上学期期末复习03 解答题压轴十六大类型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制九年级

期末复习03 解答题压轴十六大类型（压轴题专项训练） 目录 典例详解 类型一、统计综合 类型二、图形的位似变换 类型三、平面向量的线性运算 类型四、相似三角形的判定与性质 类型五、相似三角形中的动点问题 类型六、相似三角形的应用 类型七、锐角三角函数值的计算 类型八、解直角三角形的有关计算 类型九、解直角三角形的应用 类型十、二次函数的图象与解析式 类型十一、二次函数的应用 类型十二、二次函数解决图形动点问题 类型十三、圆基本性质的综合 类型十四、切线的性质与判定 类型十五、求阴影部分的面积 类型十六、正多边形与圆 压轴专练 类型一、统计综合 1．从我校届男、女生中各随机抽取名同学的初二下学期期末体育测试成绩进行统计分析（成绩得分用表示，共分成五组：：，：，：，：，：）绘制了如图的图表，请根据图中的信息解答下列问题： 抽取的男、女生体育测试成绩统计表 性别 平均数 中位数 众数 男生                女生                名男生的成绩在组中的数据是：，，，，，，． 名女生的成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． (1)表中______，______，扇形统计图中所对的圆心角为______． (2)根据以上数据，你认为此次测试中男生和女生谁的体育成绩更好？请说明理由；写出一条理由即可 (3)若本届我校共有名学生参加了此次体育测试，估计参加此次测试成绩优秀的学生共有多少名？ 2．学校开展校本知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息： 其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96； 九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89． 两组数据的平均数、中位数、众数如表所示： 学生 八年级 九年级 平均数 中位数 86 a 众数 b 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______ ，______，______； (2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； (3)若八年级有600名学生参赛，九年级有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 3．在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 4．安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查其中：A表示每次都戴；B表示经常戴；C表示偶尔戴；D表示不戴，将收集的数据制成如下统计图表． 活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表 类别 人数 A 68 B C 510 D 177 合计 1000 (1)在“活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表”中，B类别对应人数a不小心被污损，请计算a的值． (2)①为了更直观的反映A，B，C，D各类别所占的百分比，最适合的统计图是_______选填“扇形统计图”“条形统计图”或“折线统计图”②宣传活动前，抽取的市民中哪一类别的人数占比最大？若要绘制扇形统计图，求其所在扇形圆心角的度数． (3)小明认为，宣传活动后骑电瓶车不戴安全帽的人数为178，比活动前还增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法． 类型二、图形的位似变换 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题： (1)画出关于轴的轴对称图形； (2)以点为位似中心，在第一象限中画出，使得与位似，且相似比为． 6．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均在格点上．（格点是网格线的交点） (1)以点O为位似中心，画出线段的位似图形线段，使得线段与线段的相似比为； (2)将线段绕点顺时针旋转得到线段，画出线段； (3)四边形的周长为______． 7．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点O为位似中心，请在y轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为，并写出点的坐标______； (2)若点为内一点，经过（1）中的位似变换后，对应点的坐标是______； (3)请仅用无刻度的直尺在线段AB上确定一点P，使，请画出点P．（保留作图痕迹）． 类型三、平面向量的线性运算 9．如图， 在 中，点D在边上，，、分别交边、于点E、F， 且 (1)求 的值； (2)连接，设，，用含的式子表示． 10．如图，平行四边形中，点E为中点，设，． (1)用，表示下列向量：______，_____； (2)求作：．（画图并写出结论，不必写作法） 11．在平行四边形中，点M为对角线上的一点，点N为边上的一点，且点A和点N关于直线对称． (1)请用尺规作图的方法在图1中确定点M，N的位置，并在图中求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） (2)如图2所示，若，，则 = ． 12．如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上． (1)填空：＝ ，＝ ； (2)图中与相等的向量是 ，与相反的向量是 ； (3)求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）． 类型四、相似三角形的判定与性质 13．如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接，它们相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 14．如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 15．如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，过顶点作，垂足为，分别交于，交于． (1)求证：． (2)若点为的中点，求的值． 16．如图所示，在矩形中，是上的一点，过点作交于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 17．如图，在中，，点F在边上，点D在的延长线上，射线平分，点E在边上，且满足． (1)图中是否存在与相似的三角形，若存在请找出并证明，若不存在，请说明理由； (2)若，求的值． 18．如图，矩形中，点在边上，连接，过点作于点，交于点，连接并延长交于点，且点恰好是的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 类型五、相似三角形中的动点问题 19．如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度向点C移动，动点Q从点C从出发以的速度向点A移动，如果P、Q同时出发，当他们移动多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似？ 20．如图，已知在中，，点P从点B开始沿边向点A以的速度移动，同时点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．设运动时间为． (1)当 时与相似； (2)是否存在某一时刻t的值使得的面积等于， 若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 21．如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ 22．阅读理解． 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，过点B作交x轴于点E，连接交直线于点F，设运动时间为t秒． (1)当时，______，______； (2)当时，求运动时间t的值； (3)在运动过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 类型六、相似三角形的应用 24．如图，小华和小军同学想要测量学校教学楼的高度，小华站在地面上的点A处，此时小华在太阳光线下的影子顶端和教学楼在太阳光线下的影子顶端恰好重合于地面上的点B处，接着小军从点B处沿方向移动米到达点C处（即米），并在点C处测得，已知小华的身高米，小华的影长米，点O，A，B，C在同一条直线上，，，图中所有的点都在同一平面内，求教学楼的高度． 25．如图所示，某建筑物楼顶有信号塔，张平同学为了探究信号塔的高度，制订了如下测量方案．在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树，张平沿后退，发现地面上的点、树顶、信号塔顶端恰好在一条直线上，继续后退1.2米到处，发现地面上的点、树顶、信号塔底部恰好在一条直线上，已知米，米，小树的高度米，点在一条直线上，点在一条直线上，均垂直于，根据以上信息，请求出信号塔的高． 26．如图，小明把手臂水平向前伸直，手持直尺竖直放置，瞄准直尺的两端，，不断调整站立的位置，在点处恰好能看到铁塔的顶部和底部．设小明的手臂长，直尺长，点到铁塔底部的距离，求铁塔的高度． 27．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域，预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面之间的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点，分别在，上，点，在上，求汽车盲区的长度． 28．如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 类型七、锐角三角函数值的计算 29．先化简，再求代数式的值，其中． 30．先化简，再求代数式的值，其中． 31．计算下列各题： (1) (2)已知，，求的值．（提示：） 32．已知是锐角，且． 求的值． 33．（1）计算， （2）已知是锐角，且，求． 类型八、解直角三角形的有关计算 34．如图，在中，，是中线，，求和． 35．如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． (1)请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若，，求菱形的面积． 36．已知中，． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若，求的长． 37．如图，已知在中，，，延长边至点，使，连接．取边的中点，连接并延长交边于点． (1)求的正弦值． (2)求的值． 38．如图，在中，，是的中点，连接，过点作，且，连接． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，，则的面积为 ． 类型九、解直角三角形的应用 39．某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小颖站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．请计算台阶的高度，并求出孔子雕像的高度．（参考数据：，，） 40．小明想用所学的数学知识来测量一个5G通讯塔（通讯塔底部不可到达）的高度．如图所示，他在坡底C处用高为1米的测角仪测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达E处，在E处用相同测角仪测得塔顶A的仰角为．已知点B，C在同一条直线上，，测角仪，，求该5G通讯塔的高度．（所有点均在同一平面内，结果取整数，参考数据：） 41．左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米． 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡． (1)当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离； (2)点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货箱对角线、的交点是货箱侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，） 42．五一假期，圆圆来到公园开展综合实践活动测量一个古塔的高度．如图，在古塔附近有一斜坡，斜坡坡度为，，古塔落在斜坡上的影长，同一时刻，圆圆又测得竖立于地面上长1m的旗杆的影长为（古塔在圆圆的正前方）． (1)求古塔的高度； (2)圆圆站在斜坡上点处，已知目高为米．某一时刻，圆圆刚好看见远处的无人机沿着平行方向，以米秒的速度向前匀速飞行，求经过秒后，无人机正好在圆圆正上方，求遥控无人机离地面的高度． 43．在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度，在处用高为米的测角仪测得摩天轮顶端的仰角，再向摩天轮方向前进30米至处，又测得摩天轮顶端的仰角．求摩天轮的高度．（参考数据：，，，） 类型十、二次函数的图象与解析式 44．已知二次函数． (1)求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)求该二次函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (3)画出该二次函数的大致图象． 45．已知二次函数 (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴； (2)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标，并画出它的示意图； (3)当x取何值时，y随x增大而减小？当x取何值时，y最小还是最大？是多少？ 46．已知二次函数 (1)若，，当时，求y的取值范围； (2)当时，y的最大值为2；当时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 47．设抛物线（b为常数）经过点． (1)求二次函数表达式． (2)过点（其中）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，若，求t的值． (3)若点，在抛物线上，且始终满足，求的取值范围． 类型十一、二次函数的应用 48．在节假日期间，万象汇广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀，随着音乐的节拍，喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为． (1)当时， ①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？ ②若喷出的抛物线形水线最大高度为，求、的值； (2)当时，若要喷出的水不能触及岸边，请直接写出此时的取值范围． 49．根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 50．在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． (1)如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ (2)若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 51．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 52．某玩偶商店以每个18元的价格购进一种玩偶，销售时，该种玩偶的售价不低于进价且不高于33元．经过市场调查发现，该种玩偶每天的销售数量y（单位：个）与售价x（单位：元）满足关系式． (1)若该玩偶商店销售这种玩偶每天获利240元，则该种玩偶的售价为多少元？ (2)设该玩偶商店销售这种玩偶每天获利w（单位：元），当售价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 53．窜天猴，又称钻天猴或冲天炮，其特点在于火药燃烧后，能在尾部产生强大的气流，推动主体向上飞行，经研究发现，在摆放角度固定的情况下，发射后，窜天猴的高度与时间满足函数关系式．当发射时，窜天猴高度达到，当发射时，窜天猴高度达到． (1)求关于的函数解析式； (2)张涛家所在的楼层距离地面，他说：“窜天猴发射后，有两次与我家所在楼层的高度相同，这两次间隔的时间为”．请判断张涛的说法是否正确，并说明理由． 类型十二、二次函数解决图形动点问题 54．如图，在中，，，，点D为的中点，点Q从点C出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动，点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度，沿折线向终点C运动，Q，P两点同时出发，当点Q 停止时，点P也随之停止．设点Q运动的时间为t秒． (1)求当时t的值； (2)过点P作于点E，以为邻边作矩形，设矩形与重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 55．如图，在等边中，．动点P从点A出发，以的速度沿线段向终点匀速运动．过点P作于点D，以为边向右作矩形，且．设点P的运动时间为，矩形与重叠部分图形的面积为． (1)当点F落在上时，______． (2)当点E和点C重合时，______． (3)求y关于x的函数解析式． (4)连接，直接写出当时x的值． 56．中，于D，，，点E沿射线方向一直运动，将点E绕点D逆时针旋转得到点F（F在射线上），点G与点E关于点D成中心对称（点G在射线上），连接得到． (1)求的长； (2)在点E的运动过程中，设，与的重叠部分面积为S，求S与x的函数关系式． 57．如图，在中，，动点从点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点运动，当点不与的顶点重合时，过点作于点，以为边作矩形，使点、始终在直线的同侧，且，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上时，直接用含的代数式表示线段的长； (2)当点落在边上时，求的值； (3)设矩形与重叠部分的面积为，当重叠部分为四边形时，求与之间的函数关系式． 58．如图，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，点从点出发，沿方向以相同速度向终点运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设的面积为（平方单位），点运动的时间为（秒）． (1)直接写出的长； (2)当以、、为顶点的三角形与相似时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 59．如图1，在矩形中，已知，点是的中点．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动，当一个点到达点时，另一点也随之停止运动．连接，，设动点运动的时间为秒，的面积为，图2中的曲线是动点在线段上时与的函数图象． (1)填空： ①__________； ②当时，直接写出S与t的函数解析式为__________． (2)经探究，发现当点在线段上运动时，是关于的二次函数．请求出此时与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． (3)在整个运动过程中，若存在某3个时刻，，，使得S的值相等． ①求出S的取值范围； ②当时，求S的值． 类型十三、圆基本性质的综合 60．如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 61．如图，在坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________； (2)这个圆的半径为：_______； (3)直接判断点与的位置关系．点在________．（填“内”、“外”、“上”） 62．如图，是的内接三角形，延长至点D，平分交于点E，连接，．求证：． 63．如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 64．如图，点A、B、C在上，是直径，的角平分线与交于点D，与交于点M，且，连接，交于点N． (1)证明：； (2)试猜想与之间的数量关系，并证明． 65．如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 类型十四、切线的性质与判定 66．如图，是的直径，弦，过点D作的切线交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 67．如图，经过的两个顶点A，B，连接交于点D，且，． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 68．如图，在四边形中，是的切线，，，为的外接圆． (1)如图1，若，求； (2)如图2，交于点，过点作，垂足为，交于点，若，求的长． 69．如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 70．如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，试求的长． 71．如图，以点为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，，过点作交的延长线于点． (1)求证，是的切线； (2)若，，则的长． 类型十五、求阴影部分的面积 72．如图，是半的直径，，连接，沿翻折弧，恰好经过圆心O． (1)________； (2)若，求的半径r； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 73．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点． (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 74．如图是一个含水平地面的圆形隧道截面，其截面半径为，截面中水平地面部分弓形的高为． (1)若在隧道顶上装一个探照灯，恰好可以照到整个水平地面，求探照灯覆盖的光束角度范围（即求的度数）； (2)求截面中水平地面弓形的面积． 75．如图，已知是的直径，点在上，点在外，． (1)请说明是的切线； (2)若时，求阴影部分的面积． 76．如图，为的直径，弦于点，连接，，，为的中点，且． (1)求的长． (2)当时，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 类型十六、正多边形与圆 77．如图正六边形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)请在图（1）中对角线上作一点，使得； (2)请在图（2）中边上作一点，使得． 78．在圆内接正六边形中，分别交于点． (1)如图①，求证：点三等分； (2)如图②，过点作的垂线，垂足为，以点为圆心，的长为半径作圆；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）所作图形中，求证：是所作圆的切线． 79．如图，正方形内接于，M为上的一点，连接． (1)若，求证：M为的中点． (2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径． 1．为更好地服务于客户，某电信运营商对近期的人工客服满意度进行了统计，满意度分为三个等级（如图1所示），绘制了如图2所示的尚不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次人工客服满意度统计的人数为___________人； (2)请补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，C所在扇形的圆心角为多少度？ 2．如图，在平面直角坐标系内的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在第四象限画出，使与的相似比为（点A，B的对应点分别为）； (2)写出点的坐标________； (3)与的面积比为________． 3．在第30个“爱眼日”来临之际，某校数学兴趣小组通过调查统计，形成了如下报告（不完整）． 调查目的 1.了解本校八年级学生的视力健康水平 2.给同学提出更合理地使用眼睛，保护视力的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分八年级学生 调查内容 部分八年级学生的视力 调查结果 请结合调查报告，回答下列问题： (1)______，______，样本容量为______； (2)补全频数分布直方图； (3)若该校八年级有800名学生，估计该校八年级视力正常（4.9及以上为正常视力）的有多少人？ (4)该统计结果引起了同学们的重视，学校提出了“爱护眼睛，守护光明”的倡议，请你结合自身提出一条爱眼护眼的合理化建议． 4．孙老师在完成“2.5直线与圆的位置关系”教学后，对教材第67页的例3进行变式探究：如图，四边形是的内接四边形，是的直径，平分，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)取的中点G，过G作交于H，交于点F． 若，求的半径． 5．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和平面内的点C，给出如下定义：若弦上存在点P，使得点C绕点P旋转后得到的对应点在上，则称点C是弦的“伴随点”． (1)如图，点，． ①在点，,中，弦的“伴随点”是_________； ②若点D是弦的“伴随点”，则点D的横坐标的最小值为________； (2)已知直线与坐标轴交于点E和点F，点Q是线段上任意一点，且存在的弦，，使得点Q是弦的“伴随点”．直接写出b的取值范围． 6．如图，的直径，弦，的平分线交于点D，过点D作交延长线于点E，连接、． (1)求图中阴影部分的面积； (2)求证：是的切线． (3)求线段的长． 7．如图，是的两条直径，是劣弧的中点，连接．交于点，若． (1)求的度数． (2)求证：． 8．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫作比例三角形． (1)已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分，，求证：是比例三角形； 9．如图，已知菱形的边长为13，，于点E，P是边上的一点（点P不与点A和D重合），作射线，在射线上取点M，使，以，为邻边作． (1)______； (2)当点P为的中点时，求点到直线的距离； (3)当点B落在内部时，求的取值范围； (4)当A、B两个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在的直线上时，直接写出此时的长． 10．综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高度．如图，在地面A处测得广告牌顶端顶点C的仰角为，走向广告牌到达B处，在B处测得广告牌低端顶点D的仰角为，已知，立柱垂直于，且点A，B，H在同一条水平直线上．（矩形广告牌与立柱垂直）过点D作，垂足为E．设（单位：m）． (1)用含有h和的式子表示线段的长； (2)求广告牌低端顶点D到地面的距离的长．（取2.25，结果取整数） 11．如图三角形，，是边上的高．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接，交于E． (1)若四边形是正方形，求的长（图一）； (2)若四边形是矩形，且．求、的长（图二）； (3)若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和、的长． 12．综合与实践 【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分．某校九年级数学兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离． 【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点即为抛物线水流的最高点与地面的距离．小组成员设计的方案如下：拿一根长的竹竿，竖直地放在线段上当水流刚好经过竹竿顶部点时，测得竹竿底部点到点的距离为． 【问题解决】 (1)在图2中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和的长． (2)如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是，请问他们最多能站多宽才不会被水淋到该小组成员站在线段上拍照．，结果保留整数 13．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是直线上一动点，是抛物线上一点，过点作线段（点在直线下方），已知，请直接写出点的坐标． 14．抛物线与x轴交于、B两点．与y轴交于点、点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，连接，点P在抛物线上，若为直角三角形，且，求点P的坐标． (3)如图2，过点A的直线，点Q是直线上方抛物线上一动点，过点Q作，垂足为点E，连接，，，，当四边形的面积最大时，求点Q的坐标及四边形面积的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习03 解答题压轴十六大类型（压轴题专项训练） 目录 典例详解 类型一、统计综合 类型二、图形的位似变换 类型三、平面向量的线性运算 类型四、相似三角形的判定与性质 类型五、相似三角形中的动点问题 类型六、相似三角形的应用 类型七、锐角三角函数值的计算 类型八、解直角三角形的有关计算 类型九、解直角三角形的应用 类型十、二次函数的图象与解析式 类型十一、二次函数的应用 类型十二、二次函数解决图形动点问题 类型十三、圆基本性质的综合 类型十四、切线的性质与判定 类型十五、求阴影部分的面积 类型十六、正多边形与圆 压轴专练 类型一、统计综合 1．从我校届男、女生中各随机抽取名同学的初二下学期期末体育测试成绩进行统计分析（成绩得分用表示，共分成五组：：，：，：，：，：）绘制了如图的图表，请根据图中的信息解答下列问题： 抽取的男、女生体育测试成绩统计表 性别 平均数 中位数 众数 男生                女生                名男生的成绩在组中的数据是：，，，，，，． 名女生的成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． (1)表中______，______，扇形统计图中所对的圆心角为______． (2)根据以上数据，你认为此次测试中男生和女生谁的体育成绩更好？请说明理由；写出一条理由即可 (3)若本届我校共有名学生参加了此次体育测试，估计参加此次测试成绩优秀的学生共有多少名？ 【答案】(1)42；； (2)女生体育成绩更好，理由见解析 (3)名 【分析】 【详解】（1）解：男生成绩的中位数应是成绩由小到大排列后第10和第11个数据的平均数， 由题意知，男生A组有名，B组有名，C组有名， ∵， ∴男生成绩的中位数落在D组，即； ∵女生成绩为：29，31，34，36，37，40，41，42，42，43，44，44，46，46，46，46，47，48，48，50，其中46出现的次数最多， ∴女生的众数； 由题意知，男生E组有名， ∵， ∴扇形统计图中E所对的圆心角为， 故答案为：42，46，； （2）解：女生体育成绩更好，理由如下： 由题意知，男生、女生的成绩平均数相同，但女生的成绩的中位数（或众数）比男生的成绩高， ∴该校初二年级女生的体育成绩更好； （3）解：由题意可知，抽取女生测试成绩优秀（）的学生有8名，抽取男生测试成绩优秀（）的学生有6名， ∵名， ∴测试成绩优秀（）的学生总人数为名． 2．学校开展校本知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息： 其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96； 九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89． 两组数据的平均数、中位数、众数如表所示： 学生 八年级 九年级 平均数 中位数 86 a 众数 b 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______ ，______，______； (2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； (3)若八年级有600名学生参赛，九年级有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 【答案】(1)；88；40 (2)九年级的成绩更好，理由：因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级 (3)500人 【分析】 【详解】（1）解：九年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87、88，故中位数； 八年级20名同学的成绩出现次数最多的是88，故众数； 由题意可得，故， 故答案为：；88；40； （2）解：九年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级； （3）解：（人）， 答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有500人． 3．在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.44；450 (2)见解析 (3) (4) 【分析】 【详解】（1）解：由题意，，， 故答案为：0.44；450； （2）解：如图： （3）解：从表中频率的变化，可估计当n很大时，频率将会接近， 故获得《红星照耀中国》的概率约为， 故答案为：； （4）解：表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数约为， 则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是． 4．安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查其中：A表示每次都戴；B表示经常戴；C表示偶尔戴；D表示不戴，将收集的数据制成如下统计图表． 活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表 类别 人数 A 68 B C 510 D 177 合计 1000 (1)在“活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表”中，B类别对应人数a不小心被污损，请计算a的值． (2)①为了更直观的反映A，B，C，D各类别所占的百分比，最适合的统计图是_______选填“扇形统计图”“条形统计图”或“折线统计图”②宣传活动前，抽取的市民中哪一类别的人数占比最大？若要绘制扇形统计图，求其所在扇形圆心角的度数． (3)小明认为，宣传活动后骑电瓶车不戴安全帽的人数为178，比活动前还增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法． 【答案】(1)245 (2)①扇形统计图；② (3)小明分析数据的方法不合理，交警部门开展的宣传活动有效果，见解析 【分析】 【详解】（1）解：； （2）①扇形统计图 ②解：宣传活动前，在抽取的市民中C类“偶尔戴”的人数占比最大； 绘制扇形统计图时，其所在扇形圆心角的度数为； （3）解：小明分析数据的方法不合理．理由如下： 宣传活动后骑电瓶车不戴安全帽的百分比： ， 宣传活动前骑电瓶车不戴安全帽的百分比：， ， 因此交警部门开展的宣传活动有效果． 类型二、图形的位似变换 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题： (1)画出关于轴的轴对称图形； (2)以点为位似中心，在第一象限中画出，使得与位似，且相似比为． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求图形； （2）解：根据相似比为，得到， 在平面直角坐标系中描点，连线即可作图， ∴即为所求作图形． 6．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均在格点上．（格点是网格线的交点） (1)以点O为位似中心，画出线段的位似图形线段，使得线段与线段的相似比为； (2)将线段绕点顺时针旋转得到线段，画出线段； (3)四边形的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：如图：线段即为所作， （2）解：如图，线段即为所作， （3）解：由图可得：，，，， 故四边形的周长为． 7．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）解：如图，分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，． ∵点，，，， ∴，，，，， ∴ ． （2）解：设， ∵三角形的面积等于四边形面积的一半，， ∴， 解得：或， ∴或． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点O为位似中心，请在y轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为，并写出点的坐标______； (2)若点为内一点，经过（1）中的位似变换后，对应点的坐标是______； (3)请仅用无刻度的直尺在线段AB上确定一点P，使，请画出点P．（保留作图痕迹）． 【答案】(1)图见详解， (2) (3)见详解 【分析】 【详解】（1）如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为 故答案为： （2）由题意得，经过中的位似变换后，点对应点的坐标是 故答案为： （3）如图，取格点M，N，使AM：：2，且，连接MN交AB于点P， 此时∽， 则， 则点P即为所求． 类型三、平面向量的线性运算 9．如图， 在 中，点D在边上，，、分别交边、于点E、F， 且 (1)求 的值； (2)连接，设，，用含的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，与方向相反， ∴， 同理可得：， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，比例的性质以及向量的线性运算，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理以及向量的运算． 10．如图，平行四边形中，点E为中点，设，． (1)用，表示下列向量：______，_____； (2)求作：．（画图并写出结论，不必写作法） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E为中点， ∴， ∴    ，， 故答案为：，； （2）解：如图，即为所求作． 作图理由： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，又， ∴， 故即为所求作． 11．在平行四边形中，点M为对角线上的一点，点N为边上的一点，且点A和点N关于直线对称． (1)请用尺规作图的方法在图1中确定点M，N的位置，并在图中求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） (2)如图2所示，若，，则 = ． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】 【详解】（1）如图，点M和点N即为所求作的点，向量即为所求作的向量． （2）如图，连接， ∵点A和点N关于直线对称， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了尺柜作图，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，向量的运算等知识，熟练掌握向量的知识是解答本题的关键． 12．如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上． (1)填空：＝ ，＝ ； (2)图中与相等的向量是 ，与相反的向量是 ； (3)求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）． 【答案】(1)，； (2)；或 (3)详见解析 【分析】 【详解】（1）解：＝， ； 故答案为：，； （2）解：∵是平行四边形， ∴， ∴图中与相等的向量是，与相反的向量是或； 故答案为：；或； （3）如图，即为所求； 类型四、相似三角形的判定与性质 13．如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接，它们相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，过顶点作，垂足为，分别交于，交于． (1)求证：． (2)若点为的中点，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】 【详解】（1）证明：根据正方形的性质，可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （2）设， ∵为的中点， ∴，， 由（）可知：， ∴， ∴由勾股定理可知：， ∵在和，， ∴， ∵在正方形中，，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 16．如图所示，在矩形中，是上的一点，过点作交于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴； （2）解：设，则， ， ， 解得：， ，，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ． 17．如图，在中，，点F在边上，点D在的延长线上，射线平分，点E在边上，且满足． (1)图中是否存在与相似的三角形，若存在请找出并证明，若不存在，请说明理由； (2)若，求的值． 【答案】(1)与相似，证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解：与相似， 证明：， ， ， ， 又， ； （2）证明：，， ， 为等腰直角三角形， ， ，， 由（1）知， ， ， ， ，即， ，即， 由（1）知， ，即， ， ． 18．如图，矩形中，点在边上，连接，过点作于点，交于点，连接并延长交于点，且点恰好是的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴由（2）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形相似的判定和特殊三角形的性质是解决此题的关键． 类型五、相似三角形中的动点问题 19．如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度向点C移动，动点Q从点C从出发以的速度向点A移动，如果P、Q同时出发，当他们移动多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】秒或秒 【分析】 【详解】解：设当移动x秒时，两三角形相似， ∵动点P从点B出发以的速度向点C移动，动点Q从点C从出发以的速度向点A移动，，，， ∴x的取值范围为，，， ∴， （1）当时，则， ∴， 解得：； （2）当时，则， ∴， 解得：， 验证可知（1）（2）两种情况下所求的x的值均满足条件， 综上所述，当运动时间为秒或秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 20．如图，已知在中，，点P从点B开始沿边向点A以的速度移动，同时点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．设运动时间为． (1)当 时与相似； (2)是否存在某一时刻t的值使得的面积等于， 若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)不存在t的值，见解析 【分析】 【详解】（1）解：在中，， ∵， ∴， 设运动时间为t秒，则， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得： ∴秒或秒后，与相似； （2）解：如图，过点P作于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 方程无解， ∴不存在t的值使得的面积等于 【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程．注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． 21．如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ 【答案】(1)点出发秒后，的面积为面积的 (2)或 (3) 【分析】 【详解】（1）解：设经过秒后的面积为面积的，其中， 由题意知，，， ∴， ∴． 答：点出发秒后，的面积为面积的． （2）解：设经过秒后，以为顶点的三角形与相似，其中， 当时， 则有， ∴， ∴． 当时， 则有， ∴， ∴． 答：经过秒或秒后，以为顶点的三角形与相似． （3）解：如图，过点作，连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 答：当运动时间为时，． 22．阅读理解． 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，过点B作交x轴于点E，连接交直线于点F，设运动时间为t秒． (1)当时，______，______； (2)当时，求运动时间t的值； (3)在运动过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；3 (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，当时，， 在矩形中，，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：；3． （2）解：， ， ， ，即， 又， ， 由（1）得，， ， ， 又 ， ，即， 解得：， ， 运动时间t的值为． （3）解：存在， 由题意得，， 由（2）得，， ，即， ， ， 以P、O、E为顶点的三角形与相似，且， 下面分4种情况讨论： ①当点P在线段上，且， 此时，即， 整理得：，无实数解，舍去； ②当点P在线段上，且， 此时，即， 解得：，（负值舍去）， ， ； ③当点P在延长线上，且， 此时，即， 解得：，（负值舍去）， ， ； ④当点P在延长线上，且， 此时，即， 整理得：，无实数解，舍去； 综上所述，点P的坐标为或． 23．如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵的两条直角边，，， ∴， ∵点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒， ∴， ， ∴，， 故答案为：， （2）解：当，即时，， ， ， ； 当，即时，， ， ， ； 所以当动点运动秒或秒时，与相似； （3）解： 如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ． 类型六、相似三角形的应用 24．如图，小华和小军同学想要测量学校教学楼的高度，小华站在地面上的点A处，此时小华在太阳光线下的影子顶端和教学楼在太阳光线下的影子顶端恰好重合于地面上的点B处，接着小军从点B处沿方向移动米到达点C处（即米），并在点C处测得，已知小华的身高米，小华的影长米，点O，A，B，C在同一条直线上，，，图中所有的点都在同一平面内，求教学楼的高度． 【答案】米 【分析】 【详解】解：设米， ∵米，米， ∴米，米， ∵，， ∴， 即米， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴米． 25．如图所示，某建筑物楼顶有信号塔，张平同学为了探究信号塔的高度，制订了如下测量方案．在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树，张平沿后退，发现地面上的点、树顶、信号塔顶端恰好在一条直线上，继续后退1.2米到处，发现地面上的点、树顶、信号塔底部恰好在一条直线上，已知米，米，小树的高度米，点在一条直线上，点在一条直线上，均垂直于，根据以上信息，请求出信号塔的高． 【答案】7米 【详解】解：∵均垂直于， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴信号塔的高为7米． 26．如图，小明把手臂水平向前伸直，手持直尺竖直放置，瞄准直尺的两端，，不断调整站立的位置，在点处恰好能看到铁塔的顶部和底部．设小明的手臂长，直尺长，点到铁塔底部的距离，求铁塔的高度． 【答案】铁塔的高度为． 【分析】 【详解】解：如图：作于H，交EF于P，则，， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 答：铁塔的高度为． 27．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域，预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面之间的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点，分别在，上，点，在上，求汽车盲区的长度． 【答案】汽车盲区的长度为． 【分析】 【详解】解：如图，过作于点，交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴汽车盲区的长度为． 28．如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 又∵经过点O， ∴，即， ∴厘米； （2）解：过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理可得四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴厘米． 答：凸透镜焦距的长为厘米． 类型七、锐角三角函数值的计算 29．先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【详解】解： ． 当时， 原式． 30．先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【分析】 【详解】解：原式 ， ， 原式． 31．计算下列各题： (1) (2)已知，，求的值．（提示：） 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ∵，， ∴，， ∴原式 ． 32．已知是锐角，且． 求的值． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵是锐角，且， ∴， ∴ ． 33．（1）计算， （2）已知是锐角，且，求． 【答案】（1）；（2） 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解：∵是锐角，且，， ∴， ∴． 类型八、解直角三角形的有关计算 34．如图，在中，，是中线，，求和． 【答案】；； 【详解】解： ∵是中上的中线， ∴即， ∵， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴；；． 35．如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． (1)请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解：如图所示菱形即为所求： （2）解：设，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴ ∴， ∴， 即菱形的面积为． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握基本作图、解直角三角形． 36．已知中，． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图所示，过点作于点， ∵中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 37．如图，已知在中，，，延长边至点，使，连接．取边的中点，连接并延长交边于点． (1)求的正弦值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：过点C作于G， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故的正弦值为； （2）解：延长至H，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 38．如图，在中，，是的中点，连接，过点作，且，连接． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，，则的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】 【详解】（1）证明：∵在中，，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （2）解：过D作于H， ∵四边形是菱形，， ∴，，则， ∴， 设，， 由得， 解得，则， ∴的面积为， 故答案为：7． 类型九、解直角三角形的应用 39．某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小颖站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．请计算台阶的高度，并求出孔子雕像的高度．（参考数据：，，） 【答案】， 【分析】 【详解】解：教学楼门前台阶斜坡的坡比为，为， ， ， 即台阶的高度为； 如图所示，作于， 由题意得，四边形是矩形， ，， 设，则， 在中，， ， ， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 40．小明想用所学的数学知识来测量一个5G通讯塔（通讯塔底部不可到达）的高度．如图所示，他在坡底C处用高为1米的测角仪测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达E处，在E处用相同测角仪测得塔顶A的仰角为．已知点B，C在同一条直线上，，测角仪，，求该5G通讯塔的高度．（所有点均在同一平面内，结果取整数，参考数据：） 【答案】该5G通讯塔的高度为 【详解】解：延长，交的延长线于点H，过点M作于点G，延长，交于点P，过点N作于点Q，如图所示： 由题意得：， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 由坡比为的斜坡可知：， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则有， ∴， 在中，， 解得：， ∴； 答：该5G通讯塔的高度为． 41．左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米． 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡． (1)当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离； (2)点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货箱对角线、的交点是货箱侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，） 【答案】(1)米 (2)不会，理由见解析． 【分析】 【详解】（1）解：过点C作，垂足为H，过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：车厢最高点C离地面的距离是米； （2）解：不会发生安全事故， 理由是：过点G作，垂足为O，过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴不会发生安全事故． 42．五一假期，圆圆来到公园开展综合实践活动测量一个古塔的高度．如图，在古塔附近有一斜坡，斜坡坡度为，，古塔落在斜坡上的影长，同一时刻，圆圆又测得竖立于地面上长1m的旗杆的影长为（古塔在圆圆的正前方）． (1)求古塔的高度； (2)圆圆站在斜坡上点处，已知目高为米．某一时刻，圆圆刚好看见远处的无人机沿着平行方向，以米秒的速度向前匀速飞行，求经过秒后，无人机正好在圆圆正上方，求遥控无人机离地面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：如图：连接并延长交于，延长交于， 斜坡坡度为，即竖直高度与水平宽度的比为， 设B到地面的竖直高度为，水平宽度为， 又，， 由勾股定理可得， 即，即， 解得， ∴B到地面的竖直高度为，水平宽度为， ∵， ∴古塔在地面的影长为， ， ， ， ； （2）解：如图：连接并延长交于，延长，交延长线于，， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， 遥控无人机离地面的高度为． 43．在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度，在处用高为米的测角仪测得摩天轮顶端的仰角，再向摩天轮方向前进30米至处，又测得摩天轮顶端的仰角．求摩天轮的高度．（参考数据：，，，） 【答案】米 【详解】解：延长交于点，根据题意得四边形和都是矩形 ∴，米，，米 在中， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴（米） 答：摩天轮的高度大约是米． 类型十、二次函数的图象与解析式 44．已知二次函数． (1)求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)求该二次函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (3)画出该二次函数的大致图象． 【答案】(1) 对称轴为直线；顶点坐标为 (2) 与x轴的交点坐标为和；与y轴的交点坐标为； (3) 见解析 【分析】 【详解】（1）解：， 则该二次函数图象的对称轴为直线；顶点坐标为； （2）解：将代入，则，即该二次函数图象与y轴的交点坐标为； 令，即， 解得， 则该二次函数图象与x轴的交点坐标为和； （3）解：抛物线与x轴交于点，，与轴交点坐标为，且二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为 图象如下： 45．已知二次函数 (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴； (2)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标，并画出它的示意图； (3)当x取何值时，y随x增大而减小？当x取何值时，y最小还是最大？是多少？ 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2)函数图象与x轴的交点坐标为或，函数图象与y轴的交点坐标为，画图见解析. (3)当时，y随x的增大而减小；当时，y有最小值，最小值为 【分析】 【详解】（1）解：， 该函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）将代入函数，则， 函数图象与y轴的交点坐标为； 令， 解得，， 函数图象与x轴的交点坐标为或； 列表如下： 描点，连线作出图形的图象，如图： （3）由图象可知，当时，y随x的增大而减小．当时，y有最小值，最小值为 46．已知二次函数 (1)若，，当时，求y的取值范围； (2)当时，y的最大值为2；当时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：，时， ， 抛物线的开口向下，顶点坐标为 ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 中含有顶点， 当时，y有最大值7， 当时，y有最小值为6， 当时， （2）解：时，y的最大值为2；时，y的最大值为3， 抛物线的对称轴在y轴的右侧， ， 抛物线开口向下，时，y的最大值为2， ， 又时，y的最大值为3， ， ， ， 二次函数的表达式为 47．设抛物线（b为常数）经过点． (1)求二次函数表达式． (2)过点（其中）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，若，求t的值． (3)若点，在抛物线上，且始终满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得：， 二次函数表达式为； （2）解：由（1）知：， 点在轴上，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点， ，关于对称轴对称，，的纵坐标均为， ，， ∴， 由对称性知， ∴， ， 代入， 得：， ； （3）解：点，，在抛物线上， ，， ， ， ． 类型十一、二次函数的应用 48．在节假日期间，万象汇广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀，随着音乐的节拍，喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为． (1)当时， ①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？ ②若喷出的抛物线形水线最大高度为，求、的值； (2)当时，若要喷出的水不能触及岸边，请直接写出此时的取值范围． 【答案】(1)①抛物线形水线最大高度是米；②， (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵ ∴， ①∵喷出的水恰好达到岸边， ∴抛物线过， ∵抛物线过原点， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴当时，， ∴抛物线形水线最大高度是米； ②∵抛物线形水线最大高度达4米， ∴抛物线顶点的纵坐标为， 当时，， 解得：， ∴抛物线的顶点是， ∴， ∵抛物线过原点， ∴， 解得， ∴， ∴，． （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 解得：或， 当时，抛物线的顶点在原点，不符合实际， ∴， ∵喷出的抛物线形水线不能到岸边，出水口离岸边， ∴，即， 解得． 49．根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 【答案】(1) (2)火球不会落在城墙内 【分析】 【详解】（1）解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线方程为， 由于抛物线过原点， 则， 解得， 因此，石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为； （2）解：火球不会落在城墙内，理由如下： 城墙其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米， 则石块发射距离的范围为， 当时，， 当时，， 由于石块高度均高于城墙， 因此，火球不会落在城墙内． 50．在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． (1)如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ (2)若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)元 (2)售价定为元时，最大利润是元 【分析】 【详解】（1）解：设每个毛绒玩具售价定为元，， 该毛绒玩具每天的销售量为， 根据题意得， 解得，， 尽可能让利于顾客， ，即每个毛绒玩具售价定为元； （2）设每天销售玩具所获利润为元， ， 获利不得高于进价的， ， 解得， ， 当时，随着的增大而增大， 当时，最大，此时， 若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是元． 51．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 【答案】（1）80；（2）20． 【分析】 【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知： 把①×200得 用②-③得：，解得 把代入①中，解得 故入住A房间的有80间． （2）由题意得： 下调后A房间的房价=，B房间的房价= 由题目已知条件和（1）中计算的结果知： 下调后A房间的入住间数=，B房间的入住间数= 故三月份的总收入= 又∵三月份比二月份总营业收入增加了 ∴ 即 解得：，（舍去） 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键在于能够根据已知条件找到等量关系进行列式计算． 52．某玩偶商店以每个18元的价格购进一种玩偶，销售时，该种玩偶的售价不低于进价且不高于33元．经过市场调查发现，该种玩偶每天的销售数量y（单位：个）与售价x（单位：元）满足关系式． (1)若该玩偶商店销售这种玩偶每天获利240元，则该种玩偶的售价为多少元？ (2)设该玩偶商店销售这种玩偶每天获利w（单位：元），当售价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)销售单价为元； (2)当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【分析】 【详解】（1）解：根据题意得： ， 整理得：， 解得：(不合题意，舍去)， 答：销售单价为元； （2）解：根据题意得： ， ， ∴当时，随的增大而增大， ， ∴当时，取得最大值，最大值为：， 当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 53．窜天猴，又称钻天猴或冲天炮，其特点在于火药燃烧后，能在尾部产生强大的气流，推动主体向上飞行，经研究发现，在摆放角度固定的情况下，发射后，窜天猴的高度与时间满足函数关系式．当发射时，窜天猴高度达到，当发射时，窜天猴高度达到． (1)求关于的函数解析式； (2)张涛家所在的楼层距离地面，他说：“窜天猴发射后，有两次与我家所在楼层的高度相同，这两次间隔的时间为”．请判断张涛的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)张涛的说法正确，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵当发射时，窜天猴高度达到，当发射时，窜天猴高度达到， ∴， 解得， ∴关于的函数解析式为； （2）解：张涛的说法正确，理由如下： 当时，， 整理得，， 解得，， ∴两次间隔的时间为， ∴张涛的说法正确． 类型十二、二次函数解决图形动点问题 54．如图，在中，，，，点D为的中点，点Q从点C出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动，点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度，沿折线向终点C运动，Q，P两点同时出发，当点Q 停止时，点P也随之停止．设点Q运动的时间为t秒． (1)求当时t的值； (2)过点P作于点E，以为邻边作矩形，设矩形与重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵在中，，，， ， ∵点Q从点C出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动，点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度， ∴， ， 当时， 则 ∴， ∴， ， ∴ （2）解：由（1）得，当时，， ∴①当时，如图1，重叠部分是四边形． ∵在中，，，， ∴， 则， ∴， 则． ∵点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度，沿折线向终点C运动，Q，P两点同时出发，当点Q 停止时，点P也随之停止．设点Q运动的时间为t秒． ∴， ②当时，如图2， ， 则 ∴ ； 当时， 则， 则； ③、当时，如图3，重叠部分是五边形． 则， 则 ∴ ∴ 则 ∴ ∵点D为的中点，点Q从点C出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动， ∴ ④、当时，如图4， 则 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解直角三角形的相关运算，勾股定理，二次函数的几何综合，矩形的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 55．如图，在等边中，．动点P从点A出发，以的速度沿线段向终点匀速运动．过点P作于点D，以为边向右作矩形，且．设点P的运动时间为，矩形与重叠部分图形的面积为． (1)当点F落在上时，______． (2)当点E和点C重合时，______． (3)求y关于x的函数解析式． (4)连接，直接写出当时x的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】 【详解】（1）解：∵是矩形， ∴，， 又∵△ABC是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 又∵， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：当点E和点C重合时， ， 解得， 故答案为：； （3）解：如图，当时，； 当时，设、与边交于点M、， ∴，， ∴，， ∴； 当时，如图，，， ∴； ∴； （4）解：如图，当点E在边上时，当时，， 则点E在的中点处， 即， 解得， 当点E在的延长线上时，当时，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 综上所述，当时，x的值为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等边三角形的性质，多边形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 56．中，于D，，，点E沿射线方向一直运动，将点E绕点D逆时针旋转得到点F（F在射线上），点G与点E关于点D成中心对称（点G在射线上），连接得到． (1)求的长； (2)在点E的运动过程中，设，与的重叠部分面积为S，求S与x的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： ， ， ，，， ，， ； （2）∵将点绕点逆时针旋转得到点（在射线上），点与点关于点成中心对称（点在射线上）， ∴ ∴是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形， ①如图1中，当时，重叠部分是，； ②如图2中，当时，重叠部分是四边形； 作交的延长线于，作于， ∴，则， ∵，， ∴ ∴，， ∴， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ； ③当时，重叠部分是，， 综上所述，． 57．如图，在中，，动点从点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点运动，当点不与的顶点重合时，过点作于点，以为边作矩形，使点、始终在直线的同侧，且，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上时，直接用含的代数式表示线段的长； (2)当点落在边上时，求的值； (3)设矩形与重叠部分的面积为，当重叠部分为四边形时，求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】 【详解】（1）解：在中，， ∵，． ∴， 由题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴； （2）解：如图，当点落在边上时， 同理可得， ∴， ∴， 解得； （3）解：当点在边上即时， ； 当点在边上时， 如图，当点落在边上时， 由题意得，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 当点落在边上时，同理可得， ∴， ∴， 解得； 当时，． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，几何动态问题，矩形的判定与性质，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 58．如图，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，点从点出发，沿方向以相同速度向终点运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设的面积为（平方单位），点运动的时间为（秒）． (1)直接写出的长； (2)当以、、为顶点的三角形与相似时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 【答案】(1)5； (2)； (3)． 【分析】 【详解】（1）解：在中，，，， ． （2）解：由题意可知：， 如图所示， 当时， ∴ 解得：此时，与重合，不存在，不符合题意，舍去； 如图所示， 当时， 解得：． （3）解：根据题意知先运动到终点，时间为 当时， 作于点，则有 即有： ； 当，点在上时，如图所示，过点作垂足为则 ∵， ∴， ∴即 ∴， ∴的面积为 ∴与的函数关系式为 【点睛】本题考查了勾股定理，垂线定义，相似三角形的判定和性质，平行线的性质等知识点，熟悉掌握以上知识点是解题的关键． 59．如图1，在矩形中，已知，点是的中点．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动，当一个点到达点时，另一点也随之停止运动．连接，，设动点运动的时间为秒，的面积为，图2中的曲线是动点在线段上时与的函数图象． (1)填空： ①__________； ②当时，直接写出S与t的函数解析式为__________． (2)经探究，发现当点在线段上运动时，是关于的二次函数．请求出此时与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． (3)在整个运动过程中，若存在某3个时刻，，，使得S的值相等． ①求出S的取值范围； ②当时，求S的值． 【答案】(1)①6；②； (2)，自变量t的取值范围为； (3)①；② 【分析】 【详解】（1）解：①由图2可得时，点在点处， ， 故答案为：6， ②点是的中点， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动， ， 当点在上运动时，点在上运动， ，的高为8， 当时，， 故答案为：； （2）解：如图，当点在线段上运动时， ，， 此时， ， 自变量的取值范围为； （3）解：由（1）（2）得， ①如图，， 对于，当时，， ， 当时， ； ②， ， ， 解得：或（舍去）， 把，代入得： ． 类型十三、圆基本性质的综合 60．如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：如图，过点 O 作于点E． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，连接． ∵， ∵， 61．如图，在坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________； (2)这个圆的半径为：_______； (3)直接判断点与的位置关系．点在________．（填“内”、“外”、“上”） 【答案】(1) (2) (3)外 【分析】 【详解】（1）解：如图，利用网格特点，作和的垂直平分线，交于点M， 圆心的坐标为． （2），， ， 圆的半径长为． （3），， ， ， 点在外． 62．如图，是的内接三角形，延长至点D，平分交于点E，连接，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：平分， ， ∵， ， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、同弧所对的圆周角相等、等角对等边、角平分线的定义．解决本题的关键是根据图形的性质得到角之间的关系，利用角之间的关系得到边之间的关系． 63．如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点B作于， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 64．如图，点A、B、C在上，是直径，的角平分线与交于点D，与交于点M，且，连接，交于点N． (1)证明：； (2)试猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：猜想：． 证明：∵，， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 65．如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】 【详解】（1）解：连接， 是的直径，弦于点E， ， 垂直平分， ， ∴， ∴， ∴的度数是； （2）解：连接， ，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， 的长是． 类型十四、切线的性质与判定 66．如图，是的直径，弦，过点D作的切线交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：过点O作于点，连接，，如图1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，是切点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：作于点，如图2 ∵，于点， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 67．如图，经过的两个顶点A，B，连接交于点D，且，． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴为的切线． （2）解：∵， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 设，则， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴在中，． 68．如图，在四边形中，是的切线，，，为的外接圆． (1)如图1，若，求； (2)如图2，交于点，过点作，垂足为，交于点，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：连接并延长交于点E，连接CE． ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：如图2，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴，， 设， 在中，，， ∴ 由勾股定理，得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、平行线的性质、圆内接四边形、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线． 69．如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∴ ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴． （2）解：由（1），， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，即． 70．如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∵平分，，， ∴， 又为半径，， ∴是的切线； （2）∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则，， 在中，， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），证明某直线是圆的切线，切线的性质定理，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 71．如图，以点为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，，过点作交的延长线于点． (1)求证，是的切线； (2)若，，则的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：为直径， ，即， ， ， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接，如图所示， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆的性质、圆周角定理及其推论、切线的判定、勾股定理及直角三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握圆的性质及相关结论求出线段长度是解决问题的关键． 类型十五、求阴影部分的面积 72．如图，是半的直径，，连接，沿翻折弧，恰好经过圆心O． (1)________； (2)若，求的半径r； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：120． （2）解：中，，， ∴， 过O作于H， 则，， 在中，，即， 解得， ． （3）解：半圆的面积， 扇形的面积， 的面积． 弦与弧围成的弓形面积， 弦与弧围成的弓形面积， 弓形面积弓形面积， ∴阴影面积扇形的面积减去弓形面积． 73．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点． (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1)的长为； (2)阴影部分的面积为． 【分析】 【详解】（1）解：如图，过点 作于点． ，， ． 在 中，，，， ． ． ， ． ； （2）如图，连接． ， ． ． ． 74．如图是一个含水平地面的圆形隧道截面，其截面半径为，截面中水平地面部分弓形的高为． (1)若在隧道顶上装一个探照灯，恰好可以照到整个水平地面，求探照灯覆盖的光束角度范围（即求的度数）； (2)求截面中水平地面弓形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：如图，连接，，，过点O作交于点D， ∴， ∴， 在中，， ∴，则， 同理可得，则， ∴， 由圆心角定理可知，． （2）解：由（1）可知，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 75．如图，已知是的直径，点在上，点在外，． (1)请说明是的切线； (2)若时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：连接，如图所示：    ∵是的直径，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为：，， ∴阴影部分的面积为：． 【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理及其推论，勾股定理，扇形的面积，中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 76．如图，为的直径，弦于点，连接，，，为的中点，且． (1)求的长． (2)当时，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵F为中点，O为中点， ∴且， ∵， ∴， ∵于点E， ∴， ∴； （2）解：∵弦于点E， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：连接， ∵，， ∴， ∴． 在， ∵，，， ∴，， ∴阴影部分的面积． 类型十六、正多边形与圆 77．如图正六边形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)请在图（1）中对角线上作一点，使得； (2)请在图（2）中边上作一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图，连接交于点即为所求； ∵正六边形， ∴四边形与四边形关于成轴对称， ∴，，， ∵正六边形每个内角的度数为：， ∴， ∴； （2）如图，连接交BC于点即为所求．证明如下： 连接交于点H， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，作出相应图形是解题关键． 78．在圆内接正六边形中，分别交于点． (1)如图①，求证：点三等分； (2)如图②，过点作的垂线，垂足为，以点为圆心，的长为半径作圆；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）所作图形中，求证：是所作圆的切线． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：在圆内接正六边形中，，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ∴点三等分； （2）解：如图所示： 、即为所求； （3）证明：过点作，垂足为，连接，如图所示： 则， 由（1）知， ， ， ， 为所作圆的半径， 是所作圆的切线． 【点睛】本题考查圆与多边形综合，涉及圆的基本性质、圆内接正六边形性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、尺规作图-作垂直平分线、圆的切线的判定等知识，熟记圆与多边形相关性质是解决问题的关键． 79．如图，正方形内接于，M为上的一点，连接． (1)若，求证：M为的中点． (2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴M为的中点 （2）解：∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， 连接， ∴是等腰直角三角形， ∴，即圆的半径为． 1．为更好地服务于客户，某电信运营商对近期的人工客服满意度进行了统计，满意度分为三个等级（如图1所示），绘制了如图2所示的尚不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次人工客服满意度统计的人数为___________人； (2)请补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，C所在扇形的圆心角为多少度？ 【答案】(1)1200； (2)见解析； (3) 【分析】 【详解】（1）解：由条形统计图可知，A等级共840人；由扇形统计图可知，A等级占比， ∴总人数为人； （2）等级的人数为人，等级的人数为人，补全条形统计图如下： （3）， 故所在扇形的圆心角为． 2．如图，在平面直角坐标系内的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在第四象限画出，使与的相似比为（点A，B的对应点分别为）； (2)写出点的坐标________； (3)与的面积比为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：，与的相似比为，且不在同一象限， 点的坐标为， 故答案为：； （3）解：由题意得，相似比为， ， 故答案为：． 3．在第30个“爱眼日”来临之际，某校数学兴趣小组通过调查统计，形成了如下报告（不完整）． 调查目的 1.了解本校八年级学生的视力健康水平 2.给同学提出更合理地使用眼睛，保护视力的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分八年级学生 调查内容 部分八年级学生的视力 调查结果 请结合调查报告，回答下列问题： (1)______，______，样本容量为______； (2)补全频数分布直方图； (3)若该校八年级有800名学生，估计该校八年级视力正常（4.9及以上为正常视力）的有多少人？ (4)该统计结果引起了同学们的重视，学校提出了“爱护眼睛，守护光明”的倡议，请你结合自身提出一条爱眼护眼的合理化建议． 【答案】(1)60，，200 (2)见详解 (3)该校八年级视力正常（4.9及以上为正常视力）的有280人 (4)建议见详解（合理即可） 【分析】 【详解】（1）解：由频数分布表可知：所调查的学生人数为， ∴， ， 样本容量为200； 故答案为60，，200； （2）解：由（1）可得频数分布直方图如下： （3）解：由题意得： （人）； 答：该校八年级视力正常（4.9及以上为正常视力）的有280人． （4）答：可以利用课间休息时间组织学生进行远眺或加强学生的课后活动，（合理即可）． 4．孙老师在完成“2.5直线与圆的位置关系”教学后，对教材第67页的例3进行变式探究：如图，四边形是的内接四边形，是的直径，平分，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)取的中点G，过G作交于H，交于点F． 若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴． ∵平分， ∴。 ． ． ， 。 是的半径， 是的切线； （2）连接， ∵， 设，则，． 是的中点， 。 ， ． 又， 。 ， 在和中，， 。 解得（舍去），． 半径为． 5．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和平面内的点C，给出如下定义：若弦上存在点P，使得点C绕点P旋转后得到的对应点在上，则称点C是弦的“伴随点”． (1)如图，点，． ①在点，,中，弦的“伴随点”是_________； ②若点D是弦的“伴随点”，则点D的横坐标的最小值为________； (2)已知直线与坐标轴交于点E和点F，点Q是线段上任意一点，且存在的弦，，使得点Q是弦的“伴随点”．直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①，② (2)或 【分析】 【详解】（1）①解：设直线的解析式为，把点，分别代入解析式，得， 解得， 故直线的解析式为， 设点绕点P旋转后得到对应点，且在上，， 则，根据题意，，整理，得， 故， 又的半径为1，且在上， 故， 把代入中，得 ， 整理，得即， 解得， 当时，，此时； 当时，，此时； ∴点是弦的“伴随点”； 设点绕点P旋转后得到对应点，且在上，， 则，根据题意，，整理，得， 又的半径为1，且在上， 故， 把代入中，得 ， 整理，得即， 又， 此时方程无解， 故不是弦的“伴随点”； 设点绕点P旋转后得到对应点，且在上，， 则，根据题意，，整理，得， 故， 又的半径为1，且在上， 故， 把代入中，得 ， 整理，得即， 故即， 解得， 当时，，此时； ∴点是弦的“伴随点”； 故答案为：，． ②解：设， ∵点D是弦的“伴随点”， ∴， ∴， ∴， ∴点D的横坐标的最小值为； 故答案为：． （2）解：如图，， 把分别绕点N，M旋转得到和，连接，，， 此时点N在上，点M在上，且， 设和的外切于点K，作和的外公切线，连接，交切线于点G， 设切线与的切点为W，连接， 根据题意，得正方形， 故， 根据得到是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴弦的“伴随点”在以点为圆心，分别以3为半径，为半径的圆环内，包含边界． ∵直线与坐标轴交于点E和点F，点Q是线段上任意一点，且存在的弦，，使得点Q是弦的“伴随点”． ∴点Q在以点为圆心，分别以3为半径，为半径的圆环内，包含边界． ∴或， 当，且直线，且与小圆切于点R，交y轴于点S， ∵直线与坐标轴交于点E和点F， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 此时； 当，且直线，且与小圆切于点T，交y轴于点U， ∵直线与坐标轴交于点E和点F， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 此时； 综上所述，b的取值范围为或． 6．如图，的直径，弦，的平分线交于点D，过点D作交延长线于点E，连接、． (1)求图中阴影部分的面积； (2)求证：是的切线． (3)求线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是直径，且， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积是； （2）证明：由（1）知，即， ∵， ∴， ∴是的切线； （3）解：∵，， ∴， 过点A作于点F，则四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形的面积公式，切线的判定定理，勾股定理，正方形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键． 7．如图，是的两条直径，是劣弧的中点，连接．交于点，若． (1)求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）解：连接， 是劣弧的中点， 是的两条直径， 的度数是. （2）证明：， 直径平分弦所对的弧， ． 8．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫作比例三角形． (1)已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分，，求证：是比例三角形； 【答案】(1)的长为或9或 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：①当时，， ， ，（成立）； ②当时，， ，（成立）； ③当时，， ，（成立）； 综上所述，满足条件的的长为或9或； （2）证明：， ， ，， ， ， 即， ， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形． 9．如图，已知菱形的边长为13，，于点E，P是边上的一点（点P不与点A和D重合），作射线，在射线上取点M，使，以，为邻边作． (1)______； (2)当点P为的中点时，求点到直线的距离； (3)当点B落在内部时，求的取值范围； (4)当A、B两个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在的直线上时，直接写出此时的长． 【答案】(1)12 (2)12 (3) (4)1或 【分析】 【详解】（1）解∶∵，于点E， ∴， ， 中，， 即， ， 故答案为：12； （2）解：作于点H， ∵以，为邻边作， ∴， ∵于点E， ∴设于点G， ∵为中点，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即点到直线的距离是12； （3）解：点落在上时，如图所示： 此时三点重合； 点落在上时，如图所示： ， 中，，， ， ∴， ， ， 中，， ， ， ∴， ∴； （4）解：①当点、在直线上时，如图所示， ， ， ∴， ∴， ， ， ； ②当点在直线上时，如图所示， 作，交于， ， ， ， ， ； 综上所述，当、两个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在直线上，此时的长为1或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，平行线分线段成比例的性质等，熟知相关性质，准确作出辅助线并能结合图形分类讨论是正确解答此题的关键． 10．综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高度．如图，在地面A处测得广告牌顶端顶点C的仰角为，走向广告牌到达B处，在B处测得广告牌低端顶点D的仰角为，已知，立柱垂直于，且点A，B，H在同一条水平直线上．（矩形广告牌与立柱垂直）过点D作，垂足为E．设（单位：m）． (1)用含有h和的式子表示线段的长； (2)求广告牌低端顶点D到地面的距离的长．（取2.25，结果取整数） 【答案】(1)线段的长为 (2)的长约为 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴线段的长为； （2）解：设， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴广告牌低端顶点D到地面的距离的长约为． 11．如图三角形，，是边上的高．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接，交于E． (1)若四边形是正方形，求的长（图一）； (2)若四边形是矩形，且．求、的长（图二）； (3)若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和、的长． 【答案】(1)4.8 (2)， (3)最大面积是24，此时， 【分析】 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴，， 设正方形的边长为x，则， ∵是边上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴； （2）解：设，则， 由（1）得，四边形是矩形， ∴，， 由（1）得， ∴，即， 解得， ∴，； （3）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，矩形的面积为S， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴当时，S的最大值为24， ∴当时，矩形的面积最大，最大面积是24，此时，． 12．综合与实践 【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分．某校九年级数学兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离． 【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点即为抛物线水流的最高点与地面的距离．小组成员设计的方案如下：拿一根长的竹竿，竖直地放在线段上当水流刚好经过竹竿顶部点时，测得竹竿底部点到点的距离为． 【问题解决】 (1)在图2中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和的长． (2)如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是，请问他们最多能站多宽才不会被水淋到该小组成员站在线段上拍照．，结果保留整数 【答案】(1)图象见解析，， (2) 【分析】 【详解】（1）解：平面直角坐标系如下： ，抛物线顶点在y轴， ∴设抛物线解析式为， 的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O， 由题可知 将A，C代入抛物线解析式，得， 解得， 函数解析式为： ∴顶点为 故； （2）解：当时，代入抛物线表达式 解得 最大宽度为 他们能站的最大宽度为才不会被水淋到． 13．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是直线上一动点，是抛物线上一点，过点作线段（点在直线下方），已知，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，最大值是， (3)或 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得， ∴； （2）解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； （3）解：由（2）得直线的解析式为， ∵点是直线上一动点， ∴设， ∵过点作线段（点在直线下方）， 则：， ∵点在抛物线上 ∴， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵， 则或， ∴点的坐标为或． 14．抛物线与x轴交于、B两点．与y轴交于点、点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，连接，点P在抛物线上，若为直角三角形，且，求点P的坐标． (3)如图2，过点A的直线，点Q是直线上方抛物线上一动点，过点Q作，垂足为点E，连接，，，，当四边形的面积最大时，求点Q的坐标及四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】 【详解】（1）解∶∵抛物线过、， ∴， 解得：，， 抛物线解析式为； （2）解∶令， 解得∶(点A的横坐标)，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 过B作，交y轴于M， 则， ∴， ∴， 又， ∴是的高， ∴， ∴， 设直线为∶， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 联立， ∴， 解得∶(即点B的横坐标)，， 当时，， ∴． （3）解∶设直线的解析式为， ∵、， ∴， ∴直线的解析式为∶， ∵， ∴(同底等高) ， ∵、、， ∴，，， ∴， 设()，过Q作x轴的垂线，交于点F， 则， ． ∴， ∴ ∵ ∴当时，， 此时，即． 【点睛】本题考查了的图象与性质，的最值，待定系数法求二次函数解析式，面积问题(二次函数综合)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $