安徽省池州市多校2025～2026学年高二上学期第三次教学质量检测数学试题

绝密·启用前 2025~2026学年度第一学期第三次教学质量检测 高二数学 考试时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡，并交回 4.试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合 题目要求。 1.对于直线1：√3x-3y+4=0,下列选项正确的是() A.直线！倾斜角为号 B.直线1经过第四象限 C.直线1在轴上的截距为- D.直线1的一个方向向量为(3，V3) 2.己知m=(2,4,可是平面x的一个法向量，元=1，a,b)是平面B的一个法向量，且平面a//平面B, 则向量ā=1,0，-1)在元上的投影向量为() A. B.-号n C. D 3.已知抛物线C:y2=2x(p>0)焦点为F,准线为1，点A(3,2W3)在C上，直线AF与1交于点B,则 AF=() IBF A.1 B.√2 C.3 D.2 4.己知圆C:(x+12+0-)2=1与直线1：x-2w+1=0m>0,n>0),若1平分圆c的面积，则上+2的最小值 为() A.1 B.3 C.9 D.18 5.已知数列a,}是等差数列，a+a+a,=5π，则tam马十=() 5 【数学试题第1页（共4页）】 A.√5 B.-√3 c.3 D.-3 3 3 6.在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,G为△ABC的重心，P在OG上，且OP=PG,则AP=() 9 7.阿波罗尼斯（约公元前262年~约公元前190年）提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学 性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已 知双曲线CC片1a>0.b>0的元、石焦点分别为R,R.其离心率0，从g发出的光线经过双曲线 c的右支上一点E的反射，反射光线为EP,若反射光线与入射光线垂直，则tan∠F,FE=() A.6 1 B.4 C.3 D. 8,己知Q是椭圆M:。+0<b<3)上的动点，若动点Q到定点P2,0)的距离PQI的最小值为1，则椭圆 M的离心率的取值范围是() A B@9 c. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.过抛物线y2=6x的焦点作一直线交抛物线于A:,y),B(x2,y,)两点，O为坐标原点，则() A.xx2=18 B.yy2=-9 C.直线OA,OB的斜率满足k4·koB=-4 D.0A.0B=-2 10.在数列{a}中，若ad-ad1=p(心2，n∈N，p为常数)，则称{a,}为等方差数列”.那么，下列对等 方差数列”的判断中，正确的是() A.若{a,}是等差数列，则{a}是等方差数列 B.{(1)}是等方差数列 C.若{a,}是等方差数列，则{am(keN,k为常数)也是等方差数列 D.若{a}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 11.如图，棱长为2的正方体ABCD-ABCD的外接球的球心为O,E、F分别为棱AB、CC的中点，G在 【数学试题第2页（共4页）】 D 棱BC上，则() A A.对于任意点G,OA//平面EFG B B.存在点G,使得OD⊥平面EFG C.直线EF被球O截得的弦长为10 D.过直线EF的平面截球O所得的截面圆面积的最小值为π 2 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知空间中有三点A3,2,0),B3,2,2),C(3,0,1),则A到直线BC的距离为 13.一个数列从第二项起，每一项与前一项的和都等于一个常数，则称此数列为等和数列，这个常数叫做 等和数列的公和，设等和数列{a}的公和为2，前n项和为Sn，若S,21=2024,则a= 4.已知椭圆C。+1的左焦点为P,过原点的直线与C交于M,N两点，若+的最小值 3 MFNF 是，则c的焦距为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分) 已知圆C的圆心在直线y=-2x上，并且经过点A(2,-1),与直线x+y=1相切. (1)求圆c的方程： (2)若过点B(2,0)的直线1与圆C交于M,N两点，且MN=2,求直线1的方程. 16.(本题满分15分) 对于数列{a},定义{△a}为数列{a,}的一阶差分数列，其中△a=a1-a,(neN) ()若数列a}的通项公式a=r-片meM,求（△a)的通项公式： (2)若数列{a,}的首项是1，且满足△a,-a,=2”，求数列(}的前n项和S。· 【数学试题第3页（共4页）】 17.(本题满分15分) 已知双由线C号茶=la>0b>0的俏心率为、5，点4反到在双曲线e上. (1)求C的方程； (2)过双曲线C右支上一动点M分别作C两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于P，Q,O为坐 标原点，证明：平行四边形MPOQ的面积为定值，并求出该定值. 18.(本题满分17分) 如图，在三棱柱ABC-AB,C中，A4⊥平面ABC,AB⊥AC，AB=AC=A4=1,M为线段AC,上一点. (1)求证：BM⊥AB; (2)若直线AB与平面BCM所成角为于，求点A到平面BCM的距离. (3)是否存在点M,使得平面8C与平面B4所成角的正弦值为5，若存在，求出M点的位置：若不 存在，请说明理由. A M 19.（本题满分17分) 已知椭圆票若a>6>0的离心率为9，点4G0在椭圆上，直线1=4与：轴交于点8， (1)求椭圆的标准方程： (2)过点B的直线交椭圆于C,D两点(C在D的左侧)，直线AC,AD分别与直线I交于E,F两点，直 线AC,AD的斜率记为k,k,· ①求证：k+k,为定值； ②点G为CF中点，若Sra=SBs,求实数入的取值范围. 【数学试题第4页（共4页）】2025~2026学年度第一学期第三次教学质量检测 高二数学试题参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 符合题目要求。 题号 2 6 8 答案 0 B B C D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 BCD BCD BCD 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 符合题目要求。 1.【解答】解：直线1：3x-3y+4=0,可得直线的斜率k- 3 A中，设直线的倾斜角为0,0e0,,则mg-日，所以。-石，所以A不正确： 6 B中，因为直线y?x+4,直线在y轴的截距为>0，斜率3 2>0,所以直线不经过第四象限， 3 3 3 所以B不正确： C中，由B选项分析，可得C不正确： D中，直线的方向向量为05)，当2=3时，可得直线的方向向量为6V),所以D正确。 3 2.【解答】解：由题意知，m=(2,4,可，i=1,a,b),且m11m, [2=元 所以=杭， 即4a,解得8所以=，2,3) 6=b 所以向量ā=1,0，-)在n上的投影向量为a元=+0-3 =- 1+4+9 3.【解答】解：A(3,2W3)在y=2x上，12=2p×3,p=2,F1,0),.直 线4r的斜率k=25,0-5,六直线4r的倾斜角为60， 3-1 过点A作1的垂线，垂足为E,则易知∠EAF=60°，AB=2AE|,又由抛物线 的定义可知AEH-AFI,AB非21A1,:4=1, BF 高二数学参考答案第1页（共8页） 4.【解答】解：因为1平分圆c的周长，所以直线l过圆c的圆心，即m+2n-1=0,即m+2n=1, 所以1+2(+3m+20=1+20+2+4≥5+220×2m=5+4=9, pn nn nn 当且仅当m==时取等号. 5.【解答】解：由a-a+4=a=5,故a=子，则a+a=2a=g,所以m=m三=5. 5 3 6.【解答】解：取BC的中点M,连接AM,OM, :G为△ABC的重心，AG=2AM,又AM=OM-OA=}oB+oc-OA, 01=a,0丽=6,0=c,则ac=20丽+0元-0i=5+c-2 32 30+3 a, :OP=PG,P为OG的中点， --=+6--6+片 B 666 7.【解答】解：如图，设BRFm,BR上2，RRF2C,由题意知RB⊥BP,m-n=2a,C-0 2 所以m2+f=4c，m2+r-2=4r,c=10a 2 所以n=202-2c=210o2-22=30 又l-n=2a,所以(2a+m2+n2-6a2=4a2,解得n=a或n=-3a（舍去)， 所以sin∠ERB=B3L-a=V而 1510a-10, V10 则cos∠FFE=1 10 沿，则an558=9-1 3W103 10 8.【解答】解：由题意可设：Q(3cos6,bsin), 则|PQ2=(3c0s0-2)2+b2sin20=(3c0s0-2)2+b21-cos20)=(9-b2)cos20-12c0s6+4+b2, 令t=cos0[-1,1],则|P9P=(9-b2)t2-12t+4+b2,注意到0<b<3,则9-b2>0, 可知f=(9-b')2-12t+4+b2的图象开口向上，对称轴为t=。6。 9-6>0, 当，。<1，即0<<3时，可知网在1，内的最小值为， 则，6）=0-bg9-12g*4+8=1, 整理得b-6b2+9=0,解得b2=3,不合题意； 当1，即6<9时，可知0在11，】内的最小值为/（1)1，符合题意： 高二数学参考答案第2页（共8页） 综上所述：3<<9.可得椭圆M的离心率e=C=， a va-v9 所以椭圆M的离心率的取值范围是o,y] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.【解答】解：设抛物线方程为少=2x，焦点为号0，因为过焦点的直线与抛物线有两个交点， y=2px 所以所以直线斜率不为0，设直线方程为x=心+号，联立 =+,消去x并整理得少-2pw-p=0? 由韦达定现释风，防以长=0g,孕-m0+学6+w+号子，国为=3 由焦点弦的性质可知5-？}，=一p9,故选项4错误，远项B正确： 因为如交。安所以.受是4，微途厦c正确 4 因为O1=(y),丽=(K),所以O1OB=x,十=9-9=2？，故选项D正确. 4 4 10.【解答】解：对于选项A,取a,=n,则{a}是等差数列，且d=, 则a-a=(n+1)2-n2=2n+1不是常数，所以{a2}不是等方差数列，故A错误； 对于选项B,a2-a=[(1)]-[(-1)了-1-1=0是常数，所以{(-1}是等方差数列，故B正确： 对于选项c,由{a}是等方差数列可得：a-a1=p,从而a=+(-l)p, 所以Ga+)-G=[a+(m+k-1)p-[a+(a1-1)p]=红，是常数，所以{a}是等方差数列，故c正确： 对于选项D,由{a}是等差数列，可设公差为d,则a,-a1=d,又{a,}是等方差数列，所以a-a1=p, 所以ad-a1=(an+a-)(a,-a-1)=(a.+a-)d=p，从而(a.+a-)d=p, 两式相减可得：(d+d)d=0,解得d=0,所以{a}是常数列，故D正确. 11.【解答】解：当G与B重合时，A∈平面EFB,OE平面EFB, 此时直线OA与平面EFG相交，故A错误； :四边形ABCD为正方形，AC⊥BD,当G为BC的中点时，EG//AC,则EG⊥BD, BB⊥平面ABCD,EGC平面ABCD,EG⊥BB,又BD∩BB=B,.EG⊥平面BBDD, 高二数学参考答案第3页（共8页） B,DC平面BBDD,EG⊥B,D,同理，FG⊥BD, EG∩FG=G,.B,D⊥平面EFG,即OD⊥平面EFG,故B正确： 对于C,取EF的中点M,:OA=OB=√3，E为AB的中点，OE⊥AB, .OE=VOA-AE2=√2，同理可得OF=√2，则OM⊥EF. :CC⊥平面ABCD,CEC平面ABCD,则CF⊥CE, 8Mp}ac+rc2花则oM=OB-M22,又球O的半径为R=B 2 2 :直线那被球o截得的弦长为2-OM=23-5)=0,故c正确： B 设截面圆半径为r,球心o到截面的距离为d,则2+d=R2=3. "oM= 2,产=3-dP≥，得截面圆面积3=r2之， 5 2 即我面圆面积的最小值为交，故D正确。 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.【答案】45 5 【解答】解：因为点A3,2,0),B3,2,2),C(3,0,1),所以AB=(0,0,2),CB=(0,2,1), 则A到直线BC的距离为 CBI 5 13.【答案】4 【解答】解：a,+a1=2,So1=a+(a,+4)+(a+a)+…+(a0+a2)=4+2×1010=2024,4=4. 14.【答案】2 【解答】解：设椭圆C+上-1的右焦点为R, a23 则四边形FMN为平行四边形，即|FN=MRI,又IMF+M=2a, 则w2,圆志4点-动s+ NF MF (5+2 Mx码=9，当且仅当=N时取等号， 2a VNF MF 2a NFMF 又1 4的最小值为号，即a=2,则c=a2-3=1,即c的焦距为2. MF 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 高二数学参考答案第4页（共8页） 15.【解答】解：(1)由题意设圆心的坐标为c(a,-2), 因为圆C经过点A(2,-1),与直线x+y=1相切， 所以a-2y+(-2a+_a-2a-1,化简得ad-2a+1=0,解得a=1…(2分) √2 所以圆心C0,-2),半径rAC√I-2)2+(-2+1)2=V2…(4分) 所以圆C的方程为(x一1)2+(y+2)2=2…(6分) （2)若斜率不存在，即2，此时d学1，满足题意…（8分） 若斜率存在，设直线1方程为y=k(-2), 设圆心到直线的距离为d,由圆的弦长公式可得：1MN=2√2-d，所以d=1…(10分) 又因为d-+2=1,解得k= …（12分) V1+k2 4 所以直线1的方程为x=2减y= …（13分) 4 2 16.【解答】解：1)依题意可得a=aa-a=r--号a+训--之0=5-4…（4分) (2)数列{a,}的首项是1，且满足△a-a,=2”, 可得a1-a,-a,=2”，即a1=2a,+2”… …(6分) 可得兴是24之- =2+1=2 (8分) 2m+ 故受}是首项和公差均为的等差数列… …（10分) 所以-- (12分) 22 n(5+ 所以数列}的前n项和s=2- (1+m) (15分) 4 13.【解答】解：(1)因为双由线C若F-a>060的离心率为V5, 所以e=C=√5，所以c=√5a …(2分) 又因为c2=d2+b2,得b2=4ad①： 将点AW2,2)代入双曲线方程，得2-4 a 4a' =1②… (4分) 联立①②得=1，所以b2=4… (6分) 所以双曲线方程为：2-上-1 …(7分) 4 (2)证明：由(1)得双曲线渐近线方程为1：y=2x,12y=-2x, 高二数学参考答案第5页（共8页） 设M0m,m,则ey=2x+n-2,1M:y=-2x+n+2.(8分) 联立l和1，解得交点P+2,n+2 4,2 ）…(9分) 则平行线1和1o之间的距离d=n-2 （10分) 5 则平行四边形MPo0的面积SOP1d="-2测 (2+2++20 5 -n-2m.1V50n+2ml_n2-4m (12分) √5 4 由于M在双曲线上，则m-花-1，所以4加-心=4…(14分) 4 所以平行四边形MPOQ的面积为定值1…(15分) 18.【解答】解：(1)证明：因为A4⊥平面ABC,AB,ACc平面ABC,因此A41AB,AA⊥AC, 设A(0,0,0),B1,0,0),C(0,1,0),B1,0,1),，A(0,0,1)…(2分) 设M(0,t,1),0<,AB=4,0,0),BC=(11,0,AB1=,0,1),CM=(0,t-1,1),CM=(-1,1)…(4分) 因此AB·BM=1×(1)+0×t+1×1=0,因此AB⊥BM,即AB⊥BM… (6分) (2)设平面BCM的一个法向量为m=(x,y,), 因此」m1B 因此mBC=-x+y=0 取x=1,因此m=1,1,1-t)…(8分) m⊥CM i.CM=(t-1)y+2=0 由(1)瓜=L0),又直线4与平面sCM所成角为年， 因此sincos(AB,m 2-t t= …（10分) 4 1AB,‖ml√2√2+1-t)2 因此m=Q,1,又由(1)可得4B=1,0,-) (11分) 因此点A到平面BCM的距离为d=4B,m 。。。。 (12分) (3)由(2)平面BCM的一个法向量为m=(11,1-), 显然平面B,B1的一个法向量为i=(0,10,因此cosm元=m:元 1 …(14分) 1llnm√2+0-t)2 假设存在点M,使得平面5CM与平面BB4所成角的正弦值为5 高二数学参考答案第6页（共8页） 因此V1-c0s2m,元= 1 1-( )2 1+1-)2 √2+1-)2 V2+Q-t)2 2+0-02 尊1（舍去）或：6分) 1√5 2 因此存在点M使得平面BCM与平面B,BM所成角的正弦值为5，M为线段4C的中点(17分) 3 19.【解答】解：(1)因为椭圆的离心率为6，且点46，)在椭圆上， 3 所以e=c=V691 a3a2b3=1 (2分) 又c2=a-b,解得a=12,62=4,则椭圆的标准方程为5+上 124 =1…(4分) (2)①证明：因为A(3,1),B(4,0),直线BC的方程为y=k(x-4)…(5分) [y=k(x-4) 联立x2y21,消去y并整理得(3k2+)-24k2x+48k2-12=0…(6分) =1 [124 此时△=(242)2-4x12(32+1)(42-1)>0,解得k2<1…（7分) 设C(x,),D(x2,y2)<x2<4), 由韦达定理得+ …(8分) 所以飞-女11悠9-，12子 x2-3 x-3 x2-3 =2k-+106,=x)-2k-k+1,+-0 (3-3(x2-3) ￥x2-3(化+x2)+9 =2k- w2与-9-改-3 (12分) 3k2-3 则k+k,为定值，定值为-2； ②设直线AD的方程为y-1=k,(x-3),即k,x-y-3k2+1=0.令x=4,解得y=k2+1, 即F(4,k,+1),设直线AC的方程为y-1=k(x-3)…（13分) 同理得(4，k+1),由①知yg+y=k+k+2=0, 所以y月y,所以S=4-X)… (14分) 8-8w=8-8=g1-)-号g10-》=,4-0 因为58=Sm,所以2=7名支>0 (15分) 2(4-x2) 因为方程(3k2+1)x2-242x+48k2-12=0(2<1), 可待X=2402冰0 (16分) 21+3k2) 20+3k2) 高二数学参考答案第7页（共8页） V480-k) 所以2=出 1+3k2 2(4-x） 30-k)_>0, 24-24+480-12-30- 21+3k2) 令30-k的)=0<t≤N3),此时九三22,0,3+2町.则入的取值范围为0,3+2…(17分 注：及以上各解法仅供参考，如有其它解法并且正确，清按相应步骤给分！ 高二数学参考答案第8页（共8页）