内容正文:
限时练习:40min 完成时间: 月 日 天气:
寒假作业07 三角函数的定义与基本关系
1、角的概念
(1)分类:角按旋转方向分为正角、负角和零角.
(2)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是.
2、弧度制
(1)角度制和弧度制的互化:,,.
(2)扇形的弧长公式:,扇形的面积公式:.
3、任意角的三角函数
(1)定义:任意角的终边与单位圆交于点时,则,,.
(2)推广:三角函数坐标法定义中,若取点P是角终边上异于顶点的任一点,设点到原点的距离为,则,,
三角函数的性质如下表:
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
+
+
-
-
+
-
-
+
+
-
+
-
记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
4、同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:.
(2)商数关系:;
5、三角函数诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变,符号看象限
函数名改变,符号看象限
【记忆口诀】奇变偶不变,符号看象限,说明:(1)先将诱导三角函数式中的角统一写作;(2)无论有多大,一律视为锐角,判断所处的象限,并判断题设三角函数在该象限的正负;(3)当为奇数是,“奇变”,正变余,余变正;当为偶数时,“偶不变”函数名保持不变即可.
三层必刷:巩固提升+能力培优+创新题型
题型一 角度制与弧度制
1.(25-26高一上·天津北辰·月考)下列说法正确的是( )
A.若角与角不相等,则与的终边不可能重合
B.角的大小是一个与半径大小无关的值
C.终边落在直线上的角的集合是
D.若角是锐角,则一定是钝角
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】任意角的概念、找出终边相同的角、确定已知角所在象限、用弧度制表示角的集合
【分析】由任意角的定义,终边相同角,象限角的定义,
【详解】A,若角与角不相等,例如,,二者不相等但终边重合,故错误,
B,角的大小是一个与半径大小无关的值,角的大小与角两边的张开程度有关,故正确,
C,终边落在直线上的角,在第一象限的角为,在第三象限的角为,合并后,故错误.
D,,则是锐角,不一定是钝角,故错误.
故选:B.
2.(25-26高一上·河北邢台·月考)与角的终边相同的最小正角是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】找出终边相同的角
【分析】根据终边相同的角的性质进行求解即可.
【详解】因为,
所以角的终边相同的最小正角是,
故选:A
3.(25-26高一上·宁夏银川·月考)(多选题)以下说法正确的有( )
A.化成弧度为
B.与的终边相同的角的集合是
C.将表的分针拨慢20分钟,则分针转过的角的弧度是
D.已知扇形的周长为,圆心角为,则该扇形的面积为
【答案】ABD
【难度】0.85
【知识点】找出终边相同的角、角度化为弧度、扇形弧长公式与面积公式的应用
【分析】根据角的性质和弧度制逐一判断各个选项即可得到结论.
【详解】对于A,,故A正确;
对于B,,所以与的终边相同的角的集合是,故B正确;
对于C,将表的分针拨慢20分钟,则分针逆时针旋转,故分针转过的角的弧度是,故C不正确;
对于D,设扇形的弧长,半径为,由于扇形的周长为,圆心角为,
则,解得,则该扇形的面积为,故D正确.
故选:ABD.
4.(25-26高一上·重庆·月考)(多选题)下列结论正确的有( )
A.与的终边相同
B.若圆心角为的扇形的弧长为,则该扇形的面积为
C.若角为第二象限角,则角为第一象限角
D.命题“角为第一象限角”是“>0” 的充分不必要条件
【答案】ABD
【难度】0.85
【知识点】判断命题的充分不必要条件、找出终边相同的角、确定n分角所在象限、扇形面积的有关计算
【分析】根据终边相同的角的表示方法判断A;利用扇形的弧长、面积公式计算判断B;根据象限角的定义计算判断C;利用充要条件和象限角的定义判断D.
【详解】对于A,因,故A正确;
对于B,设扇形的半径为,依题意,,解得,则该扇形的面积为,故B正确;
对于C,因是第二象限角,但是第三象限角,故C错误;
对于D,若角为第一象限角,则必有,充分性成立;若,则为第一或第四象限角或终边落在轴正半轴上的角,
故必要性不成立,即“角为第一象限角”是“>0” 的充分不必要条件,故D正确.
故选:ABD.
题型二 扇形的弧长与面积公式的计算
1.(25-26高一上·山西晋城·月考)小李同学在学习了《任意角和弧度制》后,临摹了一件扇形瓷器盘(图1)的大致形状,如图2所示,已知在扇形中,,,则下列结论中错误的是( )
A. B.弧长
C.扇形的周长为 D.扇形的面积为
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用
【分析】根据弧度制与角度制的互化判断A;根据弧长公式判断B:根据扇形的周长和面积公式判断C和D.
【详解】对于A:,A正确;
对于B:,B正确;
对于C:扇形的周长为,C正确;
对于D:扇形的面积为,D错误;
故选:D
2.(25-26高一上·山东聊城·月考)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴,“数折聚清风,一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句.如图,假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB,再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD(作为扇骨留白),形成扇环形状的扇面ABCD.当扇子扇形的圆心角为时,扇面看上去形状较为美观.已知,弧AB的长为,则此扇面的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】扇形面积的有关计算
【分析】先通过弧长公式求出大扇形半径,再结合的长度得到小扇形半径,最后利用扇形面积公式计算两个扇形的面积差,得到扇面面积.
【详解】设,因为圆心角,弧AB的长为,
代入弧长公式可得,解得.
所以.
由扇形面积公式可得,
,
,
所以此扇面的面积.
故选:B
3.(25-26高一上·甘肃酒泉·期末)如图,已知矩形截圆所得的弧的长为,,则矩形在圆外部分的面积为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、圆的弧长、面积、圆心角等计算
【分析】根据条件,利用弧长公式得圆的半径,再结合条件,利用扇形的面积公式,即可求解.
【详解】设圆的半径为,由题有,解得,
又,所以,又点在圆上,,则
所以矩形的面积为,
又扇形的面积为,所以矩形在圆外部分的面积为,
故答案为:.
4.(2025·江苏·模拟预测)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴,“数摺聚清风,一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句.如图,假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形,再在该扇形内剪下一个同心小扇形(作为扇骨留白),形成扇环形状的扇面.当扇子扇形的圆心角为时,扇面看上去形状较为美观.已知,弧的长为,则此扇面的面积为 .
【答案】
【难度】0.94
【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用
【分析】利用弧长公式求出的长,利用扇形面积公式求出大、小扇形面积,最后作差求出扇面面积.
【详解】设,因为圆心角,弧的长为,代入弧长公式可得,解得.
由扇形面积公式可得:,
,
所以此扇面的面积为.
故答案为:.
题型三 三角函数的定义
1.(25-26高一上·黑龙江大庆·期末)已知角的终边经过点,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数
【分析】由余弦函数的定义及列方程求参数值.
【详解】由题设,可得.
故选:A
2.(25-26高一上·广东广州·月考)已知角的终边经过点,则的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值
【分析】利用正弦函数的定义即可求解.
【详解】角的终边经过点,点到原点的距离,由正弦函数的定义可知.
故选:D
3.(25-26高一上·上海·月考)已知是第三象限的角,则 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、已知正(余)弦求余(正)弦、已知弦(切)求切(弦)
【分析】利用同角三角函数的基本关系建立方程组,进而求解即可.
【详解】因为是第三象限的角,所以,
因为,所以,
联立方程组,解得(正根舍去),
故答案为:
4.(25-26高一上·云南文山·月考)已知角的终边经过点,且,则的值是 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数
【分析】由终边上的点坐标和求得,由终边上的点坐标求得的值.
【详解】因为,所以,
所以.
故答案为:
题型四 诱导公式
1.(2026高一上·江苏南通·专题练习)已知角的终边过点,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知弦(切)求切(弦)、三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】先利用诱导公式和同角三角函数基本关系化简表达式,再根据任意角三角函数的定义求值.
【详解】因为,
又点在角的终边上,则,
所以的值为.
故选 :A.
2.(25-26高一上·黑龙江大庆·期末)若为第二象限角,且,则=( )
A. B. C. D.
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】利用已知可求得,利用三角函数诱导公式可求得.
【详解】因为为第二象限角,所以,
所以,所以,
又因为,所以.
所以.
故选:C.
3.(25-26高一上·甘肃定西·期末)已知,,则 .
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】根据三角函数的诱导公式,结合同角三角函数,可得答案.
【详解】因且,则,
则.
故答案为:.
4.(25-26高一上·浙江·月考)已知,则 .
【答案】
【难度】0.94
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】利用诱导公式计算可得.
【详解】因为,所以.
故答案为:.
题型五 同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用
1.(25-26高一上·山东烟台·期末)已知,则 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】根据三角函数的诱导公式进行求解即可.
【详解】由题意,因为,
所以.
故答案为:.
2.(25-26高一上·广东珠海·月考) .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六
【分析】根据给定条件,利用诱导公式及同角公式化简即得.
【详解】.
故答案为:
3.(25-26高一上·广东·月考)已知角的终边经过点,则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】根据三角函数的定义,利用三角函数的诱导公式,可得答案.
【详解】由于角的终边经过点,故,
所以.
故答案为:.
4.(25-26高一上·黑龙江大庆·期末)已知.
(1)求的值;
(2)若为第二象限角,求的值.
【答案】(1)5
(2)
【难度】0.65
【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】(1)利用诱导公式可求得,根据同角三角函数关系进行弦切互化,代入可求得结论.
(2)利用同角三角函数关系及为第二象限角求出,利用诱导公式对所求式子进行化简,将代入即可得到答案.
【详解】(1)由,得.
故;
(2)由(1)知,则,
解得或,又为第二象限角,
则,故,
所以.
5.(25-26高一上·天津武清·月考)已知,且为第三象限角.
(1)求的值;
(2)求的值;
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】(1)由已知利用同角三角函数基本关系式,结合象限角的三角函数符号,即可求解;
(2)将第一问计算的结论直接代入计算即可;
(3)先利用诱导公式化简,再将第一问结论代入即可求解.
【详解】(1)解:因为,且为第三象限角,
所以,解得
所以
(2)解:由(1)知,
所以
(3)解:根据诱导公式得:
,
故将代入求解得
1.(25-26高一上·山东青岛·月考)我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”现有一类问题:不确定大小的圆柱形木材,部分埋在墙壁中,其截面如图所示,用锯去锯这木材,若锯口深,锯道,则图中弧与弦AB围成的弓形的面积为( )
A. B.8 C. D.
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用
【分析】根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积,结合扇形的面积公式即可得解.
【详解】由题意,
在中,,
即,解得,
故,所以,
因此.
故选:C.
2.(2025高一上·湖北武汉·专题练习)已知是定义在上的偶函数,在上是增函数,若,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、三角函数的化简、求值——诱导公式、比较函数值的大小关系
【分析】根据三角函数的知识可得,,,由函数是定义在上的偶函数,则,又由函数在上是增函数,即可求解.
【详解】根据题意,
,,
又由函数是定义在上的偶函数,则,
则有,又由函数在上是增函数,
故,即.
故选:A.
3.(25-26高一上·山西晋城·月考)设函数满足,当时,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】诱导公式二、三、四
【分析】根据题意化简,即可计算得到结果.
【详解】,
,
,
∵,
∴,
故选:A.
4.(25-26高一上·福建莆田·月考)(多选题)已知,,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系
【分析】由平方关系求得,从而确定可推范围,再由平方关系求得,用方程组思想求得,最后由商数关系求得.
【详解】由得,
,又,,所以,所以,A正确;
因为,,所以,所以, B正确;
结合可得,,C正确;
,D不正确.
故选:ABC.
5.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末)(多选题)已知,则下列等式正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、已知弦(切)求切(弦)、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六
【分析】根据同角三角函数关系式、诱导公式和角的范围逐项判断即可.
【详解】已知,所以,
所以,A错误;
,B正确;
,C正确;
,D错误.
故选:BC.
6.(25-26高一上·江苏南通·月考)已知,则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】正、余弦齐次式的计算
【分析】由同角三角函数商的关系结合弦化切即可求解.
【详解】由,
可得,解得,
所以,
故答案为:
7.(25-26高三上·福建厦门·月考)若为第二象限角,且,则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知弦(切)求切(弦)、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】利用正切函数的诱导公式求出,然后利用正弦函数的诱导公式及同角三角函数的平方关系对所给式子进行化简,最后再根据角的范围确定三角函数的正负对式子进一步化简求值.
【详解】由,知,
,
因为为第二象限角,所以,且,
所以原式,
又,且,联立两式可得,
所以原式.
故答案为:.
1.(25-26高一上·浙江金华·月考)如图,一个扇形纸片的圆心角为,半径为2,将这张扇形纸片折叠,使点与点恰好重合,折痕为,则图中阴影部分的面积为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】扇形面积的有关计算、三角形面积公式及其应用
【分析】利用半圆的面积公式,扇形的面积公式与三角形的面积公式求解即可.
【详解】由题意可知,所以是等边三角形,
所以,,
所以扇形的面积为,的面积为,
又半圆的面积为,
所以图中阴影部分的面积为.
故选:B.
2.(25-26高一上·浙江杭州·月考)如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中较小的内角为,大正方形的面积为1,小正方形的面积是,则 .
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系
【分析】直角三角形的两条直角边分别为,可得小正方形的边长为,利用同角三角函数基本关系即可求解.
【详解】直角三角形中较小的内角为,斜边为1,
则直角三角形的两条直角边分别为,
所以小正方形的边长为,即,
也即,可得,
因,
因为锐角,则.
故答案为:.
1 / 5
学科网(北京)股份有限公司
$
限时练习:40min 完成时间: 月 日 天气:
寒假作业07 三角函数的定义与基本关系
1、角的概念
(1)分类:角按旋转方向分为正角、负角和零角.
(2)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是.
2、弧度制
(1)角度制和弧度制的互化:,,.
(2)扇形的弧长公式:,扇形的面积公式:.
3、任意角的三角函数
(1)定义:任意角的终边与单位圆交于点时,则,,.
(2)推广:三角函数坐标法定义中,若取点P是角终边上异于顶点的任一点,设点到原点的距离为,则,,
三角函数的性质如下表:
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
+
+
-
-
+
-
-
+
+
-
+
-
记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
4、同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:.
(2)商数关系:;
5、三角函数诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变,符号看象限
函数名改变,符号看象限
【记忆口诀】奇变偶不变,符号看象限,说明:(1)先将诱导三角函数式中的角统一写作;(2)无论有多大,一律视为锐角,判断所处的象限,并判断题设三角函数在该象限的正负;(3)当为奇数是,“奇变”,正变余,余变正;当为偶数时,“偶不变”函数名保持不变即可.
三层必刷:巩固提升+能力培优+创新题型
题型一 角度制与弧度制
1.(25-26高一上·天津北辰·月考)下列说法正确的是( )
A.若角与角不相等,则与的终边不可能重合
B.角的大小是一个与半径大小无关的值
C.终边落在直线上的角的集合是
D.若角是锐角,则一定是钝角
2.(25-26高一上·河北邢台·月考)与角的终边相同的最小正角是( )
A. B. C. D.
3.(25-26高一上·宁夏银川·月考)(多选题)以下说法正确的有( )
A.化成弧度为
B.与的终边相同的角的集合是
C.将表的分针拨慢20分钟,则分针转过的角的弧度是
D.已知扇形的周长为,圆心角为,则该扇形的面积为
4.(25-26高一上·重庆·月考)(多选题)下列结论正确的有( )
A.与的终边相同
B.若圆心角为的扇形的弧长为,则该扇形的面积为
C.若角为第二象限角,则角为第一象限角
D.命题“角为第一象限角”是“>0” 的充分不必要条件
题型二 扇形的弧长与面积公式的计算
1.(25-26高一上·山西晋城·月考)小李同学在学习了《任意角和弧度制》后,临摹了一件扇形瓷器盘(图1)的大致形状,如图2所示,已知在扇形中,,,则下列结论中错误的是( )
A. B.弧长
C.扇形的周长为 D.扇形的面积为
2.(25-26高一上·山东聊城·月考)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴,“数折聚清风,一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句.如图,假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB,再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD(作为扇骨留白),形成扇环形状的扇面ABCD.当扇子扇形的圆心角为时,扇面看上去形状较为美观.已知,弧AB的长为,则此扇面的面积为( )
A. B. C. D.
3.(25-26高一上·甘肃酒泉·期末)如图,已知矩形截圆所得的弧的长为,,则矩形在圆外部分的面积为 .
4.(2025·江苏·模拟预测)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴,“数摺聚清风,一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句.如图,假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形,再在该扇形内剪下一个同心小扇形(作为扇骨留白),形成扇环形状的扇面.当扇子扇形的圆心角为时,扇面看上去形状较为美观.已知,弧的长为,则此扇面的面积为 .
题型三 三角函数的定义
1.(25-26高一上·黑龙江大庆·期末)已知角的终边经过点,且,则( )
A. B. C. D.
2.(25-26高一上·广东广州·月考)已知角的终边经过点,则的值等于( )
A. B. C. D.
3.(25-26高一上·上海·月考)已知是第三象限的角,则 .
4.(25-26高一上·云南文山·月考)已知角的终边经过点,且,则的值是 .
题型四 诱导公式
1.(2026高一上·江苏南通·专题练习)已知角的终边过点,则的值为( )
A. B. C. D.
2.(25-26高一上·黑龙江大庆·期末)若为第二象限角,且,则=( )
A. B. C. D.
3.(25-26高一上·甘肃定西·期末)已知,,则 .
4.(25-26高一上·浙江·月考)已知,则 .
题型五 同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用
1.(25-26高一上·山东烟台·期末)已知,则 .
2.(25-26高一上·广东珠海·月考) .
3.(25-26高一上·广东·月考)已知角的终边经过点,则 ..
4.(25-26高一上·黑龙江大庆·期末)已知.
(1)求的值;
(2)若为第二象限角,求的值.
5.(25-26高一上·天津武清·月考)已知,且为第三象限角.
(1)求的值;
(2)求的值;
(3)求的值.
1.(25-26高一上·山东青岛·月考)我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”现有一类问题:不确定大小的圆柱形木材,部分埋在墙壁中,其截面如图所示,用锯去锯这木材,若锯口深,锯道,则图中弧与弦AB围成的弓形的面积为( )
A. B.8 C. D.
2.(2025高一上·湖北武汉·专题练习)已知是定义在上的偶函数,在上是增函数,若,,,则( )
A. B. C. D.
3.(25-26高一上·山西晋城·月考)设函数满足,当时,,则( )
A. B. C. D.
4.(25-26高一上·福建莆田·月考)(多选题)已知,,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
5.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末)(多选题)已知,则下列等式正确的是( )
A. B.
C. D.
6.(25-26高一上·江苏南通·月考)已知,则 .
7.(25-26高三上·福建厦门·月考)若为第二象限角,且,则 .
1.(25-26高一上·浙江金华·月考)如图,一个扇形纸片的圆心角为,半径为2,将这张扇形纸片折叠,使点与点恰好重合,折痕为,则图中阴影部分的面积为( )
A. B.
C. D.
2.(25-26高一上·浙江杭州·月考)如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中较小的内角为,大正方形的面积为1,小正方形的面积是,则 .
1 / 5
学科网(北京)股份有限公司
$