根据即可求解． 【详解】解：， ， 解得或， 故选D． 8. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即 (，1，2，3，…)展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（　　） A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，得出规律：当时，系数和为，是解此题的关键． 【详解】解：观察可得： 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， …， 当时，系数和为， 展开式的系数和是， 故选：B． 9. 如图，，添加下列条件不一定得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先根据“边边角”不一定能证明这两个三角形全等判断A，再根据“角边角”，“边角边”，“角角边”逐个判定即可． 【详解】解：∵， A、当时，和不一定全等，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：A． 10. 如图，等边三角形的顶点在直线上，直线且交于点，交于点，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、平行线的性质，由等边三角形的性质可得，由三角形外角的定义及性质可得，再由平行线的性质可得，即可得解． 【详解】解：如图： ， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和零指数幂的计算，分别计算绝对值和零指数幂，然后相加即可． 【详解】解：因为，， 所以； 故答案为 3． 12. 如图是用尺规作已知角的平分线的示意图，则的依据是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据尺规作图痕迹可得，两个三角形对应边相等，进而可得答案． 【详解】解：由图可知， 故答案为：． 13. 如图，的周长为，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线段的性质，熟练掌握垂直平分线的定义和性质是解题关键． 根据垂直平分线的性质可知 ，，再结合 的周长为即可得知，然后计算的周长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，为垂足， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 14. 袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；据此即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出关于的分式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程解决应用题，理解题意建立等量关系是关键． 由题意可得，快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，再根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：快马所需的时间为天，则快马速度为里/天，慢马所需的时间为天， 则慢马速度为里/天，根据快马的速度是慢马的2倍可得方程： ， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）利用提公因式法进行分解，即可解答； （2）两次利用平方差公式进行分解，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算． （1）根据多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可； （2）根据平方差公式展开，再将完全平方公式展开计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的减法，再计算除法运算，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程的基本思想和步骤，是解题的关键．一般步骤为：找最简公分母．去分母，化为整式方程；解这个整式方程；验根,把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去，使最简公分母不为零的根是原方程的根． 根据解分式方程的步骤解答此题． 【详解】解：方程两边同乘得：， 解得． 检验：当时，， 所以分式方程得解为：． 20. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′； （2）在直线l上找一点P，使PB′+PC的长最短； （3）若△ACM是以AC为腰的等腰三角形，点M在小正方形的顶点上．这样的点M共有　 　个． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4. 【解析】 【分析】（1）依据轴对称的性质得到各顶点，进而得出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′； （2）依据两点之间，线段最短，连接B'C交直线l于点P，则PB′+PC的长最短； （3）分别以点A和点B为圆心，AC长为半径画弧，即可得到符合条件点M． 【详解】解：（1）如图所示，△AB′C′即为所求； （2）如图所示，点P即为所求； （3）如图所示，符合条件的点M共有4个， 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 21. 如图，，点E在边上，与交于点F． （1）试说明：； （2），求的度数． 【答案】（1）怎么见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解； （1）根据全等三角形的性质，得，从而完成求解； （2）根据全等三角形的性质，得，再结合对顶角相等、三角形内角和的性质分析，即可得到答案． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴，即． 【小问2详解】 ∵， ∴． ∵， ∴． 22. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼．已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个，甲种月饼的单价是乙种月饼单价的1.5倍． （1）求超市购进甲、乙两种月饼单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种月饼共200个，若总金额不超过1300元．问最多购进多少个甲种月饼？ 【答案】（1）甲种月饼每个的单价为7.5元，乙种月饼每个的单价为5元 （2）120个 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种月饼每个的单价为元，则甲种月饼每个的单价为元，根据“购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个”列出方程求解即可； （2） 设购进甲种月饼个，则购进乙种月饼个，根据“总金额不超过1300元”列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设乙种月饼每个的单价为元，则甲种月饼每个的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则， 答：甲种月饼每个的单价为7.5元，乙种月饼每个的单价为5元． 【小问2详解】 设购进甲种月饼个，则购进乙种月饼个， 依题意得：， 解得：， 答：最多购进120个甲种月饼． 23. 在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． （1）如图1，是的中线，，，求的取值范围． 我们可以延长到点M，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：__________； （2）如图2，是的中线，点E在边上，交于点F，且，请参考（1）中的方法求证：； （3）如图3，在四边形中，，点E是中点，连接，，且，试猜想线段，，之间的数量关系，并予以证明． 【答案】（1） （2）见解析 （3）线段BC，CD，AD之间的数量关系为．证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是正确添加常用辅助线以及运用倍长中线构造全等三角形解决问题是解题的关键． （1）如图1：延长到点M，使，连接，根据可证，所以，再根据求得的取值范围，进而求得的取值范围； （2）如图2:延长到T，使得，连接．由，推出，，推出，再证明，进而证明结论； （3）如图3中，延长交的延长线于点G．利用全等三角形的性质证明，进而完成解答． 【小问1详解】 解：如图1，延长到点M，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 证明：如图2: 延长到T，使得，连接．     同（1）可证， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：结论：．理由如下： 如图3中，延长交的延长线于点G．     ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，点，，点C是x轴负半轴上的一动点，连接BC，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，交y轴于点E． （1）如图1，若，求点E的坐标； （2）如图2，若，连接OD，求证：； （3）若，，过O作于G，． ①按要求画出图形； ②求的面积为多少？（用含t的式子表示） 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据，，即可得到，再证，证，即可得到答案； （2）过点O作于G，于H，根据全等三角形的对应高相等得到，根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）①根据题意画出图形，②由直角三角形的性质得出，然后分别求出，根据三角形的面积公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴点E的坐标为； 【小问2详解】 证明：如图，过点O作于G，于H， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵，，， ∴DO平分，， ∴； 【小问3详解】 ①解：根据题意画出图形如图所示， ②如图，由（1）可知： ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ， . 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的性质、角平分线的判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $