上海市静安区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年上海市静安区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，共23分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果，那么下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 2.下列多项式中，属于完全平方式的是 A. B. C. D. 3.将抛物线向左平移个单位后得到的抛物线表达式是(    ) A. B. C. D. 4.下列两个图形一定相似的是(    ) A. 两个菱形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个梯形 5.以下说法错误的是(    ) A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果为非零向量，那么 D. 如果是与非向量同方向的单位向量，那么． 6.古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度上半身的长度与肚脐至足底的长度下半身的长度的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的一位女士身高为，她上半身的长度为，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.已知，那么      ． 8.已知线段，点是的黄金分割点，且，那么线段的长为______． 9.如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为：，那么这两个三角形的面积比为______． 10.计算： ______． 11.已知两个相似三角形的相似比为：，那么这两个三角形的周长之比为______． 12.在中，点、分别在边、上，且，如果，那么 ______． 13.在直角坐标平面内有一点，点与原点的连线与轴的正半轴的夹角为，那么 ______． 14.如果港口的南偏东方向有一座小岛，那么从小岛观察港口的方向是______． 15.如图，小明在教学楼的楼顶测得：对面实验大楼的顶端的仰角为，底部的俯角为如果教学楼的高度为米，那么两栋教学楼的高度差为______米 16.如图，为等边三角形，点、分别在边、上，，如果：：，，那么的长等于______． 17.如图，图中提供了一种求的方法，作，使，，延长到点，使，联结，即可得，如果设，则可得，那么，运用以上方法，求得的值是        ． 18.如图，在中，，，是的中点，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，线段交边于点，联结当是直角三角形时，的长为______． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 计算：． 20.本小题分 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点为的中点，联结并延长，交边于点设，． 填空：向量 ______； 填空：向量 ______，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量． 注：本体结果用含向量、的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量 21.本小题分 如图，点在第一象限的反比例函数图象上，的延长线与轴交于点，已知点、的横坐标分别为、，． 求的余弦值； 求这个反比例函数的解析式． 22.本小题分 【问题提出】已知抛物线的顶点在第二象限，求的取值范围． 【分析问题】用配方法把该二次函数的解析式化为的形式：______，则顶点坐标为______根据“顶点在第二象限”，得出不等式______，解出的取值范围是______； 【反思评价】我们首先通过配方法配出该抛物线的顶点用含的代数式表示、接着根据题意得出对应的不等式，解不等式最后得出答案请你根据上述解答的方法，再提出一类似解法的问题不需要求解 23.本小题分 中，，点、分别为边、上的点，且，． 求证：； 联结，取的中点，联结并延长与交于点，求证：． 24.本小题分 在平面直角坐标系中如图，已知抛物线与轴交于点，顶点的坐标为． 直接写出点的坐标，并求抛物线的表达式； 设点在轴上，且，直线与抛物线的另一个交点为点． 求点、的坐标； 将抛物线沿着射线的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段上；点的对应点为点设线段与轴的交点为点，如果与相似，求点的坐标． 25.本小题分 如图，在矩形中，，，点在边上点与端点、不重合，联结，过点作，交的延长线于点，联结，与对角线、边分别交于点、设，． 求证：∽，并求的正切值； 求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域； 联结，当与相似时，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：， 选项A不符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C不符合题意； ， 选项D符合题意． 故选：． 根据，逐项判断即可． 此题主要考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：． 2.【答案】  【解析】解：．，故选项A符合题意； B.不符合完全平方公式的特征，故选项B不符合题意； C.不符合完全平方公式的特征，故选项C不符合题意； D.不符合完全平方公式的特征，故选项D不符合题意． 故选：． 根据完全平方公式的特征解答即可． 本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线向左平移个单位，则平移后的抛物线的表达式为， 故选：． 根据“左加右减”的原则进行解答即可． 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 4.【答案】  【解析】解：、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； B、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意； C、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意； D、两个梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意． 故选B． 根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解即可． 本题考查相似图形及其相关概念． 5.【答案】  【解析】解：、如果，那么，故本选项符合题意． B、如果，那么，故本选项不符合题意． C、如果为非零向量，那么与方向相同，则，故本选项不符合题意． D、如果是与非向量同方向的单位向量，那么，故本选项不符合题意． 故选：． 根据共线向量的定义，零向量的意义进行判断． 本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向． 6.【答案】  【解析】解：一位女士身高为，她上半身的长度为， 她下半身的长度为， 设鞋跟高为厘米时，她身材显得更为优美， 根据题意得， 解得． 经检验为原方程的解， 所以选择鞋跟高为厘米的高跟鞋最佳． 故选：． 她下半身的长度为，设鞋跟高为厘米时，她身材显得更为优美，利用黄金分割的定义得到，然后解方程即可． 本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题．利用因式分解解决证明问题．利用因式分解简化计算问题．也考查了黄金分割． 7.【答案】  【解析】解：，即：： ． 故答案为：． 先把化成，再代值计算即可． 本题考查比例的性质．解题关键是熟知比例的性质． 8.【答案】  【解析】解：线段，点是线段的黄金分割点，， ， 故答案为：． 根据黄金分割的概念得到，把代入计算即可． 本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍． 9.【答案】：  【解析】解：相似三角形对应高的比等于相似比， 两三角形的相似比为：， 两三角形的面积比为：． 故答案为：：． 根据对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答． 本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比等于相似比． 10.【答案】  【解析】解：原式． 故答案是：． 利用乘法结合律去括号，然后计算加减法． 本题主要考查了平面向量的计算，注意：实数的运算法则同样应用于平面向量的计算． 11.【答案】：  【解析】解：两个相似三角形的相似比为：， 它们的周长比等于相似比，即：：． 故答案为：． 直接利用相似三角形的周长比等于相似比，进而得出答案． 本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比．相似三角形面积的比等于相似比的平方．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 12.【答案】  【解析】解：如图， ， ∽， ， ， 故答案为：． 由证∽，得，继而可得答案． 本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 13.【答案】  【解析】解：作轴于点，如右图所示， 点， ，，， ， ， 即， 故答案为：． 根据题意，作出合适的平面直角坐标系，然后作轴于点，再根据点的的坐标和勾股定理，可以得到的长，然后即可得到的值． 本题考查解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 14.【答案】北偏西  【解析】【分析】 此题主要考查了方向角，正确画出方位角是解题关键． 根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解． 【解答】 解：如图，， 从小岛观察港口的方向是北偏西． 15.【答案】  【解析】解：连接，过点作于点，则四边形是矩形， 米， 在中，， ， ， 在中，， 米， 答：两栋教学楼的高度差为米． 故答案为：． 根据正切的定义分别求出、，结合图形计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解为等边三角形， ，， ，， ， ， ∽， ， ：：， ， ， ， ． 故答案为：． 由等边三角形的性质得出，，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可求出答案． 本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：作，使，，再延长到点，使，联结， ， ， ， ， 设，则，， ， 在中，， ． 故答案为：． 利用题中的方法构建一个，使，然后利用余切的定义求解． 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活应用勾股定理和锐角三角函数的定义是解决此类问题的关键． 18.【答案】或  【解析】解：如图，当时． 在中，，， ， 是的中点， ， ，， ， 又， ∽， ，即， 解得：， 设，则， ， ， ， ， 解得． ． 如图中，当时，连接，作交的延长线于． ，， ≌， ， 将沿直线翻折， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， ． 则的长为或． 故答案为：或． 分两种情况画出图形，如图，当时，如图，当时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案． 本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题． 19.【答案】解：原式 ．  【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质化简得出答案． 此题主要考查了特殊角的三角函数值二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键． 20.【答案】． ．  【解析】解：，，． ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 故答案为：． ， ：：：， ， ， ． 在向量和方向上的分向量分别为和． 故答案为：． 利用三角形法则求出，再证明即可解决问题． 利用平行线分线段成比例定理，求出，再利用三角形法则即可解决问题． 本题考查作图复杂作图，平四边形的性质，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21.【答案】解：作轴于，轴于， ， ∽， ， 点、的横坐标分别为、，． ，， ， ， ， ； ；， ， ， 点、在第一象限的反比例函数图象上， ，， ，， ， 解得， 反比例函数的解析式为．  【解析】作轴于，轴于，通过证得∽，求得，根据勾股定理求得，然后解直角三角形即可求得； 求得，从而求得，即可得到，解得． 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形等，根据题意求得线段的长度是解题的关键． 22.【答案】，        【解析】解：【分析问题】， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线顶点在第二象限， ， ． 故答案为：，，，． 【反思评价】按照上述思路，提出类似问题：的顶点在第一象限，求的取值范围． 【分析问题】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为，再利用第二象限点的坐标特征得到，然后解不等式即可． 【反思评价】按照上述思路，提出类似问题即可． 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的三种形式，能够把解析式化成顶点式是解题的关键． 23.【答案】证明：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ∽， ， ， ； 如图， 是直角三角形，点是中点， ， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ， ， 又， ， ．  【解析】通过证明∽，可得，可得结论； 由直角三角形的性质可得，进而可得，通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，由余角的性质可得结论． 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键． 24.【答案】解：当时，， ， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， ， 抛物线的表达式为：； 如图， ，， ， ， ， ， ， 设的解析式为：， 则，解得：， 的解析式为：， 则，解得：或， ； ，， 同理得的解析式为：， ， ，， ，， ， 如图，同理得：的解析式为：， 由平移得：，则的解析式为：， ， ， ， 设抛物线平移后的顶点为，，则，， 抛物线沿着射线的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段上， ， 如果与相似，有以下两种情况： 当时，即， 解得：， ； 当时，即， 解得：不符合题意，舍去， 综上，．  【解析】先令可得，得点的坐标，根据抛物线的顶点，利用待定系数法可得抛物线的表达式； 根据点和的坐标得，所以，可知是等腰直角三角形，可得的坐标，从而得的解析式，联立方程组可得直线与抛物线的交点的坐标； 先证明，设，根据平移后的对称点在线段上可知，如果与相似，存在两种情况：或，列方程可得结论． 本题是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，两点的距离公式，相似三角形的性质和判定，平移的性质等知识，解题时，注意数形结合，使抽象的问题变得具体化，降低了解题的难度． 25.【答案】解：，， ， 在与中， ， ∽， ， ， 由可知， 四边形是矩形， ， ∽， ， ， 可得：； ，，，， ， ， ， 若∽，则有两种情况， 第一种： ， ， ， 即， 解得：， 第二种： ， ， ， 即， 解得：． 综上所述，的值为或．  【解析】根据矩形的性质得到，根据余角的性质得到，由相似三角形的判定定理即可得到结论； 根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答； 根据相似三角形的性质分两种情况解答． 本题考查了相似综合题，综合运用了相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，矩形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $