专题05 抛物线的综合应用（13大考点）（寒假复习讲义）高二数学苏教版

专题05 抛物线的综合应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点2 ：抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 知识点3 ：二级结论 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 7、参数方程 的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 考点1：抛物线的标准方程 【例1】（25-26高二上·山东青岛·月考）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·吉林长春·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·江苏·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 考点2：抛物线的定义 【例2】（25-26高二上·辽宁锦州·月考）已知点为抛物线的焦点，为的准线，为上一点，过作的垂线，垂足为M．若，则（   ） A． B．3 C．2 D．6 【变式2-1】（25-26高二上·四川达州·月考）抛物线上的点到焦点的距离为6，则点到轴的距离为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式2-2】（25-26高二上·江苏·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-3】（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知抛物线的焦点为F，点M在C上，，则点M到直线的距离为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 考点3：距离和差最值问题 【例3】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3-1】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知直线过点且与直线平行，为抛物线上的动点，到的准线的距离为到的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【变式3-2】（25-26高二上·河南南阳·月考）已知抛物线上有一动点，为其焦点，其所在平面内还有一点，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3-3】（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 考点4：轨迹问题 【例4】（2025高三·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·福建龙岩·期末）二次函数图象的顶点的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【变式4-2】（24-25高三下·湖南长沙·月考）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 考点5：焦半径问题 【例5】（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知为抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知F是抛物线的焦点，点在C上，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式5-3】（25-26高二上·全国·单元测试）设为抛物线：的焦点，点在上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 考点6：直线与抛物线的位置关系 【例6】（25-26高二上·江西南昌·月考）已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（    ） A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C．当或时，直线与抛物线只有一个公共点 D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 【变式6-1】（25-26高二上·河北·期中）已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【变式6-2】（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-3】（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 考点7：弦长问题 【例7】（25-26高二上·天津河北·月考）已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线交于两点,则线段的长为 . 【变式7-1】（25-26高二上·江苏淮安·月考）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过的直线与交于，两点.若直线的倾斜角为45°，则= 【变式7-2】（25-26高二上·天津·月考）已知倾斜角是60°的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则弦长 ． 【变式7-3】（25-26高二上·浙江·期中）设抛物线被直线截得的弦的长为，则 ． 考点8：面积问题 【例8】（2025·江苏南通·模拟预测）已知是抛物线的焦点，是准线，过作圆的切线，与抛物线交于点、两点（在的上方），过作的垂线，垂足为，则的面积为 ． 【变式8-1】（25-26高二上·陕西西安·月考）过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为 . 【变式8-2】（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交E于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为C，D，若，且三角形的面积等于，则p的值等于 . 【变式8-3】（25-26高二上·重庆·月考）已知抛物线的焦点为，过点作斜率大于0 的直线与交于 两点，为坐标原点，，则的面积为 . 考点9：焦点弦问题 【例9】（24-25高二下·重庆·月考）经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于点，且，则 ． 【变式9-1】（24-25高二上·四川绵阳·月考）已知抛物线的焦点为，过的直线与相交于，与的准线相交于，若，则的值为 ． 【变式9-2】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为5，则 . 【变式9-3】（23-24高二下·河北·开学考试）已知抛物线：（）的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点（点在第一象限），与交于点，若，，则 ． 考点10：中点弦问题 【例10】（25-26高二上·天津滨海新·月考）若直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点，且，则的中点横坐标为 . 【变式10-1】（25-26高二上·湖北荆州·月考）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为 ． 【变式10-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线，直线与交于两点，为弦的中点，则直线的斜率为 ． 【变式10-3】（24-25高二下·福建福州·月考）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于A、B两点，若是线段AB的中点，则的值为 ． 考点11：直线与抛物线的最值问题 【例11】（22-23高二下·河南·期中）已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线． (1)求的值； (2)设抛物线上一动点到直线的距离为，求的最小值． 【变式11-1】（22-23高二下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线，已知动点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹为. (1)过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，求线段的长； (2)求曲线上的点到直线的最短距离. 【变式11-2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关； (3)若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式. 【变式11-3】（25-26高二上·江西·期中）已知点到点的距离比点到直线的距离小3，记点的轨迹为曲线． (1)求的标准方程； (2)若为上的一个动点，，点到轴的距离为，求的最小值； (3)若过点的直线与交于，两点，求的取值范围． 考点12：定点、定值问题 【例12】（25-26高二上·重庆·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5.过点的直线与抛物线交于不同的两点、. (1)求抛物线的标准方程； (2)若的面积为20，求直线的方程； (3)若直线交轴于点，直线交轴于点，且，，求证：为定值. 【变式12-1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知点是抛物线： 的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，． (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值． 【变式12-2】（25-26高二上·江苏·期末）已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程； (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值. 【变式12-3】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知抛物线：的焦点到直线：的距离为． (1)求的值； (2)倾斜角为的直线过，与交于，两点，求； (3)是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点． 考点13：抛物线的实际应用 【例13】（25-26高二上·安徽·月考）如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 【变式13-1】（25-26高二上·江苏连云港·期中）有一抛物线形拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽8米．若水面下降1米，水面宽度增加了（    ） A．米 B．米 C．米 D．4米 【变式13-2】（24-25高二上·山东烟台·期末）某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（24-25高二上·福建三明·期末）三明永安市贡川镇的会清桥是一座集通行、宗教祭祀等功能为一体的廊桥．该桥始修于明成化乙巳年（年），南北坐向，两墩三孔，各桥孔呈抛物线型，其中最大一桥孔（如图所示），当孔顶到水面距离为时，跨度达到了．若水面从图中示意位置上升，则水面宽变为（   ）． A． B． C． D． 1．（25-26高二上·河南·月考）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且（为坐标原点）．若，则焦点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东揭阳·月考）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·月考）已知抛物线：的焦点为，准线为，、是上异于坐标原点的两点，若，过的中点作的垂线，垂足为，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（25-26高二上·安徽安庆·月考）一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点F处，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为1m，则该抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A．1m B．2.88m C．5.76m D．1.44m 5．（2025高二上·重庆·专题练习）已知抛物线C：的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则直线倾斜角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·福建厦门·月考）过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一个动点，，若，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．4 7．（25-26高二上·河北·月考）如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则（    ） A．8 B．4 C． D． 8．（多选题）（25-26高二上·福建厦门·月考）设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．A，B为抛物线上的两点，点E为线段的中点，则所在的直线方程为 D．以线段为直径的圆与轴相切 9．（多选题）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则点到轴的距离为6 C．当，则直线的倾斜角为 D． 10．（多选题）（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知过点的抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为E，过焦点F作两条互相垂直的直线分别交于和四点，则下列说法正确的有（    ） A．若直线的斜率为1，则 B．若点平分弦，则直线的方程为 C．的最小值为 D．若，则 11．（多选题）（25-26高二上·安徽池州·月考）过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，经过，两点分别作抛物线准线的垂线，垂足依次为，，线段的中点为点，为坐标原点，则下列命题中正确的是（   ） A． B．以为直径的圆和轴相切 C．，，三点共线 D．若点的横坐标为，则直线的斜率为2 12．（25-26高二上·安徽安庆·月考）双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为 ． 13．（25-26高二上·广东珠海·月考）已知抛物线上一点，则点到该抛物线焦点的距离为 ． 14．（25-26高二上·湖北武汉·月考）设直线与抛物线相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点．若，则 ． 15．（25-26高二上·江苏苏州·月考）等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线上. (1)求抛物线E的方程； (2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过某定点. （注：以抛物线上一点为切点的切线方程为） 16．（25-26高二上·广东揭阳·月考）已知抛物线的焦点为F，点在E上，且． (1)求E的方程； (2)过F作互相垂直的两条直线，，这两条直线与抛物线E分别交于A，B和P，Q两点，记和的面积为，，求的最小值． 17．（25-26高二上·安徽池州·月考）已知为坐标原点，是抛物线上异于原点的两个动点． (1)若为等边三角形，证明：关于轴对称； (2)设点位于第一象限，在（1）的条件下，若的面积为，求边上的中线所在直线截抛物线的弦长． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 抛物线的综合应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点2 ：抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 知识点3 ：二级结论 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 7、参数方程 的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 考点1：抛物线的标准方程 【例1】（25-26高二上·山东青岛·月考）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的标准方程为， 所以其准线方程为． 故选：D． 【变式1-1】（25-26高二上·吉林长春·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由焦半径公式可知，解得， 所以抛物线方程为， 故选：A. 【变式1-2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点在抛物线上，则， 可得抛物线， 可知，且焦点在y轴正半轴上， 所以抛物线的准线方程为． 故选：D 【变式1-3】（25-26高二上·江苏·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，抛物线标准方程形如，焦点坐标为， 所以，解得，故以为焦点的抛物线标准方程是. 故选：D. 考点2：抛物线的定义 【例2】（25-26高二上·辽宁锦州·月考）已知点为抛物线的焦点，为的准线，为上一点，过作的垂线，垂足为M．若，则（   ） A． B．3 C．2 D．6 【答案】D 【解析】由抛物线的定义知：，又 为等边三角形，， 因为抛物线方程为：，则. 故，故 故选：D. 【变式2-1】（25-26高二上·四川达州·月考）抛物线上的点到焦点的距离为6，则点到轴的距离为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】设，则，故， 则点到轴的距离为. 故选：B. 【变式2-2】（25-26高二上·江苏·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题意，抛物线的准线方程为， 因为抛物线上点到直线的距离为5， 所以点到直线的距离为4， 由定义得，抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离相等，所以， 故选：B. 【变式2-3】（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知抛物线的焦点为F，点M在C上，，则点M到直线的距离为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【解析】因为点在上，，所以点到的准线的距离为5， 所以点到直线的距离为7． 故选：A． 考点3：距离和差最值问题 【例3】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】抛物线的准线方程为． 设到准线的距离为到准线的距离为， 则， 则的最小值为6． 故选：C 【变式3-1】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知直线过点且与直线平行，为抛物线上的动点，到的准线的距离为到的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】因为直线过点且与直线平行，所以， 为抛物线上的动点，设焦点为，到的准线的距离等于， 所以的最小值即点到直线的距离. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·河南南阳·月考）已知抛物线上有一动点，为其焦点，其所在平面内还有一点，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】将抛物线方程化为标准形式，得焦点，准线方程.过点作,垂足为, 根据抛物线定义，等于到准线的距离. 所以，.当且仅当三点共线时等号成立， 此时垂直于准线时，最小，为点到准线的距离. 所以 故的最小值为. 故选: C 【变式3-3】（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知的焦点，准线方程为．因为点在上，所以， 所以．联立方程组得， 则， 所以直线与无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为，即的最小值为5． 故选：A． 考点4：轨迹问题 【例4】（2025高三·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 方法一：轨迹方程法 设点，则点．连接PF，由题意知， 即，整理得，则曲线的方程为． 方法二：几何定义法 由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离， 则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线的方程为． 故选：B． 【变式4-1】（24-25高二上·福建龙岩·期末）二次函数图象的顶点的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】C 【解析】由，则顶点坐标为， 所以顶点的轨迹是，为抛物线. 故选：C 【变式4-2】（24-25高三下·湖南长沙·月考）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，因为，则为的中点，且点在轴上， 所以，则, 又，则，， 由， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 【变式4-3】（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确. 故选：D． 考点5：焦半径问题 【例5】（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知为抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，抛物线的焦点为，准线方程为， 因为为该抛物线上一点，由抛物线的定义可得. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知F是抛物线的焦点，点在C上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得抛物线的准线为，又因点在C上，所以，解得， 所以，故C正确. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解析】对于直线，令，解得， 所以抛物线的焦点为,准线方程为． ，解得， 所以抛物线的方程为， 设的坐标为，则 ， ∴的坐标为，则，得，所以． 由抛物线的定义，得． 故选：C． 【变式5-3】（25-26高二上·全国·单元测试）设为抛物线：的焦点，点在上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】解法一：如图所示，过点作AB垂直准线于点，过焦点作FD垂直AB于点． 由题意可知． 根据抛物线的定义知． 在中，， 又，所以， 解得． 解法二：由结论（为直线AF的倾斜角）得． 故选：C. 考点6：直线与抛物线的位置关系 【例6】（25-26高二上·江西南昌·月考）已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（    ） A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C．当或时，直线与抛物线只有一个公共点 D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 【答案】D 【解析】设直线的方程为， 即，由消去得：， 当时，直线与抛物线相交，只有一个公共点，故A错误； 当时，， 当时，解得或，此时方程组有两个相同的实数解，直线与抛物线相切，只有一个公共点， 所以直线与抛物线只有一个公共点时，直线的斜率分别为，故C错误； 当时，解得，此时方程组有两个不同的实数解，故直线与抛物线交于两点，故B错误； 当时，解得，此时方程组没有实数解，知直线与抛物线相离，没有公共点，故D正确. 故选：D. 【变式6-1】（25-26高二上·河北·期中）已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【解析】分析充分性： 当时，将代入抛物线的方程， 整理得，此时， 即直线与抛物线恰有一个公共点，因此充分性成立； 分析必要性： 将直线代入抛物线，整理得， 当时，令 解得. 当时，此时直线方程为，此时直线与抛物线恰有一个公共点. 综上可知，当直线与抛物线恰有一个公共点时，或， 故“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 【变式6-2】（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 【变式6-3】（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】由抛物线的方程为知． 当过点的直线斜率不存在，即直线与轴重合时，满足直线与地物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率为0时，直线方程为，满足直线与抛物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 由得关于的方程， 令，解得，此时满足条件的直线有1条． 综上，过点与抛物线有唯一公共点的直线有3条， 故选：C． 考点7：弦长问题 【例7】（25-26高二上·天津河北·月考）已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线交于两点,则线段的长为 . 【答案】8 【解析】由题意可知，抛物线的焦点为， ∴直线， 联立方程组整理得， 设，则， 方法一：交点弦长公式 ∴. 方法二：由抛物线的定义 ∵经过焦点，∴ ∴. 故答案为：8 【变式7-1】（25-26高二上·江苏淮安·月考）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过的直线与交于，两点.若直线的倾斜角为45°，则= 【答案】 【解析】由抛物线的性质，故抛物线.焦点坐标为 由直线的倾斜角为45°，则斜率为1，直线方程为， 设，联立， 所以，故. 故答案为：. 【变式7-2】（25-26高二上·天津·月考）已知倾斜角是60°的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则弦长 ． 【答案】 【解析】因为直线的倾斜角为60°，所以直线的斜率为. 因为抛物线的焦点为，直线过点， 所以直线的方程为. 联立直线与抛物线方程得，即. 解得或，所以. 所以. 故答案为：. 【变式7-3】（25-26高二上·浙江·期中）设抛物线被直线截得的弦的长为，则 ． 【答案】/ 【解析】设，， 由，得， 则， 由弦长公式得， 即，解得或（舍）， 故答案为：. 考点8：面积问题 【例8】（2025·江苏南通·模拟预测）已知是抛物线的焦点，是准线，过作圆的切线，与抛物线交于点、两点（在的上方），过作的垂线，垂足为，则的面积为 ． 【答案】 【解析】由题可得抛物线的焦点，准线方程为：， 过作圆的切线，显然切线的斜率存在，不妨设切线方程为：, 由于圆的圆心为,半径, 则，解得：, 根据对称性，不妨取切线斜率为，则切线方程为， 联立，得：, 解得：或, 因为在的上方，所以点, 由于过作的垂线，垂足为，则， 所以,点到直线的距离, 则, 故答案为： 【变式8-1】（25-26高二上·陕西西安·月考）过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为 . 【答案】 【解析】由抛物线，可得其焦点为， 因为直线过焦点，且倾斜角为，可得斜率为， 所以直线的方程为，可得，即， 联立方程组，整理得， 设，可得， 则， 因为，所以异号，则， 所以的面积为. 故答案为：. 【变式8-2】（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交E于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为C，D，若，且三角形的面积等于，则p的值等于 . 【答案】 【解析】如图所示，作,垂足为M，则, 由抛物线的定义可知， 则，故 则，结合题意知，故, 则，则， 所以直线的斜率为，而，则直线的方程为， 设，联立方程组，整理得， 所以，所以，则， 所以的面积为，解得. 故答案为： 【变式8-3】（25-26高二上·重庆·月考）已知抛物线的焦点为，过点作斜率大于0 的直线与交于 两点，为坐标原点，，则的面积为 . 【答案】/ 【解析】由抛物线，可得其焦点为， 设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 因为，可得，可得， 将代入，解得或， 因为，可得，所以， 所以的面积为. 故答案为：. 考点9：焦点弦问题 【例9】（24-25高二下·重庆·月考）经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于点，且，则 ． 【答案】 【解析】设，，直线斜率为， 因为倾斜角为，所以，则直线方程为， 联立方程组，得到， 由韦达定理得，由焦半径公式得， ， 因为，所以，解得. 故答案为： 【变式9-1】（24-25高二上·四川绵阳·月考）已知抛物线的焦点为，过的直线与相交于，与的准线相交于，若，则的值为 ． 【答案】 【解析】如图所示，作准线，垂足为，根据抛物线的定义，， 由可知，，故，则， 于是直线的倾斜角为，于是的方程为：， 联立抛物线方程可得，，解得或， 由于在的右边，故的横坐标为， 根据抛物线的定义，. 当时，作出的图形属于对称的情况. 故答案为： 【变式9-2】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为5，则 . 【答案】12 【解析】由题意得， 设， 因为A、B中点的横坐标为5，所以， 由焦点弦长公式得 故答案为：12 【变式9-3】（23-24高二下·河北·开学考试）已知抛物线：（）的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点（点在第一象限），与交于点，若，，则 ． 【答案】 【解析】如图， 设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，，所以． 又，所以．设，则． 因为，所以，所以， 所以，即． 故抛物线的方程为，焦点为，准线为：， 所以直线的方程为． 联立方程，得，解得，， 所以． 故答案为：. 考点10：中点弦问题 【例10】（25-26高二上·天津滨海新·月考）若直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点，且，则的中点横坐标为 . 【答案】 【解析】记为焦点到准线的距离， 则，， 分别过点作准线的垂线，垂足分别为， 直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点， 根据抛物线的定义得到， 设， ， ， ， ，，，， 的中点横坐标为， 故答案为：. 【变式10-1】（25-26高二上·湖北荆州·月考）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解析】显然直线不垂直于轴，如图所示，故设直线的方程为, 联立直线的方程与抛物线方程得,消去得, 由弦AB的中点为，结合韦达定理和中点坐标公式得， 此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式10-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线，直线与交于两点，为弦的中点，则直线的斜率为 ． 【答案】1 【解析】由题意直线的方程为 ，即 ，与抛物线方程联立： ，得， 即，， 解得. 故答案为：1. 【变式10-3】（24-25高二下·福建福州·月考）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于A、B两点，若是线段AB的中点，则的值为 ． 【答案】3 【解析】由题知，，故抛物线方程为． 设，易知， 则，由点差法可得 又是线段AB的中点，所以，所以直线l的斜率 因为直线l过焦点，所以，可得． 故答案为：. 考点11：直线与抛物线的最值问题 【例11】（22-23高二下·河南·期中）已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线． (1)求的值； (2)设抛物线上一动点到直线的距离为，求的最小值． 【解析】（1）根据题意可知，将分别代入两曲线方程得到，． 两个函数的导函数分别是，， 又，，则， 解得，，． （2）要使抛物线上的点M到直线的距离最短， 则抛物线在点M处的切线斜率应该与直线相同，则， 解得，又因为点M在抛物线上，解得． 所以最短距离即的最小值为点M到直线的距离， 代入点到直线的距离公式得． 即最短距离为 【变式11-1】（22-23高二下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线，已知动点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹为. (1)过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，求线段的长； (2)求曲线上的点到直线的最短距离. 【解析】（1）已知动点到点的距离等于点到直线的距离， 所以曲线的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 其标准方程为①， 因为过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、， 则直线的方程为②， 联立①②，消去并整理得， 设点，，由韦达定理得， 此时； （2）不妨设点是抛物线上的点， 则点到直线的距离， 易知当时，， 故曲线上的点到直线的最短距离为． 【变式11-2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关； (3)若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式. 【解析】（1）由抛物线的准线方程为，得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设直线：，点， 由消去得，则， 因此，为常数， 所以的值与直线的倾斜角的大小无关. （3）设，则，，， 令，函数图象的对称轴为直线， 当，即时，，则； 当，即时，，则， 所以. 【变式11-3】（25-26高二上·江西·期中）已知点到点的距离比点到直线的距离小3，记点的轨迹为曲线． (1)求的标准方程； (2)若为上的一个动点，，点到轴的距离为，求的最小值； (3)若过点的直线与交于，两点，求的取值范围． 【解析】（1）（1）由题意得点到的距离等于点到直线的距离， 所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线． 故的标准方程为． （2）设点到的准线的距离为，得． ． 当，，三点共线时，取得最小值，且最小值为． （3）易得的斜率不为0，设，，． 由得， 由，得． 由韦达定理得， 则， 所以的取值范围为． 考点12：定点、定值问题 【例12】（25-26高二上·重庆·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5.过点的直线与抛物线交于不同的两点、. (1)求抛物线的标准方程； (2)若的面积为20，求直线的方程； (3)若直线交轴于点，直线交轴于点，且，，求证：为定值. 【解析】（1）抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离， 即：，解得，故抛物线的标准方程为； （2）由（1）得焦点，又，则， 易得直线的斜率是存在的，设直线的方程为， 联立，消去，整理得： ，设， 由，得， 由韦达定理，，， 故的面积，代入得： ,得， 又，故： ，解得 满足，因此直线的方程为或； （3）由在抛物线上，代入得， 又，故，即， 易得直线的斜率是存在的，设直线的方程为， ，，由（2）知，， 直线的斜率为：， 故直线的方程为：， 令，得，即，又 故，，由，得 故，即， 同理，直线交轴于，得， 故 代入，，得 故，为定值. 【变式12-1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知点是抛物线： 的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，． (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值． 【解析】（1） 设圆的半径为，以为圆心、为半径的圆交轴于，，点在轴上，为原点， 所以. ，. 点坐标为，所以. 设点坐标为，则，所以， 所以， 即， 解得， 所以抛物线的方程为：. （2）由（1）知. 设直线的方程为，，. 代入抛物线方程，整理得， ，所以， 所以，. 所以的值为2. 【变式12-2】（25-26高二上·江苏·期末）已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程； (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值. 【解析】（1）由题意知，设直线的方程为， 由 得：，所以， 所以，所以， 故抛物线的方程为 （2）由（1）抛物线的方程为， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾， 故直线的斜率不为0，故可设的方程为 消去得：，设， 则， 所以， ，即 ， 所以 . 所以：为定值，该定值为6. 【变式12-3】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知抛物线：的焦点到直线：的距离为． (1)求的值； (2)倾斜角为的直线过，与交于，两点，求； (3)是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点． 【解析】（1）抛物线的焦点， 由题意可得：，即，， 解得或，又因为，所以． （2）由（1）可得抛物线方程为，， 所以直线的方程为，设，， 联立，得， ， 所以，， . （3）设，，的方程为． 由，得， 所以，，． 易知直线，的斜率存在， 设直线的方程为， 由，得． 由，解得， 所以直线的方程为，即． 同理可得，直线的方程为． 设，代入直线、中，，， 即，， 所以，可看作方程的两根， 所以，又，所以． 所以直线的方程为，故直线过定点． 考点13：抛物线的实际应用 【例13】（25-26高二上·安徽·月考）如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 【答案】B 【解析】以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为， 依题意可知抛物线过点，所以，解得， 所以抛物线方程为， 所以当时，， 解得， 所以当水面下降后，水面的宽度为． 故选：B． 【变式13-1】（25-26高二上·江苏连云港·期中）有一抛物线形拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽8米．若水面下降1米，水面宽度增加了（    ） A．米 B．米 C．米 D．4米 【答案】C 【解析】以水面为轴，过拱顶的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系. 根据题意设,当，则， 所以 当，则,解得, 所以水面下降米，水面宽度增加米. 故选：C 【变式13-2】（24-25高二上·山东烟台·期末）某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以抛物线的顶点为原点，建立如图平面直角坐标系， 设抛物线方程为， 由图可知抛物线过点，代入抛物线方程， 得，解得，所以抛物线方程为. 因为车道宽2米，两车道中间有隔离带，车宽2米， 所以车行驶时，的取值范围为. 当时，， 要使载货最高的货车通过隧道，货车高度的最大值为米. 故选：C 【变式13-3】（24-25高二上·福建三明·期末）三明永安市贡川镇的会清桥是一座集通行、宗教祭祀等功能为一体的廊桥．该桥始修于明成化乙巳年（年），南北坐向，两墩三孔，各桥孔呈抛物线型，其中最大一桥孔（如图所示），当孔顶到水面距离为时，跨度达到了．若水面从图中示意位置上升，则水面宽变为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 根基题意，设抛物线的标准方程为， 由题意可知，点在抛物线上，则，解得， 所以，抛物线的标准方程为， 若水面从图中示意位置上升，即时，可得，解得， 此时，水面的宽度为. 故选：B. 1．（25-26高二上·河南·月考）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且（为坐标原点）．若，则焦点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法一：由抛物线的对称性，不妨设点在轴上方．设抛物线的准线与轴的交点为，则． 过点作轴于点，作准线于点，则四边形是矩形. 因为，所以． 在Rt中，因为，所以. 所以． 因为焦点的坐标为，所以焦点的坐标为． 方法二：过点作轴于点， 在Rt中，因为， 所以，. 所以点的坐标为， 代入抛物线方程得，整理得. 因为，所以，所以焦点的坐标为． 故选：C． 2．（25-26高二上·广东揭阳·月考）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于抛物线的方程为，所以焦点坐标为. 因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，所以. 解得，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 3．（25-26高二上·重庆·月考）已知抛物线：的焦点为，准线为，、是上异于坐标原点的两点，若，过的中点作的垂线，垂足为，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】如图： 分别过点作直线的垂线，垂足分别为，连接. 设，，则，. 因为为梯形的中位线，所以. 又，所以. 所以. 又. 所以，当且仅当时取等号. 故选：B 4．（25-26高二上·安徽安庆·月考）一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点F处，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为1m，则该抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A．1m B．2.88m C．5.76m D．1.44m 【答案】A 【解析】由题意建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 接收天线的口径（直径）为，深度为， ，故点，将点A的坐标代入抛物线的方程， 可得解得，∴抛物线的方程为， 焦点的坐标为，即，∴抛物线焦点到顶点的距离为1m． 故选：A． 5．（2025高二上·重庆·专题练习）已知抛物线C：的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则直线倾斜角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知抛物线，可得：抛物线的焦点为，准线方程为， 因此可得：准线与轴的交点为. 不妨假设点在第一象限，由于，可得：直线的斜率为， 即，又， 联立，得：，即， 解得：或， 当时，，即， 设直线的倾斜角为，则， 由，且，又，得：. 当时，，即， 则，同理可得：. 综上所述可得：则直线倾斜角的正弦值为. 故选：A 6．（25-26高二上·福建厦门·月考）过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一个动点，，若，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．4 【答案】A 【解析】抛物线方程为，根据抛物线的标准形式，其焦点为，准线方程为. 因与垂直，故直线的斜率存在且不为0，直线过焦点， 设直线的方程为. 将直线方程代入抛物线方程，联立得：， 所以，方程的判别式， 设、， 由韦达定理得： 因，，故： 因，故直线的方程为. 同理可得. 根据题设，将、代入得， 即，解得，故抛物线方程为， 此时焦点，准线方程为. 设点到准线的垂线段为（为垂足）， 则，因此， 表示点到准线的距离与到点的距离之和. 根据几何最短路径原理，当点为线段与抛物线的交点时，距离和最小. 此时的坐标为，则，即. 综上，的最小值为. 故选：A 7．（25-26高二上·河北·月考）如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】由抛物线的方程可知，焦点， 因为，所以直线的斜率， 因此直线的方程为，与抛物线方程联立，消去得，， 解得，，由图可知点的横坐标为，. 故选：C. 8．（多选题）（25-26高二上·福建厦门·月考）设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．A，B为抛物线上的两点，点E为线段的中点，则所在的直线方程为 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【解析】A.抛物线，其准线方程为，故A错误； B. 如图所示，过点作准线于点，则，所以，当且仅当共线时，（即图中）最小，最小值为到准线的距离4，故B正确； C.设，， 则，两式相减得， 则，得，即直线的斜率为2， 所以直线的方程为，即，故C错误； D.设，，则，且的中点坐标为，中点到轴的距离为，所以以线段为直径的圆与轴相切，故D正确. 故选：BD 9．（多选题）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则点到轴的距离为6 C．当，则直线的倾斜角为 D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由题意可得，所以抛物线， 所以抛物线的准线方程为：，故A正确； 对于B，设， 由，所以， 所以点到轴的距离为6，故B正确； 对于C，过点分别作准线的垂线，垂足分别为， 过点作的垂线，垂足为点，由， 设，则，所以， 所以，在中，有，此时直线的倾斜角为， 根据抛物线的对称性有直线的倾斜角为或，故C错误； 对于D，设直线，， 所以， 所以，所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确； 故选：ABD. 10．（多选题）（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知过点的抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为E，过焦点F作两条互相垂直的直线分别交于和四点，则下列说法正确的有（    ） A．若直线的斜率为1，则 B．若点平分弦，则直线的方程为 C．的最小值为 D．若，则 【答案】ACD 【解析】将点的坐标代入抛物线的方程得 ，解得，所以抛物线，则. 由题意知直线的斜率均存在，设，如图. 对于A，因为直线过，且斜率为1，所以直线的方程为， 由消去得，所以， 由抛物线的定义可得，故A正确； 对于B，因为直线过，，所以， 所以直线的方程为，即，故B错误； 对于C，设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为， 由消去得，所以， 同理可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D，因为，即，所以， 又， 所以，即， 代入得，解得（负值舍去）， 由选项C知，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11．（多选题）（25-26高二上·安徽池州·月考）过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，经过，两点分别作抛物线准线的垂线，垂足依次为，，线段的中点为点，为坐标原点，则下列命题中正确的是（   ） A． B．以为直径的圆和轴相切 C．，，三点共线 D．若点的横坐标为，则直线的斜率为2 【答案】BCD 【解析】由题意知，焦点坐标，准线方程为. 设直线的方程为，联立直线与抛物线方程得 ，消去得. 根据韦达定理得，A错误； 以为直径的圆的圆心为，半径为， 圆心到轴的距离为，等于半径，所以以为直径的圆和轴相切，B正确； ，直线的斜率，直线的斜率. 由，且可得. 因为，所以，而， 所以，所以三点共线，C正确； 因为是的中点，，所以的横坐标为. 已知，即. 又因为，解得. 直线的斜率，D正确. 故选：BCD. 12．（25-26高二上·安徽安庆·月考）双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【解析】设双曲线的焦距为， 由双曲线的方程可得：，解得：， 所以双曲线的焦点坐标为：， 即抛物线的准线方程为：， 因为，所以，故双曲线的焦点在抛物线的准线上， 由题意可得，解得：， 所以抛物线的方程为：， 故答案为：． 13．（25-26高二上·广东珠海·月考）已知抛物线上一点，则点到该抛物线焦点的距离为 ． 【答案】 【解析】抛物线的标准方程为：， 则抛物线中， 由抛物线的定义可得抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·湖北武汉·月考）设直线与抛物线相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点．若，则 ． 【答案】 【解析】设，联立直线和抛物线方程，消去得， 由一元二次方程根与系数的关系可得； 由抛物线的性质可知，，则，即，等式两侧同时平方可得，整理可得，即，解得或（不符合题意舍去）， 故答案为：1. 15．（25-26高二上·江苏苏州·月考）等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线上. (1)求抛物线E的方程； (2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过某定点. （注：以抛物线上一点为切点的切线方程为） 【解析】（1） 依题意，， 设，则，， 因为点在上，所以，解得， 故抛物线E的方程为． （2）设，由已知抛物线上一点为切点的切线方程为， 又因为动直线l与直线相交于点Q，则， 则l的方程为， 由，得所以， 由对称性知，以PQ为直径的圆所过定点在轴上，设为， 令对满足且 的点恒成立． 由于，， 由，得， 即　(*)， 由于(*)式对满足且 的恒成立， 所以，解得， 故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点． 16．（25-26高二上·广东揭阳·月考）已知抛物线的焦点为F，点在E上，且． (1)求E的方程； (2)过F作互相垂直的两条直线，，这两条直线与抛物线E分别交于A，B和P，Q两点，记和的面积为，，求的最小值． 【解析】（1）依题意得，点在抛物线上，且， 所以，所以可得， 所以抛物线E的方程为. （2）抛物线方程为，焦点坐标为， 当的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求， 当的斜率不存在时，的斜率为0，此时与抛物线只有1个交点，不合要求， 故设，，则， ，，，， 由，消去x得， ，，， 所以， 同理， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 17．（25-26高二上·安徽池州·月考）已知为坐标原点，是抛物线上异于原点的两个动点． (1)若为等边三角形，证明：关于轴对称； (2)设点位于第一象限，在（1）的条件下，若的面积为，求边上的中线所在直线截抛物线的弦长． 【解析】（1）设，， 由在抛物线上，则 又为等边三角形，则，从而 因此， 又，所以，从而， 故，关于轴对称. （2）设等边的边长为， 由，解得， 由（1）可知关于轴对称，故，故，， 因为点在抛物线上， 所以， 故抛物线的方程为. 因为，等边三角形的中线与高线重合， 所以边上中线所在直线方程为，即． 由，消去整理得，解得，或， 因此直线与抛物线的另一个交点坐标为， 故弦长为． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $