重庆市南开中学校2026届高三第五次质量检测数学试题

重庆市高 2026 届高三第五次质量检测 数学试题 命审单位:重庆南开中学 注意事项: 1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求. 1. 已知集合 ，则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 2. 已知公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 ,且 ,则 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查. 为调查中学生心理压力的情况，提出如下问题，问题 1 :你现在心理压力很大吗？ 问题 2: 你学籍号尾号是偶数吗? 然后要求被调查的中学生抛掷硬币回答, 如果出现正面朝上, 就回答第一个问题; 否则回答第二个问题. 整个调查过程全程保密, 由于回答哪一个问题只有测试者自己知道, 所以应答者一般乐意如实回答问题. 现在对学籍号为 0001 -1000 的 1000 名中学生进行调查, 其中有 260 名学生回答 “是”，则估计心理压力很大的中学生百分比大约为 A. B. C. D. 4. 已知向量 满足: ,则 A. B. C. D. 5. 函数 是定义在 上的偶函数,则 在 的最大值为 A. B. 1 C. D. 6. 已知四个正整数 满足 ,且 的平均数和中位数都为 5,则 可能的取值情况总数是 A. 7 B. 9 C. 10 D. 12 7. 若函数 既存在极大值点,又存在极小值点,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，过 的直线交椭圆 于点 (点 在 轴的上方)，过 作直线 的垂线，垂足为 ， 为等腰直角三角形，且 ， 则椭圆 的离心率为 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分. 9. 已知函数 ,则下列说法正确的是 A. 是函数 的一个周期 B. 是函数 的一条对称轴 C. 函数 在 有三个零点 D. 函数 为偶函数 10. 如图，抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交抛物线 于 两点,交 轴于 点,其中点 在直线 上, 面积为 5,则下列结论正确的是 A. B. C. D. 11. 已知数列 的前 项和为 ,且 ,且存在 , 使 成等差数列,则下列说法正确的是 A. 数列 为等差数列 B. 不是整数 C. 的值可以是 2025 D. 的最小值为 -2499 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12. 小南同学想在新年来临之际用自己的零花钱给自己的爷爷、爸爸妈妈和三个表哥每人分别买一件礼物，小南看中三样礼物:甲礼物(10 元/件)、乙礼物(20 元/件)、丙礼物(30 元/件)，在同学的建议下，小南最终决定采用如下方案选购礼物:①不同辈分的礼物不同；②相同辈分的礼物相同， 则小南要备齐所需礼物所花销费用的最小值为_____. 13. 已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 _____. 14. 如图，正方体 棱长为2， 为 的中点， 为空间中点,且满足 ,则多面体 体积的最大值为_____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 已知曲线 在 处的切线方程为 . (1)求实数 的值； (2)求函数 在区间 上的值域. 16. (15 分) 如图，平行四边形 中， 中点为 ，现以 为折痕把 折起,使点 到达点 的位置. (1)若 中点为 ，证明: 平面 ； (2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值. 17. (15 分) 已知在 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，且 ， ， 为 外接圆劣弧 上一动点. (1)求A； (2)在四边形 中，若 为 的内角平分线，记 的面积分别为 ， ，若 ， 求 的取值范围. 18. (17 分) 已知袋中有 个白球, 个红球, 个黑球,其中 ,这些球除颜色外没有其他差异. 现每次从袋中不放回的随机取一个球, 直到所有小球全部取完. (1)若 ， ， ，求在最后一次取出黑球的条件下，白球最先被全部取出的概率； (2)记白球最先被全部取出的概率为 . (i) 求 (结果用 表示); (ii) 已知 ,证明: . (参考数据: ) 19. (17 分) 在平面直角坐标系 中,已知动点 到点 的距离与到直线 的距离之比为 2, 记动点 的轨迹为 . (1)求轨迹 的标准方程； (2)已知圆 ,圆 的切线 交曲线 于 、 两点. ( i ) 当 时,若 ,且切点在第二象限,求切线 的斜率; (ii) 当 时,已知 是关于 轴对称的两点,是否存在 ,使得 的外接圆过定点; 若过定点,求出定点坐标; 若不存在 ,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $