重庆市南开中学校2026届高三第五次质量检测数学试题

重庆市高2026届高三第五次质量检测 数学试题 2026.1 命审单位：重庆南开中学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1已知集合4=y=,-a],8=✉+号<0AnB=B,则实数a的取值范围为 A.a≤1 B.a≤-3 C.-3≤a≤0 D.a≥1 2已知公差不为0的等差数列{a的前n项和为S,n∈N,且+a=a,则之 a3 A.5 B.6 C.7 D.8 3.调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机 问答法”进行调查.为调查中学生心理压力的情况，提出如下问题，问题1：你现在心理压力很大吗？ 问题2：你学籍号尾号是偶数吗？然后要求被调查的中学生抛掷硬币回答，如果出现正面朝上，就回 答第一个问题；否则回答第二个问题.整个调查过程全程保密，由于回答哪一个问题只有测试者自己 知道，所以应答者一般乐意如实回答问题.现在对学籍号为0001-1000的1000名中学生进行调查， 其中有260名学生回答“是”，则估计心理压力很大的中学生百分比大约为 品 &品 C10 D26 100 4.已知向量a,满足：1a=2,11=1,(a+)1(2a-5),则<a,b>= A君 B. c罗 D.2 3 5.函数f(x)=x 2+1是定义在R上的偶函数，则fx)在xe[-lg,(a+1),log,(a+1)]的最大值为 A子g3 B.1 c子g3 D.2g3 6.已知四个正整数a1,a2,a3,a4满足a1≤a2≤a3≤a4,2≤a:≤8，i=1,2,3,4,且a1,a2,a3,a4的平均数 和中位数都为5，则a1,a2,a3,a4可能的取值情况总数是 A.7 B.9 C.10 D.12 数学试题第1页（共4页） 7.若函数f(x)=mx·lnx-mx-xm+1既存在极大值点，又存在极小值点，则实数m的取值范围是 A(1,1+ c,1+2 D.(,1+) x 8.已知椭圆C:。+京-1(a>b>0)的左，右焦点分别为R,B,过B的直线交椭圆C于点M(点M在 x轴的上方)，过M作直线x=-e的垂线，垂足为N,△MN,为等腰直角三角形，且IMN1=7,1M,1, 10 则椭圆C的离心率为 c.2或2 46 D竖装 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.已知函数f(x)=sinx-√3cos(π+x),xeR,则下列说法正确的是 A.2π是函数f(x)的一个周期 B=酒是函数八)的一条对称轴 C.函数f(x)在x∈[0,3π]有三个零点 D.函数x+看)为偶函数 10.如图，抛物线Ω：y2=2px(0<p<4)的焦点为F,过C(4,0)的直线l交抛物线2于 A,B两点，交y轴于D点，其中点A在直线y=x上，△BFC面积为5，则下列结论 正确的是 A.p=3 B.IBFI =5 C.FA·FB<0 D.IDBI·IBAI=IACI·ICDI 11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且aa+1=2an+3 COS nT,a1=3,neN,且存在p,9∈N,p<q, 使a2,ap,a,成等差数列，则下列说法正确的是 A.数列{an+Cos nm}为等差数列 以。不是整数 C.p的值可以是2025 D.g2-102p的最小值为-2499 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.小南同学想在新年来临之际用自己的零花钱给自己的爷爷、爸爸妈妈和三个表哥每人分别买一件 礼物，小南看中三样礼物：甲礼物(10元/件)、乙礼物(20元/件)、丙礼物(30元/件)，在同学的 建议下，小南最终决定采用如下方案选购礼物：①不同辈分的礼物不同：②相同辈分的礼物相同， 则小南要备齐所需礼物所花销费用的最小值为 13.已知关于x的方程x2-2xi-2=0的根为复数z,其中i为虚数单位，则1z= 14.如图，正方体ABCD-A1B,C1D1棱长为2，M为A41的中点，P为空间中一 点，且满足AP=AA++cseB+1+iAD,&∈R,则多面体 ⊙ 2 2 A,MBDP体积的最大值为 M D 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知曲线f(x)=e-1(ax2+b)在(1，f(1))处的切线方程为y=3x-2. (1)求实数a,b的值； (2)求函数f(x)在区间[-1,2]上的值域 16.(15分) 如图，平行四边形ABCD中，AB=2,AD=2,LBAD=牙，AB中点为M,现以DM为折痕把△ADM 折起，使点A到达点A1的位置 (1)若AC中点为N,证明：BN∥平面A1DM; (2)若LA1AD=,求A1C与平面A1DB所成角的正弦值， 17.(15分) 已知在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且42simC+军)-b-c=0,a=4,D为△ABC 外接圆劣弧AC上一动点， (1)求A; (2)在四边形ABCD中，若BD为∠ABC的内角平分线，记△ABC,△ACD的面积分别为S1,S2,若S1>2S2, 求∠ABC的取值范围. 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知袋中有m个白球，m2个红球，m个黑球，其中m1,m2,m∈N”,这些球除颜色外设有其他差异. 现每次从袋中不放回的随机取一个球，直到所有小球全部取完 (1)若m1=1,m2=2,m=2,求在最后一次取出黑球的条件下，白球最先被全部取出的概率； (2)记白球最先被全部取出的概率为P(m1,m2,m3): (i)求P(m1,m2,m3)(结果用m1,m2,m3表示)； (i)已知keN,证明：含P(10,10,10e>名n+0 (参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099) 19.(17分) 在平面直角坐标系x0y中，已知动点P到点F(2,0)的距离与到直线1：2x-1=0的距离之比为2， 记动点P的轨迹为T. (1)求轨迹T的标准方程； (2)已知圆0：x2+y2=r2(r>0),圆0的切线1交曲线T于B、C两点. (i)当r=1时，若IBC1=3,且切点在第二象限，求切线l的斜率； (ⅱ)当0<r<1时，已知B、D是关于y轴对称的两点，是否存在r,使得△BCD的外接圆过定点； 若过定点，求出定点坐标；若不存在，请说明理由。 数学试题第4页（共4页）