周测评(十)函数的应用-【衡水真题密卷】2027届高三数学学科素养周测评（B版）

2026一2027学年度学科素养周测评（十） 数学·函数的应用 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 1.函数f(x)=一√无一x+4的零点所在的区间是 A.(4,5) B.(3,4) C.(2,3)》 D.(1,2) 2.教室常常通风，有利于改善学习环境.若教室内二氧化碳浓度在0.35%~0.45%，则教 室内如同一般室外环境；若浓度在0.45%~1%，则教室内空气清新，呼吸顺畅；若浓度 高于1%，则教室内空气浑浊，会使人昏昏欲睡.经测定，某教室刚下课时，空气中二氧化 碳浓度为2.5%，开窗通风后教室内二氧化碳浓度y%随时间t(单位：分钟)的变化规律 可用函数y=0.5十e(k∈R)描述，若要让教室内二氧化碳浓度低于1%，则至少要 开窗通风（参考数据：ln2≈0.69） () A.6.9分钟 B.10.4分钟 C.13.8分钟 D.17.2分钟 3.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数f(x)在闭区 间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在区间(a,b)内至少存在一个点xo,使得f(b) -f(a)=f'(xo)(b一a),x=xo称为函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的中值点.若函数 f(x)=sinx在区间[0，π]上的“中值点”的个数为m,函数g(x)=xex在区间[1,2]上 的“中值点”的个数为n,则m十n=(参考数据：π≈3.14，e≈2.72) () A.1 B.2 C.0 D.3 S-1 4.生物丰富度指数d=nN是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河流中生物 种类数和生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生 物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.85提高到 3.8,则 () A.3N1=4N2 B.3N2=4N1 C.N=N D.N=N 学科素养周测评（十）数学第1页（共4页） 把答案交给时间，把行动留给自己 5.已知函数f(x)=cosx-a(x2十1)，若f(x)在(-1,1)上有唯一的零点，则a=（ 班级 A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知甲、乙两地之间的路线图如图所示，其可大致认为是f(x)=cosx(0≤x≤3π)的图 姓名 象.某日小明和小红分别从甲、乙两地同时出发沿着路线相向而行，当小明到达乙地时， 小红也停止前行.若将小明行走轨迹的点记为(a,b),小红行走轨迹的点记为(c,d),且 得分 满足2十c=3x,函数ga)=6-2d,则g(a)的一个单调递减区间为 Ao,） c D.(2π，3π) 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 7 8 答案 7.已知函数f(x)=x3十3x,则 A.f(x)是奇函数 B.f(x)是增函数 C.f(x)有且仅有1个零点 D.f(x)既有极大值又有极小值 &.半径长为1m的车轮匀速在水平地面上向前滚动（无滑动），轮轴每秒前进m运动前 车轮着地点为A,若车轮滚动时点A距离地面的高度h(m)关于时间t(s)的函数记为 h=f(t)(t≥0)，则 A.Ht≥0，都有f(t+2)=f(t) B.h=f(t)在区间[4k,4k+2](k∈N)上为增函数 C.f(7.5)=2+2 D.Ht∈[2,4幻，都有f(6-t)+f(t)=2 学科素养周测评（十）数学第2页（共4页） B 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 9.人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位： W/m2)满足d(x)=10·lg10亚·一般两人正常交谈时声音的等级约为60dB,燃放烟 花爆竹时声音的等级约为150dB,若燃放烟花爆竹时的声音强度为b,两人正常交谈时 的声音强度为a,则g6三 {x2+2x+3,x≤0， 10.已知函数f(x)={ 若存在实数x1,x2,x3且x1<x2<x3,使得 In x,x>0, f(x1)=f(x2)=f(x3)=a,则x3(x1十x2十lnx3)的最大值为 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11.(20分)某制药厂临床试验一批新药的疗效(a因子是主要成分)，根据国家规定：服用 新药后100mL血液中a-因子含量达到20~79mg认定为有效I级，80mg及以上认 定为有效Ⅱ级，20g以下认定为无效.经过大量试验得知，服用该药后一开始血液中 a因子的浓度呈线性增长，当其上升到1.2mg/mL时，血液中a因子的浓度将会以每 小时20%的速度减少（函数模型如图） ↑y(mgmL) 1.2 0.3 o.2512x0 (1)请写出服用该药后血液中a因子浓度y(单位：mg/mL)随时间x(单位：小时)变化 的关系式 (2)服用该药后，至少要经过几个小时血液中因子才能降至无效（结果取整数）？ 参考数据：lg2≈0.30,1g3≈0.48. B 学科素养周测评（十）数学第3页（共4页） 12.(20分)设函数f(x)=e-1 (1)求f(x)的单调性 2)证明：当x≥0时，f(x)>2x十1 (3)若函数F(x)=f(x)一asin x一1在(0，π)上有零点，求实数a的取值范围. 学科素养周测评（十）数学第4页（共4页）2027 学科素养周测评 即m的取值范围为一g,一8 15π7π (20分) =300v8f3 1 2 sin 2a+2 cos 2a-2 12.解：(1)由题意，∠MON= 3,扇形半径即OM- =3003sim(2a+g）-1505,0a<号 30m, 即5a)-3003sin2a+g）-1503.0a< 则扇形0MN的面积为号×了×302=150xm3. 1 (14分) (6分) (2)在Rt△OBC中，BC=30sina,OB=30cosa, (3)由(2)知，Sa)=3003sim(2a+君）-1503， 在Rt△OAD中，AD=BC=30sina,则OA= AD30sin 10 sin a Oceg √33 (8分) <2a+g<, 放 所以AB=OB-OA=30cosa-10√3sina. 则S(a)=BC·AB=30sina(30cosa-l0√3sina) 则当a+6-2,即a=名时，Sam=1503. =3003 (3 sin acos a-sin2a) 放当a-时.Se)取最大值，最大值为150，后， =1503 (3 sin 2a+cos 2a-1) (20分) 2026一2027学年度学科素养周测评（十） 数学·函数的应用 一、选择题 2e-2e2+e=3e-2e2<0,h(2)=3e2-2e2+e=e2+e 1.C【解析】函数f(x)=一√元-x十4的定义域 >0,则h(x)在(1,2)上有唯一零点，即方程2e2-e= 为[0，十∞)，且f(x)在[0，十∞)上单调递减，而 (x十1)e在区间(1,2)上有1个解，因此g(x)在区间[1， f(2)=2-√2>0，f(3)=1-3<0,所以f(x)的 2]上的“中值点”的个数为1，即n=1,所以m十n=2. 零点所在的区间是(2,3) S-1 2.C【解析】由题知，当t=0时，y=2.5,即0.5十 4.C【解析】由题意得 In N1 2.85 In N2 3 -1=3.8,即nN=4, ke°=2.5，解得k=2,所以y=0.5+2e6.令0.5 In N2 +2e6<1.得>-1020lh2≈20×0.69 即4lnN2=3lnN1,即lnN=lnNi,即N=N. 5.A【解析】由于f(-x)=cos(-x)-a[(-x) ≈13.8，所以要让教室内二氧化碳浓度低于1%， +1=cosx-a(x2+1)=f(x),所以f(x)是偶 则至少要开窗通风13.8分钟. 函数，要使f(x)在（一1,1）上有唯一的零，点，则 3.B【解析】设f(x)=sinx在区间[0，x]上的“中值 f(0)=0,即f(0)=1-a=0,解得a=1. 点”为x0,又∫'(x)=cosx,则由拉格朗日中值定理 6.A【解析】依题意得b=cosa,d=cosc= 得，f(π)一f(0)=f'(xo)(π-0)，即πcosx0=0,而 0≤a≤3π， x∈0，，则w=分，即fx)在区间[0，]上的 cosx-2）=-cosg且0 解得 “中值，点”的个数为1，因此m=l;设g(x)=xe 在区间[1,2]上的“中值点”为x1,又g'(x)=(x 0≤a≤3π，所以g(a)=b-2d=cosa+2cos2 十1)e,则由拉格朗日中值定理得，g(2)一g(1)= g'(x1)(2-1),即2e2-e=(x1+1)e1,令函数h(x) 2cos号+2cos号一-1.令1=60s号，则[-1,1， =(x+1)e-2e2+e,则h'(x)=(x+2)e,x∈(1， 2),故h'(x)>0,h(x)在(1,2)上单调递增，又h(1)= 因为y=21+22-1在(-1-号)上单调道减， B ·20· ·数学· 参考答案及解析 在(？1上单调道增，又y=c0s2在(0，智）上 单调递减且y=cos ∈(-，小，此时外画教￥ a 调适增=60s号在（传售，2x上单调递减且y c0s∈(-1，-2，此时外函教单调递减：y 1 三、填空题 9.9【解析】依题意得，d(a)=10·lg10=60,则 0s2在(2m,）上单调递增且y=c0s2∈ b 1ga+12=6,解得lgQ=-6;d(b)=10·lg10 (1,-号），此时外函教单调递减y=c0s2在 a =150,则1g6+12=15,解得1g6=3,所以1g b (3)上单调递增且y=c0s2∈(-20)，此 =1g b-lg a=9. 时外画数单调适增，所以ga)在区间0，）， 10.e3【解析】根据题意作出函数y=f(x)的图象 如图所示： (2x,8）上单羽递减. 二、选择题 1=3 -L 0 7.ABC【解析】函数f(x)=x3十3x的定义域为 y=2 0 R,又f(-x)=(-x)3+3(-x)=-(x3+3x) y=fx) =一f(x),所以f(x)是奇函数，故A正确；f(x)= 3x2+3≥3，所以f(x)在R上单调递增，故B正 确；因为f(x)在R上单调递增，且f(0)=03十3 由题意可知y=a与y=f(x)有三个交点，则2 X0=0,所以f(x)有且仅有1个零点，故C正确；由 <a≤3，此时-2≤x1<-1<x2≤0<e2<x3≤ B可知，f(x)既无极大值也无极小值，故D错误. e3,且x1十x2=-2,所以x3(x1十x2十lnx3)= 8.BD【解析】因为车轮的半径为1m,则周长为 (-2十a)e,令g(a)=(-2+a)e(2<a≤3)， 2xm,又轮轴每秒前进m,所以f)的最小正 则g'(a)=(-1十a)e>0恒成立，所以g(a)在 (2,3]上单调递增，则g(a)的最大值为g(3)= 周期T=2红=4，所以1≥0，都有f1十4)= e3,即x3(x1十x2十lnx3)的最大值为e3. π 2 四、解答题 f(t),故A错误；记车轮运动时着地点为P,则ts 11.解：(1)开始时，血液中a因子的浓度呈线性增长 时，设y=kx十b(k≠0)， 时∠A0P=,所以A=f(a)=1-c0s交： 10.3=0.25k+b, 将(0,0)，(0.25,0.3)代入得 u≥0)，令2张≤受≤x十2x,返N,解得4<： 0=b, 解得k=1.2,b=0, ≤2十4k,k∈N,所以f(t)在区间[4k,4k+2](k 因此y=1.2x; (5分) N)上为增函数，故B正确；f(3)=1一cos2 当y=1.2时，x=1,又当c因子浓度上升到 1,所以在区间[2,4幻内图象关于(3,1)对称，即Vt 1.2mg/mL时，以每小时20%的速度减少， ∈[2,4]，都有f(6-t)+f(t)=2,故D正确；又 则当x>1时，y=1.2(1-0.2)x-1=1.2× 08-1, (9分) f.)=1-s17=1-s牙=1-号 1.2x,0≤x≤1， 故所求关系式为y= 2-√2 1.2×0.8x-1,x>1. 2 ,故C错误. (10分) ·21· B 2027 学科素养周测评 (2)设至少要经过x小时血液中a因子降至无 因而y>0,即x>sinx, 效，即1.2×0.8-1<0.2， (13分) 故由x∈(0，x),可得0<xsin x<x2. 整理得0.8≤6，两边取对数，得g0.8-1< 当a≤时asn<分， .1 1 1g6 由(2)知，当x∈(0，π)时，g(x)=e-axsin x- g行则x-1Pg8-泥2x0.0 1g3+lg2≈0.48+0.30 x-1>e- 2x2-x-1>0, 7.8,解得x>8.8, (18分) 此时g(x)在(0，π)上没有零点，不符合题意，故 所以至少要经过9个小时血液中。因子才能降 舍去 (13分) 至无效. (20分) 12.(1)解：由题意得，f(x)的定义域为{x|x≠0}，且 当a>2时，g(x)=e-azsin-x-1,则gx)= f')=a-1)e+1z≠0. ef-a(xcos x+sinx)-1, 设t(x)=g'(x), 设r(x)=(x-1)e十l,则r'(x)=xe, 则t(x)=e十a(xsin x-2cosx), 当x>0时，r'(x)>0,r(x)单调递增，则r(x)> r(0)=0,即f'(x)>0,所以f(x)在(0，十∞)上单 当e[匠时d6)>0,所以g)单调道端 调递增； 当x<0时，r'(x)<0,r(x)单调递减，则r(x)> 当x∈(o,2）时，设G)=e+a(sin r(0)=0,即f'(x)>0,所以f(x)在(-∞，0)上 2cosx),则G'(x)=e十a(3sinx十xcos x), 单调递增， 因为e>0,a(3sinx十ccos x)>0,所以G(x)> 综上，f(x)在(-∞，0)，(0，十∞)上单调递增. 0,故t'(x)单调递增， (5分) 《2)证明：当x>0时，f(x)=e二11 又r/0)=1-2a<0t(）=ei+a>0, >2x+1,即 因此红)在(0，）上存在唯一的零点， 2x2+x+1. 当x∈(0，xo)时，t'(x)<0,g'(x)单调递减；当 令aa)=e2-x1, x∈(xo,π)时，t'(x)>0,g'(x)单调递增， 则h'(x)=e一x-1, 又g'(0)=0,g'(xo)<g'(0)=0,g'(π)=e+aπ 设m(x)=h'(x)=e2-x-1,则m'(x)=e-1, 一1>0，因此g'(x)在(0，π)上存在唯一的零点 当x>0时，m'(x)>0,即h'(x)在(0，十∞)上单 x1,且x1∈(x0,π)， 调递增，所以h'(x)>h'(0)=0, 故当x∈(0，x1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 故h(x)在(0，十∞)上单调递增，所以h(x)>h(0) 当x∈(x1,π)时，g'(x)>0,g(x)单调递增. (17分) =0,即e>2x2+x+1成立， 又g(0)=0,g(x1)<g(0)=0,g(π)=e"-π-1 1 故原不等式f(x)>2x十1得证 (11分) >0,所以g(x)在(0，x1)上没有零点，在(x1,π) 上存在唯一零点x2, (3)解：令函数g(x)=e一axsin x一x一1， 因此g(x)在(0，π)上有唯一零点x2 “函数F(x)=f(x)-asinx-1在(0，π)上有零点” 等价于“函数g(x)=e-axsinx一x一1在(0，π) 所以当a>时，两数F)=f)--asin-1 上有零点”. 在(0，π)上有零点， 设y=x-sinx,x∈(0，π)，则y'=1-cosx>0, 综上，a的取值范围是 (20分) 所以y=x-sinx在(0，π)上单调递增， B ·22·