寒假作业03 指数与对数的运算与转化4类重点必刷题型（巩固培优）高一数学苏教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 指数与对数的运算与转化 一、根式与分数指数幂 1. 次方根的定义与性质 （1）根式的定义 一般地，如果，那么x叫做a的次方根，其中，且。 （2）根式的性质 ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； ②当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； ③负数没有偶次方根； ④0的任何次方根都是0，记作。 2. 根式的定义与性质 （1）根式的定义 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数。 （2）根式的性质 ①； ②，其中且。 3. 分数指数幂 （1）我们规定正数的正分数指数幂的意义是． 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式． （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且． （3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 4. 有理数指数幂 规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数．整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质： （1）. （2）. （3）． （4）． 二、对数的概念、性质与运算 1. 对数的定义 一般地，如果,那么叫做以为底的对数，记作。 其中叫做对数的底数，叫做对数的真数。 2. 两个特殊的对数 （1）以为底的对数叫做常用对数，记作. （2）以为底的对数叫做自然对数，记作. 3. 两个对数定值 （1）. （2）. 4. 指数式和对数式的互化. （1）由指数式转化为对数式时，以指数式的底数为底数，指数运算的结果为真数的对数，其结果为指数式的指数； （2）由对数式转化为指数式时，以对数的底数为底数，对数运算的结果为指数的指数，其结果为对数式的真数. 5. 对数的运算性质 已知且，且，且，，， （1）积的对数：； （2）商的对数：； （4）幂的对数：（特殊的）； （3）换底公式：（因为，所以为了方便书写，我们常用）； （5）对数恒等式：. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 分数指数幂与根式的互化 1．（25-26高一上·江西·月考）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东青岛·期中）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏南通·期中）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）设，则 .（结果用分数指数幂表示） 5．（24-25高一上·上海·期中）化简： . 6．（24-25高一上·上海松江·期末）经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 7．（25-26高一上·新疆喀什·月考）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 8．（24-25高一上·江苏连云港·月考）（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 题型二 指数幂的化简、求值 1．（25-26高一上·湖南长沙·月考）计算（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中·多选）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·天津静海·月考）计算： 5．（2025·上海闵行·一模）已知，，化简： . 6．（25-26高一上·安徽芜湖·月考）已知，，则的值为 ． 7．（25-26高一上·山西太原·期中）计算下列各式 (1)； (2)； (3)已知，求的值. 8．（25-26高一上·安徽合肥·期中）化简求值： (1)； (2)已知，求：. 题型三 指数式与对数式的互化 1．（24-25高三下·四川攀枝花·月考）已知，，则（   ） A．9 B．3 C． D． 2．（25-26高一上·广东广州·月考）若，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 3．（24-25高一上·辽宁·期末）已知，则 ． 4．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知且，若，则 ． 5．（25-26高一上·福建厦门·月考）求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 6．（25-26高一上·湖南株洲·月考）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四 对数的运算 1．（25-26高一上·贵州黔东南·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏扬州·月考）式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 3．（25-26高一上·山西吕梁·月考）已知，，则（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·贵州安顺·月考·多选）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·宁夏·月考）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·四川达州·月考）求值： ． 7．（25-26高一上·北京·月考）计算： ． 8．（25-26高一上·陕西渭南·月考）计算： (1) (2) (3) 9．（25-26高一上·陕西西安·月考）化简求值： (1)已知，请用表示； (2)； (3) 1．（25-26高一上·河北张家口·月考）已知方程的两个根分别为，，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26高一上·北京通州·期中）已知，，则下列式子不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津东丽·月考）已知且，则的值是 . 4．（25-26高一上·江苏南京·月考）(1)已知，，求的值； (2)已知，为正实数，求的值； (3)已知，求的值. 5．（24-25高一上·上海虹口·期中）（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 1．（25-26高一上·河南郑州·月考）如果为正整数且不是一个完全平方数，那么可以表示为的形式.若，则的值分别为 . 2．（25-26高三上·山东·月考）已知关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若，求； (2)若，求； (3)求的取值范围. 3．（24-25高一上·广东江门·月考）已知正实数x，y，z满足． （1）求证：； （2）比较的大小． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 指数与对数的运算与转化 一、根式与分数指数幂 1. 次方根的定义与性质 （1）根式的定义 一般地，如果，那么x叫做a的次方根，其中，且。 （2）根式的性质 ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； ②当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； ③负数没有偶次方根； ④0的任何次方根都是0，记作。 2. 根式的定义与性质 （1）根式的定义 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数。 （2）根式的性质 ①； ②，其中且。 3. 分数指数幂 （1）我们规定正数的正分数指数幂的意义是． 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式． （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且． （3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 4. 有理数指数幂 规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数．整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质： （1）. （2）. （3）． （4）． 二、对数的概念、性质与运算 1. 对数的定义 一般地，如果,那么叫做以为底的对数，记作。 其中叫做对数的底数，叫做对数的真数。 2. 两个特殊的对数 （1）以为底的对数叫做常用对数，记作. （2）以为底的对数叫做自然对数，记作. 3. 两个对数定值 （1）. （2）. 4. 指数式和对数式的互化. （1）由指数式转化为对数式时，以指数式的底数为底数，指数运算的结果为真数的对数，其结果为指数式的指数； （2）由对数式转化为指数式时，以对数的底数为底数，对数运算的结果为指数的指数，其结果为对数式的真数. 5. 对数的运算性质 已知且，且，且，，， （1）积的对数：； （2）商的对数：； （4）幂的对数：（特殊的）； （3）换底公式：（因为，所以为了方便书写，我们常用）； （5）对数恒等式：. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 分数指数幂与根式的互化 1．（25-26高一上·江西·月考）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 2．（25-26高一上·山东青岛·期中）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据指数幂的运算性质，可得. 故选：D. 3．（25-26高一上·江苏南通·期中）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，则. 故选：B. 4．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）设，则 .（结果用分数指数幂表示） 【答案】 【详解】. 故答案为： 5．（24-25高一上·上海·期中）化简： . 【答案】 【详解】由题意可知：， 所以. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海松江·期末）经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 【答案】 【详解】依题意，，而， 则，而，解得， 所以. 故答案为：. 7．（25-26高一上·新疆喀什·月考）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据根式与分数指数幂的关系，化简各小题，即可得答案. 【详解】（1）； （2）； （3）由于，故； （4）； （5）. 8．（24-25高一上·江苏连云港·月考）（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1）; （2）； （3）. 题型二 指数幂的化简、求值 1．（25-26高一上·湖南长沙·月考）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 2．（25-26高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将两边平方，得，即， 所以. 故选：A. 3．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中·多选）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由，得， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 4．（25-26高二上·天津静海·月考）计算： 【答案】 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 5．（2025·上海闵行·一模）已知，，化简： . 【答案】 【详解】， . 故答案为：. 6．（25-26高一上·安徽芜湖·月考）已知，，则的值为 ． 【答案】 【详解】由. 故答案为： 7．（25-26高一上·山西太原·期中）计算下列各式 (1)； (2)； (3)已知，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）； （2）； （3）， ，则， . 8．（25-26高一上·安徽合肥·期中）化简求值： (1)； (2)已知，求：. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ； （2）方法一：由已知条件可得， ，所以. 方法二：由已知条件，不妨设， ，解得或. 当时，； 当时，； 综上所述：. 题型三 指数式与对数式的互化 1．（24-25高三下·四川攀枝花·月考）已知，，则（   ） A．9 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由题意，， 于是， 于是. 故选：D 2．（25-26高一上·广东广州·月考）若，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】B 【详解】由题知，解得. 故选：B. 3．（24-25高一上·辽宁·期末）已知，则 ． 【答案】 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 4．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知且，若，则 ． 【答案】/ 【详解】由已知且，， 得，则， 故， 故答案为： 5．（25-26高一上·福建厦门·月考）求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 【答案】(1) (2)9 (3)2 【详解】（1）由，得； （2）由，得，所以； （3）因为，所以，所以. 6．（25-26高一上·湖南株洲·月考）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 题型四 对数的运算 1．（25-26高一上·贵州黔东南·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意有：， 故选：B. 2．（25-26高一上·江苏扬州·月考）式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】， ， ， 所以. 故选：C. 3．（25-26高一上·山西吕梁·月考）已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以，又，所以. 故选：D． 4．（25-26高一上·贵州安顺·月考·多选）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】A选项，，A错误； B选项，，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：CD. 5．（25-26高一上·宁夏·月考）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】在A选项中， ，故A错误 在B选项中，，故 B错误． 在C选项中，，故C正确． 在D选项中，，故D正确． 故选：CD 6．（25-26高一上·四川达州·月考）求值： ． 【答案】6 【详解】，，， ． 故答案为：6． 7．（25-26高一上·北京·月考）计算： ． 【答案】 【详解】 . 故答案为： 8．（25-26高一上·陕西渭南·月考）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)3 (2) (3)1 【详解】（1） （2） （3） 9．（25-26高一上·陕西西安·月考）化简求值： (1)已知，请用表示； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） （2）原式 （3）原式 1．（25-26高一上·河北张家口·月考）已知方程的两个根分别为，，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】由题意可知，即是方程的两个根， 则，可得， 所以. 故选：D 2．（25-26高一上·北京通州·期中）已知，，则下列式子不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，所以，所以，故A正确； 由，故B错误； 由，由，又， 所以（当时取等号）， 因为，所以等号不能取到，故，故C正确； 因为，所以， 又由，因为，所以， 所以，故D正确， 故选：B 3．（25-26高一上·天津东丽·月考）已知且，则的值是 . 【答案】 【详解】由知. 又，所以，且， 代入得. 所以，即， 所以，解得（负值舍去）. 故答案为：. 4．（25-26高一上·江苏南京·月考）(1)已知，，求的值； (2)已知，为正实数，求的值； (3)已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）原式. （2）因为， ， 所以. （3）由可得， 即， 又，令，则， 解得，即. 5．（24-25高一上·上海虹口·期中）（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 【答案】（1）；（2）或；（3） 【详解】（1）∵ ∴ ∴ （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或； （3） 即 =① 方程两边同乘x得： 即② 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即 若是方程①的解，则，即 则要使方程①有且仅有一个解，则 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是 1．（25-26高一上·河南郑州·月考）如果为正整数且不是一个完全平方数，那么可以表示为的形式.若，则的值分别为 . 【答案】4，3，8 【详解】由，则， 而，所以， 所以，则， 所以，则， 因为，所以，解得. 故答案为：4，3，8. 2．（25-26高三上·山东·月考）已知关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若，求； (2)若，求； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）依题意可得， 解得. 由韦达定理得， 因为， 所以，得. （2）由韦达定理得， 由，得 （3）因为， 所以的取值范围为 3．（24-25高一上·广东江门·月考）已知正实数x，y，z满足． （1）求证：； （2）比较的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）证明：令， 利用指数式和对数式的互化知，， 则，， ∴. （2） 证明：因为正实数x，y，z，， 又，， 又，， ∴． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $